Sitzung 01 (q-Ableitungen und q-Shifts)

(4) O

(5) O

(1)

O O

(9) O

O

(2)

(7)

O

(8) (6) (3)

(10) O

O

O

O O

restart:

read "qFPS.mpl":

with(qFPS):

Sitzung 01 (q-Ableitungen und q-Shifts)

q-Ableitung bzw. q-Shift von Potenzen qdiff(x^k,x,q);

q^kK1 x^kK1 qK1 qshift(x^k,x,q);

q x ^k

Zweite q-Ableitung bzw. doppelter q-Shift des q-Pochhammersymbols qdiff(qpochhammer(x,q,k),[x$2],q);

K q^kK1 Kq^kCq qpochhammer x,q,k qK1 ² K1Cx K1Cq x qshift(qpochhammer(x,q,k),[x$2],q);

K1Cq x q^k K1Cx q^k qpochhammer x,q,k K1Cq x K1Cx

q-Ableitung bzw. q-Shift der kleinen q-Exponentialfunktion qdiff(qexp(x,q),x,q);

Kqexp x,q qK1 qshift(qexp(x,q),x,q);

1Kx qexp x,q qdiff(qexp((1-q)*x,q),x,q);

qexp 1Kq x,q Inverser q-Shift

qshift(qpochhammer(x,q,k),x,1/q);

KqCx qpochhammer x,q,k KqCx q^k

Kompliziertere, höhere q-Ableitungen

qdiff(sinq(x,q)*f(x,y)+cosq(y*x,q)*g(y),[x,y,y],q);

Ky² q² x qK1 qC1 cosq y x,q Dq_y,y g y Cy q² y² q³ x²K2 q² y² x²Cy² q x² K1 Dq_y,y g y sinq y x,q C qK1 x cosq x,q Dq_x,y,y f x,y Csinq x, q Dq_x,y,y f x,y Ccosq x,q Dq_y,y f x,y Kx qC1 cosq y x,q g y

Cy x² q² sinq y x,q g y C qC1 y² q³ x²Kq² y² x²K1 Dq_y g y sinq y x,q Ky x qC1 q²CqK1 cosq y x,q Dq_y g y

Sitzung 02 (q-Holonome Differential- und Rekursionsgleichungen)

Beispiele q-holonomer Differential- und Rekursionsgleichungen q-holonomer Funktionen Potenzen

qHolonomicDE(x^k,F(x));

O O

(15) O

O O

O

(20) O

(16)

O

(18)

O

(11)

(12)

(14) O

(21) (13) (10)

O

(19) (17) qK1 x Dq_x F x C Kq^kC1 F x = 0

qHolonomicRE(x^k,F(x));

F x q^kKSq_x F x = 0 Kleine q-Exponentialfunktion

qHolonomicDE(qexp(x,q),F(x));

qK1 Dq_x F x CF x = 0 qHolonomicRE(qexp(x,q),F(x));

Sq_x F x C K1Cx F x = 0 Große q-Cosinusfunktion

qHolonomicDE(qCos(x,q),F(x));

q x qK1 qC1 Dq_x F x C qK1 ² 1Cq² x² Dq_x,x F x Cq F x = 0 qHolonomicRE(qCos(x,q),F(x));

K1Kq Sq_x F x Cq F x C 1Cq² x² Sq_x,x F x = 0 q-Orthogonales Polynom: q-Laguerre

qHolonomicDE(qLaguerreL(n,a,x,q),F(x));

qK1 q^a q² xKq qⁿ q^a xCq^a qCq q^a xK1 Dq_x F x Cx q^a q qK1 ² q x C1 Dq_x,x F x Kq^a q qⁿK1 F x = 0

qHolonomicRE(qLaguerreL(n,a,x,q),F(x));

Kq qⁿ q^a xKq^aK1 Sq_x F x CF x Cq^a q xC1 Sq_x,x F x = 0

Sitzung 03 (q-Holonome Rekursionsgleichung für die verallgemeinerte q- hypergeometrische Funktion)

qHolonomicRE(qphihypergeom([a,b,c],[d,e],x,q),F(x));

q q x cCq x bCq x aKqKeKd Sq_x F x Kq² K1Cx F x C x q² a b c Kd e Sq_x,x,x F x C Kx q² b cCd eKx q² a cKx q² a bCq e

Cd q Sq_x,x F x = 0

Sitzung 04 (Summen-, Produkt und Kompositionsalgorithmus)

RE1:=qHolonomicRE(qsin(x,q),F(x));

RE1:= K1Kq Sq_x F x Cq x²C1 F x CSq_x,x F x = 0 RE2:=qHolonomicRE(qpochhammer(x,q,k),F(x));

RE2:= K1Cx Sq_x F x C 1Kx q^k F x = 0 qSumRE(RE1,RE2,F(x));

q K1CxK2 qCq² x³Cq xKq² x q^{k 2}Cx q² q^kCq x q^kCq^kKq x²K2 q² x²Kq³ x⁴ Kq⁴ x⁴Cq⁴ x³Cx³ q⁵Kq⁴ x²Kq⁵ x⁴Cq⁵ x⁵C3 q³ xK q^{k 2}C2 x q²K2 q²

Kq³ x q^{k 2}Cx q q^{k 3}Cq⁴ x³ q^{k 2}K2 q³ x²Cx q⁴Kq⁵ x²Kq³C2 q^k q Kq² q^{k 2}C2 q^k q²Cq^k q³Kq q^{k 2}C2 q³ x³Kq x q^{k 2}Kx² q^k q³Kx² q^k q⁴ Cx q² q^{k 3}Kx² q² q^{k 2} Sq_x F x Kq³ x²C1 K1Cx q^k q³ x²Kx q²Kq x CqKq^k qKq^kC q^{k 2}C1 F x C K1Cx q² q x²KxKq xC1CqC q^{k 2}

(29) (24)

O O O

(31) (26) (27) O

(25)

O O

(28) O

(22)

O

(30) (21)

O

O

(10)

(23) O

Kq^k qKq^k Sq_x,x,x F x C 1KxC2 qK2 q xKq^kCq x²C2 q² x²Kq⁴ x³

Cq⁴ x²K3 q³ xC q^{k 2}K2 x q²C2 q²C2 q³ x²Cx q^k q⁴K2 x q⁴Cq⁵ x²Cq³ K2 q^k qCq² q^{k 2}K2 q^k q²Kq^k q³Cq q^{k 2}Kq³ x³Cx² q^k q³Cx² q^k q⁴Kx³ q^k q⁵ Cx q^k q³Kx q² q^{k 3} Sq_x,x F x = 0

qProductRE(RE1,RE2,F(x));

KqC1 K1Cx K1Cq x q^k Sq_x F x Cq x²C1 K1Cx q^k K1 Cq x q^k F x C K1Cq x K1Cx Sq_x,x F x = 0

qCompositionRE(RE1,F(x),a*x^2);

1Cq² q³ a² x⁴K1 Sq_x F x Cq² 1Ca² x⁴ q² a² x⁴C1 F x CSq_x,x F x

= 0

qHolonomicRE(qsin(a*x^2,q),F(x));

1Cq² q³ a² x⁴K1 Sq_x F x Cq² 1Ca² x⁴ q² a² x⁴C1 F x CSq_x,x F x

= 0

Sitzung 05 (q-Petkovšek-Algorithmus)

RE1:=(q^(k+2)-1)*A(k+2)+(q^(2*k+2)*(1+q)-q^(k+1))*A(k+1)+q^(3*

k+2)*A(k)=0;

RE1:= q^kC2K1 A kC2 C q^{2C2 k} qC1 Kq^kC1 A kC1 Cq^{2C3 k} A k = 0 qPetkovsek(RE1,A(k));

K1 ^k q^{binomialk, 2} , q^k2

qpochhammer q,q,k

RE2:=A(k+2)-(1+q)*A(k+1)+q*(1-q^(2*k+1))*A(k)=0;

RE2:=A kC2 K qC1 A kC1 Cq 1Kq^{1C2 k} A k = 0 qPetkovsek(RE2,A(k));

qPetkovsek(RE2,A(k),quadratic);

qpochhammer K q,q,k ,qpochhammer q,q,k

Sitzung 06 (q-FPS-Algorithmus)

convert(qexp(x,q),qFPS);

k= 0

>

N x^k

qpochhammer q,q,k infolevel[qFPS]:=4:

convert(qsin(x,q),qFPS);

convert/qFPS: q-holonomic recurrence equation of order 2 KqK1 Sq_x F x Cq x²C1 F x CSq_x,x F x = 0

convert/qFPS: q-holonomic recurrence equation for series coefficients of order 2

A k C q^k q²K1 q^k qK1 A kC2 = 0 convert/qFPS: solution of recurrence equation

0, K1 ^k x^{1C2 k} qpochhammer q,q, 1C2 k

O O

(31)

O

(34) O

O

(37) (32) O

O

(21)

(36) O

(10)

(35) (33)

k= 0

>

N K1 ^k x^{1C2 k}

qpochhammer q,q, 1C2 k infolevel[qFPS]:=0:

convert(qCos(x^2,q),qFPS);

k

>

N K1 ^k q^{k K1C2 k} x^{2 2 k} qpochhammer q,q, 2 k

convert(qphihypergeom([a,b],[c,d],x,q),qFPS,x);

k= 0

>

N K1 ^k q

1

2 kK1 k

qpochhammer a,q,k qpochhammer b,q,k x^k qpochhammer c,q,k qpochhammer d,q,k qpochhammer q,q,k Anwendungsbeispiel: Beweis von q-Identitäten

convert(qsin(x,1/q),qFPS);

k= 0

>

N

K K1 ^k q ^{kC1 1C2 k} x^{1C2 k} qpochhammer q,q, 1C2 k convert(-qSin(q*x,q),qFPS);

k= 0

>

N

K K1 ^k q ^{kC1 1C2 k} x^{1C2 k} qpochhammer q,q, 1C2 k oder

convert(x/(1-q)*qphihypergeom([0,0],[q^3],-x^2,q^2),qFPS);

k= 0

>

N K1 ^k x^{1C2 k}

qpochhammer q,q, 1C2 k convert(qsin(x,q),qFPS);

k= 0

>

N K1 ^k x^{1C2 k} qpochhammer q,q, 1C2 k