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Academic year: 2022

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Lineare Algebra 2 12. Tutorium

Die Matrix-Exponentialfunktion

Prof. Dr. A. Kollross Fachbereich Mathematik

K. Schwieger, T. Felber 06./07. Juli 2010

Für eine reelle oder komplexeN×N-MatrixAdefinieren wir die MatrixeA=exp(A)durch

eA:=exp(A):=

X

n=0

An n!.

In der ersten Aufgabe stellen wir uns die Frage, ob und in welchem Sinne diese Reihe konvergiert. Etwas zentraler für die Lineare Algebra sind die Aufgaben 2 und 3. Sie können Aufgabe 1 auch überspringen und annehmen, dass die obige Reihe in einem geeigneten Sinne konvergiert.Fragen Sie ggf. Ihren Tutor. In der zweiten Aufgabe untersuchen wir elementare Eigenschaften der Exponentialfunktion. In Aufgabe 3 wollen wir an einem konkreten Beispiel die Berechnung vonexp(A) üben.

Aufgabe 1 Konvergenz der Exponentialreihe

a) Zeigen Sie, dass es für jede MatrixA= (ai,j)i,jMN(C)eine ZahlC≥0gibt, so dass für alle x,y∈Cnund alle n∈Ngilt

Anx,y

Cn· kxk · kyk.

Hinweis:Sie können als KonstanteCz.B.kAkop:=max{kAxk:x∈Cn,kxk=1}wählen und zeigen:

kAxk ≤ kAkop· kxk, kABkop≤ kAkop· kBkop.

b) Zeigen Sie, dass für allex,y∈Cndie Reihe

Q(x,y):=

X

n=0

Anx,y n!

absolut konvergiert und dassQ:Cn×Cn→Ceine Sesquilinearform ist.

Wir haben in Vorlesung und Übung gesehen, dass es zu der SesquilinearformQgenau eine MatrixB gibt mitQ(x,y) = B x,y

. Diese Matrix bezeichnen wir mitexp(A)odereA.

c*) Zeigen Sie, dassk·kopeine Norm aufMN(C)ist. Zeigen Sie, dass die ExponentialreiheP n=0An

n! bzgl.k·kop(absolut) konvergiert. Geben Sie eine obere Schranke für die Konvergenzgeschwindigkeit an und zeigen Sie so, dass diese Reihe auf jeder beschränkten Teilmenge vonMN(C)gleichmäßig konvergiert.

Aufgabe 2 Eigenschaften der Exponentialfunktion

a) Bestimmen Sieexp(D)für eine DiagonalmatrixD. Zeigen Sie insbesondereexp(0) =E. Bestimmen Sieexp(A)für die Matrix

A:=

0 1 0

0 0 1

0 0 0

 .

Sei im FolgendenAMN(C)eine beliebige Matrix.

b) Zeigen Sieexp(A) =exp(A).

1

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c) Zeigen Sie, dass für eine invertierbare MatrixSMN(R)gilt

exp(S−1AS) =S−1exp(A)S.

Folgern Sie, dass für jede hermitesche MatrixAdie Matrixexp(A)positiv definit ist.

d) SeienA,BMN(C)Matrizen mitAB=BA. Zeigen Sie

exp(A)·B=B·exp(A), exp(A+B) =exp(A)·exp(B). Hinweis:Für die zweite Gleichung sollten Sie zuvor die binomische Formel(A+B)n=Pn

k=0 n k

AkBnkzeigen.

Für kommutierende Matrizen A,B gilt also das Potenzgesetz eA+B =eA·eB. Folgern Sie, dasseA= exp(A)stets invertierbar ist mit(eA)−1=eA.

Aufgabe 3 Bestimmung vonexp(A)

Bestimmen Sieexp(A)für die folgende Matrix in Jordannormalform

A:=

 0 1

0 2 1

2 1 2

Hinweis:Argumentieren Sie zuerst, warum es genügtexp(J)für die einzelnen JordanblöckeJ zu berechnen.

Hinweis:Wie können Sie einen Jordanblock in eine geeignete Summe zweier kommutierender Matrizen zerlegen?

Aufgabe 4 Zusatzaufgabe: Exponentialfunktion und Ableitung

Eine Funktionγ:R→ MN(C)nennen wir differenzierbar, wenn für alle x,y ∈Cndie Funktion fx,y(t):=γ(t)x,y differenzierbar ist, d.h. wenn der Grenzwert

fx,y0 (t0):=lim

t→0

γ(t0+t)γ(t0) x,y

t .

für allex,y∈CN undt0∈Rexistiert. Analog zu Aufgabe 1 zeigt man, dass es dann genau eine MatrixBMN(C)mit fx,y0 (t0) =

B x,y

für allex,y∈CNgibt. Für diese Matrix schreiben wirγ0(t0) =B.

SeiAMN(C)fix. Im Folgenden betrachten wir die Abbildung

γA:R→MN(C), γA(t):=exp(tA) =etA. a) Zeigen Sie, dassγAein Gruppenhomomorphismus von(R,+)nachGLN(C)ist.

b) Seienx,y∈Cn. Betrachten Sie noch einmal Aufgabe 1b) und zeigen Sie, dass die Potenzreihe

fx,y(t):=γA(t)x,y= X

n=0

Anx,y n! tn

unendlichen Konvergenzradius hat. In der Analysis haben Sie gelernt, dass der Reihengrenzwert fx,y dann insbe- sondere eine differenzierbare Funktion ist. Zeigen Sie, dass für die Ableitung gilt

fx,y0 (t) =exp(tA)A x,y ,

Wir haben damit gezeigt, dassγA(t) =etAein differenzierbarer Gruppenhomomorphismus ist mit γ0(t) =etA·A=A·etA.

c*) SeiAMn(C). Zeigen Sie, dass es genau einen differenzierbaren Gruppenhomomorphismusγ:(R,+)→GLN(C) mitγ0(0) =Agibt, nämlichγ(t) =exp(tA).

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