Schallwellen: Der Doppler-Effekt

Schallwellen: Der Doppler-Effekt

Schallwellen breiten sich in einem realen Medium (z.B. der Luft) mit der Schallgeschwindigkeit c_s aus. z.B. ist c_s = 343 m/s in Luft bei 20°C.

Für eine (kleine) punktförmige Schallquelle (Abmessungen klein gegen die Wellenlänge λ=c_s/f ) sind die Schallwellen Kugelwellen. Dies gilt jedoch nur, wenn die Schallquelle im Medium (Luft) ruht.

z x,y

Abstand zweier Wellenberge: λ

Schallquelle der Frequenz f

Ruhend.

s

f

λ = c

In der Zeit ∆t “laufen”

cs t

n f t

λ

= ⋅ ∆ = ⋅∆

Wellenberge vorbei

z

x,y

In der Zeit ∆t bewegt sich die Quelle um die Strecke v_Q·∆t

v

Ruhender Beobachter in Bewegungsrichtung

Q s

v

, v 1

T c

T f

λ λ ′ = − ⋅ <

=

Q s

(1 v c )

λ ′ = ⋅ − λ

Der Beobachter registriert also die Frequenz:

s

Q s

1 (1 v c )

f c f

′ = λ ′ = ⋅ −

λ ^′

z x,y

Abstand zweier Wellenberge: λ’

In der Zeit ∆t bewegt sich die Quelle um die Strecke v_Q·∆t

v

Ruhender Beobachter entgegen der Bewegungsrichtung

Q s

v

, v 1

T c

T f

λ λ ′ = + ⋅ <

=

Q s

(1 v c )

λ ′ = ⋅ + λ

Der Beobachter registriert also die Frequenz:

s

Q s

1 (1 v c )

f c f

′ = λ ′ = ⋅ +

λ ^′

z x,y

v

λ ^′

Wenn sich die Quelle mit der

Schallgeschwindigkeit bewegt, also v_Q = c_s ist:

In Bewegungsrichtung schieben sich die Wellenberge aufeinander, die Frequenz wird formal ∞.

In Rückwärtsrichtung registriert man genau die halbe Frequenz.

s

1

c f

f ′ = = ⋅ f =

Diese zusammengeschobene Wellnfront in Vorwärtsrichtung erzeugt bei einem

Beobachter einen “Knall” (da das Frequenzspektrum bis ∞ geht.

Dieser Knall nennt man den

Überschallknall, da er z.B. auftritt wenn sich ein Objekt mit

Überschallgeschwindigkeit bewegt.

z x,y

v

λ ^′

Wenn sich die Quelle mit

Überschallgeschwindigkeit bewegt, also v_Q > c_s ist:

In Rückwärtsrichtung registriert man genau die Frequenz.

s

1

(1 M )

f c f

′ = λ ′ = ⋅ +

Die Schallfront wird zu einem Kegel, dem Machschen Kegel.

α

Der halbe Öffnungswinkel des Machschen Kegels ist:

s Q

Q s

sin( ) 1

v 1 v

sin( ) Mach-Zahl c

M c M

α α

= <

= =

Anwendung:

Cerenkov-Zähler

Bewegter Beobachter

z x,y

Abstand zweier Wellenberge: λ

Schallquelle der Frequenz f

Ruhend.

s

f

λ = c

der Geschwindigkeit v_B auf die Quelle zu:

v

B s

(1 v ) f ′ = ⋅ + f c

Die Frequenz erhöht sich also, wenn man sich auf die Quelle zubewegt.