Aufgabe 1 Sei G = ({a , +, (, )}, {S , F }, P , S ), wobei P gegeben ist durch:

Universit¨ at Siegen

Lehrstuhl Theoretische Informatik Markus Lohrey

Compilerbau I SS 2015

Ubungsblatt 12 ¨

Aufgabe 1 Sei G = ({a , +, (, )}, {S , F }, P , S ), wobei P gegeben ist durch:

S → (S + F ) S → F F → a

• Berechnen Sie Follow ₁ f¨ ur alle Nichtterminale von G.

L¨ osung:

0 : Follow ₁ (S ) ⊇ {}

Follow ₁ (F ) ⊇ ∅

1 : Follow ₁ (S ) ⊇ {} ∪ First ₁ (+F )) Follow ₁ (S )

⊇ {, +}

Follow ₁ (F ) ⊇ First ₁ ()) Follow ₁ (S ) ∪ First ₁ () Follow ₁ (S )

⊇ {)} ∪ {} = {), }

2 : Follow ₁ (F ) ⊇ First ₁ ()) Follow ₁ (S ) ∪ First ₁ () Follow ₁ (S )

⊇ {)} ∪ {, +} = {), , +}

Damit erhalten wir:

Follow ₁ (S ) = {, +}

Follow ₁ (F ) = {, +, )}

• Bestimmen Sie die Vorausschautabelle f¨ ur stark LL(1).

L¨ osung:

a + ( )

S S → F S → (S + F ) F F → a

Aufgabe 2 Sei G = ({id , +, (, )}, {E , E ⁰ , T }, P, E ), wobei P gegeben ist durch:

E → TE ⁰ E ⁰ → +TE ⁰ |

T → (E ) | id Die First ₁ -Mengen wurden bereits bestimmt als:

First ₁ (E ) = First ₁ (T ) = {id , (}

First ₁ (E ⁰ ) = {+, }

1

• Berechnen Sie Follow ₁ f¨ ur alle Nichtterminale von G.

L¨ osung:

0 : Follow ₁ (E ) ⊇ {}

Follow ₁ (T ) ⊇ ∅ Follow 1 (E ⁰ ) ⊇ ∅

1 : Follow ₁ (E ) ⊇ {} ∪ First ₁ ()) Follow ₁ (T )

⊇ {} ∪ ∅

Follow ₁ (T ) ⊇ First ₁ (E ⁰ ) Follow ₁ (E ⁰ ) ∪ First ₁ (E ⁰ ) Follow ₁ (E )

⊇ ∅ ∪ {+, } {}

= {+, }

Follow ₁ (E ⁰ ) ⊇ Follow ₁ (E ) ∪ Follow ₁ (E ⁰ )

⊇ {}

2 : Follow ₁ (E ) ⊇ {} ∪ First ₁ ()) Follow ₁ (T )

⊇ {} ∪ {)} {+, }

= {, )}

3 : Follow ₁ (E ⁰ ) ⊇ Follow ₁ (E ) ∪ Follow ₁ (E ⁰ )

⊇ {, )}

Follow ₁ (T ) ⊇ First ₁ (E ⁰ ) Follow ₁ (E ⁰ ) ∪ First ₁ (E ⁰ ) Follow ₁ (E )

⊇ {+, } ∪ {+, } {, )}

= {+, , )}

Damit erhalten wir:

Follow ₁ (E ) = Follow ₁ (E ⁰ ) = {, )}

Follow ₁ (T ) = {+, , )}

• Bestimmen Sie die Vorausschautabelle f¨ ur stark LL(1).

L¨ osung:

id + ( )

E E → TE ⁰ E → TE ⁰

E ⁰ E ⁰ → +TE ⁰ E ⁰ → E ⁰ →

T T → id T → (E )

Aufgabe 3 Sei G = ({a , b }, N , P , S ) mit {A, S } ⊆ N .

Sei I = [S → a•Ab, {ab, aa}] ein Item des erweiterten Topdown-Kellerautomaten f¨ ur G mit Lookahead k = 2.

• Welcher Lookahead ergibt sich f¨ ur die Expansion-Schritte f¨ ur I ? L¨ osung:

First ₂ (b) {ab, aa} = {ba}

2

• Seien außerdem A → | a die einzigen Produktionen f¨ ur A in P.

Bestimmen Sie die Zeile der Vorausschautabelle f¨ ur I .

L¨ osung: aa ab ba bb a b

[S → a • Ab, {ab, aa}] A → a A → Aufgabe 4 Zeigen Sie, dass f¨ ur alle w ∈ Σ ^∗ und k ≤ k ⁰ gilt:

k : w = k : k ⁰ : w

L¨ osung: Sei w = a ₁ . . . a _n . Wir unterscheiden die zwei F¨ alle von k ⁰ : w.

k ⁰ ≥ n : Dann gilt k ⁰ : w = w , also auch k : k ⁰ : w = k : w .

k ⁰ < n: Dann ist k ⁰ : w = a ₁ . . . a _k

und k : a ₁ . . . a _k

= a ₁ . . . a _k = k : w.

Aufgabe 5 Konstruieren Sie den NDEA unter Verwendung des Berry-Sethi- Verfahrens f¨ ur den regul¨ aren Ausdruck

r = (a|b)c ^∗

L¨ osung: Das Durchnummerieren der Alphabetzeichen liefert uns die Bl¨ atter a 1 , b

2 und c

3 . Der regul¨ are Ausdruck kann also auch als (a

1 |b

2 )c

3

∗ aufgefasst werden. Wir berechnen induktiv die vier Funktionen:

empty :

empty(a

1 ) = empty (b

2 ) = empty (c

3 ) = f empty (a

1 |b

2 ) = empty (a

1 ) ∨ empty(b

2 ) = f empty(c

3

∗ ) = t empty((a

1 |b

2 )c

3

∗ ) = empty (a

1 |b

2 ) ∧ empty(c

3

∗ ) = f first :

first (a

1 ) = {1}

first (b

2 ) = {2}

first (c

3 ) = {3}

first (a

1 |b

2 ) = first (a

1 ) ∪ first(b

2 ) = {1, 2}

first (c

3

∗ ) = first (c

3 ) = {3}

first ((a

1 |b

2 )c

3

∗ ) = first (a

1 |b

2 ) = {1, 2}

3

last :

last (a

1 ) = {1}

last (b

2 ) = {2}

last (c

3 ) = {3}

last (a

1 |b

2 ) = last (a

1 ) ∪ last (b

2 ) = {1, 2}

last (c

3

∗ ) = last (c

3 ) = {3}

last ((a

1 |b

2 )c

3

∗ ) = last (a

1 |b

2 ) ∪ last (c

3

∗ ) = {1, 2, 3}

next :

next ((a

1 |b

2 )c

3

∗ ) = ∅

next (a

1 |b

2 ) = first (c

3

∗ ) ∪ next ((a

1 |b

2 )c

3

∗ ) = {3} ∪ ∅ = {3}

next (c

3

∗ ) = next ((a

1 |b

2 )c

3

∗ ) = ∅

next (a

1 ) = next (a

1 |b

2 ) = {3}

next (b

2 ) = next (a

1 |b

2 ) = {3}

next (c

3 ) = first (c

3 ) ∪ next (c

3

∗ ) = {3} ∪ ∅ = {3}

Wir erhalten den Automaten A = ({a, b, c}, Q , q 0 , F , ∆) mit Q = q ₀ ] {1, 2, 3} = {q ₀ , 1, 2, 3}

F = last ((a

1 |b

2 )c

3

∗ ) = {1, 2, 3}

∆ = {(q ₀ , z , i ) | z

i Blatt und i ∈ first ((a

1 |b

2 )c

3

∗ )}

∪ {(i , z ⁰ , i ⁰ ) | z

i , z ⁰

i

Bl¨ atter und i ⁰ ∈ next (z

i )}

= {(q ₀ , a, 1), (q ₀ , b, 2), (1, c, 3), (2, c, 3), (3, c , 3)}

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