Unendliche Reihen

(1)

Grundlagen der Analysis

Wintersemester 2019/20

Reihen

Prof. Dr. David Sabel

LFE Theoretische Informatik

Letzte ¨Anderung der Folien: 20. November 2019

Partialsumme

Definition (Partialsummen)

F¨ur eine Folge (a_n)_n∈_N ist dien-te Partialsummes_n definiert als s_n:=

n

X

k=0

a_k

D.h. Beispiel:(a_n)_n∈_Nwobeia_n:= 1 n+ 1 s₀ =a₀ s₀ =a₀= ¹₁

s₁ =a₀+a₁ s₁ =a₀+a₁= ¹₁ +¹₂ =³₂

s₂ =a₀+a₁+a₂ s₂ =a₀+a₁+a₂ = ¹₁+¹₂ +¹₃ =¹¹₆

. . . .

TCS | 05 Reihen | WS 2019/20 2/33 Reihen Absolute Konvergenz Konvergenzkriterien

Unendliche Reihen

Definition (Unendliche Reihe)

Die Folge (s_n)_n∈_Nder Summen heißtunendliche Reihe (kurz einfach nur Reihe).

Wenn diese Folge konvergiert, so schreiben wir

∞

X

k=0

a_k f¨ur ihren Grenzwert, d.h.

∞

X

k=0

a_k:= lim

n→∞

n

X

k=0

a_k

Wenn der Grenzwert nicht existiert, dann sagen wir:

Die Reihe

∞

X

k=0

a_k konvergiert nicht.

Die Definition der bestimmten Divergenz ¨ubertr¨agt sich vom

Bemerkungen

Die Notation

∞

X

k=0

a_k wird doppelt verwendet:

F¨ur die Folge (

n

X

k=0

a_k)_n der Partialsummen (d.h. f¨ur die Reihe selbst)

F¨ur den Grenzwert dieser Folge, wenn er existiert.

Entsprechende Definitionen gelten, wenn die Summation nicht mit 0, sondern mitm∈Nbeginnt:

∞

X

k=m

a_k:= lim

n→∞

n

X

k=m

a_k

(2)

Bemerkungen (2)

Folgen (a_n)_n∈_Nk¨onnen auch durch unendliche Reihen beschrieben werden, denn

a_n=a₀+

n

X

k=1

(a_k−a_k−1)

D.h. falls (a_n)n∈N konvergiert (bzw. die Reihe

∞

X

k=1

(a_k−a_k−1) konvergiert), dann gilt

n→∞lim a_n=a₀+

∞

X

k=1

(a_k−a_k−1)

Beispiele: Geometrische Reihe

Satz 5.1 (Unendliche geometrische Reihe) F¨urx∈Rmit|x|<1 gilt

∞

X

n=0

xⁿ= 1 1−x. Beweis.

Es gilt

k

X

n=0

xⁿ= 1−x^k+1

1−x (Satz 2.4) Außerdem gilt:

k→∞lim

1−x^k+1 1−x = 1

1−x, da lim

k→∞x^k+1= 0(mit Satz 3.15)

Beispiele (2)

Der vorherige Satz erfasst alle M¨oglichkeiten f¨ur die Konvergenz der unendlichen geometrischen Reihe:

F¨ur|x|<1 gilt

∞

X

n=0

xⁿ= 1 1−x. F¨urx≥1 gilt

∞

X

n=0

xⁿ=∞.

Beispiele: Geometrische Reihe (2)

Satz 5.2 Es gilt

∞

X

k=1

1

k(k+ 1) = 1.

Beweis.

1 Zeige mit Induktion

n

X

k=1

1

k(k+ 1) = n

n+ 1 f¨urn∈N>0

(n¨achste Folie)

2 Anschließend verwende lim

n→∞

n n+ 1 = 1.

(3)

Beispiele: Geometrische Reihe (3)

Induktionsbeweis, dass

n

X

k=1

1

k(k+ 1) = n

n+ 1 (f¨urn∈N>0) gilt.

Induktionsbasis:

1

X

k=1

1

k(k+ 1) = 1 1·2 = 1

2.

Induktionsschritt:

n+1

X

k=1

1

k(k+ 1) = 1

(n+ 1)(n+ 2)+

n

X

k=1

1 k(k+ 1)

I.V.= 1

(n+ 1)(n+ 2)+ n

n+ 1 = 1

(n+ 1)(n+ 2)+ n(n+ 2) (n+ 1)(n+ 2)

= 1 +n(n+ 2)

(n+ 1)(n+ 2) = 1 +n²+ 2n

(n+ 1)(n+ 2) = (n+ 1)²

(n+ 1)(n+ 2) = (n+ 1) (n+ 2)

Beispiele: Harmonische Reihe

Satz 5.3 (Unendliche harmonische Reihe) Die Reihe

∞

X

k=1

1

k konvergiert nicht.

Beweis:

Zeige per Induktion ¨ubern:

2ⁿ−1

X

k=1

1 k ≥n

2 (und schließe anschließend lim

n→∞

n

2 divergiert).

Beispiele: Harmonische Reihe (2)

Induktionsbeweis f¨ur die Aussage

2ⁿ−1

X

k=1

1 k ≥ n

2 Induktionsanfang n= 1: 1

1 ≥1 2 Induktionsschritt:

2ⁿ⁺¹−1

X

k=1

1

k =

2ⁿ−1

X

k=1

1 k +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 k

I.V.≥ n 2 +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 k ≥ n

2 +

2ⁿ⁺¹−1

X

k=2ⁿ

1 2ⁿ⁺¹

= n

2 + ((2ⁿ⁺¹−1)−(2ⁿ−1)) 1 2ⁿ⁺¹

= n

2 + ((2ⁿ⁺¹−2ⁿ) 1 2ⁿ⁺¹ = n

2 + (2ⁿ(2−1)) 1 2ⁿ⁺¹

= n + 2ⁿ

= n +1

= n+ 1

Beispiele

Satz 5.4 Die Reihe

∞

X

k=1

1

k² konvergiert (gegen π 6).

Beweis: Techniken fehlen noch.

(4)

Rechenregeln

Satz 5.5 Seien

∞

X

k=0

a_k und

∞

X

k=0

b_k konvergente Reihen und seiu∈R. Dann gelten die Gleichungen:

u

∞

X

k=0

a_k=

∞

X

k=0

ua_k,

∞

X

k=0

a_k

! +

∞

X

k=0

b_k

!

=

∞

X

k=0

(a_k+b_k).

Insbesondere sind die Reihen auf den rechten Seiten der Gleichungen konvergent.

Beispiel: Unendliche Dezimalbr¨ uche

Unendliche Dezimalbr¨uche lassen mithilfe von speziellen Reihen darstellen. Z.B. l¨asst sich 0,812 darstellen als

8

10 + 12

1000 + 12

100000+. . .= 8 10 +

∞

X

k=0

12 10^3+2k Mit den Rechenregeln und dem Grenzwert der unendlichen geometrischen Reihe kann man umformen:

8 10 +

∞

X

k=0

12

10^3+2k = 8 10 + 12

10³

∞

X

k=0

1 10^2k = 8

10 + 12 10³

∞

X

k=0

(10⁻²)^k

= 8 10+ 12

10³ · 1

1−10⁻² = 8 10+ 12

10³ ·100 99 = 8

10 + 12 990

= 8 10+ 2

165 = 4 5+ 2

165 = 4·33 165 + 2

165 =134 165

Beispiel: Unendliche Dezimalbr¨ uche (2)

Zeige 0,9 = 1:

0,9 =

∞

X

k=1

9

10^k =−9 +

∞

X

k=0

9 10^k

=−9 + 9

∞

X

k=0

1

10^k =−9 + 9

∞

X

k=0

1 10

k

=−9 + 9 1 1−₁₀¹

!

=−9 + 9 1

9 10

!

=−9 + 9 10

9

=−9 + 10 = 1

Konvergenzkriterien

Wir ben¨otigen weitere Mittel und Wege, um nachzuweisen, dass Reihen konvergieren

Wir betrachten hierbei nur eine Auswahl der Methoden Beachte: Konvergenz nachweisen und den Grenzwert selbst berechnen sind zwei unterschiedliche Problemstellungen

(5)

Absolute Konvergenz

Definition Eine Reihe

∞

X

k=0

a_k konvergiert absolut,

falls die Reihe

∞

X

k=0

|a_k|konvergiert.

Absolute Konvergenz: Eigenschaften

Satz 5.8

Jede absolut konvergente Reihe ist auch konvergent.

Beachte:

Die Umkehrung gilt nicht: Es gibt konvergente Reihen, die nicht absolut konvergieren

Z.B. ist

∞

X

k=1

(−1)^k+1

k konvergent Aber

∞

X

k=1

1

k divergiert.

Satz 5.8, Vorarbeiten

Uns fehlen noch Techniken zum Beweis von Satz 5.8, da er eine Aussage ¨uber die Existenz eines Grenzwerts ist, ohne den Grenzwert konkret anzugeben.

Daher: Zun¨achst Satz von Cauchy.

Satz von Cauchy

Satz 5.9 (Cauchy)

Eine Folge(a_n)_n∈_Nkonvergiert genau dann, wenn es f¨ur jedesε >0 ein N ∈Ngibt, sodass |a_N−a_n|< εf¨ur alle n > N gilt.

Beweis (Skizze).

“⇒”:

Angenommen (a_n)_n∈_Nkonvergiert.

Sei lim

n→∞a_n=aund seiε >0.

Wegen Konvergenz gibt es N⁰∈Nmit|a_n−a|< ^ε₂ f¨ur allen > N⁰. Sei N =N⁰+ 1. Mit der Dreiecksungleichung erhalten wir

|a_N −a_n|=|a_N −a+a−a_n|

≤ |a_N −a|+|a−a_n|

=|a_N −a|+|a_n−a|< ^ε+^ε =ε

(6)

Satz von Cauchy (2)

“⇐” (Skizze):

Zeige: Wenn es f¨ur jedesε >0ein N ∈Ngibt, sodass

|a_N −a_n|< εf¨ur alle n > N gilt, dann konvergiert(a_n)n∈N

Mit der Annahme k¨onnen wir nat¨urliche Zahlen n₁ < n₂< n₃. . . finden, sodass |a_n_k−a_n|< ¹

2^k f¨ur alle n > n_k gilt.

D.h. Intervall I_k= [a_n_k−₂¹_k, a_n_k+₂¹_k]enth¨alt allea_n mit Indexn > n_k. IntervalleI₁, I₂, I₃, . . . bilden eine Intervallschachtelung, denn

a) Seix∈Ik+1. Dann gilt|an_k+1−x| ≤ ₂¹k und|an_k+1−an_k|<₂¹k (dank+1> nk).

Mit der Dreiecksungleichung folgt dann

|an_k−x|=|(an_k+1−an_k) +an_k+1−x)|

≤ |an_k+1−an_k|+|an_k+1−x|=|an_k+1−an_k|+|an_k+1−x|< ²

2^k = ¹

2^k−1

Damit folgtx∈Ik. D.h.Ik+1⊆Ik.

b) Es giltIk+1⊂Ik, da die L¨ange der Intervalle echt kleiner wird.

Die eindeutige reelle Zahl, die in allen Intervallen enthalten ist, ist der Grenzwert der Folge (a_n)_n∈_N.

Beweis von Satz 5.8

Wir zeigen Satz 5.8

”Jede absolut konvergente Reihe ist auch konvergent.“

Sei

∞

X

k=0

akabsolut konvergent, d.h.

∞

X

k=0

|a_k|konvergiert.

Seiε >0. Wir m¨ussenN ∈Nfinden, sodass

N

X

k=0

ak−

n

X

k=0

ak

< εf¨ur allen > N.

Da

∞

X

k=0

|a_k|konvergiert, liefert Satz 5.9 einN,

sodass

N

X

k=0

|a_k| −

n

X

k=0

|a_k|

< εf¨ur allen > N.

Mit der Dreiecksungleichung erhalten wir die gew¨unschte Ungleichung:

N

X

k=0

ak−

n

X

k=0

ak

=

n

X

k=N+1

ak

≤

n

X

k=N+1

|a_k|=

N

X

k=0

|a_k| −

n

X

k=0

|a_k|

< ε

Majorantenkriterium

Satz 5.10 (Majorantenkriterium) Sei

∞

X

k=n

c_k eine konvergente Reihe. Dann konvergiert

∞

X

k=n

a_k absolut, wenn |a_k| ≤c_k f¨ur allek≥ngilt.

Man sagt dann: Die Reihe P∞

k=nc_k ist Majorante von P∞ k=na_k.

Beispiel

Die ReiheP∞ k=1 1

k² konvergiert absolut, denn:

Aus Satz 5.2 wissen wirP∞ k=1 2

k(k+1) konvergiert.

Es gilt _k¹₂ ≤ _k(k+1)² f¨ur alle k >0:

Offensichtlich gilt1≤kf¨ur allek >0.

Daraus folgtk+ 1≤k+kund damit auch1≤^k+k_k+1 = _k+1^2k . Division durchk² zeigt _k¹2 ≤_k(k+1)²

Daher ist P∞ k=1 2

k(k+1) Majorante vonP∞ k=1 1

k²

Majorantenkriterium liefert: P∞ k=1 1

k² konvergiert absolut.

Den Wert der Reihe kann man so aber nicht bestimmen, man weiss nur,dasses ihn gibt. Zur Information: P∞

k=1 1 k² = ^π₆².

(7)

Beweis: Korrektheit des Majorantenkriteriums

Wir zeigen: Die Folge der Partialsummen der Reihe

∞

X

k=n

|a_k| ist monoton wachsend und nach oben beschr¨ankt ist.

(mit Satz 4.11 folgt die Konvergenz der Folge der Partialsummen und damit auch der Reihe.) Die Folge der Partialsummen von

∞

X

k=n

|a_k|ist sicher monoton wachsend, da die Summenglieder|a_k|alle nichtnegativ sind.

Mit der Annahme|a_k| ≤c_k haben wir

m

X

k=n

|a_k| ≤

m

X

k=n

c_k≤

∞

X

k=n

c_k f¨ur allem.

Also ist

∞

X

k=n

c_keine obere Schranke f¨ur die Partialsummen.

Quotientenkriterium

Satz 5.12(Quotientenkriterium) Die Reihe

∞

X

k=n

a_k konvergiert absolut, wenn es eine Zahl 0≤q <1 gibt, sodass

a_k+1 a_k

≤q f¨ur fast allek gilt (d.h. f¨ur alle bis auf endlich vielek).

Beweis.

Aus der Annahme folgt: Es gibt N ∈N, mit

ak+1

a_k

≤q f¨ur alle k≥N Reihe

∞

X

k=N

|a_N|q^k−N konvergiert, da

∞

X

k=N

|a_N|q^k−N = |a_N| q^N

∞

X

k=N

q^k und da die geometrische Reihe f¨ur 0≤q <1konvergiert.

Mit |a_k| ≤ |a_N|q^k−N f¨urk > N (Beweis folgt gleich) zeigt das Majorantenkriterium, dassP∞

k=Na_k absolut konvergiert, und damit auch P∞

k=na_k, da h¨ochstens noch endlich viele Summanden hinzukommen.

Quotientenkriterium (2)

Fehlender Beweis, dass|a_k| ≤ |a_N|q^k−N f¨ur allek > N.

Verwende Induktion ¨uberk.

Induktionsanfangk =N+ 1:

|a_N+1| ≤ |a_N|q folgt direkt aus

a(N+1)

aN

≤q Induktionsschrittk→k+ 1,k > N

|a_k+1| ≤ |a_k|q wegen

a_(k+1)/a_k ≤q

≤ |a_N|q^k−Nq nach Induktionsannahme

=|a_N|q^k+1−N

Beispiele (1)

Die Reihe

∞

X

k=0

1

k! konvergiert absolut.

Beweis. Hier gilt

1 (k+1)!

1 k!

= k!

(k+ 1)! = 1 k+ 1 ≤ 1

2,

also k¨onnen wir das Quotientenkriterium mitq= ¹₂ verwenden.

Bemerkung: Der Grenzwert der Reihe iste= 2.71828. . ..

(8)

Beispiele (2)

Die Reihe

∞

X

k=0

x^k

k! (Exponentialreihe) konvergiert absolut f¨ur alle x∈R.

Hier gilt

x^k+1 (k+1)!

x^k k!

= |x| ·k!

(k+ 1)! = |x|

k+ 1 ≤ 1 2

für alle k∈Nmitk >2|x|. Da es nur endlich viele natürliche Zahlen≤2|x|gibt, können wir das Quotientenkriterium ebenfalls mitq = ¹₂ verwenden.

Bemerkung: Der Grenzwert der Reihe iste^x.

Bemerkungen

Beachte: Es gen¨ugt im Quotientenkriteriumnicht

a_k+1 a_k

<1zu zeigen (sondern

a_k+1 a_k

< q f¨ur einfestes q <1) Zum Beispiel konvergiert die harmonische ReiheP∞

k=0 1 k nicht, aber f¨ur alle k gilt:

1 k+1

1 k

= k k+ 1 <1

Leibnizsches Kriterium

Satz (Leibnizsches Kriterium)

Sei (a_k)_k≥n eine Folge mit a_k≥0 unda_k≥a_k+1 f¨ur allek ≥n.

Gilt weiterhin lim

k→∞a_k= 0, so konvergiert die Reihe

∞

X

k=n

(−1)^ka_k .

Beweis: Siehe z.B. Forster

Beispiel

Die alternierende harmonische Reihe

∞

X

k=1

(−1)^k+1 k

konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium (mita_k =_k¹).

Bemerkung: ¨Uber den Grenzwert macht das Kriterium wie immer keine Aussage. Hier ist erln(2).

(9)

Bemerkungen

Beachte, dass man aus lim

k→∞a_k= 0allein nichtschließen kann, dass

∞

X

k=0

a_k konvergiert.

Die harmonische Reihe ist ein Gegenbeispiel.

Es gibt noch weitere Konvergenzkriterien (z.B. Cauchy-Kriterium, Wurzelkriterium).

Auch wenn keines der Kriterien anwendbar ist, kann es noch sein, dass eine Reihe konvergiert.

Dann muss man direkt mit der Grenzwertdefinition arbeiten.