Komplexe Beispiele I

(1)

Besprechung Blatt 8 WP-Kalk¨ul Vorbereitung Blatt 9

Algorithmen und Datenstrukturen 09

Stefan Ploner

21. Dezember 2011

(2)

Besprechung Blatt 8 WP-Kalk¨ul Vorbereitung Blatt 9

1 Besprechung Blatt 8 Fragen

2 WP-Kalk¨ul

Syntax und Rechenregeln Pr¨a- und Postinkrement Bedingungen

Schleifen

3 Vorbereitung Blatt 9 Hinweise

(3)

Besprechung Blatt 8 WP-Kalk¨ul Vorbereitung Blatt 9 Fragen

Fragen zu Blatt 8?

(4)

Besprechung Blatt 8 WP-Kalk¨ul Vorbereitung Blatt 9 Syntax und Rechenregeln

Syntax

• ¬: nicht

• ∧: und

• ∨: oder

• ∀: f¨ur alle

• ∃: es gibt (mindestens) ein Rechenregeln

• ¬(a∧b)≡ ¬a∨ ¬b

• ¬(a∨b)≡ ¬a∧ ¬b

• a⇒b≡ ¬a∨b

• mehr: Vorlesungsfolien 9 - 86

(5)

Besprechung Blatt 8 WP-Kalk¨ul Vorbereitung Blatt 9 Syntax und Rechenregeln

a = abc;

b = 5a;

c = a+b;

d = c+b;

// Q = d > 0

P ≡wp(A,Q)

≡wp(⁰a=abc;b= 5a;c =a+b;d =c +b⁰,d >0)

≡wp(⁰a=abc;b= 5a;c =a+b⁰,c+b >0)

≡wp(⁰a=abc;b= 5a⁰,a+ 2b >0)

≡wp(⁰a=abc⁰,11a>0)

≡11(abc)>0

≡abc >0

(6)

Besprechung Blatt 8 WP-Kalk¨ul Vorbereitung Blatt 9 Pr¨a- und Postinkrement

Mehrere Anweisungen in einer Zeile

a = 2d;

b = 3e;

c = b++ - --a;

// Q = b<c

...ist identisch zu...

a = 2d;

b = 3e;

a = a-1;

c = b-a;

b = b+1;

// Q = b<c

P ≡wp(A,Q)≡...≡d <0

(7)

Komplexe Beispiele I

i = a + a++;

a0 = a;

a1 = a;

a = a + 1; // Inc nach auslesen des zweiten Summanden i = a0 + a1;

Was w¨are, wenna = a++ + a;? (Inkrement geht verloren)

i = a++ + a;

a0 = a;

a = a + 1; // Inc vor auslesen des zweiten Summanden a1 = a;

i = a0 + a1;

(8)

Komplexe Beispiele II

c += c++ + ++c; // aehnlich fuer c += ++c + c++;

c = c + (c++ + ++c); // vereinfacht

c0 = c;

c1 = c;

c = c + 1; // Post-Increment c = c + 1; // Pre-Increment c2 = c;

res = c1 + c2; // Addition von + res = c0 + res; // Addition von +=

c = res;

Merke: Immer erst Aufdr¨oseln und dann das WP-Kalk¨ul anwenden!

(9)

Besprechung Blatt 8 WP-Kalk¨ul Vorbereitung Blatt 9 Bedingungen

Syntax f¨ ur if-else-Bedingungen

if (<b>) {

<s1>

} else {

<s2>

}

<Q>

P ≡[(b)∧wp(S1,Q)]∨[(¬b)∧wp(S2,Q)]

Analog dazu wird bei switch mehr verodert.

(10)

Besprechung Blatt 8 WP-Kalk¨ul Vorbereitung Blatt 9 Bedingungen

if (a < 0) { b = 3e;

d = b + a;

} else { b = 3a;

d = ab;

}

Q = d > 2b;

P ≡[(b)∧wp(s1,Q)]∨[(¬b)∧wp(s2,Q)]

≡[(a<0)∧wp(⁰b= 3e⁰,b+a>2b)]∨[(a>= 0)∧wp(⁰b= 3a⁰,ab >2b)]

≡[(a<0)∧wp(⁰b= 3e⁰,a>b)]∨[(a>= 0)∧wp(⁰b= 3a⁰,a>2)]

≡[(a<0)∧(a>3e)]∨[(a>= 0)∧(a>2)]

≡(3e <a<0)∨(a>2)

(11)

Besprechung Blatt 8 WP-Kalk¨ul Vorbereitung Blatt 9 Schleifen

Syntax f¨ ur while-Schleifen

x = a;

y = b;

p = 0;

while (x > 0) { p = p+y;

x = x-1;

}

P ≡a>= 0

Q ≡p =ab I ≡(xy) +p=ab

(12)

Vor der Schleife (VS)

P ⇒wp(VS,I)

P ⇒wp(⁰x =a;y =b;p = 0⁰,xy+p =ab) P ⇒wp(⁰x =a;y =b⁰,xy =ab)

P ⇒wp(⁰x =a⁰,xb=ab) P ⇒ab=ab

(a>= 0)⇒true

true

(13)

Schleifenrumpf (SR)

I∧b⇒wp(SR,I)

I∧b⇒wp(⁰p =p+y;x=x−1⁰,xy +p =ab) I∧b⇒wp(⁰p =p+y⁰,(x−1)y+p =ab) I∧b⇒wp(⁰p =p+y⁰,xy−y+p =ab) I∧b⇒xy −y+p+y =ab

I∧b⇒xy +p =ab xy +p =ab∧(x >0)⇒xy +p =ab

true

(14)

Nach der Schleife (NS)

Die Invariante ist immernoch g¨ultig, die Abbruchbedingung ist nach der Schleife falsch:

I ∧ ¬b ⇒wp(NS,Q) I ∧ ¬b ⇒wp(⁰⁰,p =ab) I ∧ ¬b ⇒p=ab

xy+p=ab∧(x <= 0)⇒p=ab

xy+p=ab∧(x= 0)⇒p=ab p =ab ⇒p=ab

true

(15)

Terminierungsbeweis

Schleifenvariante: V := x

P =a>= 0

⇒V =x>= 0 positiv (1)

V_k =x→Vk−1 =x−1 streng monoton fallend

⇒x = 0 wird irgendwann erreicht (2) x ist ganzzahlig (3)

⇒ Schleife terminiert

(16)

Schleife innerhalb einer if-Bedingung

x = a; y = b; p = 0;

if (y > 0) {

while (x > 0) { p = p+y;

x = x-1;

} }

P ⇒wp(VS,I)

P ⇒wp(⁰x=a;y =b;p = 0;if(y >0)...⁰,xy +p =ab)

P ⇒wp(⁰x=a;y =b;p = 0;⁰,[y >0∧xy +p =ab)]∨[y ≤0∧true]) P ⇒...

(17)

Besprechung Blatt 8 WP-Kalk¨ul Vorbereitung Blatt 9 Hinweise

wp-Kalk¨ ul

• Punkte gibt es sowohl auf den Rechenweg als auch auf das richtige Ergebnis

• Rechenweg muss erkennbar sein!

• keine Zwischenschritte ¨uberspringen

• Werden Eigenschaften eines Variablentypes verwendet, so muss das notiert werden, z.B. (Typ == Integer)

• Rundungsfehler, Overflow und Underflow d¨urfen ignoriert werden

• 9.4d) Stichwort oder Teilaufgabenk¨urzel als Begr¨undung!

(18)

Exception vs. Assertion

• Anwendung:

• IllegalArgumentExceptionbei Schnittstellen die ¨offentlich sichtbar sind

• Assertions bei internen Checks oder bei Argumenten von internen Funktionen

• beim Testen von Assertions das VM-Argument “-ea” (enable assertions) nicht vergessen!

(19)