Lesung 10

(1)

Lesung

Steffen Reith

21.6.17

(2)

2. 2.3 , Weitere _NP^.

vollständige ^Probleme

Defm

^: ^3SAT ⁼ _aeg

ZHI

^{H ist} _eine

erfüllbare

^KNF ^- ^Formel ^, ^wobei

jede ^Klausel _genau

^{3 Literate} ^enthält

^} Satz

³^SAT ^ist ^NP ^.

vollständig

Beweise Da 3 SATCSATENP ist

nur noch die

NP

^- Härte ^zu

NP

,

o ^-

e-

^- ^. ^o

^Zeigen

^.

oi.IQ#IEnsossaTBeI Die

^im

letzten Beweis konstruierte Formel

^ist

i.

° o ^. ^. e. o

( fast ⁾

ⁱⁿ ^KNF ^.

⇒ Alle

Klauseln

in solche mit 3 Literaten wandeln

(3)

Fall

^# Literate <3 ^:

"

Auffüllen

^" ^mit

Kvlyny ⁾

^±

⁽ ^Kvg ⁾ ^rlkhy ⁾

.tl

^u

^Fall

^# Literate 13 ^: ö

± Klauseln

wie

folgt aufbrechen

^:

§

•

\

Sei_werdenK ⁼

(

^L , vlzu ^. ^. ^.

vlm )

_, ^m ^> ³ ^eine ^Klausel _, ^dann

neuen Variablen zu ^. i.

zins eingeführt

^und ^K

4raesentan.hn?:IiIz:::i'iI:iII

.

"

^

(

⁷

_Zzv Lyv ^Zs

.^'

(4)

Die

3

so

erzeugte

^Formel ^ist ^nicht

unbedingt logisch

äquivalent

^,

^aber

^die

ursprüngliche

^Formel ^ist

erfüllbar gdw

die

neue

Formel erfüllbar

^ist ^,

⇒ SSAT ist NP^-

vollständig ^#

Satz CLIQUE

ist

NP

^-

vollständig

Beweisen Wissen schon :

CLIQNEENP Zeigen

^: ^{3 SAT}

^Ein

^CLIQUE

Sei H ⁼

( _Lnn

^v

Lnzvlns )

ⁿ

⁽ ^Lzn vk.zvlz.rs ⁾

^1- ^- ^- ⁿ

( Lnnv Lmzv

^Lu^,

3)

(5)

Nun wird _ein

angerichtete ^Graph

^G. ^C ^v.

^E) definiert

^:

↳

2

Li

,j 11 ^kick

, 1

Ejs

³

^}

^nicht ^logisch ^äquivalent

,

{

E ⁼

hllij

^,

Liij

^,

⁾

Î îti ^' ûnd

Lij ^¥7 Liij

^, ³ ^,

d.

h.li

_,_j und

Liiji

^Sind ^nicht ^konträr ^,

BSA

^H ^' ⁼ ⁽ ^Xnvxzv ^7×3

⁾

ⁿ ⁽ ^7×1 ^v ^Ixz ^v ^Ixz

⁾

ⁿ

⁽

⁷ ^xnv ^XZVX

³⁾

man

_[

es am

z

7×17×277

r.tt : →

:###..

Änis

^- ^ix.

(6)

Belg

^H ^ist

_erfüllbar _gdw

^G ^hat ^eine

_Clique

^der

_Größe

^K ^.

⇒

^" ^Sei ^H

erfüllbar vermöge

^IFH ^.

Definiere

^V ^' ^EV ^durch ^:

für

¹ ^Eisk ^enthält ^V ^'

einen Knoten

Lij

^mit ^IE

Lij

Ein solcher Knoten ex

, da IFH

, also IEL _in

vli.zvli.si

Falls

für

^ein ⁱ ^mehrere

_passende _j

^exe ^, ^so ^wähle

_genau

ein

beliebiges

^solches

j

^aus ^.

Dann gilt

_i

, # ^v ^' ⁼ k

ii , v ^'

ist

eine

Clique

^, ^denn

für

Liij

^,

Liiji

^EV ^'

gilt

^{i #} ⁱ ^'

(7)

(

da ^nur ^ein

pro

^Klausel

gewählt

11=+6,1

^konträr^wurde

⁾

_, ^da^und ^I

^Li beide

^.si ^, ^{Li :p}

erfüllt

^sind ^nicht

Reduktion

sfht

^. ^⇒

⁽ Liij

^,

Lüj

^,

⁾ ^EI

Also ^ist ( G. ^k) ^E

CLIQUE

„ ⇐ ^" Sei V ^' EV eine

Clique

^mit

^IV.

^Hk ^.

Falls

Liij

^,

Liij

^, ^EV ^' ^, ^dann

i, iti ^'

ii ,

Liij

^und ^, ^sind ^nicht

^konträr Liij

^, ^da

⁽ ^Lij

^,

Liiji ⁾

^EE

(8)

Nun wird eine

Belegung ^I

^wie

folgt ^definiert

Ik Liij ^gdw Lijev

^'

Es gilt

. I ist konsistent _wegen ⁱⁱ _,

°

IFH

_, da IF

Lin

^v

^Li

, zu Lis

für

^Akisk ,

wegen

ⁱ^,

Also HESAT

Die Abbildung

^HH ⁽

^G.

^k

)

^ist

polynomial ^zeit

berechenbar

,

d. ^h^. 3 SAT

Ein

CLIQUE ,

#

Sank

^: ^HAMPATH ^ist ^NP ^-

vollständig

(9)

Beweis

^: ^siehe

_Sipser

^#

Sahin

^SOS ^ist ^NP ^.

vollständig

Bewemis

^: ^siehe

Sipser

^. ^#

Lesung 10

Lesung

Steffen Reith

21.6.17

vollständige Probleme

Defm

ZHI

erfüllbare

jede Klausel genau

} Satz

vollständig

Beweise Da 3 SATCSATENP ist

NP

e-

Zeigen

oi.IQ#IEnsossaTBeI Die

letzten Beweis konstruierte Formel

( fast )

Klauseln

Fall

Auffüllen

Kvlyny )

( Kvg ) rlkhy )

.tl

Fall

± Klauseln

folgt aufbrechen

§

\

(

vlm )

zins eingeführt

4raesentan.hn?:IiIz:::i'iI:iII

"

(

Zzv Lyv Zs

Die

erzeugte

unbedingt logisch

äquivalent

aber

ursprüngliche

erfüllbar gdw

die

Formel erfüllbar

vollständig #

Satz CLIQUE

NP

vollständig

CLIQNEENP Zeigen

Ein

( Lnn

Lnzvlns )

( Lzn vk.zvlz.rs )

( Lnnv Lmzv

3)

angerichtete Graph

E) definiert

2

Ejs

}

{

hllij

Liij

)

Lij ¥7 Liij

h.li

Liiji

BSA

)

)

(

3)

man

es am

7×17×277

r.tt : →

:###..

Änis

Belg

vollständige ^Probleme

jede ^Klausel _genau

^} Satz

^Zeigen

( fast ⁾

Kvlyny ⁾

⁽ ^Kvg ⁾ ^rlkhy ⁾

^Fall

_Zzv Lyv ^Zs

^aber

vollständig ^#

^Ein

( _Lnn

⁽ ^Lzn vk.zvlz.rs ⁾

angerichtete ^Graph

^E) definiert

^}

⁾

Lij ^¥7 Liij

⁾

⁾

⁽

³⁾

_erfüllbar _gdw

_Clique

_Größe

_passende _j

_genau

⁾

^Li beide

⁽ Liij

⁾ ^EI

^IV.

^konträr Liij

⁽ ^Lij

Liiji ⁾

Belegung ^I

folgt ^definiert

Ik Liij ^gdw Lijev

^Li

^G.

polynomial ^zeit

_Sipser