Abgabe: Mittwoch, 2. Mai 2018 bis 10:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik

Institut f¨ ur Theoretische Physik der Prof. Dr. Joachim Krug Universit¨ at zu K¨ oln, Sommersemester 2018 Benjamin Schmiegelt

Theoretische Physik II (Lehramt)

3. ¨ Ubung

http://www.thp.uni-koeln.de/~schmiegb/sose18/

Abgabe: Mittwoch, 2. Mai 2018 bis 10:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik

10. Teilchen im Kasten I 5+15=20 Punkte

In der Vorlesung haben Sie die station¨ are Schr¨ odingergleichung (hier eindimensional)

− ~

2m

∂

∂x

+ V (x)

u(x) = Eu(x) (1)

kennengelernt.

a) Zeigen Sie, dass f¨ ur das konstante Potential V (x) = V

die allgemeine L¨ osung dieser Glei- chung bei E > V

gegeben ist durch

u(x) = Ae

+ Be

(2)

mit k =

q

~²

und A, B ∈ C. Zeigen Sie weiterhin, dass f¨ ur das gleiche Potential die allgemeine L¨ osung bei E < V

gegeben ist durch

u(x) = Ae

+ Be

mit κ =

q

~²

und A, B ∈ C.

b) Als Beispiel wurde in der Vorlesung das (unendlich tiefe) Kastenpotential V (x) =

( 0 f¨ ur −

≤ x ≤

,

∞ sonst. (3)

betrachtet. Wir vollziehen hier die Rechnung f¨ ur E > 0 genauer nach. Argumentieren Sie, dass u(x) = 0 in den beiden Abschnitten mit V (x) = ∞ gelten sollte. Machen Sie damit und unter Anwendung von Aufgabenteil a) einen Ansatz f¨ ur u(x). Die Bedingung, dass u(x) bei x = ±

stetig sei, f¨ uhrt dann auf ein Gleichungssystem. L¨ osen Sie dieses um auf die L¨ osungen

u

(x) = A ·

( cos(nπx/a) falls n ungerade, sin(nπx/a) falls n gerade.

f¨ ur n ∈ N und die zugeh¨ origen Eigenenergien

E

= ~

π

n

2ma

zu kommen. Der Vorfaktor A =

q

a

ergibt sich durch die Normierungsbedingung, soll hier

aber nicht berechnet werden.

11. Teilchen im Kasten II Pr¨ asenzaufgabe Wir setzen hier die Aufgabe 10b) fort.

a) Ein Teilchen befinde sich im n-ten Energie-Eigenzustand, d.h. die Wellenfunktion des Teil- chens ist durch u

(x) gegeben. Mit welcher Wahrscheinlichkeit h¨ alt sich das Teilchen dann im mittleren Bereich −a/4 < x < a/4 des Kastens auf? Wie h¨ angt diese Wahrscheinlichkeit von n ab? Vergleichen Sie das Ergebnis mit einem klassischen Teilchen, dessen Aufenthalts- ort ¨ uber einen langen Zeitraum (groß gegen¨ uber der Laufzeit durch den Kasten) gemittelt wird.

Hinweis: Eine Stammfunktion von sin(x)

ist

−

sin(2x). Eine Stammfunktion von cos(x)

ist

+

sin(2x).

b) Berechnen Sie die Ortsunsch¨ arfe ∆x des Teilchens. Diskutieren Sie auch hier die Abh¨ angig- keit von n, und vergleichen Sie den Grenzfall n → ∞ mit dem Verhalten des klassischen Teilchens.

Hinweis: Eine Stammfunktion von x

cos

(x) ist 1 6 x

+ 1

4 x cos(2x) − 1 − 2x

8 sin(2x).

Zur ¨ Uberpr¨ ufung: Sie sollten (∆x)

= a

−

erhalten.

c) Die Impulsunsch¨ arfe ergibt sich am einfachsten aus der Beobachtung, dass die kinetische Energie des Teilchens gleich E

sein muss (das Potential ist im Kasten ja gleich Null) und sein mittlerer Impuls verschwindet, sodass (∆p)

= hp

i = 2mE

. Bilden Sie mit dem Ergebnis von Teil c) das Unsch¨ arfeprodukt ∆x · ∆p und zeigen Sie, dass f¨ ur alle n die Unsch¨ arferelation ∆x · ∆p > ~ /2 gilt.

12. Potentialstufe 4+8+4+4=20 Punkte

Ein Teilchen trifft mit Energie E > V

von links auf die Potentialstufe V (x) =

( 0 f¨ ur x ≤ 0 , V

f¨ ur x > 0 . a) Argumentieren Sie mithilfe von Aufgabe 10a) warum

u(x) =

( A e

+ B e

f¨ ur x ≤ 0 ,

C e

f¨ ur x > 0 . (4)

als Ansatz zur L¨ osung der station¨ aren Schr¨ odingergleichung korrekt ist und geben Sie k

und k

an. Welche physikalische Bedeutung haben die drei Terme in (4)?

b) Berechnen Sie den Reflexionskoeffizienten R = |B|

/|A|

als Funktion der Energie E. Dis- kutieren Sie die Grenzf¨ alle E → ∞ und E → V

.

Hinweis: Bestimmen Sie das Verh¨ altnis A/B durch die Stetigkeitsbedingung an u(x) und u

(x) bei x = 0.

c) Betrachten Sie nun den Fall V

< 0 < E. Welches Verhalten w¨ urden Sie klassisch erwarten und wie verh¨ alt sich das quantenmechanische Teilchen tats¨ achlich? Betrachten Sie insbeson- dere die Grenzf¨ alle V

→ −∞ und E → 0.

d) Der Transmissionskoeffizient T ist definiert als Verh¨ altnis des transmittierten zum einlau-

fenden Wahrscheinlichkeitsstrom. Wie Sie in Aufgabe 8b) gezeigt haben, ist die Wahr-

scheinlichkeitsstromdichte einer ebenen Welle u

e

gegeben durch J

= ~ k|u

|

/m, sodass

T = (k

|C|

)/(k

|A|

). Verifizieren Sie, dass R + T = 1, wie man aufgrund der Wahrschein-

lichkeitserhaltung erwarten w¨ urde.