Potenzen

(1)

Michael Körner

Potenzen

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Michael Körner

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Grundwissen

Wurzeln und Potenzen

5.–10. Klasse

(2)

1 Was sind Potenzen?

Aufgabe 1

Berechne und vergleiche die Ergebnisse.

a) 2 · 4 = _____ 2⁴ = _____ b) 5 · 2 = _____ 5² = _____

c) (–2) · 2 = _____ (–2)² = _____ d)

1

2 · 3 = _____

1 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ 

3

= _____

e) (–5)⁴ = _____ –5⁴ = _____ f) (–3)⁵ = _____ –3⁵ = _____

g) 2³ = _____ 3²= _____ h) 0,2 · 2 = _____ 0,2² = _____

Was fällt dir bei den Aufgaben auf?

Aufgabe 2

Schreibe als Potenz.

a) 8 · 8 · 8 = _____ b) 6 · 6 · 6 · 6 · 6 = _____ c) 3 · 3² = _____

d) (–5) · (–5)⁴ = _____ e) c · c³ = _____ f) a · a^m = _____

Aufgabe 3

Schreibe als Potenz.

a) 32 = _____ b) 125 = _____ c) –27 = _____

d)

25

64 = _____ e)

−243

216 = _____ f) 2,25 = _____

Beachte: –2³ = –8

Beispiel: 100 = 10²

Info

Es gilt: a¹ = a a² = a · a a³ = a · a · a

1 Faktor a 2 Faktoren a 3 Faktoren a

a^m = a · a · a · … · a m wird als Exponent (Hochzahl) bezeichnet

a

^m a nennt man Basis (oder Grundzahl) m Faktoren a

Weiterhin gilt: a⁰ = 1

8 · 8 · 8 (–5)⁴ = _

oten

=_____

2 = _____

__

⎝ 2

⎝⎝

⎞

⎠

⎞⎞

⎠⎠

– =_ 5² = ____

⎞³

⎞⎞ = ___

__

_

–2³

Was fällt dir

_____

bei den Auf

___

–5⁴ = ____

3²=

_

b) d)

5· 2 =

r G

(3)

2 Potenzen berechnen (1)

Aufgabe 1

Berechne und vergleiche die Ergebnisse.

a) 2¹ = _____ (–2)¹ = _____ b) 2² = _____ (–2)² = _____

c) 2³ = _____ (–2)³ = _____ d) 2⁴ = _____ (–2)⁴ = _____

e) 2⁵ = _____ (–2)⁵ = _____ f) 2⁶ = _____ (–2)⁶ = _____

Was fällt dir bei den Ergebnissen auf?

Aufgabe 2

Schreibe als Produkt und berechne.

a) 4³ = ________________ = _____ b) (–4)³ = ________________ = _____

c) 0,4³ = ________________ = _____ d)

1 4

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ 

3

= ________________ = _____

e)

−1 4

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ 

3

= ________________ = _____ f) ( 4)³ = ________________ = _____

Aufgabe 3

Vergleiche, indem du die Zeichen >, < oder = einsetzt.

a) 7³ ___ 7⁴ b) (–4)⁵ ___ (–4)⁶ c)

1 3

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ 

4

___

1 3

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ 

6

d) −3 4

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ 

4

___

−3 4

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ 

6

e) (–x)³ ___ (–x)⁴ f) ( 3)¹¹ ___ ( 3)¹²

Aufgabe 4

Berechne das Volumen der Würfel.

a) a = 20 cm V = _____________ b) a = 12 mm V = _____________

c) a = 2,4 dm V = _____________ d) a = 1

m V = _____________

7³ ___ 7 ___⎛ 3

⎜⎛⎛

u die Z

em eiche

_

⎝ 4

⎝⎝ ⎠ f) 4)³ =

= ______

___

____

___

_______ =

e) ⎛ 1

⎝

⎛⎛ ⎞

⎠

⎞⎞

⎠⎠

⎞⎞3

= _

_________

_______

ne.

_________ =____

____

)

(4)

3 Potenzen berechnen (2)

Aufgabe 1

Berechne mit dem Taschenrechner.

a) 5⁶ = __________ b) (–5)⁶ = __________ c) 7⁵ = __________

d) (–7)⁵ = __________ e) 12⁴ = __________ f) (–12)⁴ = __________

g) (–9,5)⁵ = __________ h) 9,5⁵ = __________ i)

3 8

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ 

4

= __________

j) −3 8

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ 

4

= __________ k) (–0,2)⁷ = __________ l) 0,2⁷= __________

Aufgabe 2

Berechne.

a) 95 + 5³ = _________________________ b) 4⁴ – 44 = _________________________

c) 88 : 2³ = _________________________ d) 3² · 5² = _________________________

e) –4 · (–3)³= _________________________ f) (3 + 4)² = _________________________

g) (3 · 4)² = _________________________ h)

1 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ 

3

−2

3 = _________________________

Aufgabe 3

Verbinde die Rechnungen mit den zugehörigen Ergebnissen. Löse ohne Taschenrechner.

a) 2⁶ – 3³ 0 b)

(37 + 5)² 1244

–54 1764

(–3)³· 2² 108 (135 : 9)³ 2401

37 2807

3⁴ + (–3)³ 54 (26 – 18)⁴ 3375

–37 4096

(–2)⁶ – 4³ –108 (12 – 19)⁴ 4708

Aufgabe 4

Nenne jeweils die größte und die kleinste mögliche Potenz.

a) Es dürfen drei gleiche Ziffern verwendet werden.

b) Es müssen drei verschiedene Ziffern verwendet werden.

) ·

+ (–3)³ 2²

ehörigen Er

4

ebnissen. L

3 =_ ____

___

______

___________

________

____

_

Aufgabe 3

Verbinde die

_______

______________

_______

____

b d)

4⁴ 4 = 3² 5

= ___

(5)

4 Info

Um große Zahlen leichter zu lesen und besser vergleichen zu können, stellt man sie oft in der sogenannten „Scientific Notation“ (Wissenschaftliche Schreibweise) dar.

Dabei wird die große Zahl als Produkt einer Zahl zwischen 1 und 10 und in einer Zehnerpotenz dargestellt.

Bsp.: 9 · 10⁵ = 9 · 100 000 = 900 000

Aufgabe 1

Sortiere die Zahlen nach der Größe. Beginne mit der kleinsten Zahl.

45 000 000; 230 000; 45 000; 2 300 000 000; 4 500 000 000 000; 23 000 000

Aufgabe 2

Sortiere die Zahlen nach der Größe. Beginne mit der kleinsten Zahl.

4 · 10⁴ 4 · 10⁹ 5 · 10⁷ 6 · 10⁸ 9 · 10¹² 6 · 10⁴ 7 · 10¹⁰

Aufgabe 3

Schreibe die Zahl mit allen Ziffern aus.

a) 5 · 10⁴ b) 8 · 10⁹ c) 7 · 10³ d) 6 · 10¹² e) 8 · 10⁷

Aufgabe 4

Schreibe kurz mit Zehnerpotenz.

a) 8 000 b) 300 000 c) 50 000 000 d) 400 e) 90 000 000 000

Aufgabe 5

Schreibe die Zahl mit allen Ziffern aus.

a) 3,8 · 10³ b) 4,7 · 10⁸ c) 3,28 · 10⁷ d) 1,425 · 10¹¹ e) 2,054 · 10⁹

Aufgabe 6

Schreibe mit Zehnerpotenz.

a) 7 500 b) 25 000 c) 654 000 000 d) 1 234 500 000 e) 987 000 000 f) 36 987 040 000 000 g) 6 057 104 700 000 000

Aufgabe 7

Schreibe ausführlich.

Scientific Notation – Wissenschaftliche Schreib- weise von Potenzen mit natürlichen Exponenten

5

ibe die Z 0³

hl mit allen

00 000 c)

d) 6 · 10²

6 · 10⁴ 7 · 10¹⁰

5 · 10

Aufgabe 4

chreibe k 8

ahl mit b)

allen Ziffern aus 10⁹

nne m

0 6 t der k

10⁸

leinsten Za

ma n einer Ze

(6)

5 Lösungen

Seite 1 Aufgabe 1

a) 8 / 16 b) 10 / 25 c) –4 / 4 d)

3 2 /

1 8 e) 625 / –625 f) –243 / –243 g) 8 / 9 h) 0,4 / 0,04

Unterschiedliche Antworten möglich. Der Unterschied zwischen dem Multiplizieren und Potenzieren von Zahlen sollte auffallen.

Aufgabe 2

a) 8³ b) 6⁵ c) 3³ d) (–5)⁵ e) c⁴ f) a^{m + 1}

Aufgabe 3

a) 2⁵ b) 5³ c) (–3)³ d)

5²

8² e)

−3⁵

6³ f) 1,5²

Seite 2 Aufgabe 1

a) 2 / –2 b) 4 / 4 c) 8 / –8 d) 16 / 16 e) 32 / –32 f) 64 / 64 Unterschiedliche Antworten möglich. Es sollte auffallen, dass eine Potenz nur dann negativ ist, wenn der Exponent ungerade ist.

Aufgabe 2

a) 4 · 4 · 4 = 64 b) (–4) · (–4) · (–4) = -64 c) 0,4 · 0,4 · 0,4 = 0,064 d)

1 4 ·

1 4 =

1

64 e)

−1 4

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ·

−1 4

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ·

−1 4

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ =

−1 64

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ f) 4 · 4 · 4 = 8 Aufgabe 3

a) 7³ < 7⁴ b) (–4)⁵ < (–4)⁶ c)

1 3

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ 

4

>1 3

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ 

6

d)

−3 4

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ 

4

> −3 4

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ 

6

e) (–x)³ < (–x)⁴ f) ( 3)¹¹<( 3)¹² Aufgabe 4

a) V = 8000 cm³ b) V = 1728 mm³ c) V = 13,824 dm³ d) V =

1 8 m³ = 0,125 m³

Seite 3 Aufgabe 1

a) 15 625 b) 15 625 c) 16 807 d) –16 807 e) 20 736 f) 20 736 g) –77 378,09375 h) 77 378,09375 i)

81

4096 j)

81

4096 k) –0,0 000128 l) 0,0 000128 Aufgabe 2

a) 220 b) 212 c) 11 d) 225 e) 108 f) 49

g) 144 h)

−13 24 Aufgabe 3

a) 2⁶ – 3³ = 37 (–3)³ · 2² = –108 3⁴ + (–3)³ = 54 (–2)⁶ – 4³ = 0 b) (37 + 5)² = 1764 (135 : 9)³ = 3375 (26 – 18)⁴ = 4096 (12 – 19)⁴ = 2401 Aufgabe 4

a) 9⁹⁹ und 1¹¹ b) 8⁹⁷ und 1²³

Seite 4 Aufgabe 1

45 000 < 230 000 < 23 000 000 < 45 000 000 < 2 300 000 000 < 4 500 000 000 000

Aufgabe 2

4 · 10⁴ < 6 · 10⁴ < 5 · 10⁷ < 6 · 10⁸ < 4 · 10⁹ < 7 · 10¹⁰ < 9 · 10¹²

Aufgabe 3

a) 50 000 b) 8 000 000 000 c) 7 000 d) 6 000 000 000 000 e) 80 000 000

Aufgabe 4

a) 8 · 10³ b) 3 · 10⁵ c) 5 · 10⁷ d) 4 · 10² e) 9 · 10¹⁰

Aufgabe 5

a) 3800 b) 470 000 000 c) 32 800 000 d) 142 500 000 000 e) 2 054 000 000 Aufgabe 6

a) 7,5 · 10³ b) 2,5 · 10⁴ c) 6,54 · 10⁸ d) 1,2345 · 10⁹ e) 9,87 · 10⁸ f) 3,698704 · 10¹³ g) 6,0571047 · 10¹⁵

Aufgabe 7

a) 30 200 000 km² b) 4 500 000 000 km chen dem Multiplizie

(–5)⁵ e)

e)−3⁵ 6³

4 · 0,4 = 0,064

= 8 Zahlen sollte

A a) 5 Aufga a) 8

fgabe 5 a) 3800 Aufgabe 6 a) 7,5 · 10³ 87 · 10⁸

gabe 7

200 0 b)

(7)

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Illustrationen: Logo Kopfzeile (Julia Flasche) Satz: Satzpunkt Ursula Ewert GmbH, Bayreuth Bestellnr.: 2699DA2

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