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Aufgaben zu Exponentialfunktion – lineare Funktion (Datum: ____________________) 1) Ein Medikament hat im Körper die Halbwertszeit 1,5 h. Am Anfang (t =0 h) sind N0 mg des Medikaments im Körper vorhanden.
Der Medikamentenabbau im Körper kann näherungsweise durch eine Exponentialfunktion N beschrieben werden.
a) Zeichne im nachstehenden Koordinatensystem den Graphen von N im Zeitintervall [0h , 6h] ein!
b) Zeichne im Diagramm eine lineare Abnahme ein, wenn man vom selben Ausgangswert N0 aus geht und weiß, dass nach 6 Stunden noch ein Sechzehntel der Ausgangsmenge
vorhanden ist.
c) Gib die Gleichung der linearen Funktion in Abhängigkeit von N0 an, wenn nach 6 Stunden noch ein Sechzehntel der Ausgangsmenge vorhanden ist.
d) Rechne für N0 = 40 mg:
Wie viel mg sind nach 2 Stunden im noch vorhanden? Rechne einmal mit dem exponentiellen Modell und einmal mit dem angenäherten linearen Modell.
Wie groß ist der relative Fehler?
N0
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2) Eine Bakterienkultur enthielt nach 2 Stunden 3400, nach 6 Stunden 31 960 Bakterien.
a) Stelle das Wachstumsgesetz auf!
b) Wie groß ist das prozentuelle Wachstum pro Stunde?
c) Nach welcher Zeit sind viermal so viele Bakterien wie am Anfang vorhanden?
3) Der Holzbestand eines Waldstücks betrug 6000 m3 im Jahr 2005 und wuchs bis 2008 auf 6652 m3 an.
a) stelle das Wachstumsgesetz auf und gib das prozentuelle Wachstum pro Jahr an!
b) 2010 und 2015 sollen jeweils 2500 m3 geschlägert werden. Wie groß ist der Holzbestand im Jahr 2020?
4) a) Ein Waldgebiet hatte ursprünglich einen Holzbestand von 110 000 m3 Holz. Dieser nimmt jährlich um 4 % ab.
Gib eine zu diesen Werten passende Funktionsgleichung an und berechne, wann der Holzbestand nur mehr halb so groß sein wird wie zu Beginn. Runde das Ergebnis auf ganze Jahre!
b) Der Holzbestand B0 eines anderen Waldgebiets nimmt alle 10 Jahre um einen gleich- bleibenden Betrag D ab. Erstelle eine Funktionsgleichung, die den Holzbestand B in Abhängigkeit von der Zeit t in Jahren beschreibt!
5) Zur Behandlung von Epilepsie wird oft der Arzneistoff Felbamat eingesetzt.
Nach der Einnahme einer Ausgangsdosis D(0) nimmt die Konzentration D im Körper näherungsweise exponentiell mit der Zeit ab.
Es gilt folgender Zusammenhang: D(t) = D(0)·0,9659t t … in Stunden a) Wie groß ist die prozentuelle Abnahme pro Stunde? (1P) b) Was wird mit der Gleichung 0,5 = 0,9659t berechnet? (1P)
6) Ein sehr großer quadratischer Bogen Seidenpapier (Dicke 0,01 mm) wird in der Mitte gefaltet und übereinander gelegt. Dies wiederholt man immer wieder.
a) Gib eine Formel an, mit der man die Dicke nach x-mal Falten angeben kann!
b) Angenommen, man faltet 46-mal. Wie dick wäre der durch das Falten entstandene Papierstapel? Gib das Ergebnis in mm und in km an!
c) Bei einem Fernsehquiz wurde einem Kandidaten die Frage gestellt:“ Stimmt es, dass der dadurch entstehende Papierstapel von b) höher wäre als die Entfernung der Erde zum Mond?“
Hinweis: Entfernung Erde – Mond: rund 384 000 km
d) Wie oft müsste man den Bogen theoretisch falten, damit der entstehende Stapel höher als die Entfernung Erde-Sonne [1,5·108 km] wäre?
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7) Der Luftdruck nimmt mit zunehmender Höhe über dem Meeresspiegel (Seehöhe) ab.
Der Zusammenhang kann durch eine Exponentialfunktion oder näherungsweise durch eine lineare Funktion beschrieben werden.
a) Ein Modell zur Beschreibung des Zusammenhangs zwischen der Höhe über dem Meeresspiegel und den Luftdruck ist die barometrische Höhenformel:
p(h) = p0∙ e−0,000125h
h … Höhe über dem Meeresspiegel in Metern (m) p(h) … Luftdruck in der Höhe h in Hektopascal (hPa) a1) Erkläre im Sachzusammenhang die Bedeutung von p0!
a2) Berechne diejenige Seehöhe, bei der der Luftdruck genau die Hälfte von p0 ist!
b) Ein vereinfachtes Modell des Zusammenhangs zwischen der Höhe h über dem Meeresspiegel und dem Luftdruck p nimmt eine konstante Abnahme des Luftdrucks um 10hPa pro 100 Höhenmeter an. Der Luftdruck auf Höhe des Meeresspiegels beträgt rund 1013 hPa.
Stelle die Gleichung einer Funktion p auf, die diesen Zusammenhang im vereinfachten Modell beschreibt!
c) Zu Beginn des Jahres 2013 wurden im Schigebiet Kaprun folgende Werte für den Luftdruck gemessen:
Bestimme a) die lineare, b) die exponentielle Funktionsgleichung, die die Abnahme des Luftdrucks in Abhängigkeit von der Höhe beschreibt!
Gib für jedes Modell an, welcher Luftdruck in einer Höhe von 1300 m über dem Meeresspiegel herrschen würde. Wie groß ist der prozentuelle Unterschied?
8) Für die Herstellung von Joghurt werden Milchsäurebakterien verwendet. Das Wachstum der Milchsäurebakterien kann durch die folgende Funktion N beschrieben werden:
m(t) = 20 ∙ e0,02303∙t
t… Zeit in Minuten m(t) … Bakterienmasse in Mikrogramm nach t Minuten a) Gib das Gesetz in der Form m(t) = m0 · at an!
b) Erkläre, wie man das prozentuelle Wachstum pro Minute ablesen kann!
c) Berechne die Masse der Bakterien nach einer Stunde in Gramm!
d) Erkläre, ob nachstehend dargestellte Rechenschritte richtig oder falsch sind.
Wenn nicht, forme korrekt um und wende die Rechenregeln richtig an!
m(t) = m0 · at /:m0
m(t)m
0 = at / log
log (m(t))
log (m0) = t ∙ log (a)
