Algorithmische Graphentheorie (SS2016) Kapitel 6 Netzwerke Walter Unger

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(1)Algorithmische Graphentheorie (SS2016) Kapitel 6 Netzwerke Walter Unger Lehrstuhl für Informatik 1. 17:59 Uhr, den 16. Juni 2016.

(2) Einleitung und Netzwerke 6. Inhaltsverzeichnis. Walter Unger 16.6.2016 17:59. Inhalt I 1. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Einleitung und Netzwerke Grundlagen Motivation Kreise, Wege, Gitter Bäume Hypercube. 2. Wege und Kreise in ... ... in Bäume ... in Würfel ... in Gitter. 3. Bäume in ... ... Wege und Kreise ... Würfel. 4. Würfelähnliche in .... BF und CCC in HQ CCC und BF. 5. Einbettungen SE, DB, HQ TR, G und HQ Allgemeine Bäume. 6. Optische Netzwerke Grundlagen Spezifikationen Bausteine Problem Einleitung Wellenlängenzuweisung Linie und Kreis Baum. SS2016.

(3) Einleitung und Netzwerke 6:1. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Grundlagen. Walter Unger 16.6.2016 17:59. Einbettungen Definition Seien G = (V , E ) und H = (W , F ) Graphen. Eine Einbettung (Einbettungsfunktion) von G in H ist: f : V 7→ W . Betrachtete Kostenmaße: |W |/|V | (Expansion) maxw ∈W |{v | f (v ) = w }| (Load, Last) max{distH (f (a), f (b)) | {a, b} ∈ E } (Dilation, Kantenstreckung) Definition Ein Routing zu einer Einbettung f : V 7→ W ist eine Funktion: r : E 7→ {Wege in H} mit: r ({a, b}) ist ein Weg von f (a) nach f (b). Betrachtete Kostenmaße: max{|r ({a, b})| | {a, b} ∈ E } (Dilation, Kantenstreckung) max{|{e | e ∈ E , e 0 ∈ r (e)}| | e 0 ∈ F } (Congestion, Kantenlast). SS2016.

(4) Einleitung und Netzwerke 6:2. Grundlagen. Walter Unger 16.6.2016 17:59. Beispiel v0. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. Σ=0 w0 w1. w2. w3. w4. w5. w6. w7. w8. w9. Last: 1 Dilation: 1 Congestion: 1. SS2016.

(5) Einleitung und Netzwerke 6:3. Grundlagen. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Wiederholte Einbettungen Seien Gi = (Vi , Ei ) Graphen für i ∈ {1, 2, 3} Sei G1 in G2 mit Dilation d, Last l und Congestion c einbettbar. Sei G2 in G3 mit Dilation d 0 , Last l 0 und Congestion c 0 einbettbar. Dann ist G1 in G3 einbettbar mit: Dilation d · d 0 , Last l · l 0 und Congestion c · c 0 . Beweis Klar.. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke.

(6) Einleitung und Netzwerke 6:4. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Motivation. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Motivation Definition (Einbettungsproblem) Gegeben: G , H Graphen und d, c, l ∈ N. Frage: Kann G in H mit Dilation d, Load l und Congestion c eingebettet werden. Theorem Das Einbettungsproblem ist in N PC. Beweis: Setze d = c = l = 1. Wähle als G einen Kreis (oder Weg) der Länge |V (H)|. Daher untersuchen wir im Folgenden spezielle Netzwerke. Wege, Kreise, Gitter, ... Bäume und erweiterte Bäume, ... Hyper-Würfel und verwandte Strukturen ....

(7) Einleitung und Netzwerke 6:5. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Motivation. Walter Unger 16.6.2016 17:59. Zu beachtende Eigenschaften von Netzwerken Knotenanzahl Kantenanzahl Knotengrad. Wie weit sind die Wege im Graphen? Durchmesser, d.h. Länge des längsten kürzesten Weg. Radius, d.h. Länge des kürzesten längsten Weg. Zusammenhang, d.h. gibt es Flaschenhals? Knotenzusammenhang Kantenzusammenhang Regularität, sind ggf. alle Knoten “gleich”, d.h. nicht zu unterscheiden. sind ggf. alle Kanten “gleich”, d.h. nicht zu unterscheiden. Bestimmbarkeit von Wegen (Routing) Gibt es eine Gruppenstruktur für die betrachtete Graphfamilie? Wieviele Graphen einer Familie gibt es?. SS2016.

(8) Einleitung und Netzwerke 6:6. Kreise, Wege, Gitter. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Wege und Kreise mit n Knoten Weg: L(n) = (VL(n) , EL(n) ) VL(n) = {0, 1, 2, · · · , n − 1} EL(n) = {{i, i + 1} | 0 6 i < n − 1} Knotenanzahl: n Knotengrade: {1, 2} Kantenanzahl: n − 1 Durchmesser: n − 1 Knotenzsh.: 1 Kantenzsh.: 1 L(8): v0 v1 v2 v3 v4 v5 Kreis: C (n) = (VC (n) , EC (n) ) VC (n) = {0, 1, 2, · · · , n − 1} EC (n) = {{i, (i + 1) mod n} | 0 6 i < n} Knotenanzahl: n Knotengrad: 2 Kantenanzahl: n Durchmesser: bn/2c Knotenzsh.: 2 Kantenzsh.: 2 C (8):. v0. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v6. v7. v7.

(9) Einleitung und Netzwerke 6:7. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Kreise, Wege, Gitter. Walter Unger 16.6.2016 17:59. Kreuzprodukt von Graphen. SS2016. Definition: Seien G = (V , E ) und G 0 = (V 0 , E 0 ) zwei Graphen. Dann wird mit G × G 0 das Kreuzprodukt von G und G 0 bezeichnet: G × G 0 = (V × V 0 , E1 ∪ E2 ). E1 = {((a, a0 ), (b, b 0 )) | a0 = b 0 ∧ (a, b) ∈ E }. E2 = {((a, a0 ), (b, b 0 )) | a = b ∧ (a0 , b 0 ) ∈ E 0 }. Beispiel L(10) × C (4): v3 v3 w0 v3 w1 v3 w2 v3 w3 v3 w4 v3 w5 v3 w6 v3 w7 v3 w8 v3 w9 v2 v2 w0 v2 w1 v2 w2 v2 w3 v2 w4 v2 w5 v2 w6 v2 w7 v2 w8 v2 w9 v1 v1 w0 v1 w1 v1 w2 v1 w3 v1 w4 v1 w5 v1 w6 v1 w7 v1 w8 v1 w9 v0 v0 w0 v0 w1 v0 w2 v0 w3 v0 w4 v0 w5 v0 w6 v0 w7 v0 w8 v0 w9 w0 w1 w2 w3 w4 w5 w6 w7 w8 w9.

(10) Einleitung und Netzwerke 6:8. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Kreise, Wege, Gitter. Walter Unger 16.6.2016 17:59. Kreuzprodukt von Graphen. SS2016. Definition: Seien G = (V , E ) und G 0 = (V 0 , E 0 ) zwei Graphen. Dann wird mit G × G 0 das Kreuzprodukt von G und G 0 bezeichnet: G × G 0 = (V × V 0 , E1 ∪ E2 ). E1 = {((a, a0 ), (b, b 0 )) | a0 = b 0 ∧ (a, b) ∈ E }. E2 = {((a, a0 ), (b, b 0 )) | a = b ∧ (a0 , b 0 ) ∈ E 0 }..

(11) Einleitung und Netzwerke 6:9. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Kreise, Wege, Gitter. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Gitter der Dimension d Gitter: G (n1 , n2 , · · · , nd ) = L(n1 ) × L(n2 ) × · · · × L(Nd ) mit ni > 1 d Y Knotenanz.: ni Knotengrade: {d, . . . , 2 · d} i=1 d d X Y Kantenanz.: (ni − 1) nj i=1. Durchmesser:. d X (ni − 1) i=1. j=1,j6=i. Knotenzsh.: d. Kantenzsh.: d. Gitter: G (14, 4): 0,3. 1,3. 2,3. 3,3. 4,3. 5,3. 6,3. 7,3. 8,3. 9,3. 10,3. 11,3. 12,3. 13,3. 0,2. 1,2. 2,2. 3,2. 4,2. 5,2. 6,2. 7,2. 8,2. 9,2. 10,2. 11,2. 12,2. 13,2. 0,1. 1,1. 2,1. 3,1. 4,1. 5,1. 6,1. 7,1. 8,1. 9,1. 10,1. 11,1. 12,1. 13,1. 0,0. 1,0. 2,0. 3,0. 4,0. 5,0. 6,0. 7,0. 8,0. 9,0. 10,0. 11,0. 12,0. 13,0.

(12) Einleitung und Netzwerke 6:10. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Kreise, Wege, Gitter. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Tori der Dimension d Torus: Tr (n1 , n2 , · · · , nd ) = C (n1 ) × C (n2 ) × · · · × C (Nd ) mit ni > 1 Qd Knotenanzahl: ni Knotengrad: 2 · d Qi=1 Pd d Kantenanzahl: Durchmesser: i=1 ni i=1 bni /2c Knotenzsh.: 2 · d Kantenzsh.: 2 · d Torus: Tr (14, 4): 0,3. 1,3. 2,3. 3,3. 4,3. 5,3. 6,3. 7,3. 8,3. 9,3. 10,3. 11,3. 12,3. 13,3. 0,2. 1,2. 2,2. 3,2. 4,2. 5,2. 6,2. 7,2. 8,2. 9,2. 10,2. 11,2. 12,2. 13,2. 0,1. 1,1. 2,1. 3,1. 4,1. 5,1. 6,1. 7,1. 8,1. 9,1. 10,1. 11,1. 12,1. 13,1. 0,0. 1,0. 2,0. 3,0. 4,0. 5,0. 6,0. 7,0. 8,0. 9,0. 10,0. 11,0. 12,0. 13,0.

(13) Einleitung und Netzwerke 6:11. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Bäume. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Vollständiger binärer Baum T (d) = (VT (d) , ET (d) ) VT (d) = {w ∈ {0, 1}∗ | |w | 6 d} ET (d) = {{w , wa} | w , wa ∈ V , a ∈ {0, 1}} Knotenanzahl: 2d+1 − 1 Knotengrade: Kantenanzahl: 2d+1 − 2 Durchmesser: Knotenzsh.: 1 Kantenzsh.:. {1, 2, 3} 2·d 1. e 0. 1. 00 000. 01 001. 010. 10 011. 100. 11 101. 110. 111. 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111.

(14) Einleitung und Netzwerke 6:12. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Bäume. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Vollständiger k-närer Baum Tk (d) = (VTk (d) , ETk (d) ) VTk (d) = {w ∈ {0, 1, · · · , k − 1}∗ | |w | 6 d} ETk (d) = {{w , wa} | w , wa ∈ VTk (d) , a ∈ {0, 1, · · · , k − 1}} Pd Knotenanzahl: ki Knotengrade: {1, k, k + 1} Pdi=0 i Kantenanzahl: Durchmesser: 2 · d i=0 k − 1 Knotenzsh.: 1 Kantenzsh.: 1 e. 0. 00. 01. 1. 02. 10. 11. 2. 12. 20. 21. 22. 000 001 002 010 011 012 020 021 022 100 101 102 110 111 112 120 121 122 200 201 202 210 211 212 220 221 222.

(15) Einleitung und Netzwerke 6:13. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Bäume. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Weihnachtsbaum (X-Tree) 1 2 XT (d) = (VXT (d) , EXT (d) ∪ EXT (d) ) ∗ VXT (d) = {w ∈ {0, 1} | |w | 6 d} 1 EXT = {{w , wa} | w , wa ∈ V , a ∈ {0, 1}} (d) 2 EXT = {{w , w 0 } | w , w 0 ∈ VXT (d) , |w | = |w 0 |, int(w ) + 1 = int(w 0 )} (d) Knotenanzahl: 2d+1 − 1 Knotengrade: {2, 3, 4, 5} Kantenanzahl: 2d+2 − 4 − d Durchmesser: 2 · d − 1 Knotenzsh.: 2 Kantenzsh.: 2 e 0. 1. 00 000. 01 001. 010. 10 011. 100. 11 101. 110. 111. 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111.

(16) Einleitung und Netzwerke 6:14. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Hypercube. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Hyperwürfel der Dimension d HQ(d) = (VHQ(d) , EHQ(d) ) VHQ(d) = {0, 1}d EHQ(d) = {{w 0w 0 , w 1w 0 } | w 0w 0 , w 1w 0 ∈ VHQ(d) } Knotenanzahl: 2d Knotengrad: d Knotenzsh.: Kantenanzahl: d · 2d−1 Durchmesser: d Kantenzsh.:. d d. 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111. 0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 1100 1101 1111 1110 1010 1011 1001 1000. Hier sieht man auch gut den Gray-Code..

(17) Einleitung und Netzwerke 6:15. Hypercube. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Hyperwürfel der Dimension d (Alternative Darstellung) HQ(d) VHQ(d) EHQ(d). = = =. (VHQ(d) , EHQ(d) ) {0, 1}d {{w 0w 0 , w 1w 0 } | w 0w 0 , w 1w 0 ∈ VHQ(d) } 10110 10010. 00110. 10000. 10001. 10101 11010. 00011 00100. 00000. 00111. 10111. 10011 10100. 00010. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. 00001. 11110 11011 11100. 00101 01010. 01110 01011 01100. 01000. 01111. 01001. 01101. 11000. 11111. 11001. 11101.

(18) Einleitung und Netzwerke 6:16. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Hypercube. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Cube-Connected Cycles der Dimension d c h CCC (d) = (VCCC (d) , ECCC (d) ∪ ECCC (d) ) VCCC (d) = {0, 1, · · · , d − 1} × {0, 1}d c ECCC = {{(i, w ), ((i + 1) mod n, w )} | w ∈ {0, 1}d , 0 6 i < n} (d) h ECCC (d) = {{(i, w 0w 0 ), (i, w 1w 0 )} | w 0 ∈ {0, 1}i , w ∈ {0, 1}n−i−1 } Knotenanzahl: d · 2d Knotengrad: 3 Kantenanzahl: 3 · d · 2d−1 Durchmesser: 2 · d − 2 + bd/2c Knotenzsh.: 3 Kantenzsh.: 3 0, 000. 0, 001. 0, 010. 0, 011. 0, 100. 0, 101. 0, 110. 0, 111. 1, 000. 1, 001. 1, 010. 1, 011. 1, 100. 1, 101. 1, 110. 1, 111. 2, 000. 2, 001. 2, 010. 2, 011. 2, 100. 2, 101. 2, 110. 2, 111.

(19) Einleitung und Netzwerke 6:17. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Hypercube. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Butterfly der Dimension d Eh. = {{(i, w 0w 0 ), (i, w 1w 0 )} | w ∈ {0, 1}i , w 0 ∈ {0, 1}n−i−1 }. c hCCC (d) BF (d) = (VBF (d) , EBF (d) ∪ EBF (d) ) VBF (d) = {0, 1, · · · , d − 1} × {0, 1}d c EBF = {{(i, w ), ((i + 1) mod n, w )} | w ∈ {0, 1}d , 0 6 i < n} (d) h EBF (d) = {{(i, w 0w 0 ), ((i + 1) mod n, w 1w 0 )} | w ∈{0,1}i ,w 0 ∈{0,1}n−i−1 } Knotenanzahl: d · 2d Knotengrad: 4 Kantenanzahl: d · 2d+1 Durchmesser: d + bd/2c Knotenzsh.: 4 Kantenzsh.: 4 0,000. 0,001. 0,010. 0,011. 0,100. 0,101. 0,110. 0,111. 1,000. 1,001. 1,010. 1,011. 1,100. 1,101. 1,110. 1,111. 2,000. 2,001. 2,010. 2,011. 2,100. 2,101. 2,110. 2,111. 0,000. 0,001. 0,010. 0,011. 0,100. 0,101. 0,110. 0,111.

(20) Einleitung und Netzwerke 6:18. Hypercube. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. DeBruijn Netzwerk der Dimension d DeBruijn DB(d) VDB(d) s EDB(d) se EDB(d). Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Netzwerk: s se = (VDB(d) , EDB(d) ∪ EDB(d) ) d = {0, 1} = {(aw , wa) | a ∈ {0, 1}, aw , wa ∈ VDB(d) } = {(aw , wb) | a ∈ {0, 1}, b = 1 − a, aw , wb ∈ VDB(d) }. Knotenanzahl: Kantenanzahl:. 2d 2d+1. Knotengrad: Durchmesser:. 001. 000. 011. 010. 100. 2+2 d. 101. 111. 110.

(21) Einleitung und Netzwerke 6:19. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Hypercube. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. DeBruijn Netzwerk der Dimension d Ungerichtetes DB 0 (d) = 0s EDB(d) = 0se EDB(d) =. DeBruijn Netzwerk: 0s 0se (VDB(d) , EDB(d) ∪ EDB(d) ) {{aw , wa} | a ∈ {0, 1}, aw , wa ∈ VDB(d) } {{aw , wb} | a ∈ {0, 1}, b = 1 − a, aw , wb ∈ VDB(d) }. Knotenanzahl: Kantenanzahl:. 2d 2d+1 − 3. Knotengrade: Durchmesser:. 001. 000. 011. 010. 100. {2, 3, 4} d. 101. 111. 110.

(22) Einleitung und Netzwerke 6:20. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Hypercube. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Shuffle-Exchange Netzwerk der Dimension d Shuffle-Exchange Netzwerk: s e SE (d) = (VSE (d) , ESE (d) ∪ ESE (d) ) d VSE (d) = {0, 1} s ESE = {(aw , wa) | a ∈ {0, 1}, aw , wa ∈ VSE (d) } (d) e ESE = {(wa, wb) | a ∈ {0, 1}, b = 1 − a, wa, wb ∈ VSE (d) } (d) Knotenanzahl: Kantenanzahl:. 2d 2d+1. Knotengrad: Durchmesser: 010. 000. 011. 001. 110. 100. 2+2 2·d −1. 101. 111.

(23) Einleitung und Netzwerke 6:21. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Hypercube. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Shuffle-Exchange Netzwerk der Dimension d Ungerichtetes SE 0 (d) = 0s ESE = (d) 0e ESE = (d). Shuffle-Exchange Netzwerk: 0s 0e (VSE (d) , ESE (d) ∪ ESE (d) ) {{aw , wa} | a ∈ {0, 1}, aw , wa ∈ VSE (d) } {{wa, wb} | a ∈ {0, 1}, b = 1 − a, wa, wb ∈ VSE (d) }. Knotenanzahl: Kantenanzahl:. 2d 2d+1 /3. Knotengrade: Durchmesser: 010. 000. 011. 001. 110. 100. {1, 2, 3} 2·d −1. 101. 111.

(24) Einleitung und Netzwerke 6:22. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. ... in Bäume. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. C (n) in T (d) Lemma: C (2d+1 − 1) kann in T (d) mit Last 1 und Kantenstreckung 3 eingebettet werden. Beweis: Man kann rekursiv einen Weg mit Dilation 6 3 von der Wurzel zu einem Sohn der Wurzel finden. e 0. 1. 00 000. 01 001. 010. 10 011. 100. 11 101. 110. 111. 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111.

(25) Einleitung und Netzwerke 6:23. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. ... in Bäume. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. C (n) in T (d) Lemma:. C (3 · (2d+1 − 1)) kann in T (d) mit Last 3 und Kantenstreckung 1 eingebettet werden. Beweis: Nutze Inorder-Durchlauf durch Baum. e 0. 1. 00 000. 01 001. 010. 10 011. 100. 11 101. 110. 111. 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111.

(26) Einleitung und Netzwerke 6:24. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. ... in Bäume. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. C (n) in T (d) Lemma:. C (2 · (2d+1 − 1)) kann in T (d) mit Last 2 und Kantenstreckung 2 eingebettet werden. Beweis: Nutze Inorder-Durchlauf durch Baum und überspringe die “inorder” Knoten. e 0. 1. 00 000. 01 001. 010. 10 011. 100. 11 101. 110. 111. 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111.

(27) Einleitung und Netzwerke 6:25. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. ... in Bäume. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. L(n) in XT (d) Lemma: L(2d+1 − 1) kann in XT (d) mit Last 1 und Kantenstreckung 1 eingebettet werden. Beweis: Lege Weg schichtenweise durch Baumstruktur. e 0. 1. 00 000. 01 001. 010. 10 011. 100. 11 101. 110. 111. 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111.

(28) Einleitung und Netzwerke 6:26. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. ... in Bäume. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. C (n) in XT (d) Lemma: C (2d+1 − 1) kann in XT (d) mit Last 1 und Kantenstreckung 1 eingebettet werden.. Beweis: Lege Wege schichtenweise durch linken und rechten Teil und verbinde dann diese zum Kreis. e 0. 1. 00 000. 01 001. 010. 10 011. 100. 11 101. 110. 111. 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111.

(29) Einleitung und Netzwerke 6:27. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. ... in Würfel. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. C (n) in HQ(d) Lemma: C (2d ) kann in HQ(d) mit Last 1 und Kantenstreckung 1 eingebettet werden. Beweis: Graycode.. 0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 1100 1101 1111 1110 1010 1011 1001 1000.

(30) Einleitung und Netzwerke 6:28. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. ... in Würfel. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. C (n) in HQ(d) Lemma: Falls 2n 6 2d , dann kann C (2n) in HQ(d) mit Last 1 und Kantenstreckung 1 eingebettet werden. Beweis: Rekursiver Aufbau von HQ(d). oder alternativer Beweis: G (2, 2d−1 ) ist Teilgraph von HQ(d).. 0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 1100 1101 1111 1110 1010 1011 1001 1000. 0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 1100 1101 1111 1110 1010 1011 1001 1000.

(31) Einleitung und Netzwerke 6:29. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. ... in Würfel. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. C (n) in BF (d) Lemma:. C (d · 2d ) kann in BF (d) mit Last 1 und Kantenstreckung 1 eingebettet werden. Beweis: Kreis der Länge d zusammenfassen. 0,000. 0,001. 0,010. 0,011. 0,100. 0,101. 0,110. 0,111. 1,000. 1,001. 1,010. 1,011. 1,100. 1,101. 1,110. 1,111. 2,000. 2,001. 2,010. 2,011. 2,100. 2,101. 2,110. 2,111. 0,000. 0,001. 0,010. 0,011. 0,100. 0,101. 0,110. 0,111.

(32) Einleitung und Netzwerke 6:30. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. ... in Würfel. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. C (n) in BF (d) Lemma:. C (d · 2d ) kann in BF (d) mit Last 1 und Kantenstreckung 1 eingebettet werden. Beweis: Kreis der Länge d zusammenfassen (Darstellung mit Gray-Code). 0,000. 0,001. 0,010. 0,011. 0,100. 0,101. 0,110. 0,111. 1,000. 1,001. 1,010. 1,011. 1,100. 1,101. 1,110. 1,111. 2,000. 2,001. 2,010. 2,011. 2,100. 2,101. 2,110. 2,111. 0,000. 0,001. 0,010. 0,011. 0,100. 0,101. 0,110. 0,111.

(33) Einleitung und Netzwerke 6:31. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. ... in Würfel. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. C (n) in CCC (d) Lemma: C (d · 2d ) kann in CCC (d) mit Last 1 und Kantenstreckung 2 eingebettet werden. Beweis: Benutze Kreis in BF (d) und bette BF (d) in CCC (d) mit Dilation 2 ein. 0,000. 0,001. 0,010. 0,011. 0,100. 0,101. 0,110. 0,111. 1,000. 1,001. 1,010. 1,011. 1,100. 1,101. 1,110. 1,111. 2,000. 2,001. 2,010. 2,011. 2,100. 2,101. 2,110. 2,111. 0,000. 0,001. 0,010. 0,011. 0,100. 0,101. 0,110. 0,111.

(34) Einleitung und Netzwerke 6:32. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. ... in Gitter. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. L(n) in G (n1 , n2 , · · · , nd ) Lemma:. L(n1 · n2 · · · · · nd ) kann in G (n1 , n2 , · · · , nd ) mit Last 1 und Kantenstreckung 1 eingebettet werden. Beweis: Lege Weg schlangenartig durch Gitter. 0,3. 1,3. 2,3. 3,3. 4,3. 5,3. 6,3. 7,3. 8,3. 9,3. 10,3. 11,3. 12,3. 13,3. 0,2. 1,2. 2,2. 3,2. 4,2. 5,2. 6,2. 7,2. 8,2. 9,2. 10,2. 11,2. 12,2. 13,2. 0,1. 1,1. 2,1. 3,1. 4,1. 5,1. 6,1. 7,1. 8,1. 9,1. 10,1. 11,1. 12,1. 13,1. 0,0. 1,0. 2,0. 3,0. 4,0. 5,0. 6,0. 7,0. 8,0. 9,0. 10,0. 11,0. 12,0. 13,0.

(35) Einleitung und Netzwerke 6:33. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. ... in Gitter. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. L(n) in G (n1 , n2 , · · · , nd ) Lemma:. L(n1 · n2 · · · · · nd ) kann in G (n1 , n2 , · · · , nd ) mit Last 1 und Kantenstreckung 1 eingebettet werden. Lemma: C (n) kann in L(n) mit Last 1 und Kantenstreckung 2 eingebettet werden. Für jede Richtung auf Weg, nehme jeden zweiten Knoten. Oder: die Bandweite des Kreises ist 2. Lemma: C (n1 · n2 · · · · · nd ) kann in G (n1 , n2 , · · · , nd ) mit Last 1 und Kantenstreckung 2 eingebettet werden. Bette Kreis in Weg mit Dilation 2 ein. Bette dann Weg in Gitter mit Dilation 1 ein..

(36) Einleitung und Netzwerke 6:34. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. ... in Gitter. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. C (n) in G (n1 , n2 , · · · , nd ) Lemma:. C (n1 · n2 · · · · · nd ) kann in G (n1 , n2 , · · · , nd ) mit Last 1 und Kantenstreckung 1 eingebettet werden, falls ein ni gerade ist. Beweis: Lege Weg schlangenartig durch Gitter. 0,3. 1,3. 2,3. 3,3. 4,3. 5,3. 6,3. 7,3. 8,3. 9,3. 10,3. 11,3. 12,3. 13,3. 0,2. 1,2. 2,2. 3,2. 4,2. 5,2. 6,2. 7,2. 8,2. 9,2. 10,2. 11,2. 12,2. 13,2. 0,1. 1,1. 2,1. 3,1. 4,1. 5,1. 6,1. 7,1. 8,1. 9,1. 10,1. 11,1. 12,1. 13,1. 0,0. 1,0. 2,0. 3,0. 4,0. 5,0. 6,0. 7,0. 8,0. 9,0. 10,0. 11,0. 12,0. 13,0.

(37) Einleitung und Netzwerke 6:35. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. ... in Gitter. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. C (n) in G (n1 , n2 , · · · , nd ) Lemma:. C (n1 · n2 · · · · · nd ) kann in G (n1 , n2 , · · · , nd ) mit Last 1 und Kantenstreckung 1 eingebettet werden, falls ein ni gerade ist. Lemma: C (n1 · n2 · · · · · nd ) kann nicht in G (n1 , n2 , · · · , nd ) mit Last 1 und Kantenstreckung 1 eingebettet werden, falls alle ni ungerade sind. Beweis: Beachte Färbung des Gitters. 0,4. 1,4. 2,4. 3,4. 4,4. 5,4. 6,4. 7,4. 8,4. 9,4. 10,4. 11,4. 12,4. 13,4. 14,4. 0,3. 1,3. 2,3. 3,3. 4,3. 5,3. 6,3. 7,3. 8,3. 9,3. 10,3. 11,3. 12,3. 13,3. 14,3. 0,2. 1,2. 2,2. 3,2. 4,2. 5,2. 6,2. 7,2. 8,2. 9,2. 10,2. 11,2. 12,2. 13,2. 14,2. 0,1. 1,1. 2,1. 3,1. 4,1. 5,1. 6,1. 7,1. 8,1. 9,1. 10,1. 11,1. 12,1. 13,1. 14,1. 0,0. 1,0. 2,0. 3,0. 4,0. 5,0. 6,0. 7,0. 8,0. 9,0. 10,0. 11,0. 12,0. 13,0. 14,0.

(38) Einleitung und Netzwerke 6:36. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. ... Wege und Kreise. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. T (d) in L(n) Lemma: T (d) kann in L(2d+1 − 1) mit Last 1 und Kantenstreckung d2d+1 /2de eingebettet werden. Beweisidee: Strecke den längsten Weg in T (d) auf den Weg. Oder nutze die Bandweiteneinbettung des T (d). e 0. 1. 00 000. 01 001. 010. 10 011. 100. 11 101. 110. 111. 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111.

(39) Einleitung und Netzwerke 6:37. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. ... Würfel. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. T (d) in HQ(d + 1). ET (d) = {{w , wa} | w , wa ∈ V , a ∈ {0, 1}} und EHQ(d) = {{w 0w 0 , w 1w 0 } | w 0w 0 , w 1w 0 ∈ VHQ(d) }. Lemma: T (d) kann in HQ(d + 1) mit Last 1 und Kantenstreckung 2 eingebettet werden. Beweis: f : {w ∈ {0, 1}∗ | |w | 6 d} 7→ {w ∈ {0, 1}∗ | |w | = d + 1}. Ergänze w um Bitfolge der Länge x(w ) = d + 1 − |w | > 1. f (w ) = w 10x(w )−1 . Kanten: f ((w , wa)) = f ((w 10x(w )−1 , wa10x(wa)−1 )) Dilation ist 2. 10000 01000 00100 00010. 11000 01100. 00110 01010. 10100 01110 10010. 11100 10110 11010. 11110. 00001 00011 00101 00111 01001 01011 01101 01111 10001 10011 10101 10111 11001 11011 11101 11111.

(40) Einleitung und Netzwerke 6:38. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. ... Würfel. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. XT (d) in HQ(d + 1). ET (d) = {{w , wa} | w , wa ∈ V , a ∈ {0, 1}} und EHQ(d) = {{w 0w 0 , w 1w 0 } | w 0w 0 , w 1w 0 ∈ VHQ(d) }. Lemma: XT (d) kann in HQ(d + 1) mit Last 1 und Kantenstreckung 2 eingebettet werden. f : {w ∈ {0, 1}∗ | |w | 6 d} 7→ {w ∈ {0, 1}∗ | |w | = d + 1}. Ergänze w um Bitfolge der Länge x(w ) = d + 1 − |w | > 1. f (w ) = GrayCode(w )10x(w )−1 . Kanten: f ((w , wa)) = f ((GrayCode(w )10x(w )−1 , GrayCode(wa)10x(wa)−1 )) Dilation ist 2, denn GrayCode(wa) = GrayCode(w )aw ,b . e 0. 1. 00 000. 01 001. 010. 10 011. 100. 11 101. 110. 111. 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111.

(41) Einleitung und Netzwerke 6:39. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. ... Würfel. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. T (d) in HQ(d + 1) Lemma: T (d) kann für d > 1 nicht in HQ(d + 1) mit Last 1 und Kantenstreckung 1 eingebettet werden. Beweis: Betrachte 2-Färbung von T (d) in HQ(d + 1). e 0. 1. 00 000. 01 001. 010. 10 011. 100. 11 101. 110. 111. 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111.

(42) Einleitung und Netzwerke 6:40. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. ... Würfel. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. T (d) in HQ(d + 1) Lemma: T (d) kann in HQ(d + 1) mit Last 1 und Kantenstreckung 2 eingebettet werden, so dass nur eine Kante getreckt wird. Beweis: Rekursive Einbettung des Doppelwurzelbaums als Teilgraph. e. e0. 0. 1. 00 000. 01 001. 010. 10 011. 100. 11 101. 110. 111. 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111.

(43) Einleitung und Netzwerke 6:41. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. ... Würfel. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. T (d) in HQ(d + 1) Lemma: T (d) kann in HQ(d + 1) mit Last 1 und Kantenstreckung 2 eingebettet werden, so dass nur eine Kante getreckt wird. Beweis: Rekursive Einbettung des Doppelwurzelbaums als Teilgraph.. 00 0 000. 001. 00 010. 01. 10 1 011. 100. 101. 10 110. 11 111. 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111.

(44) Einleitung und Netzwerke 6:42. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. ... Würfel. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. T (d) in DB(d + 1) Lemma:. T (d) kann in DB(d + 1) mit Last 1 und Kantenstreckung 1 eingebettet werden. Beweis: f (w ) → 0d−|w |−1 1w Zeige: Kante in Baum wird auf Kante im DeBruijn abgebildet. Baumkante: w nach wa Abgebildet auf: 0n−|w |−1 1w und 0n−|w |−2 1wa Das ist eine Shuffle oder Shuffle-Exchange Kante im DeBruijn. Bemerkung: Es gibt weiteren kantendisjunkten Baum im DeBruijn..

(45) Einleitung und Netzwerke 6:43. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. BF und CCC in HQ. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. CCC in HQ Lemma: CCC (2d) kann in HQ(2d + dlog 2de) mit Last 1 und Kantenstreckung 1 eingebettet werden. Beweis: Bette Kreise in Teilwürfel ein..

(46) Einleitung und Netzwerke 6:44. BF und CCC in HQ. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. CCC(4) in HQ (Beispiel). 1110 0110. 1111. 0111. 1010 0010. 1011. 0011. 1100 0100. 1101. 0101. 1000 0000. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. 0001. 1001.

(47) Einleitung und Netzwerke 6:45. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. BF und CCC in HQ. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. CCC in HQ Beweisschritte: Bette die Kreise der Länge 2d in den HQ(dlog 2de) ein. Dies geschieht rekursiv wie beim Kreis der Länge 2dlog 2de . Beobachtung:. Falls G in H mit Dilation k eingebettet werden kann und falls G 0 in H 0 mit Dilation k 0 eingebettet werden kann, dann kann G × G 0 in H × H 0 mit Dilation max(k, k 0 ) eingebettet werden. Gilt nach Definition vom Kreuzprodukt für Graphen. Weiter gilt: CCC (2d) ist Teilgraph von C2d × HQ(2d). Sodann gilt: C2d × HQ(2d) ist Teilgraph von HQ(2d + dlog 2de)..

(48) Einleitung und Netzwerke 6:46. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. BF und CCC in HQ. Walter Unger 16.6.2016 17:59. CCC(3) in HQ (Beispiel). 0110. 0010. 0111. 0011. 0100. 0000. 0101. 0001. SS2016.

(49) Einleitung und Netzwerke 6:47. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. BF und CCC in HQ. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. CCC in HQ Lemma: CCC (2d − 1) kann in HQ(2d − 1 + dlog 2d − 1e) mit Last 1 und Kantenstreckung 2 eingebettet werden. Beweis: Beachte: dlog 2de = dlog 2d − 1e. Es gilt: CCC (2d − 1) ist Teilgraph von C2d−1 × HQ(2d − 1). Bette C (2d − 1) mit Kantenstreckung 2 in C (2d) ein. Damit gilt: C2d−1 × HQ(2d − 1) kann mit Dilation 2 in C2d × HQ(2d − 1) eingebettet werden. Schon bekannt: C2d × HQ(2d) ist Teilgraph von HQ(2d + dlog 2de). Damit auch: C2d × HQ(2d − 1) ist Teilgraph von HQ(2d + dlog 2de)..

(50) Einleitung und Netzwerke 6:48. BF und CCC in HQ. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke Walter Unger 16.6.2016 17:59. BF in HQ. SS2016. Lemma: BF (d) kann in HQ(d + dlog de) mit Last 1 und Kantenstreckung 2 eingebettet werden. Beweis: Bette BF (d) in CCC (d) mit Dilation 2 ein (trivial). Bette dann CCC (d) in HQ(d + dlog de) mit Dilation 1 ein..

(51) Einleitung und Netzwerke 6:49. BF und CCC in HQ. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. BF in HQ Lemma: BF (2d) kann in HQ(2d + dlog 2de) mit Last 1 und Kantenstreckung 1 eingebettet werden..

(52) Einleitung und Netzwerke 6:50. BF und CCC in HQ. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. BF(4) in HQ (Beispiel). 1110 0110. 1111. 0111. 1010 0010. 1011. 0011 1100 0100. 1101. 0101. 1000 0000. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. 0001. 1001.

(53) Einleitung und Netzwerke 6:51. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. BF und CCC in HQ. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. BF in HQ Beweisschritte: Bette Kreis C2d in HQ(dlog 2de) als Teilgraph mittels fC ein. Bette BF2d in HQ(2d + dlog 2de) ein: (i, w ) 7→ f2d (i)w Sei bisher (i, w ) eingebettet auf cw für 0 6 i < 2d und w ∈ {0, 1}2d . Für i von 0 bis 2d − 1 mache nun: Sei i 0 = (i + 1) mod 2d. Vertausche nun Knoten der Form (i, w ) mit (i 0 , w ), falls w = w 0 1w 00 mit |w 0 | = i. Sei t = f2d (i) ⊕ f2d (i 0 ). Sei cw 0 1w 00 Knoten des Hypercube. Dann verschiebe cw 0 1w 00 nach (c ⊕ t)w 0 1w 00 . Beachte dabei, bei keiner Kante wird die Dilation vergrößert. Bei Kanten der Form {(i, w 0 0w 00 ), (i 0 , w 0 1w 00 ) erhalten wir eine Kantenstreckung von 1..

(54) Einleitung und Netzwerke 6:52. CCC und BF. CCC in BF. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Lemma: CCC (d) kann in BF (d) mit Last 1 und Kantenstreckung 1 eingebettet werden.. 0,00000,00010,00100,00110,01000,01010,01100,01110,10000,10010,10100,10110,11000,11010,11100,1111 0,0000 0,00010,00100,00110,01000,01010,01100,01110,10000,10010,10100,10110,11000,11010,11100,1111. 1,00001,00011,00101,00111,01001,01011,01101,01111,10001,10011,10101,10111,11001,11011,11101,1111 1,0000 1,00011,00101,00111,01001,01011,01101,01111,10001,10011,10101,10111,11001,11011,11101,1111. 2,00002,00012,00102,00112,01002,01012,01102,01112,10002,10012,10102,10112,11002,11012,11102,1111 2,0000 2,00012,00102,00112,01002,01012,01102,01112,10002,10012,10102,10112,11002,11012,11102,1111. 3,00003,00013,00103,00113,01003,01013,01103,01113,10003,10013,10103,10113,11003,11013,11103,1111 3,0000 3,00013,00103,00113,01003,01013,01103,01113,10003,10013,10103,10113,11003,11013,11103,1111. 0,00000,00010,00100,00110,01000,01010,01100,01110,10000,10010,10100,10110,11000,11010,11100,1111 0,0000 0,00010,00100,00110,01000,01010,01100,01110,10000,10010,10100,10110,11000,11010,11100,1111.

(55) Einleitung und Netzwerke 6:53. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. CCC und BF. Walter Unger 16.6.2016 17:59. CCC in BF. SS2016. Lemma: CCC (d) kann in BF (d) mit Last 1 und Kantenstreckung 1 eingebettet werden. Sei P(w ) := #1 (w ) mod 2 f (i, w ) = (i, w ), falls P(w ) = 0. f (i, w ) = ((i + 1) mod d, w ), falls P(w ) = 1. Betrachte Kreiskanten: {(i, w ), ((i + 1) mod d, w )}: wi hat das i-te Bit von w getauscht. f (i, w ) = (i, w ), falls P(w ) = 0. f ((i + 1) mod d, w ) = ((i + 1) mod d, w ), falls P(w ) = 0. f (i, w ) = ((i + 1) mod d, w ), falls P(w ) = 1. f ((i + 1) mod d, w ) = ((i + 2) mod d, w ), falls P(w ) = 1..

(56) Einleitung und Netzwerke 6:54. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. CCC und BF. Walter Unger 16.6.2016 17:59. CCC in BF f (i, w ) = (i, w ), falls P(w ) = 0. f (i, w ) = ((i + 1) mod d, w ), falls P(w ) = 1. Betrachte Cubekanten: {(i, w ), (i, wi )}: f (i, w ) = (i, w ), falls P(w ) = 0. f (i, wi ) = ((i + 1) mod d, wi ), falls P(w ) = 0. f (i, w ) = ((i + 1) mod d, w ), falls P(w ) = 1. f (i, wi ) = (i, wi ), falls P(w ) = 1.. SS2016.

(57) Einleitung und Netzwerke 6:55. SE, DB, HQ. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. SE und DB Lemma: SE (d) kann in DB(d) mit Last 1 und Kantenstreckung 1 eingebettet werden. Beweis: Übung. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke.

(58) Einleitung und Netzwerke 6:56. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. SE, DB, HQ. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. DB und HQ Lemma: DB(d) kann in HQ(d) mit Last 1 und Kantenstreckung dd/4e eingebettet werden. Beweis: Betrachte Kante im DB: aw ↔ wb. Teile in Blöcke auf: awa0 w 0 ↔ wbw 0 b 0 mit b = a0 . Wir können aus einem DeBruijn viele kleine virtuelle DeBruijn machen. Jedes virtuelle Teil wird in den Teil eines Hypercubes eingebettet. Die Dilation addiert sich dabei.. Damit ist Behauptung gezeigt, wenn man DB(8) mit Kantenstreckung 2 in HQ(8) einbettet..

(59) Einleitung und Netzwerke 6:57. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. TR, G und HQ. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Torus und Hypercube Lemma:. G (n1 , n2 , · · · , nt ) kann genau dann P in HQ(d) mit Last 1 und Kantenstreckung 1 eingebettet werden, falls d > ti=1 dlog ni e. Beweis Untersuche genau die Dimensionswechsel auf den Gitterkanten In jedem Quadrat sind das genau 2 Wechsel. Damit muss jede Linie der Form L(ni ) in einen Teilcube eingebettet werden. Lemma: TR(n1 , n2 , · · · , nt ) kann genau dann P in HQ(d) mit Last 1 und Kantenstreckung 1 eingebettet werden, falls d > ti=1 dlog ni e und alle ni gerade sind..

(60) Einleitung und Netzwerke 6:58. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Allgemeine Bäume. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Allgemeine Bäume Theorem: Ein binärer Baum kann mit Dilation 3 und Expansion 8 in den Hypercube eingebettet werden. Theorem: Ein binärer Baum kann mit Dilation 7 und Expansion 1 in den Hypercube eingebettet werden..

(61) Einleitung und Netzwerke 6:59. Allgemeine Bäume. Caterpillars. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Definition: Ein binärer Baum heißt Caterpillar (Raupengraph), falls alle Knoten mit Grad 3 auf einem einfachen Weg liegen. Definition: Ein Graph G heißt ballanciert, falls es eine 2-Färbung von G gibt, die genau so viele rote wie schwarze Knoten hat. Die Haarlänge bezeichnet den Abstand der Knoten zum obigen Pfad..

(62) Einleitung und Netzwerke 6:60. Allgemeine Bäume. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Caterpillars Theorem: Ballancierte Caterpillars mit Haarlänge 1 sind Teilgraph des passenden Hyperwürfels. Beweisvorgehen: Schneide den Caterpillar in 2 ballancierte Teile. Theorem:. Caterpillars mit 4 · n Knoten können mit Congestion 1 und Last 1 in G (2, 2, n) eingebettet werden. Beweise: Bette iterativ jeweils 4 Knoten vom Caterpillar in das Gitter ein..

(63) Einleitung und Netzwerke 6:61. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Allgemeine Bäume. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Einbettungsproblem Definition: Gegeben: G , H Graphen und d, c, l ∈ N. Frage: Kann G in H mit Dilation d, Load l und Congestion c eingebettet werden..

(64) Einleitung und Netzwerke 6:62. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Allgemeine Bäume. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Einbettungsproblem Theorem: Das Einbettungsproblem ist NP-vollständig für die folgenden Fälle: G ein Kreis, d = c = l = 1 und H so viele Knoten wie G . G , H beliebig, d eine Konstante, l = 1, c beliebig. G , H beliebig, c eine Konstante, l = 1, d beliebig. G , H beliebig, d, c, l Konstanten. G ein ballancierter Baum, H ein Hyperwürfel, d = l = 1. G beliebig, H ein Weg, d eine Konstante, l = 1, c beliebig. G ein Baum, H ein Weg, d eine Konstante, l = 1, c beliebig. G ein Caterpillar, H ein Weg, d eine Konstante, l = 1, c beliebig..

(65) Einleitung und Netzwerke 6:63. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Grundlagen. Walter Unger 16.6.2016 17:59. Die Technik Optische Fiber Optische Sender Optische Empfänger Optische Verstärker Wellenlängen: 1450–1650 nm (Nanometer) C-Band: 1530–1565 nm (aktuell benutzt) L-Band: 1565–1625 nm (bald benutzbar) Kanalbreite: ca. 10 GHz. Kanalabstand: ca. 100 GHz. D.h. 80 Kanäle im C-Band. Bei Kanalabstand 25 GHz ca. 200 Känäle im C-Band Kritischer Winkel: sin−1 µ2 /µ1 Technik also “wavelength division multiplexing” (WDM) Knoten des Netzwerkes Endgeräte und Router. Optische Pfade (“lightpath”) über die Router.. SS2016.

(66) Einleitung und Netzwerke 6:64. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Grundlagen. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Vorteile und Nachteile Hohe Transferrate: Aktuell: 107 Gigabit pro Sekunde. Theoretisch 50 · 1012 Bits pro Sekunde. Kleine Dämpfung, d.h. (Signaldämpfung: 0.2 db/km). Wenig Signalverzerrungen. Daher weniger optische Verstärker. Weniger Energie, Platzbedarf. und weniger Materialkosten. Mehr Kanäle pro Fiber. Weniger Störungen von außen. Schnellere Signalausbreitung. Geringe Kosten.. Optische Geräte teuer (oder noch nicht entwickelt) Umweg über Elektronik..

(67) Einleitung und Netzwerke 6:65. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Spezifikationen. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Arten von WDM und Probleme Arten von WDM Wavelength-routed Netzwerke: Die Wellenlänge bestimmt statisch den Empfänger. Broadcasting Netzwerke: Sende mit Wellenlänge λ an alle. Nur Empfänger haben λ als Empfangsfrequenz eingestellt. Statische und dynamische optische Pfade. Single-HOP (“all-optical Network”) und Multi-HOP. Wichtige Probleme auf WDM Aufbau der optischen Pfade. Aufbau der logischen Verbindungsstruktur. Bestimme Kommunikation anhand der logischen Struktur. Behandle Fehler..

(68) Einleitung und Netzwerke 6:66. Bausteine. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Optischer Koppler (Optical Coupler). P0 P1. I1 O 1 α I0 O 0. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. α · P0 (1 − α) · P1. Optischer Koppler hat Wert α.. Zwei mögliche Stellungen:. Wenn Eingang Ii Signalstärke Pi empfängt,. kreuzend und. dann bekommt O0 α · P0 und dann bekommt O1 (1 − α) · P1 . Gibt es Wellenlängen unabhängig und Wellenlängen abhängig.. nicht kreuzend..

(69) Einleitung und Netzwerke 6:67. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Bausteine. Walter Unger 16.6.2016 17:59. “Crossbar” und Benes̃. SS2016. Theorem. Theorem. Ein Crossbar ist “wide-sense nonblocking”, d.h. jede Permutation und jede Erweiterung einer Teilpermutation ist möglich.. Ein Benes̃ Netzwerk ist “nonblocking”, d.h. jede Permutation ist möglich..

(70) Einleitung und Netzwerke 6:68. Bausteine. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Ein Benes̃ Netzwerk ist nonblocking. 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. π(16) π(15) π(14) π(13) π(12) π(11) π(10) π(9) π(8) π(7) π(6) π(5) π(4) π(3) π(2) π(1). Jeder Pfad i muss durch eins der Sub-Netzwerke. Gemeinsame Eingänge 2 · i und 2 · i − 1 können nicht in das gleich Sub-Netzwerk. Gemeinsame Ausgänge π(2 · i) und π(2 · i − 1) können nicht in das gleich Sub-Netzwerk. Der sich ergebende Konfliktgraph G ist bipatit (Summe von zwei Matchings).. Damit können die Pfade auf die beiden Sub-Netzwerke verteilt werden. Damit ergibt sich induktiv die Behauptung.

(71) Einleitung und Netzwerke 6:69. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Einleitung. Walter Unger 16.6.2016 17:59. Einleitung Eingabe Netzwerk: G = (V , E ) Anfragen: I = {(si , di ) | si , di ∈ V ∧ 1 6 i 6 q} Routen: ρ1i , ρ2i , ρ3i , . . . Wege von si nach di . Routing Zu obiger Eingabe ist ein Routing R: R = {ρ1 , ρ2 , ρ3 , . . . , ρq } und ρi verbindet si mit di .. SS2016.

(72) Einleitung und Netzwerke 6:70. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Einleitung. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Wellenlängenzuweisung Eingabe Netzwerk: G = (V , E ) Anfragen: I = {(si , di ) | si , di ∈ V ∧ 1 6 i 6 q} Routing: R = {ρ1 , ρ2 , ρ3 , . . . , ρq } Wellenlängenzuweisung I ist die Färbung des Konfliktgraphen GR : I GR = (R, F )=(I ˆ , F )) mit: F = {{ρi , ρj } | ρi ∩ ρj ∩ E 6= ∅}. D.h. jeder Anfrage wird eine Wellenlänge zugewiesen. Falls zwei geroutete Anfragen eine Kante gemeinsam haben, dann sind die Wellenlängen unterschiedlich. I w (GR ) ist die Anzahl der notwendigen Wellenlängen..

(73) Einleitung und Netzwerke 6:71. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Einleitung. Walter Unger 16.6.2016 17:59. Congestion. SS2016. Definition Gegeben: Netzwerk: G = (V , E ) Anfragen: I = {(si , di ) | si , di ∈ V ∧ 1 6 i 6 q} Routing: R = {ρ1 , ρ2 , ρ3 , . . . , ρq } Dann ist: Die Congestion einer Kante e die Anzahl der Routingwege die e benutzen. I ce (GR ) = |{r ∈ R | e ∈ r }|. I I c(GR ) = maxe∈E ce (GR ).. Lemma I I Es gilt: c(GR ) 6 w (GR )..

(74) Einleitung und Netzwerke 6:72. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Wellenlängenzuweisung. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Greedy Theorem I Sei L die maximale Länge eines Routingweges in GR . I I Dann gilt: w (GR ) 6 (c(GR ) − 1) · L + 1. Ist auch Schranke für den einfachen Greedy Algorithmus. I ) − 1) · L. Beweis:Der Knotengrad im Konfliktgraphen ist maximal: (c(GR.

(75) Einleitung und Netzwerke 6:73. Wellenlängenzuweisung. Walter Unger 16.6.2016 17:59. Greedy verbessert I Sei GR gegeben.. Seien R1 die Wege der Länge >. p. |E |. p Seien R2 die Wege der Länge < |E |. Färbe jeden Weg in R1 mit eigener Farbe. Färbe R2 mit Greedy. Theorem I Es gilt: w (GR )62·. p I |E | · c(GR ).. Beweis: |R1 | 6. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. p I |E | · c(GR ), denn. I I anderenfalls gibt es Kante e mit ce (GR ) > c(GR ). p I I w (GR2 ) 6 |E | · c(GR ) ist klar.. SS2016.

(76) Einleitung und Netzwerke 6:74. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Linie und Kreis. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Linie Theorem I Falls G eine Linie ist, dann kann w (GR ) in Polynomzeit bestimmt werden.. Beweis: Seien Il die Anfragen, die nach links gehen. Seien Ir die Anfragen, die nach rechts gehen. Il und Ir sind unabhängig. I. w (GRl ) entspricht der Färbung eines Intervallgraphen. Ir w (GR ) entspricht der Färbung eines Intervallgraphen..

(77) Einleitung und Netzwerke 6:75. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Linie und Kreis. Walter Unger 16.6.2016 17:59. Kreis. SS2016. Theorem I Falls G ein Kreis ist, dann kann w (GR ) in Polynomzeit mit einen Faktor von 2 approximiert werden.. Beweis: Sei e eine Kante in G . Seien I1 die Anfragen, die über e gerouted werden. Seien I2 die Anfragen, die nicht über e gerouted werden. I1 w (GR ) entspricht der Färbung eines Intervallgraphen. I2 w (GR ) entspricht der Färbung eines Intervallgraphen.. Theorem I Falls G ein Kreis ist, dann ist das Bestimmen von w (GR ) NP-hart.. Beweis: I w (GR ) entspricht der Färbung eines Kreisbogengraphen..

(78) Einleitung und Netzwerke 6:76. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Baum. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Stern Theorem I Falls G ein Stern ist, dann kann w (GR ) in Polynomzeit bestimmt werden.. Beweis: Seien G = ({0, 1, . . . , n}, E ) der Stern mit Zentralknoten 0. Sei H = ({s1 , s2 , . . . sn }, {d1 , d2 , . . . dn }, F ) bipartiter Graph, mit: F = {(si , dj ) | (i, j) ∈ I } I Bestimmen von w (GR ) entspricht Kantenfärbung von H.. Anfragen der Form 0, i und i, 0 können mit Greedy nachgefärbt werden..

(79) Einleitung und Netzwerke 6:77. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Baum. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Spinnengraph Theorem I Falls G ein Spinnengraph ist, dann kann w (GR ) in Polynomzeit bestimmt werden.. Beweis: Färbe zuerst den Stern. Erweitere danach die Färbung auf jedem Bein der Spinne mit dem Algorithmus für Wege..

(80) Einleitung und Netzwerke 6:78. Baum. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke Walter Unger 16.6.2016 17:59. Baum Theorem I Falls G ein Baum ist, dann ist das Bestimmen von w (GR ) NP-hart.. Beweis: I w (GR ) entspricht der Färbung eines EPT-Graphen.. SS2016.

(81) Einleitung und Netzwerke 6:79. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Baum. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Broadcast Falls die Verbindungsanfragen vom Typ Broadcast sind, dann wird die Wellenlängenzuweisung einfach. Also: I = {(v , w ) | w ∈ V } für Startknoten v . Es sind |V | − 1 Knoten von v aus zu informieren. Es sind |V | − 1 Pfade von v aus zu bestimmen. Sei d(w ) der Ausgangsgrad vom Knoten w ∈ V . Sei dmin (G ) = minw ∈V d(w ).. Damit benutzen mindestens (|V | − 1)/d(v ) eine Kante von v gemeinsam. I Also: w (GR ) > d(|V | − 1)/dmin (G )e..

(82) Einleitung und Netzwerke 6:80. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Baum. Walter Unger 16.6.2016 17:59. Broadcast. SS2016. Theorem I Für einen k kantenzusammenhängenden Graphen gilt: w (GR ) 6 d(|V | − 1)/ke.. Beweis: Sei v der Startknoten. Teile V \ {v } auf in s = d(|V | − 1)/ke Teilmengen auf, mit: V1 , V2 , . . . , Vs haben Größe höchstens k. Für jedes i gibt es k kantendisjunkte Pfade von v nach Vi . Jedes Vi wird dann mit einer Farbe i informiert. Also insgesamt s = d(|V | − 1)/ke Farben..

(83) Einleitung und Netzwerke 6:81. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Baum. Walter Unger 16.6.2016 17:59. Broadcast. SS2016. Theorem I Für einen k kantenzusammenhängenden Graphen gilt: w (GR ) = d(|V | − 1)/ke.. Beweis: I Bekannt: w (GR ) > d(|V | − 1)/dmin (G )e. I Bekannt: w (GR ) 6 d(|V | − 1)/ke.. Bekannt: k 6 dmin G . I Damit gilt: w (GR ) = d(|V | − 1)/ke..

(84) Einleitung und Netzwerke 6:82. Baum. Walter Unger 16.6.2016 17:59. Weitere Ergebnisse Theorem I ) zu bestimmen: Für die folgenden Graphen ist es NP-hart, w (GR min. Kreise, Bäume, Binäre Bäume und Gitter. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke SS2016.

(85) Einleitung und Netzwerke 6:83. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke. Baum. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Weitere Ergebnisse Theorem I gegeben mit L = max(x,y )∈I dist(x, y ). Dann gilt: Sei GR min I I w (GR ) = O(L · c(GR )).. Theorem I I Für jedes L und c gibt es GR mit: L = max(x,y )∈I dist(x, y ), c = c(GR ) min min I w (GR ) = Ω(L · c).. Theorem I Sei GR gegeben mit I ist “one-to-many” Kommunikation. Dann gilt: min I I w (GR ) = c(GR )..

(86) Einleitung und Netzwerke 6:84. Baum. Z. Wege, Kreise in ... Bäume ... Würfelähnliche ... Einbettungen Optische Netzwerke Walter Unger 16.6.2016 17:59. Literatur Dissemination of Information in Optical Networks From Technology to Algorithms EATCS Series, Springer 2007.. SS2016.

(87) 7. Inhaltsverzeichnis. Walter Unger 16.6.2016 17:59. SS2016. Fragen Welche Probleme gibt es bei Optischen Netzen? Wozu dient das Benes̃ Netzwerk? Welche Eigenschaften hat es? Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Wellenlängenzuweisung und der Färbung von Graphen? Wie wird das Wellenlängenzuweisungproblem auf folgenden Graphen gelöst? Wege und Kreise. Sterne und Spinnen. Auf welchen Graphen ist das Wellenlängenzuweisungproblem schwer? Falls die Verbindungsstruktur vom Type Broadcast ist, kann dann das Wellenlängenzuweisungproblem gelöst werden, und falls ja, wie?. Z.

(88) 7. Inhaltsverzeichnis. Walter Unger 16.6.2016 17:59. Legende : Nicht relevant : Grundlagen, die implizit genutzt werden : Idee des Beweises oder des Vorgehens : Struktur des Beweises oder des Vorgehens : Vollständiges Wissen. SS2016. Z.

(89)