s = 1 2 zubestimmen, wobei dieglobalePhasedurch:

10 Übungsblatt Theoretische Physik IV

10.1 (Clebsch-Gordan-Koezienten)

Es sind die Clebsch-Gordan-Koezienten

h ls; m _l m s | jm i

^{für ein Elektron mit Bahndre-}

himpuls

l

^{und Spin}

s = ¹ ₂

^{zubestimmen, wobei dieglobalePhasedurch:}

h l 1 2 ; l 1

2 | l + 1 2 l + 1

2 i = 1,

bestimmt ist.

Es gilt dieRelation:

J ˆ _± | j ₁ j ₂ ; jm i =

J ˆ _{1 ±} + ˆ J _{2 ±} X

m ⁰ ₁ ,m ⁰ ₂

| j ₁ j ₂ ; m ⁰ ₁ m ⁰ ₂ ih j ₁ j ₂ ; m ⁰ ₁ m ⁰ ₂ | j ₁ j ₂ ; jm i ,

wobeiwirnureineIdentitäteingeschobenhabenmit

P

m ⁰ ₁ ,m ⁰ ₂ | j ₁ j ₂ ; m ⁰ ₁ m ⁰ ₂ ih j ₁ j ₂ ; m ⁰ ₁ m ⁰ ₂ | = 1.

^{Nun folgtnach Anwendung der}Operatoren:

p (j ∓ m) (j ± m + 1) | j ₁ j ₂ ; jm ± 1 i

= p (j ₁ ∓ m ⁰ ₁ ) (j ₁ ± m ⁰ ₁ + 1) P

m ⁰ ₁ ,m ⁰ ₂ | j ₁ j ₂ ; m ⁰ ₁ ± 1, m ⁰ ₂ ih j ₁ j ₂ ; m ⁰ ₁ m ⁰ ₂ | j ₁ j ₂ ; jm i +

p (j 1 ∓ m ⁰ ₂ ) (j 1 ± m ⁰ ₂ + 1) P

m ⁰ ₁ ,m ⁰ ₂ | j ₁ j ₂ ; m ⁰ ₁ m ⁰ ₂ ± 1 ih j ₁ j ₂ ; m ⁰ ₁ m ⁰ ₂ | j ₁ j ₂ ; jm i

Multiplikation mit

h j ₁ j ₂ ; m ₁ m ₂ | ,

^liefert:

p (j ∓ m) (j ± m + 1) h j ₁ j ₂ ; m ₁ m ₂ | j ₁ j ₂ ; jm ± 1 i

= p (j 1 ∓ m ⁰ ₁ ) (j 1 ± m ⁰ ₁ + 1) P

m ⁰ ₁ ,m ⁰ ₂ δ _{m 2 ,m} 0 2 δ _{m 1 m} 0

1 ± 1 h j ₁ j ₂ ; m ⁰ ₁ m ⁰ ₂ | j ₁ j ₂ ; jm i +

p (j ₁ ∓ m ⁰ ₂ ) (j ₁ ± m ⁰ ₂ + 1) P

m ⁰ ₁ ,m ⁰ ₂ δ _{m 1 ,m} ⁰

1 δ _{m 2 m} ⁰

2 ± 1 h j ₁ j ₂ ; m ⁰ ₁ m ⁰ ₂ | j ₁ j ₂ ; jm i

Wir führendies aus, indem wir

m ⁰ ₁ = m ₁ ∓ 1,

^bzw.

m ⁰ ₂ = m ₂

^{ersetzen für den ersten}

Term und äquivalent

m ⁰ ₂ = m ₂ ∓ 1

^bzw.

m ⁰ ₁ = m ₁

^{für den zweiten Term.Somit gilt für}

dieClebsch-Gordan-Koezientendie Rekursions-Relation:

p (j ∓ m) (j ± m + 1) h j ₁ j ₂ ; m ₁ m ₂ | j ₁ j ₂ ; j, m ± 1 i = p

(j 1 ∓ m ₁ + 1) (j 1 ± m ₁ ) h j ₁ j ₂ ; m ₁ ∓ 1, m 2 | j ₁ j ₂ ; jm i

+ p

(j ₂ ∓ m ₂ + 1) (j ₂ ± m ₂ ) h j ₁ j ₂ ; m ₁ , m ₂ ∓ 1 | j ₁ j ₂ ; jm i

p (j ∓ m) (j ± m + 1) h ls; m _l m _s | j, m ± 1 i = p

(l ∓ m _l + 1) (l ± m _l ) h ls; m _l ∓ 1, m s | jm i

+ p

(s ∓ m _s + 1) (s ± m _s ) h ls; m _l , m _s ∓ 1 | jm i .

Setzen wirnun noch

m = m ∓ 1,

^sofolgt:

p (j ∓ m + 1) (j ± m) h ls; m _l m _s | j, m i = p

(l ∓ m _l + 1) (l ± m _l ) h ls; m _l ∓ 1, m _s | jm ∓ 1 i

+ p

(s ∓ m s + 1) (s ± m s ) h ls; m _l , m s ∓ 1 | jm ∓ 1 i .

wobei

j ₁ = l

^mit

l ∈ Z , j ₂ = s = ¹ ₂ , m ₁ = m _l , m ₂ = m _s = ± ¹ ₂ , m = m _l + m _s = m _l ± ¹ ₂

und

j = l ± ¹ ₂ .

^Die

j

^{'s besitzen also für jedes}

l

^{zwei Werte. Betrachten wir}

j = l + ¹ ₂ , m _s = ¹ ₂

^und

m _l = m − ¹ ₂ ,

^{somit folgt, wenn wir unsere} Rekursionsrelation benutzen (wobeiwirdie Terme von

J ˆ ₋

verwenden):

q

l + ¹ ₂ + m + 1

l + ¹ ₂ − m

h m − ¹ ₂ , ¹ ₂ | l + ¹ ₂ , m i q =

l + m − ¹ ₂ + 1

l − m + ¹ ₂

h m − ¹ ₂ + 1, ¹ ₂ | l + ¹ ₂ , m + 1 i v +

u u u t

1

2 + ¹ ₂ + 1 1 2 − 1

2

| {z }

=0

h m − ¹ ₂ , ³ ₂ | l + ¹ ₂ , m + 1 i ,

dies liefertalso:

s

l + m + 3

2 l − m + 1 2

h m − 1

2 , 1 2 | l+ 1

2 , m i = s

l + m + 1

2 l − m + 1 2

h m+ 1

2 , 1 2 | l+ 1

2 , m+1 i ,

umstellen liefert:

h m − 1 2 , 1

2 | l + 1 2 , m i =

s l + m + ¹ ₂

l + m + ³ ₂ h m + 1 2 , 1

2 | l + 1

2 , m + 1 i ,

ausderRekursionsrelation.Wirkönnennunweitergehenund

m + 2

betrachten, indem wirindieobereRelation

m = m + 1

^einsetzen:

h m + 1 2 , 1

2 | l + 1

2 , m + 1 i =

s l + m + ³ ₂

l + m + ⁵ ₂ h m + 3 2 , 1

2 | l + 1

2 , m + 2 i ,

inBezug zu

m

^{liefert dies:}

h m − 1 2 , 1

2 | l + 1 2 , m i =

s l + m + ¹ ₂

l + m + ⁵ ₂ h m + 3 2 , 1

2 | l + 1

2 , m + 2 i ,

Für

m + 3

^folgt:

h m + 3 2 , 1

2 | l + 1

2 , m + 2 i =

s l + m + ⁵ ₂

l + m + ⁷ ₂ h m + 5 2 , 1

2 | l + 1

2 , m + 3 i

bzw.

h m − 1 2 , 1

2 | l + 1 2 , m i =

s

l + m + ¹ ₂

l + m + ⁷ ₂ h m + 5 2 , 1

2 | l + 1

2 , m + 3 i ,

dieskönnenwirnundurchführenbiswirdenmaximalmöglichenWert

m _l = l

^erreichen

(indem wir auf der rechten Seite

m = l − ¹ ₂

^{einsetzen und nur in den Nenner das}

m

ersetzen, dies erkennt man schnell, wenn man oben hinschaut und sieht, dass sich die

Nenner immer mit dem nachfolgenden Zähler wegheben und nur der letzte Nenner

überlebt):

h m − 1 2 , 1

2 | l + 1 2 , m i =

s

l + m + ¹ ₂ (2l + 1) h l, 1

2 | l + 1 2 , l + 1

2 i .

Nun können wirunsere Phasenbeziehung nutzenund erhalten:

h m − 1 2 , 1

2 | l + 1 2 , m i =

s

l + m + ¹ ₂ (2l + 1) .

Diesist dererste Clebsch-Gordan-Koezient. Aus derDenition:

| j ₁ j ₂ ; jm i = X

m ⁰ ₁ ,m ⁰ ₂

| j ₁ j ₂ ; m ⁰ ₁ m ⁰ ₂ ih j ₁ j ₂ ; m ⁰ ₁ m ⁰ ₂ | j ₁ j ₂ ; jm i

wissen wir jedoch, da wir über

m s

^und

m _l

^{summieren müssen und deren Summe}

m _s + m _l = m

^{liefern muss, dass bei festem}

j = l ± ¹ ₂

^{die Summe nur aus}

2

^Termen

bestehen.DieGleichungenfürdieursprünglichenKetsindenbasistransformiertenlauten

somit:

| l + 1

2 , m i = | m − 1 2 , 1

2 ih m − 1 2 , 1

2 | l + 1

2 , m i + | m + 1 2 , − 1

2 ih m + 1 2 , − 1

2 | l + 1 2 , m i

| l − 1

2 , m i = | m − 1 2 , 1

2 ih m − 1 2 , 1

2 | l − 1

2 , m i + | m + 1 2 , − 1

2 ih m + 1 2 , − 1

2 | l − 1

2 , m i ,

wobei wir bereits den Koezienten für

| m _l − ¹ ₂ , ¹ ₂ i

^{bestimmt haben. Die Matrix der}

Clebsch-Gordan-KoezientenmusseineunitäreMatrixbilden.DieseEigenschaftha-

ben nur Drehmatrizen,alsoAbbildungen derForm

cos α sin α

− sin α cos α

.

Der bestimmte Koezient steht hier für einen

cos α

^{Eintrag. Die restlichen Einträge}

können wirdaherüberdieEulersche Identität

cos ² α + sin ² α = 1

bestimmen.

sin ² α = 1 ^! − cos ² α

= 2l + 1

2l + 1 − l + m + ¹ ₂ 2l + 1

= l − m + ¹ ₂ 2l + 1

Somit lautet dieMatrixderCG-Koezienten





q l+m+ ¹ ₂ 2l+1

q l − m+ ¹ ₂ 2l+1

−

q l − m+ ¹ ₂ 2l+1

q l+m+ ¹ ₂ 2l+1



 =

h m − ¹ ₂ , ¹ ₂ | l + ¹ ₂ , m i h m + ¹ ₂ , − ¹ ₂ | l + ¹ ₂ , m i h m − ¹ ₂ , ¹ ₂ | l − ¹ ₂ , m i h m + ¹ ₂ , − ¹ ₂ | l − ¹ ₂ , m i

.

10.2 (Irreduzible Tensoroperatoren)

Füreinen Operator

A ˆ

^seifolgende Operatorfunktion deniert:

ˆ J ² n

A ˆ o

≡ h J ˆ _x , h

J ˆ _x , A ˆ ii + h

J ˆ _y , h

J ˆ _y , A ˆ ii + h

J ˆ _z , h J ˆ _z , A ˆ ii

.

⁽¹⁾

Es istzuzeigen,dassfürdie

q

^{-teKomponente}

T ˆ _q ^(k)

^eines irreduziblenTensoroperators

T ˆ ^(k)

^vomRang

k

^gilt:

ˆ J ² n

T ˆ _q ^(k) o

= ~ ² k (k + 1) ˆ T _q ^(k) .

Es gelten diefolgenden nützlichen Beziehungen:

J ˆ ₊ = ˆ J _x + i J ˆ _y

^und

J ˆ ₋ = ˆ J _x − i J ˆ _y ,

hierausfolgen:

J ˆ _x = 1 2

J ˆ ₊ + ˆ J ₋

und

J ˆ _y = 1 2i

J ˆ ₊ − J ˆ ₋

,

h J ˆ _± , T ˆ _q ^(k) i

= ~ p

(k ∓ q) (k ± q + 1) ˆ T _q ^(k) _{± 1} ,

und

h J ˆ _z , T ˆ _q ^(k) i

= ~ q T ˆ _q ^(k) .

Wenn wirden irreduziblen Tensoroperator in

(1)

^{einsetzen,erhaltenwir:}

ˆ J ² n

T ˆ _q ^(k) o

= h J ˆ _x , h

J ˆ _x , T ˆ _q ^(k) ii + h

J ˆ _y , h

J ˆ _y , T ˆ _q ^(k) ii + h

J ˆ _z , h

J ˆ _z , T ˆ _q ^(k) ii

= 1 4

h J ˆ ₊ + ˆ J ₋ , h

J ˆ ₊ + ˆ J ₋

, T ˆ _q ^(k) ii

− 1 4

h J ˆ ₊ − J ˆ ₋ , h

J ˆ ₊ − J ˆ ₋

, T ˆ _q ^(k) ii + ~ q h

J ˆ _z , T ˆ _q ^(k) i

= 1 4

h J ˆ ₊ + ˆ J ₋ , nh

J ˆ ₊ , T ˆ _q ^(k) i + h

J ˆ ₋ , T ˆ _q ^(k) ioi

− 1 4

h J ˆ ₊ − J ˆ ₋ , nh

J ˆ ₊ , T ˆ _q ^(k) i

− h

J ˆ ₋ , T ˆ _q ^(k) ioi

+ ~ ² q ² T ˆ _q ^(k)

= ~ 4

p (k − q) (k + q + 1) h

J ˆ ₊ , T ˆ _q+1 ^(k) i + ~

4

p (k + q) (k − q + 1) h

J ˆ ₊ , T ˆ _q ^(k) ₋₁ i + ~

4

p (k − q) (k + q + 1) h

J ˆ ₋ , T ˆ _q+1 ^(k) i + ~

4

p (k + q) (k − q + 1) h

J ˆ ₋ , T ˆ _q ^(k) _{− 1} i + ( − ~ )

4

p (k − q) (k + q + 1) h

J ˆ ₊ , T ˆ _q+1 ^(k) i + ~

4

p (k + q) (k − q + 1) h

J ˆ ₊ , T ˆ _q ^(k) _{− 1} i + ~

4

p (k − q) (k + q + 1) h

J ˆ ₋ , T ˆ _q+1 ^(k) i

− ~ 4

p (k + q) (k − q + 1) h

J ˆ ₋ , T ˆ _q ^(k) _{− 1} i + ~ ² q ² T ˆ _q ^(k)

= 2 · ~ 4

p (k − q) (k + q + 1) h

J ˆ ₋ , T ˆ _q+1 ^(k) i + ~

2

p (k + q) (k − q + 1) h

J ˆ ₊ , T ˆ _q ^(k) _{− 1} i

+ ~ ² q ² T ˆ _q ^(k)

= ~ 2

p (k − q) (k + q + 1) ~ p

(k + q + 1) (k − q) ˆ T _q ^(k) + ~

2

p (k + q) (k − q + 1) ~ p

(k − q + 1) (k + q) ˆ T _q ^(k) + ~ ² q ² T ˆ _q ^(k)

= ~ ² 2

(k − q) (k + q + 1) + (k + q) (k − q + 1) + 2q ² T ˆ _q ^(k)

= ~ ² 2

k ² + kq + k − kq − q ² − q

+ k ² − kq + k + kq − q ² + q

+ 2q ² T ˆ _q ^(k)

= ~ ² 2

2k ² + 2k T ˆ _q ^(k)

= ~ ² k (k + 1) ˆ T _q ^(k) .

Es sei

K ˆ _i

^die

i

^{-te Komponente eines} Vektoroperators und

ˆ J

der Operator desGesamt-

drehimpulses mit Eigenkets

| jm i

^von

J ˆ ²

und

J ˆ _z = ˆ J ₃ .

^{Zu zeigen ist,dass}

h jm | K ˆ _i | jm ⁰ i = h jm | J ˆ _i | jm ⁰ i h jm | ˆ J · K ˆ | jm i

~ ² j (j + 1)

mit

J ˆ · K ˆ = P 3

i=1 J ˆ _i K ˆ _i

^gilt.

Wirkönnen ausnutzen, dass wirdenErwartungswert für

J ˆ ²

kennen:

h jm | J ˆ ² | jm i = ~ ² j (j + 1) .

Setzen wirdiesen indiezu zeigende Gleichung ein,vereinfacht sichdiese zu:

h jm | K ˆ _i | jm ⁰ i

h jm | J ˆ _i | jm ⁰ i = h jm | J ˆ · K ˆ | jm i

h jm | J ˆ 2 | jm i .

⁽²⁾

Betrachtenwirnunden Zähler desBruchs derrechtenSeite:

h jm | J ˆ · K ˆ | jm i = h jm | X 3 i=1

J ˆ _i K ˆ _i | jm i .

Ausnutzen von

J ˆ _± =

J ˆ _x ± i J ˆ _y

=

J ˆ ₁ ± i J ˆ ₂

und

J ˆ _z = ˆ J ₃ ,

^{ermöglicht uns die}

x

^{- und}

y

-Komponente desOperators auszudrückenmit:

J ˆ _x = 1 2

J ˆ ₊ + ˆ J ₋ J ˆ _y = − i

2

J ˆ ₊ − J ˆ ₋ .

Wir können nun ausnutzen das die Komponenten von

ˆ J

und

K ˆ

wegen

h J ˆ _i , K ˆ _j i

= i ~ _ijk K ˆ _k

vertauschen. Somit gilt also

ˆ J · K ˆ = P 3

i=1 J ˆ _i K ˆ _i = P 3

i=1 K ˆ _i J ˆ _i

^{.Die Anwendung}

derOperatoren liefert

J ˆ _z | jm i = m ~ | jm i ,

^bzw.

J ˆ _± | jm i = ~ p

(j ∓ m) (j ± m + 1) | jm i

^.

Setzen wirdiesein, erhaltenwir:

h jm | X 3 i=1

J ˆ _i K ˆ _i | jm i = h jm | X 3 i=1

K ˆ _i J ˆ _i | jm i

+ h jm | 1 2 K ˆ ₁

J ˆ ₊ + ˆ J ₋

| jm i + h jm | i

2 K ˆ ₂

− J ˆ ₊ + ˆ J ₋

| jm i

+ h jm | K ˆ ₃ J ˆ _z | jm i

Als Ergebniserhaltenwiralso mit

c _± = p

(j ∓ m) (j ± m + 1)

^:

h jm | J ˆ · K ˆ | jm i = ~

2 c ₊ h jm | K ˆ ₁ | jm + 1 i + ~

2 c ₋ h jm | K ˆ ₁ | jm − 1 i + ( − i ~ )

2 c ₊ h jm | K ˆ ₂ | jm + 1 i + i ~

2 c ₋ h jm | K ˆ ₂ | jm − 1 i + m ~ h jm | K ˆ ₃ | jm i .

Dieskönnen wirauch zusammenfassen zu:

h jm | J ˆ · K ˆ | jm i = ~

2 c ₊ h jm | K ˆ ₁ − i K ˆ ₂ | jm + 1 i + ~

2 c ₋ h jm | K ˆ ₁ + i K ˆ ₂ | jm − 1 i + m ~ h jm | K ˆ ₃ | jm i .

Aus derVorlesung ist bekannt, dass Vektoroperatorkomponenten auch inder sphäri-

schen Form als

U ˆ _{± 1} = ∓ ^{√ 1} ₂

U ˆ ₁ ± i U ˆ ₂

und

U ˆ ₀ = ˆ U _z

geschrieben werdenkönnen, somit ergibt sichalso,da

K ˆ

einVektoroperator ist:

h jm | J ˆ · K ˆ | jm i = ~

2 c ₊ h jm | √

2 ˆ K ₋₁ | jm + 1 i + ~

2 c ₋ h jm |

− √ 2

K ˆ ₊₁ | jm − 1 i + m ~ h jm | K ˆ ₀ | jm i

= ~

√ 2 c ₊ h jm | K ˆ _{− 1} | jm + 1 i − ~

√ 2 c ₋ h jm | K ˆ ₊₁ | jm − 1 i + m ~ h jm | K ˆ ₀ | jm i .

MitHilfe desWigner-Eckart-Theorems können wirnun auffolgendes schliessen:

h jm | J ˆ · K ˆ | jm i = c _jm h jm | K ˆ | jm i ,

wobei

c _jm

^{nur von}

j

^und

m

^{abhängt. Die Begründung ergibt sich direkt aus dem}

Wigner-Eckart-Theorem, da die Betrachtung einer Komponente, d.h. also

q

^{, mit Hilfe}

dieses Theorems unabhängig von der Komponente gemacht werden kann,dieses besagt

nämlich:

h α ⁰ j ⁰ m ⁰ | T ˆ _q ^(k) | αjm i = h jk; mq | j ⁰ m ⁰ i h α ⁰ j √ ⁰ || T ˆ ^(k) || αj i 2j + 1 .

WirkönnenalsodiesenVorfaktor,dersichausderSummederdreiKomponentenkoef-

zientenbildetals

c _jm

^{schreiben,wobeialledrei} Komponenten, miteinem individuellen Koezienten, proportional zu dem reduzierten Matrixelement sind. Die Konstante

c _jm

ist unabhängigvom Operator

K ˆ

bzw. allgemein

T ˆ _q ^(k)

^.

T ˆ ₀ ⁽⁰⁾ = ˆ S = ˆ J · K ˆ

(

J ˆ · K ˆ

ist also auch einSkalaroperator, 1

):

h α ⁰ j ⁰ m ⁰ | S ˆ | αjm i = δ _jj 0 δ _mm 0 h α √ ⁰ j ⁰ | S ˆ | αj i 2j + 1 .

Die Eigenschaft diesesskalarenOperatorsistdassowohl

j

^{als auch}

m

^{nicht verändert}

werden.DieseEigenschaft können wirauchgleichaufdielinkeSeite unserGleichung

(2)

anwenden,womit sich:

h jm | K ˆ _i | jm ⁰ i

h jm | J ˆ _i | jm ⁰ i = h jm | K ˆ | jm i h jm | J ˆ | jm i ,

ergibt. Diesfolgt daraus, dasseinSkalaroperator gerade

j

^und

m

^{nicht verändert und}

somitalso gleiche Koezientenenstehen, welche wirgleich wegkürzenkönnen.

Wir können nun den Skalaroperator im Nenner der rechten Seite von Gleichung

(2)

betrachten:

h jm | J ˆ ² | jm i = h jm | X 3 i=1

J ˆ _i J ˆ _i | jm i

= ~

√ 2 c ₊ h jm | J ˆ _{− 1} | jm + 1 i − ~

√ 2 c ₋ h jm | J ˆ ₊₁ | jm − 1 i + m ~ h jm | J ˆ ₀ | jm i .

= c _jm h jm | J ˆ | jm i

Wirerhaltenalsogenaudengleichen Koezienten,nachdemwirWigner-Eckartange-

wandt haben.Wirkönnen unsereErkenntnissealso zusammenfassen,durch einsetzenin

Gleichung

(2)

^{erhalten wir:}

1

dadasSkalarproduktvon

J ˆ

und

K ˆ

invariantunterRotationist.Umdieseinzusehen,wendenwirden RotationsoperatorfüreineinnitesimaleRotationumdenWinkel

ε

^unddenEinheitsvektor

n

D ˆ (R) = I − i

~ ε ˆ J · n

an.

J ˆ · K ˆ ⁰

= D ˆ (R) ˆ J · K ˆ D ˆ ^† (R)

=

I − i

~ ε J ˆ · n

ˆ J · K ˆ

I + i

~ ε J ˆ · n

= ˆ J · K ˆ + i

~ ε h

ˆ J · n , ˆ J · K ˆ i + ε ²

~ 2

ˆ ˆ

J · n J · K ˆ J ˆ · n

| {z }

∈O ( ^{ε 2} )

Wieoben gesehen vertauschen

J ˆ

und

K ˆ

.Also istdas Skalarprodukt invariant unterRotation und somiteinSkalaroperator.

h jm | K ˆ i | jm ⁰ i

h jm | J ˆ _i | jm ⁰ i = h jm | J ˆ · K ˆ | jm i

h jm | J ˆ ² | jm i = c jm h jm | K ˆ | jm i

c _jm h jm | ˆ J | jm i = h jm | K ˆ | jm i h jm | ˆ J | jm i .

Wirhatten jedochschongezeigt, dass dieTerme dieganz links und ganz rechts steht

übereinstimmen. Somit ergibt sich also,wenn wirwiederumstellen:

h jm | K ˆ _i | jm ⁰ i = h jm | J ˆ _i | jm ⁰ i h jm | J ˆ · K ˆ | jm i h jm | J ˆ ² | jm i ,

oderwenn wirden Erwartungswertim Nennerexplizit hinschreiben:

h jm | K ˆ _i | jm ⁰ i = h jm | J ˆ _i | jm ⁰ i h jm | J ˆ · K ˆ | jm i

~ ² j (j + 1) .