Ubungsaufgaben zur VL Stochastik 2, Sommersemester 2018¨ Blatt 11, Abgabe: 27.06.2018 (vor der ¨Ubung)
39. (1+1 Punkte)
(i) Geben Sie einen messbaren Raum (Ω,A) und Maßeν undµan, sodassν µgilt, aber ν keine Dichte bez¨uglich µbesitzt!
(ii) Geben Sie einen messbaren Raum (Ω,A) und Maße ν und µ an, sodass ν Dichten f1 und f2 bez¨uglich µ besitzt mitµ({ω :f1(ω)6=f2(ω)})6= 0!
(Hinweis: µdarf dann weder endlich noch σ-endlich sein.)
40. (2+2 Punkte) Es sei
X1 X2
∼ N
µ1 µ2
,
σ11 σ12 σ21 σ22
, wobei die Matrix Σ :=
σ11 σ12
σ21 σ22
positiv definit ist, d.h., (X1, X2)0 besitzt eine Dichtep mit
p(x1, x2) = 1 2πp
det(Σ) exp −1 2
x1−µ1 x2−µ2
0
Σ−1
x1−µ1 x2−µ2
! .
Berechnen Sie
(i) die RanddichtepX2,
(ii) die bedingte Dichte pX1|X2! (Hinweis: Nutzen Sie, dass
σ11 σ12
σ21 σ22
−1
=
1 σ11−σ12σ22−1σ21
− σ12σ
−1 22
σ11−σ12σ−122σ21
− σ21σ
−1 22
σ11−σ12σ−122σ21 σ22−1+σ12σ
−1 22 σ21σ−122 σ11−σ12σ−122σ21
gilt!)
41. (1+3 Punkte)
(Ω,A, P) sei ein W-Raum,X: Ω→[0,∞] sei (A −B)-messbar und¯ Y: Ω→ΩY sei (A − AY)- messbar. (ΩY ist nicht notwendigerweise endlich oder abz¨ahlbar.)y∈ΩY sei so, dass{y} ∈ A und P(Y =y)>0.
Zeigen Sie:
(i) PX|Y=y: ¯B → [0,1] mit PX|Y=y(B) = P(X ∈ B | Y = y) ∀B ∈ B¯ ist ein W-Maß auf ( ¯R,B),¯
(ii) Falls X =Pk
i=1αi1Ai, wobei 0 < α1 < α2 < . . . < αk und A1, . . . , Ak ∈ A disjunkt, so gelten:
a) PX|Y=y( ¯R\ {0, α1, . . . αk}) = 0, b) E(X |Y =y) = R
Rx PX|Y=y(dx) !
