Algorithmische Graphentheorie (SS2016) Kapitel 3 Einfache Schnittgraphen Walter Unger
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(2) Schnittgraphen 3. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Inhaltsverzeichnis. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Inhalt I 1. Schnittgraphen Grundlagen Probleme. 2. Intervallgraphen Einleitung Färbung Stabile Mengen und Cliquen. 3. Permutationsgraphen Einleitung Färbung. 4. Kreisbogengraphen. Einleitung Färbungen. 5. Kreissehnengraphen Einleitung Färbungen Konstruktion Färbungen Stabile Menge und Clique. 6. Zusammenfassung Segmentgraphen Diskgraphen Überblick. Z. Zus.f.. SS2016.
(3) Schnittgraphen 3:1. Grundlagen. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 1/8. SS2016. Grundlagen Ein Graph besteht aus Knoten, von denen einige in Relation (über Kanten) stehen. Oft haben wir auch Objekte, die in Relation stehen. Mögliche Relationen: Objekte Objekte Objekte Objekte. haben gemeinsame Eigenschaft. sind benachbart. haben kleinen Abstand. schneiden sich.. Über die letzte Art von Relation definieren wir im folgenden Schnittgraphen.. Z. Zus.f..
(4) Schnittgraphen 3:1. Grundlagen. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 2/8. SS2016. Grundlagen Ein Graph besteht aus Knoten, von denen einige in Relation (über Kanten) stehen. Oft haben wir auch Objekte, die in Relation stehen. Mögliche Relationen: Objekte Objekte Objekte Objekte. haben gemeinsame Eigenschaft. sind benachbart. haben kleinen Abstand. schneiden sich.. Über die letzte Art von Relation definieren wir im folgenden Schnittgraphen.. Z. Zus.f..
(5) Schnittgraphen 3:1. Grundlagen. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 3/8. SS2016. Grundlagen Ein Graph besteht aus Knoten, von denen einige in Relation (über Kanten) stehen. Oft haben wir auch Objekte, die in Relation stehen. Mögliche Relationen: Objekte Objekte Objekte Objekte. haben gemeinsame Eigenschaft. sind benachbart. haben kleinen Abstand. schneiden sich.. Über die letzte Art von Relation definieren wir im folgenden Schnittgraphen.. Z. Zus.f..
(6) Schnittgraphen 3:1. Grundlagen. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 4/8. SS2016. Grundlagen Ein Graph besteht aus Knoten, von denen einige in Relation (über Kanten) stehen. Oft haben wir auch Objekte, die in Relation stehen. Mögliche Relationen: Objekte Objekte Objekte Objekte. haben gemeinsame Eigenschaft. sind benachbart. haben kleinen Abstand. schneiden sich.. Über die letzte Art von Relation definieren wir im folgenden Schnittgraphen.. Z. Zus.f..
(7) Schnittgraphen 3:1. Grundlagen. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 5/8. SS2016. Grundlagen Ein Graph besteht aus Knoten, von denen einige in Relation (über Kanten) stehen. Oft haben wir auch Objekte, die in Relation stehen. Mögliche Relationen: Objekte Objekte Objekte Objekte. haben gemeinsame Eigenschaft. sind benachbart. haben kleinen Abstand. schneiden sich.. Über die letzte Art von Relation definieren wir im folgenden Schnittgraphen.. Z. Zus.f..
(8) Schnittgraphen 3:1. Grundlagen. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 6/8. SS2016. Grundlagen Ein Graph besteht aus Knoten, von denen einige in Relation (über Kanten) stehen. Oft haben wir auch Objekte, die in Relation stehen. Mögliche Relationen: Objekte Objekte Objekte Objekte. haben gemeinsame Eigenschaft. sind benachbart. haben kleinen Abstand. schneiden sich.. Über die letzte Art von Relation definieren wir im folgenden Schnittgraphen.. Z. Zus.f..
(9) Schnittgraphen 3:1. Grundlagen. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 7/8. SS2016. Grundlagen Ein Graph besteht aus Knoten, von denen einige in Relation (über Kanten) stehen. Oft haben wir auch Objekte, die in Relation stehen. Mögliche Relationen: Objekte Objekte Objekte Objekte. haben gemeinsame Eigenschaft. sind benachbart. haben kleinen Abstand. schneiden sich.. Über die letzte Art von Relation definieren wir im folgenden Schnittgraphen.. Z. Zus.f..
(10) Schnittgraphen 3:1. Grundlagen. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 8/8. SS2016. Grundlagen Ein Graph besteht aus Knoten, von denen einige in Relation (über Kanten) stehen. Oft haben wir auch Objekte, die in Relation stehen. Mögliche Relationen: Objekte Objekte Objekte Objekte. haben gemeinsame Eigenschaft. sind benachbart. haben kleinen Abstand. schneiden sich.. Über die letzte Art von Relation definieren wir im folgenden Schnittgraphen.. Z. Zus.f..
(11) Schnittgraphen 3:2. Grundlagen. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. 1/12. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Z. Zus.f.. SS2016. Definition Definition. Ein Graph G = (V , E ) heißt Schnittgraph einer Menge M von Objekten, falls G = (V , E ) isomorph ist zu H = (M, {{a, b} | a ∩ b 6= ∅}). M ist dann die Schnittgraphdarstellung von G . Mögliche Familien von Objekten sind: Intervalle auf einer Linie Kreisbögen eines Kreises Sehnen eines Kreises Kreise in der Ebene Parallelogramme zwischen zwei Linien und weitere Über verschiedene Klassen von Familien ergeben sich verschiedene Graphklassen..
(12) Schnittgraphen 3:2. Grundlagen. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. 2/12. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Z. Zus.f.. SS2016. Definition Definition. Ein Graph G = (V , E ) heißt Schnittgraph einer Menge M von Objekten, falls G = (V , E ) isomorph ist zu H = (M, {{a, b} | a ∩ b 6= ∅}). M ist dann die Schnittgraphdarstellung von G . Mögliche Familien von Objekten sind: Intervalle auf einer Linie Kreisbögen eines Kreises Sehnen eines Kreises Kreise in der Ebene Parallelogramme zwischen zwei Linien und weitere Über verschiedene Klassen von Familien ergeben sich verschiedene Graphklassen..
(13) Schnittgraphen 3:2. Grundlagen. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. 3/12. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Z. Zus.f.. SS2016. Definition Definition. Ein Graph G = (V , E ) heißt Schnittgraph einer Menge M von Objekten, falls G = (V , E ) isomorph ist zu H = (M, {{a, b} | a ∩ b 6= ∅}). M ist dann die Schnittgraphdarstellung von G . Mögliche Familien von Objekten sind: Intervalle auf einer Linie Kreisbögen eines Kreises Sehnen eines Kreises Kreise in der Ebene Parallelogramme zwischen zwei Linien und weitere Über verschiedene Klassen von Familien ergeben sich verschiedene Graphklassen..
(14) Schnittgraphen 3:2. Grundlagen. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. 4/12. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Z. Zus.f.. SS2016. Definition Definition. Ein Graph G = (V , E ) heißt Schnittgraph einer Menge M von Objekten, falls G = (V , E ) isomorph ist zu H = (M, {{a, b} | a ∩ b 6= ∅}). M ist dann die Schnittgraphdarstellung von G . Mögliche Familien von Objekten sind: Intervalle auf einer Linie Kreisbögen eines Kreises Sehnen eines Kreises Kreise in der Ebene Parallelogramme zwischen zwei Linien und weitere Über verschiedene Klassen von Familien ergeben sich verschiedene Graphklassen..
(15) Schnittgraphen 3:2. Grundlagen. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. 5/12. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Z. Zus.f.. SS2016. Definition Definition. Ein Graph G = (V , E ) heißt Schnittgraph einer Menge M von Objekten, falls G = (V , E ) isomorph ist zu H = (M, {{a, b} | a ∩ b 6= ∅}). M ist dann die Schnittgraphdarstellung von G . Mögliche Familien von Objekten sind: Intervalle auf einer Linie Kreisbögen eines Kreises Sehnen eines Kreises Kreise in der Ebene Parallelogramme zwischen zwei Linien und weitere Über verschiedene Klassen von Familien ergeben sich verschiedene Graphklassen..
(16) Schnittgraphen 3:2. Grundlagen. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. 6/12. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Z. Zus.f.. SS2016. Definition Definition. Ein Graph G = (V , E ) heißt Schnittgraph einer Menge M von Objekten, falls G = (V , E ) isomorph ist zu H = (M, {{a, b} | a ∩ b 6= ∅}). M ist dann die Schnittgraphdarstellung von G . Mögliche Familien von Objekten sind: Intervalle auf einer Linie Kreisbögen eines Kreises Sehnen eines Kreises Kreise in der Ebene Parallelogramme zwischen zwei Linien und weitere Über verschiedene Klassen von Familien ergeben sich verschiedene Graphklassen..
(17) Schnittgraphen 3:2. Grundlagen. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. 7/12. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Z. Zus.f.. SS2016. Definition Definition. Ein Graph G = (V , E ) heißt Schnittgraph einer Menge M von Objekten, falls G = (V , E ) isomorph ist zu H = (M, {{a, b} | a ∩ b 6= ∅}). M ist dann die Schnittgraphdarstellung von G . Mögliche Familien von Objekten sind: Intervalle auf einer Linie Kreisbögen eines Kreises Sehnen eines Kreises Kreise in der Ebene Parallelogramme zwischen zwei Linien und weitere Über verschiedene Klassen von Familien ergeben sich verschiedene Graphklassen..
(18) Schnittgraphen 3:2. Grundlagen. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. 8/12. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Z. Zus.f.. SS2016. Definition Definition. Ein Graph G = (V , E ) heißt Schnittgraph einer Menge M von Objekten, falls G = (V , E ) isomorph ist zu H = (M, {{a, b} | a ∩ b 6= ∅}). M ist dann die Schnittgraphdarstellung von G . Mögliche Familien von Objekten sind: Intervalle auf einer Linie Kreisbögen eines Kreises Sehnen eines Kreises Kreise in der Ebene Parallelogramme zwischen zwei Linien und weitere Über verschiedene Klassen von Familien ergeben sich verschiedene Graphklassen..
(19) Schnittgraphen 3:2. Grundlagen. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. 9/12. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Z. Zus.f.. SS2016. Definition Definition. Ein Graph G = (V , E ) heißt Schnittgraph einer Menge M von Objekten, falls G = (V , E ) isomorph ist zu H = (M, {{a, b} | a ∩ b 6= ∅}). M ist dann die Schnittgraphdarstellung von G . Mögliche Familien von Objekten sind: Intervalle auf einer Linie Kreisbögen eines Kreises Sehnen eines Kreises Kreise in der Ebene Parallelogramme zwischen zwei Linien und weitere Über verschiedene Klassen von Familien ergeben sich verschiedene Graphklassen..
(20) Schnittgraphen 3:2. Grundlagen. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. 10/12. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Z. Zus.f.. SS2016. Definition Definition. Ein Graph G = (V , E ) heißt Schnittgraph einer Menge M von Objekten, falls G = (V , E ) isomorph ist zu H = (M, {{a, b} | a ∩ b 6= ∅}). M ist dann die Schnittgraphdarstellung von G . Mögliche Familien von Objekten sind: Intervalle auf einer Linie Kreisbögen eines Kreises Sehnen eines Kreises Kreise in der Ebene Parallelogramme zwischen zwei Linien und weitere Über verschiedene Klassen von Familien ergeben sich verschiedene Graphklassen..
(21) Schnittgraphen 3:2. Grundlagen. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. 11/12. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Z. Zus.f.. SS2016. Definition Definition. Ein Graph G = (V , E ) heißt Schnittgraph einer Menge M von Objekten, falls G = (V , E ) isomorph ist zu H = (M, {{a, b} | a ∩ b 6= ∅}). M ist dann die Schnittgraphdarstellung von G . Mögliche Familien von Objekten sind: Intervalle auf einer Linie Kreisbögen eines Kreises Sehnen eines Kreises Kreise in der Ebene Parallelogramme zwischen zwei Linien und weitere Über verschiedene Klassen von Familien ergeben sich verschiedene Graphklassen..
(22) Schnittgraphen 3:2. Grundlagen. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. 12/12. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Z. Zus.f.. SS2016. Definition Definition. Ein Graph G = (V , E ) heißt Schnittgraph einer Menge M von Objekten, falls G = (V , E ) isomorph ist zu H = (M, {{a, b} | a ∩ b 6= ∅}). M ist dann die Schnittgraphdarstellung von G . Mögliche Familien von Objekten sind: Intervalle auf einer Linie Kreisbögen eines Kreises Sehnen eines Kreises Kreise in der Ebene Parallelogramme zwischen zwei Linien und weitere Über verschiedene Klassen von Familien ergeben sich verschiedene Graphklassen..
(23) Schnittgraphen 3:3. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Probleme. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Graphfärbung Definition Ein Graph G = (V , E ) heißt k-färbbar falls gilt: ∃f : V 7→ {1, ..., k} : ∀(a, b) ∈ E , f (a) 6= f (b). Die Abbildung f heißt Färbung von G . Definition χ(G ) ist die chromatische Zahl χ(G ) von G genau dann, wenn G χ(G )-färbbar, aber nicht (χ(G ) − 1)-färbbar ist.. Z. Zus.f.. SS2016.
(24) Schnittgraphen 3:4. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Probleme. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Färbungsprobleme Definition Das Graph-zu-Färbungsproblem ist wie folgt gegeben: Eingabe: G Graph Ausgabe: Optimale Färbung von G . Definition Das Färbungsproblem ist wie folgt gegeben: Eingabe: k ∈ N und G Graph Ausgabe: Ist G k-färbbar? Definition Das k-Färbungsproblem ist wie folgt gegeben: Eingabe: G Graph Ausgabe: Ist G k-färbbar?. Kreissehnengraphen. Z. Zus.f.. SS2016.
(25) Schnittgraphen 3:5. Intervallgraphen. Probleme. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Stabile Mengen. Z. Zus.f.. SS2016. Definition Ein Graph G = (V , E ) enthält eine stabile Menge der Größe k, falls gilt: ∃S ⊂ V : |S| = k ∧ ∀a, b ∈ S, a 6= b : (a, b) 6∈ E . Definition α(G ) gibt die Größe der größten stabilen Menge an: G enthält stabile Menge der Größe α(G ), aber nicht der Größe α(G ) + 1..
(26) Schnittgraphen 3:6. Intervallgraphen. Probleme. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Definitionen Definition Sei G = (V , E ) Graph. α(G ) ω(G ) χ(G ). = = =. χ(G ). =. max{ |V 0 | ; V 0 ⊂ V ∧ ∀a, b ∈ V 0 : (a, b) 6∈ E } max{ |V 0 | ; V 0 ⊂ V ∧ ∀a, b ∈ V 0 : (a, b) ∈ E } min{ k ; ∃V1 , V2 , . . . , Vk : ∪ki=1 Vi = V ∧ ∀i : 1 6 i 6 k : ∀a, b ∈ Vi : (a, b) 6∈ E } min{ k ; ∃V1 , V2 , . . . , Vk : ∪ki=1 Vi = V ∧ ∀i : 1 6 i 6 k : ∀a, b ∈ Vi : (a, b) ∈ E }. Weitere Schreibweisen: ω(G ) = α(G ), α(G ) = ω(G ) = β0 (G ), κ(G ) = χ(G ). Z. Zus.f.. SS2016.
(27) Schnittgraphen 3:7. Einleitung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 1/11. Erstes einfaches Beispiel Lebenszeit von Registern beim Compilerbau Programmteile: · · · Read(A) · · · Write(B) · · · Lebenszeit einer Variablen A: Maximales Intervall von einem Write(A) bis zum letzten Read(A) ohne ein weiteres Write(A) dazwischen. Problem: Wie viele Register braucht man? D.h. weise jeder Lebenszeit einer Variablen ein Register zu. Beispiel: (0, 10), (3, 7), (9, 20), (25, 50), (12, 34), (6, 16), (17, 26) (11, 46), (23, 26), (30, 46), (19, 27) 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 k. f. a. g e. c b. j i. h. d. Z. Zus.f.. SS2016.
(28) Schnittgraphen 3:7. Einleitung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 2/11. Erstes einfaches Beispiel Lebenszeit von Registern beim Compilerbau Programmteile: · · · Read(A) · · · Write(B) · · · Lebenszeit einer Variablen A: Maximales Intervall von einem Write(A) bis zum letzten Read(A) ohne ein weiteres Write(A) dazwischen. Problem: Wie viele Register braucht man? D.h. weise jeder Lebenszeit einer Variablen ein Register zu. Beispiel: (0, 10), (3, 7), (9, 20), (25, 50), (12, 34), (6, 16), (17, 26) (11, 46), (23, 26), (30, 46), (19, 27) 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 k. f. a. g e. c b. j i. h. d. Z. Zus.f.. SS2016.
(29) Schnittgraphen 3:7. Einleitung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 3/11. Erstes einfaches Beispiel Lebenszeit von Registern beim Compilerbau Programmteile: · · · Read(A) · · · Write(B) · · · Lebenszeit einer Variablen A: Maximales Intervall von einem Write(A) bis zum letzten Read(A) ohne ein weiteres Write(A) dazwischen. Problem: Wie viele Register braucht man? D.h. weise jeder Lebenszeit einer Variablen ein Register zu. Beispiel: (0, 10), (3, 7), (9, 20), (25, 50), (12, 34), (6, 16), (17, 26) (11, 46), (23, 26), (30, 46), (19, 27) 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 k. f. a. g e. c b. j i. h. d. Z. Zus.f.. SS2016.
(30) Schnittgraphen 3:7. Einleitung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 4/11. Erstes einfaches Beispiel Lebenszeit von Registern beim Compilerbau Programmteile: · · · Read(A) · · · Write(B) · · · Lebenszeit einer Variablen A: Maximales Intervall von einem Write(A) bis zum letzten Read(A) ohne ein weiteres Write(A) dazwischen. Problem: Wie viele Register braucht man? D.h. weise jeder Lebenszeit einer Variablen ein Register zu. Beispiel: (0, 10), (3, 7), (9, 20), (25, 50), (12, 34), (6, 16), (17, 26) (11, 46), (23, 26), (30, 46), (19, 27) 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 k. f. a. g e. c b. j i. h. d. Z. Zus.f.. SS2016.
(31) Schnittgraphen 3:7. Einleitung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 5/11. Erstes einfaches Beispiel Lebenszeit von Registern beim Compilerbau Programmteile: · · · Read(A) · · · Write(B) · · · Lebenszeit einer Variablen A: Maximales Intervall von einem Write(A) bis zum letzten Read(A) ohne ein weiteres Write(A) dazwischen. Problem: Wie viele Register braucht man? D.h. weise jeder Lebenszeit einer Variablen ein Register zu. Beispiel: (0, 10), (3, 7), (9, 20), (25, 50), (12, 34), (6, 16), (17, 26) (11, 46), (23, 26), (30, 46), (19, 27) 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 k. f. a. g e. c b. j i. h. d. Z. Zus.f.. SS2016.
(32) Schnittgraphen 3:7. Einleitung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 6/11. Erstes einfaches Beispiel Lebenszeit von Registern beim Compilerbau Programmteile: · · · Read(A) · · · Write(B) · · · Lebenszeit einer Variablen A: Maximales Intervall von einem Write(A) bis zum letzten Read(A) ohne ein weiteres Write(A) dazwischen. Problem: Wie viele Register braucht man? D.h. weise jeder Lebenszeit einer Variablen ein Register zu. Beispiel: (0, 10), (3, 7), (9, 20), (25, 50), (12, 34), (6, 16), (17, 26) (11, 46), (23, 26), (30, 46), (19, 27) 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 k. f. a. g e. c b. j i. h. d. Z. Zus.f.. SS2016.
(33) Schnittgraphen 3:7. Einleitung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 7/11. Erstes einfaches Beispiel Lebenszeit von Registern beim Compilerbau Programmteile: · · · Read(A) · · · Write(B) · · · Lebenszeit einer Variablen A: Maximales Intervall von einem Write(A) bis zum letzten Read(A) ohne ein weiteres Write(A) dazwischen. Problem: Wie viele Register braucht man? D.h. weise jeder Lebenszeit einer Variablen ein Register zu. Beispiel: (0, 10), (3, 7), (9, 20), (25, 50), (12, 34), (6, 16), (17, 26) (11, 46), (23, 26), (30, 46), (19, 27) 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 k. f. a. g e. c b. j i. h. d. Z. Zus.f.. SS2016.
(34) Schnittgraphen 3:7. Einleitung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 8/11. Erstes einfaches Beispiel Lebenszeit von Registern beim Compilerbau Programmteile: · · · Read(A) · · · Write(B) · · · Lebenszeit einer Variablen A: Maximales Intervall von einem Write(A) bis zum letzten Read(A) ohne ein weiteres Write(A) dazwischen. Problem: Wie viele Register braucht man? D.h. weise jeder Lebenszeit einer Variablen ein Register zu. Beispiel: (0, 10), (3, 7), (9, 20), (25, 50), (12, 34), (6, 16), (17, 26) (11, 46), (23, 26), (30, 46), (19, 27) 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 k. f. a. g e. c b. j i. h. d. Z. Zus.f.. SS2016.
(35) Schnittgraphen 3:7. Einleitung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 9/11. Erstes einfaches Beispiel Lebenszeit von Registern beim Compilerbau Programmteile: · · · Read(A) · · · Write(B) · · · Lebenszeit einer Variablen A: Maximales Intervall von einem Write(A) bis zum letzten Read(A) ohne ein weiteres Write(A) dazwischen. Problem: Wie viele Register braucht man? D.h. weise jeder Lebenszeit einer Variablen ein Register zu. Beispiel: (0, 10), (3, 7), (9, 20), (25, 50), (12, 34), (6, 16), (17, 26) (11, 46), (23, 26), (30, 46), (19, 27) 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 k. f. a. g e. c b. j i. h. d. Z. Zus.f.. SS2016.
(36) Schnittgraphen 3:7. Einleitung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 10/11. Erstes einfaches Beispiel Lebenszeit von Registern beim Compilerbau Programmteile: · · · Read(A) · · · Write(B) · · · Lebenszeit einer Variablen A: Maximales Intervall von einem Write(A) bis zum letzten Read(A) ohne ein weiteres Write(A) dazwischen. Problem: Wie viele Register braucht man? D.h. weise jeder Lebenszeit einer Variablen ein Register zu. Beispiel: (0, 10), (3, 7), (9, 20), (25, 50), (12, 34), (6, 16), (17, 26) (11, 46), (23, 26), (30, 46), (19, 27) 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 k. f. a. g e. c b. j i. h. d. Z. Zus.f.. SS2016.
(37) Schnittgraphen 3:7. Einleitung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 11/11. Erstes einfaches Beispiel Lebenszeit von Registern beim Compilerbau Programmteile: · · · Read(A) · · · Write(B) · · · Lebenszeit einer Variablen A: Maximales Intervall von einem Write(A) bis zum letzten Read(A) ohne ein weiteres Write(A) dazwischen. Problem: Wie viele Register braucht man? D.h. weise jeder Lebenszeit einer Variablen ein Register zu. Beispiel: (0, 10), (3, 7), (9, 20), (25, 50), (12, 34), (6, 16), (17, 26) (11, 46), (23, 26), (30, 46), (19, 27) 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 k. f. a. g e. c b. j i. h. d. Z. Zus.f.. SS2016.
(38) Schnittgraphen 3:8. Einleitung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 1/6. SS2016. Intervallgraphen Definition (Intervallgraph) Ein Graph G = (V , E ) heißt Intervallgraph, falls er als Schnittgraph einer Menge von Intervallen auf einer Geraden dargestellt werden kann. Ein Intervallgraph heißt proper, falls kein Intervall in einem anderen Intervall enthalten ist. 0. 2. 4. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50. 6. k. f. d. b. a 2. 4. 6 e. a. g e. c 0. j. i. h. b. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 g r d c. Z. Zus.f..
(39) Schnittgraphen 3:8. Einleitung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 2/6. SS2016. Intervallgraphen Definition (Intervallgraph) Ein Graph G = (V , E ) heißt Intervallgraph, falls er als Schnittgraph einer Menge von Intervallen auf einer Geraden dargestellt werden kann. Ein Intervallgraph heißt proper, falls kein Intervall in einem anderen Intervall enthalten ist. 0. 2. 4. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50. 6. k. f. d. b. a 2. 4. 6 e. a. g e. c 0. j. i. h. b. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 g r d c. Z. Zus.f..
(40) Schnittgraphen 3:8. Einleitung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 3/6. SS2016. Intervallgraphen Definition (Intervallgraph) Ein Graph G = (V , E ) heißt Intervallgraph, falls er als Schnittgraph einer Menge von Intervallen auf einer Geraden dargestellt werden kann. Ein Intervallgraph heißt proper, falls kein Intervall in einem anderen Intervall enthalten ist. 0. 2. 4. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50. 6. k. f. d. b. a 2. 4. 6 e. a. g e. c 0. j. i. h. b. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 g r d c. Z. Zus.f..
(41) Schnittgraphen 3:8. Einleitung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 4/6. SS2016. Intervallgraphen Definition (Intervallgraph) Ein Graph G = (V , E ) heißt Intervallgraph, falls er als Schnittgraph einer Menge von Intervallen auf einer Geraden dargestellt werden kann. Ein Intervallgraph heißt proper, falls kein Intervall in einem anderen Intervall enthalten ist. 0. 2. 4. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50. 6. k. f. d. b. a 2. 4. 6 e. a. g e. c 0. j. i. h. b. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 g r d c. Z. Zus.f..
(42) Schnittgraphen 3:8. Einleitung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 5/6. SS2016. Intervallgraphen Definition (Intervallgraph) Ein Graph G = (V , E ) heißt Intervallgraph, falls er als Schnittgraph einer Menge von Intervallen auf einer Geraden dargestellt werden kann. Ein Intervallgraph heißt proper, falls kein Intervall in einem anderen Intervall enthalten ist. 0. 2. 4. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50. 6. k. f. d. b. a 2. 4. 6 e. a. g e. c 0. j. i. h. b. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 g r d c. Z. Zus.f..
(43) Schnittgraphen 3:8. Einleitung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 6/6. SS2016. Intervallgraphen Definition (Intervallgraph) Ein Graph G = (V , E ) heißt Intervallgraph, falls er als Schnittgraph einer Menge von Intervallen auf einer Geraden dargestellt werden kann. Ein Intervallgraph heißt proper, falls kein Intervall in einem anderen Intervall enthalten ist. 0. 2. 4. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50. 6. k. f. d. b. a 2. 4. 6 e. a. g e. c 0. j. i. h. b. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 g r d c. Z. Zus.f..
(44) Schnittgraphen 3:9. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 1/11. Modell und Färbung (Idee) Idee: Suche stabile Mengen. 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 k. f. a. g e. c b. j i. h. d. Z. Zus.f.. SS2016.
(45) Schnittgraphen 3:9. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 2/11. Modell und Färbung (Idee) Idee: Suche stabile Mengen. 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 k. f. a. g e. c b. j i. h. d. Z. Zus.f.. SS2016.
(46) Schnittgraphen 3:9. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 3/11. Modell und Färbung (Idee) Idee: Suche stabile Mengen. 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 k. f. a. g e. c b. j i. h. d. Z. Zus.f.. SS2016.
(47) Schnittgraphen 3:9. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 4/11. Modell und Färbung (Idee) Idee: Suche stabile Mengen. 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 k. f. a. g e. c b. j i. h. d. Z. Zus.f.. SS2016.
(48) Schnittgraphen 3:9. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 5/11. Modell und Färbung (Idee) Idee: Suche stabile Mengen. 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 k. f. a. g e. c b. j i. h. d. Z. Zus.f.. SS2016.
(49) Schnittgraphen 3:9. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 6/11. Modell und Färbung (Idee) Idee: Suche stabile Mengen. 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 k. f. a. g e. c b. j i. h. d. Z. Zus.f.. SS2016.
(50) Schnittgraphen 3:9. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 7/11. Modell und Färbung (Idee) Idee: Suche stabile Mengen. 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 k. f. a. g e. c b. j i. h. d. Z. Zus.f.. SS2016.
(51) Schnittgraphen 3:9. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 8/11. Modell und Färbung (Idee) Idee: Suche stabile Mengen. 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 k. f. j i. h. g e d. c b. a 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 c. a. b. d. Z. Zus.f.. SS2016.
(52) Schnittgraphen 3:9. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 9/11. Modell und Färbung (Idee) Idee: Suche stabile Mengen. 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 k. f. j i. h. g e d. c b. a 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 c. a. b. d. Z. Zus.f.. SS2016.
(53) Schnittgraphen 3:9. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 10/11. Modell und Färbung (Idee) Idee: Suche stabile Mengen. 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 k. f. j i. h. g e d. c b. a 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 c. a. b. d. Z. Zus.f.. SS2016.
(54) Schnittgraphen 3:9. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 11/11. Modell und Färbung (Idee) Idee: Suche stabile Mengen. 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 k. f. j i. h. g e d. c b. a 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 c. a. b. d. Z. Zus.f.. SS2016.
(55) Schnittgraphen 3:10. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 1/12. SS2016. Modell und Färbung (Idee) Idee: gehe von links nach rechts durch (sortiert nach linken Endpunkten): 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h. k. i. e. g. c f a. b. d. j. Z. Zus.f..
(56) Schnittgraphen 3:10. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 2/12. SS2016. Modell und Färbung (Idee) Idee: gehe von links nach rechts durch (sortiert nach linken Endpunkten): 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h. k. i. e. g. c f a. b. d. j. Z. Zus.f..
(57) Schnittgraphen 3:10. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 3/12. SS2016. Modell und Färbung (Idee) Idee: gehe von links nach rechts durch (sortiert nach linken Endpunkten): 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h. k. i. e. g. c f a. b. d. j. Z. Zus.f..
(58) Schnittgraphen 3:10. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 4/12. SS2016. Modell und Färbung (Idee) Idee: gehe von links nach rechts durch (sortiert nach linken Endpunkten): 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h. k. i. e. g. c f a. b. d. j. Z. Zus.f..
(59) Schnittgraphen 3:10. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 5/12. SS2016. Modell und Färbung (Idee) Idee: gehe von links nach rechts durch (sortiert nach linken Endpunkten): 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h. k. i. e. g. c f a. b. d. j. Z. Zus.f..
(60) Schnittgraphen 3:10. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 6/12. SS2016. Modell und Färbung (Idee) Idee: gehe von links nach rechts durch (sortiert nach linken Endpunkten): 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h. k. i. e. g. c f a. b. d. j. Z. Zus.f..
(61) Schnittgraphen 3:10. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 7/12. SS2016. Modell und Färbung (Idee) Idee: gehe von links nach rechts durch (sortiert nach linken Endpunkten): 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h. k. i. e. g. c f a. b. d. j. Z. Zus.f..
(62) Schnittgraphen 3:10. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 8/12. SS2016. Modell und Färbung (Idee) Idee: gehe von links nach rechts durch (sortiert nach linken Endpunkten): 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h. k. i. e. g. c f a. b. d. j. Z. Zus.f..
(63) Schnittgraphen 3:10. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 9/12. SS2016. Modell und Färbung (Idee) Idee: gehe von links nach rechts durch (sortiert nach linken Endpunkten): 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h. k. i. e. g. c f a. b. d. j. Z. Zus.f..
(64) Schnittgraphen 3:10. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 10/12. SS2016. Modell und Färbung (Idee) Idee: gehe von links nach rechts durch (sortiert nach linken Endpunkten): 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h. k. i. e. g. c f a. b. d. j. Z. Zus.f..
(65) Schnittgraphen 3:10. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 11/12. SS2016. Modell und Färbung (Idee) Idee: gehe von links nach rechts durch (sortiert nach linken Endpunkten): 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h. k. i. e. g. c f a. b. d. j. Z. Zus.f..
(66) Schnittgraphen 3:10. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 12/12. SS2016. Modell und Färbung (Idee) Idee: gehe von links nach rechts durch (sortiert nach linken Endpunkten): 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h. k. i. e. g. c f a. b. d. j. Z. Zus.f..
(67) Schnittgraphen 3:11. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 1/11. Modell und Färbung (Invariante) Suche Invariante: 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 j f. c a. b. d. e. h g i. k. Z. Zus.f.. SS2016.
(68) Schnittgraphen 3:11. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 2/11. Modell und Färbung (Invariante) Suche Invariante: 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 j f. c a. b. d. e. h g i. k. Z. Zus.f.. SS2016.
(69) Schnittgraphen 3:11. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 3/11. Modell und Färbung (Invariante) Suche Invariante: 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 j f. c a. b. d. e. h g i. k. Z. Zus.f.. SS2016.
(70) Schnittgraphen 3:11. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 4/11. Modell und Färbung (Invariante) Suche Invariante: 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 j f. c a. b. d. e. h g i. k. Z. Zus.f.. SS2016.
(71) Schnittgraphen 3:11. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 5/11. Modell und Färbung (Invariante) Suche Invariante: 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 j f. c a. b. d. e. h g i. k. Z. Zus.f.. SS2016.
(72) Schnittgraphen 3:11. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 6/11. Modell und Färbung (Invariante) Suche Invariante: 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 j f. c a. b. d. e. h g i. k. Z. Zus.f.. SS2016.
(73) Schnittgraphen 3:11. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 7/11. Modell und Färbung (Invariante) Suche Invariante: 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 j f. c a. b. d. e. h g i. k. Z. Zus.f.. SS2016.
(74) Schnittgraphen 3:11. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 8/11. Modell und Färbung (Invariante) Suche Invariante: 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 j f. c a. b. d. e. h g i. k. Z. Zus.f.. SS2016.
(75) Schnittgraphen 3:11. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 9/11. Modell und Färbung (Invariante) Suche Invariante: 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 j f. c a. b. d. e. h g i. k. Z. Zus.f.. SS2016.
(76) Schnittgraphen 3:11. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 10/11. Modell und Färbung (Invariante) Suche Invariante: 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 j f. c a. b. d. e. h g i. k. Z. Zus.f.. SS2016.
(77) Schnittgraphen 3:11. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 11/11. Modell und Färbung (Invariante) Suche Invariante: 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 j f. c a. b. d. e. h g i. k. Z. Zus.f.. SS2016.
(78) Schnittgraphen 3:12. Färbung. Intervallgraphen 1/7. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Z. Zus.f.. SS2016. Färbung von Intervallgraphen (Algorithmus) Theorem Das Graph-zu-Färbungsproblem ist für Intervallgraphen in O(n log(n)) Zeit lösbar. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Endpunkten.. 2. Durchlaufe die Endpunkte e von links nach rechts.. 3. Falls e der Startpunkt eines Intervalls ist, färbe dies Intervall mit der kleinsten freien Farbe. 4. Falls e der Endpunkt eines Intervalls I ist, gebe die Farbe von I frei.. Invariante Falls ein Knoten v mit Farbe k gefärbt wird, dann ist v in einer k-Clique..
(79) Schnittgraphen 3:12. Färbung. Intervallgraphen 2/7. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Z. Zus.f.. SS2016. Färbung von Intervallgraphen (Algorithmus) Theorem Das Graph-zu-Färbungsproblem ist für Intervallgraphen in O(n log(n)) Zeit lösbar. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Endpunkten.. 2. Durchlaufe die Endpunkte e von links nach rechts.. 3. Falls e der Startpunkt eines Intervalls ist, färbe dies Intervall mit der kleinsten freien Farbe. 4. Falls e der Endpunkt eines Intervalls I ist, gebe die Farbe von I frei.. Invariante Falls ein Knoten v mit Farbe k gefärbt wird, dann ist v in einer k-Clique..
(80) Schnittgraphen 3:12. Färbung. Intervallgraphen 3/7. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Z. Zus.f.. SS2016. Färbung von Intervallgraphen (Algorithmus) Theorem Das Graph-zu-Färbungsproblem ist für Intervallgraphen in O(n log(n)) Zeit lösbar. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Endpunkten.. 2. Durchlaufe die Endpunkte e von links nach rechts.. 3. Falls e der Startpunkt eines Intervalls ist, färbe dies Intervall mit der kleinsten freien Farbe. 4. Falls e der Endpunkt eines Intervalls I ist, gebe die Farbe von I frei.. Invariante Falls ein Knoten v mit Farbe k gefärbt wird, dann ist v in einer k-Clique..
(81) Schnittgraphen 3:12. Färbung. Intervallgraphen 4/7. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Z. Zus.f.. SS2016. Färbung von Intervallgraphen (Algorithmus) Theorem Das Graph-zu-Färbungsproblem ist für Intervallgraphen in O(n log(n)) Zeit lösbar. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Endpunkten.. 2. Durchlaufe die Endpunkte e von links nach rechts.. 3. Falls e der Startpunkt eines Intervalls ist, färbe dies Intervall mit der kleinsten freien Farbe. 4. Falls e der Endpunkt eines Intervalls I ist, gebe die Farbe von I frei.. Invariante Falls ein Knoten v mit Farbe k gefärbt wird, dann ist v in einer k-Clique..
(82) Schnittgraphen 3:12. Färbung. Intervallgraphen 5/7. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Z. Zus.f.. SS2016. Färbung von Intervallgraphen (Algorithmus) Theorem Das Graph-zu-Färbungsproblem ist für Intervallgraphen in O(n log(n)) Zeit lösbar. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Endpunkten.. 2. Durchlaufe die Endpunkte e von links nach rechts.. 3. Falls e der Startpunkt eines Intervalls ist, färbe dies Intervall mit der kleinsten freien Farbe. 4. Falls e der Endpunkt eines Intervalls I ist, gebe die Farbe von I frei.. Invariante Falls ein Knoten v mit Farbe k gefärbt wird, dann ist v in einer k-Clique..
(83) Schnittgraphen 3:12. Färbung. Intervallgraphen 6/7. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Z. Zus.f.. SS2016. Färbung von Intervallgraphen (Algorithmus) Theorem Das Graph-zu-Färbungsproblem ist für Intervallgraphen in O(n log(n)) Zeit lösbar. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Endpunkten.. 2. Durchlaufe die Endpunkte e von links nach rechts.. 3. Falls e der Startpunkt eines Intervalls ist, färbe dies Intervall mit der kleinsten freien Farbe. 4. Falls e der Endpunkt eines Intervalls I ist, gebe die Farbe von I frei.. Invariante Falls ein Knoten v mit Farbe k gefärbt wird, dann ist v in einer k-Clique..
(84) Schnittgraphen 3:12. Färbung. Intervallgraphen 7/7. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Z. Zus.f.. SS2016. Färbung von Intervallgraphen (Algorithmus) Theorem Das Graph-zu-Färbungsproblem ist für Intervallgraphen in O(n log(n)) Zeit lösbar. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Endpunkten.. 2. Durchlaufe die Endpunkte e von links nach rechts.. 3. Falls e der Startpunkt eines Intervalls ist, färbe dies Intervall mit der kleinsten freien Farbe. 4. Falls e der Endpunkt eines Intervalls I ist, gebe die Farbe von I frei.. Invariante Falls ein Knoten v mit Farbe k gefärbt wird, dann ist v in einer k-Clique..
(85) Schnittgraphen 3:13. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 1/28. SS2016. Beispiel Independent Set Problem auf Intervallgraphen 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h e. b a. d c. g. k. f. l i. j. Z. Zus.f.. m. n. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Startpunkten.. 2. Durchlaufe die Startpunkte e von links nach rechts.. 3. Speichere zu jedem Intervall I die Größe einer maximalen unabhängige Menge von Intervallen, die I als rechtestes Intervall enthält..
(86) Schnittgraphen 3:13. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 2/28. SS2016. Beispiel Independent Set Problem auf Intervallgraphen 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h e. b a. d 1. c. g. k. f. l i. j. Z. Zus.f.. m. n. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Startpunkten.. 2. Durchlaufe die Startpunkte e von links nach rechts.. 3. Speichere zu jedem Intervall I die Größe einer maximalen unabhängige Menge von Intervallen, die I als rechtestes Intervall enthält..
(87) Schnittgraphen 3:13. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 3/28. SS2016. Beispiel Independent Set Problem auf Intervallgraphen 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h e. b a. d 1. c. g. k. f. l i. j. Z. Zus.f.. m. n. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Startpunkten.. 2. Durchlaufe die Startpunkte e von links nach rechts.. 3. Speichere zu jedem Intervall I die Größe einer maximalen unabhängige Menge von Intervallen, die I als rechtestes Intervall enthält..
(88) Schnittgraphen 3:13. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 4/28. SS2016. Beispiel Independent Set Problem auf Intervallgraphen 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h e 1. b a. 1. d c. g. k. f. l i. j. Z. Zus.f.. m. n. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Startpunkten.. 2. Durchlaufe die Startpunkte e von links nach rechts.. 3. Speichere zu jedem Intervall I die Größe einer maximalen unabhängige Menge von Intervallen, die I als rechtestes Intervall enthält..
(89) Schnittgraphen 3:13. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 5/28. SS2016. Beispiel Independent Set Problem auf Intervallgraphen 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h e 1. b a. 1. d c. g. k. f. l i. j. Z. Zus.f.. m. n. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Startpunkten.. 2. Durchlaufe die Startpunkte e von links nach rechts.. 3. Speichere zu jedem Intervall I die Größe einer maximalen unabhängige Menge von Intervallen, die I als rechtestes Intervall enthält..
(90) Schnittgraphen 3:13. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 6/28. SS2016. Beispiel Independent Set Problem auf Intervallgraphen 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h e 1. b a. 1. d c. 2. g. k. f. l i. j. Z. Zus.f.. m. n. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Startpunkten.. 2. Durchlaufe die Startpunkte e von links nach rechts.. 3. Speichere zu jedem Intervall I die Größe einer maximalen unabhängige Menge von Intervallen, die I als rechtestes Intervall enthält..
(91) Schnittgraphen 3:13. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 7/28. SS2016. Beispiel Independent Set Problem auf Intervallgraphen 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h e 1. b a. 1. d c. 2. g. k. f. l i. j. Z. Zus.f.. m. n. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Startpunkten.. 2. Durchlaufe die Startpunkte e von links nach rechts.. 3. Speichere zu jedem Intervall I die Größe einer maximalen unabhängige Menge von Intervallen, die I als rechtestes Intervall enthält..
(92) Schnittgraphen 3:13. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 8/28. SS2016. Beispiel Independent Set Problem auf Intervallgraphen 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h e 1. b a. 1. d c. 2 2. g. k. f. l i. j. Z. Zus.f.. m. n. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Startpunkten.. 2. Durchlaufe die Startpunkte e von links nach rechts.. 3. Speichere zu jedem Intervall I die Größe einer maximalen unabhängige Menge von Intervallen, die I als rechtestes Intervall enthält..
(93) Schnittgraphen 3:13. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 9/28. SS2016. Beispiel Independent Set Problem auf Intervallgraphen 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h e 1. b a. 1. d c. 2 2. g. k. f. l i. j. Z. Zus.f.. m. n. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Startpunkten.. 2. Durchlaufe die Startpunkte e von links nach rechts.. 3. Speichere zu jedem Intervall I die Größe einer maximalen unabhängige Menge von Intervallen, die I als rechtestes Intervall enthält..
(94) Schnittgraphen 3:13. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 10/28. SS2016. Beispiel Independent Set Problem auf Intervallgraphen 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h e 1. b a. 1. d c. 2 2 2. g. k. f. l i. j. Z. Zus.f.. m. n. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Startpunkten.. 2. Durchlaufe die Startpunkte e von links nach rechts.. 3. Speichere zu jedem Intervall I die Größe einer maximalen unabhängige Menge von Intervallen, die I als rechtestes Intervall enthält..
(95) Schnittgraphen 3:13. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 11/28. SS2016. Beispiel Independent Set Problem auf Intervallgraphen 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h e 1. b a. 1. d c. 2 2 2. g. k. f. l i. j. Z. Zus.f.. m. n. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Startpunkten.. 2. Durchlaufe die Startpunkte e von links nach rechts.. 3. Speichere zu jedem Intervall I die Größe einer maximalen unabhängige Menge von Intervallen, die I als rechtestes Intervall enthält..
(96) Schnittgraphen 3:13. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 12/28. SS2016. Beispiel Independent Set Problem auf Intervallgraphen 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h e 1. b a. 1. d c. g. 2 2. k 3. f 2. i. j. Z. Zus.f.. m. l n. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Startpunkten.. 2. Durchlaufe die Startpunkte e von links nach rechts.. 3. Speichere zu jedem Intervall I die Größe einer maximalen unabhängige Menge von Intervallen, die I als rechtestes Intervall enthält..
(97) Schnittgraphen 3:13. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 13/28. SS2016. Beispiel Independent Set Problem auf Intervallgraphen 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h e 1. b a. 1. d c. g. 2 2. k 3. f 2. i. j. Z. Zus.f.. m. l n. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Startpunkten.. 2. Durchlaufe die Startpunkte e von links nach rechts.. 3. Speichere zu jedem Intervall I die Größe einer maximalen unabhängige Menge von Intervallen, die I als rechtestes Intervall enthält..
(98) Schnittgraphen 3:13. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 14/28. SS2016. Beispiel Independent Set Problem auf Intervallgraphen 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h e 1. b a. 1. d c. g. 2 2. 3. 2. k. 3. f i. j. Z. Zus.f.. m. l n. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Startpunkten.. 2. Durchlaufe die Startpunkte e von links nach rechts.. 3. Speichere zu jedem Intervall I die Größe einer maximalen unabhängige Menge von Intervallen, die I als rechtestes Intervall enthält..
(99) Schnittgraphen 3:13. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 15/28. SS2016. Beispiel Independent Set Problem auf Intervallgraphen 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h e 1. b a. 1. d c. g. 2 2. 3. 2. k. 3. f i. j. Z. Zus.f.. m. l n. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Startpunkten.. 2. Durchlaufe die Startpunkte e von links nach rechts.. 3. Speichere zu jedem Intervall I die Größe einer maximalen unabhängige Menge von Intervallen, die I als rechtestes Intervall enthält..
(100) Schnittgraphen 3:13. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 16/28. SS2016. Beispiel Independent Set Problem auf Intervallgraphen 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h e 1. b a. 1. d c. g. 2 2. 3. 2. k. 3. f i. 3. j. Z. Zus.f.. m. l n. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Startpunkten.. 2. Durchlaufe die Startpunkte e von links nach rechts.. 3. Speichere zu jedem Intervall I die Größe einer maximalen unabhängige Menge von Intervallen, die I als rechtestes Intervall enthält..
(101) Schnittgraphen 3:13. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 17/28. SS2016. Beispiel Independent Set Problem auf Intervallgraphen 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h e 1. b a. 1. d c. g. 2 2. 3. 2. k. 3. f i. 3. j. Z. Zus.f.. m. l n. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Startpunkten.. 2. Durchlaufe die Startpunkte e von links nach rechts.. 3. Speichere zu jedem Intervall I die Größe einer maximalen unabhängige Menge von Intervallen, die I als rechtestes Intervall enthält..
(102) Schnittgraphen 3:13. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 18/28. SS2016. Beispiel Independent Set Problem auf Intervallgraphen 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h 3 e 1. b a. 1. d c. g. 2 2. 3. 2. k. 3. f i. 3. j. Z. Zus.f.. m. l n. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Startpunkten.. 2. Durchlaufe die Startpunkte e von links nach rechts.. 3. Speichere zu jedem Intervall I die Größe einer maximalen unabhängige Menge von Intervallen, die I als rechtestes Intervall enthält..
(103) Schnittgraphen 3:13. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 19/28. SS2016. Beispiel Independent Set Problem auf Intervallgraphen 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h 3 e 1. b a. 1. d c. g. 2 2. 3. 2. k. 3. f i. 3. j. Z. Zus.f.. m. l n. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Startpunkten.. 2. Durchlaufe die Startpunkte e von links nach rechts.. 3. Speichere zu jedem Intervall I die Größe einer maximalen unabhängige Menge von Intervallen, die I als rechtestes Intervall enthält..
(104) Schnittgraphen 3:13. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 20/28. SS2016. Beispiel Independent Set Problem auf Intervallgraphen 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h 3 e 1. b a. 1. d c. g. 2 2. 3. 2. k. 3. f i. 3. j. m. l 4. Z. Zus.f.. n. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Startpunkten.. 2. Durchlaufe die Startpunkte e von links nach rechts.. 3. Speichere zu jedem Intervall I die Größe einer maximalen unabhängige Menge von Intervallen, die I als rechtestes Intervall enthält..
(105) Schnittgraphen 3:13. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 21/28. SS2016. Beispiel Independent Set Problem auf Intervallgraphen 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h 3 e 1. b a. 1. d c. g. 2 2. 3. 2. k. 3. f i. 3. j. m. l 4. Z. Zus.f.. n. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Startpunkten.. 2. Durchlaufe die Startpunkte e von links nach rechts.. 3. Speichere zu jedem Intervall I die Größe einer maximalen unabhängige Menge von Intervallen, die I als rechtestes Intervall enthält..
(106) Schnittgraphen 3:13. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 22/28. SS2016. Beispiel Independent Set Problem auf Intervallgraphen 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h 3 e 1. b a. 1. d c. g. 2 2. 3. 2. k. 3. f i. 3. j. m. l 4. n. Z. Zus.f.. 5. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Startpunkten.. 2. Durchlaufe die Startpunkte e von links nach rechts.. 3. Speichere zu jedem Intervall I die Größe einer maximalen unabhängige Menge von Intervallen, die I als rechtestes Intervall enthält..
(107) Schnittgraphen 3:13. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 23/28. SS2016. Beispiel Independent Set Problem auf Intervallgraphen 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h 3 e 1. b a. 1. d c. g. 2 2. 3. 2. k. 3. f i. 3. j. m. l 4. n. Z. Zus.f.. 5. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Startpunkten.. 2. Durchlaufe die Startpunkte e von links nach rechts.. 3. Speichere zu jedem Intervall I die Größe einer maximalen unabhängige Menge von Intervallen, die I als rechtestes Intervall enthält..
(108) Schnittgraphen 3:13. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 24/28. SS2016. Beispiel Independent Set Problem auf Intervallgraphen 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h 3 e 1. b a. 1. d c. g. 2 2. 3. 2. k. 3. f i. 3. j. 5. m. l 4. n. Z. Zus.f.. 5. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Startpunkten.. 2. Durchlaufe die Startpunkte e von links nach rechts.. 3. Speichere zu jedem Intervall I die Größe einer maximalen unabhängige Menge von Intervallen, die I als rechtestes Intervall enthält..
(109) Schnittgraphen 3:13. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 25/28. SS2016. Beispiel Independent Set Problem auf Intervallgraphen 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h 3 e 1. b a. 1. d c. g. 2 2. 3. 2. k. 3. f i. 3. j. 5. m. l 4. n. Z. Zus.f.. 5. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Startpunkten.. 2. Durchlaufe die Startpunkte e von links nach rechts.. 3. Speichere zu jedem Intervall I die Größe einer maximalen unabhängige Menge von Intervallen, die I als rechtestes Intervall enthält..
(110) Schnittgraphen 3:13. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 26/28. SS2016. Beispiel Independent Set Problem auf Intervallgraphen 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h 3 e 1. b a. 1. d c. g. 2 2. 3. 2. k. 3. f i. 3. j. l 4. n. 5. Z. Zus.f.. m 5 5. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Startpunkten.. 2. Durchlaufe die Startpunkte e von links nach rechts.. 3. Speichere zu jedem Intervall I die Größe einer maximalen unabhängige Menge von Intervallen, die I als rechtestes Intervall enthält..
(111) Schnittgraphen 3:13. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 27/28. SS2016. Beispiel Independent Set Problem auf Intervallgraphen 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h 3 e 1. b a. 1. d c. g. 2 2. 3. 2. k. 3. f i. 3. j. l 4. n. 5. Z. Zus.f.. m 5 5. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Startpunkten.. 2. Durchlaufe die Startpunkte e von links nach rechts.. 3. Speichere zu jedem Intervall I die Größe einer maximalen unabhängige Menge von Intervallen, die I als rechtestes Intervall enthält..
(112) Schnittgraphen 3:13. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 28/28. SS2016. Beispiel Independent Set Problem auf Intervallgraphen 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h 3 e 1. b a. 1. d c. g. 2 2. 3. 2. k. 3. f i. 3. j. l 4. n. 5. m. Z. Zus.f.. 6 5 5. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Startpunkten.. 2. Durchlaufe die Startpunkte e von links nach rechts.. 3. Speichere zu jedem Intervall I die Größe einer maximalen unabhängige Menge von Intervallen, die I als rechtestes Intervall enthält..
(113) Schnittgraphen 3:14. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr. 1/7. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Independent Set Problem auf Intervallgraphen. Z. Zus.f.. SS2016. Theorem Eine maximale unabhängige Menge von Knoten zu finden, ist für Intervallgraphen in O(n log(n)) Zeit lösbar. 1 2. 3. Durchlaufe die Start- und Endpunkte e von links nach rechts. Speichere zu jedem Endpunkt e die Größe einer maximalen unabhängige Menge S(e) von Intervallen, die links von e liegen. Beim Durchlauf von links nach rechts mache: 1 Falls e Startpunkt vom Intervall (e, f ) ist und es keinen Endpunkt links von e gibt, dann setze S(f ) = 1. 2 Falls e Startpunkt vom Intervall (e, f ) ist, so bestimme: größten Endpunkt e 0 der links von e liegt und setze S(f ) = S(e 0 ) + 1. 3 Falls e Endpunkt vom Intervall (a, e) ist, so bestimme: größten Endpunkt e 0 der links von e liegt und rechts von a liegt. Falls es den gibt, so setze S(e) = max(S(e 0 ), S(e))..
(114) Schnittgraphen 3:14. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr. 2/7. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Independent Set Problem auf Intervallgraphen. Z. Zus.f.. SS2016. Theorem Eine maximale unabhängige Menge von Knoten zu finden, ist für Intervallgraphen in O(n log(n)) Zeit lösbar. 1 2. 3. Durchlaufe die Start- und Endpunkte e von links nach rechts. Speichere zu jedem Endpunkt e die Größe einer maximalen unabhängige Menge S(e) von Intervallen, die links von e liegen. Beim Durchlauf von links nach rechts mache: 1 Falls e Startpunkt vom Intervall (e, f ) ist und es keinen Endpunkt links von e gibt, dann setze S(f ) = 1. 2 Falls e Startpunkt vom Intervall (e, f ) ist, so bestimme: größten Endpunkt e 0 der links von e liegt und setze S(f ) = S(e 0 ) + 1. 3 Falls e Endpunkt vom Intervall (a, e) ist, so bestimme: größten Endpunkt e 0 der links von e liegt und rechts von a liegt. Falls es den gibt, so setze S(e) = max(S(e 0 ), S(e))..
(115) Schnittgraphen 3:14. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr. 3/7. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Independent Set Problem auf Intervallgraphen. Z. Zus.f.. SS2016. Theorem Eine maximale unabhängige Menge von Knoten zu finden, ist für Intervallgraphen in O(n log(n)) Zeit lösbar. 1 2. 3. Durchlaufe die Start- und Endpunkte e von links nach rechts. Speichere zu jedem Endpunkt e die Größe einer maximalen unabhängige Menge S(e) von Intervallen, die links von e liegen. Beim Durchlauf von links nach rechts mache: 1 Falls e Startpunkt vom Intervall (e, f ) ist und es keinen Endpunkt links von e gibt, dann setze S(f ) = 1. 2 Falls e Startpunkt vom Intervall (e, f ) ist, so bestimme: größten Endpunkt e 0 der links von e liegt und setze S(f ) = S(e 0 ) + 1. 3 Falls e Endpunkt vom Intervall (a, e) ist, so bestimme: größten Endpunkt e 0 der links von e liegt und rechts von a liegt. Falls es den gibt, so setze S(e) = max(S(e 0 ), S(e))..
(116) Schnittgraphen 3:14. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr. 4/7. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Independent Set Problem auf Intervallgraphen. Z. Zus.f.. SS2016. Theorem Eine maximale unabhängige Menge von Knoten zu finden, ist für Intervallgraphen in O(n log(n)) Zeit lösbar. 1 2. 3. Durchlaufe die Start- und Endpunkte e von links nach rechts. Speichere zu jedem Endpunkt e die Größe einer maximalen unabhängige Menge S(e) von Intervallen, die links von e liegen. Beim Durchlauf von links nach rechts mache: 1 Falls e Startpunkt vom Intervall (e, f ) ist und es keinen Endpunkt links von e gibt, dann setze S(f ) = 1. 2 Falls e Startpunkt vom Intervall (e, f ) ist, so bestimme: größten Endpunkt e 0 der links von e liegt und setze S(f ) = S(e 0 ) + 1. 3 Falls e Endpunkt vom Intervall (a, e) ist, so bestimme: größten Endpunkt e 0 der links von e liegt und rechts von a liegt. Falls es den gibt, so setze S(e) = max(S(e 0 ), S(e))..
(117) Schnittgraphen 3:14. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr. 5/7. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Independent Set Problem auf Intervallgraphen. Z. Zus.f.. SS2016. Theorem Eine maximale unabhängige Menge von Knoten zu finden, ist für Intervallgraphen in O(n log(n)) Zeit lösbar. 1 2. 3. Durchlaufe die Start- und Endpunkte e von links nach rechts. Speichere zu jedem Endpunkt e die Größe einer maximalen unabhängige Menge S(e) von Intervallen, die links von e liegen. Beim Durchlauf von links nach rechts mache: 1 Falls e Startpunkt vom Intervall (e, f ) ist und es keinen Endpunkt links von e gibt, dann setze S(f ) = 1. 2 Falls e Startpunkt vom Intervall (e, f ) ist, so bestimme: größten Endpunkt e 0 der links von e liegt und setze S(f ) = S(e 0 ) + 1. 3 Falls e Endpunkt vom Intervall (a, e) ist, so bestimme: größten Endpunkt e 0 der links von e liegt und rechts von a liegt. Falls es den gibt, so setze S(e) = max(S(e 0 ), S(e))..
(118) Schnittgraphen 3:14. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr. 6/7. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Independent Set Problem auf Intervallgraphen. Z. Zus.f.. SS2016. Theorem Eine maximale unabhängige Menge von Knoten zu finden, ist für Intervallgraphen in O(n log(n)) Zeit lösbar. 1 2. 3. Durchlaufe die Start- und Endpunkte e von links nach rechts. Speichere zu jedem Endpunkt e die Größe einer maximalen unabhängige Menge S(e) von Intervallen, die links von e liegen. Beim Durchlauf von links nach rechts mache: 1 Falls e Startpunkt vom Intervall (e, f ) ist und es keinen Endpunkt links von e gibt, dann setze S(f ) = 1. 2 Falls e Startpunkt vom Intervall (e, f ) ist, so bestimme: größten Endpunkt e 0 der links von e liegt und setze S(f ) = S(e 0 ) + 1. 3 Falls e Endpunkt vom Intervall (a, e) ist, so bestimme: größten Endpunkt e 0 der links von e liegt und rechts von a liegt. Falls es den gibt, so setze S(e) = max(S(e 0 ), S(e))..
(119) Schnittgraphen 3:14. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr. 7/7. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Independent Set Problem auf Intervallgraphen. Z. Zus.f.. SS2016. Theorem Eine maximale unabhängige Menge von Knoten zu finden, ist für Intervallgraphen in O(n log(n)) Zeit lösbar. 1 2. 3. Durchlaufe die Start- und Endpunkte e von links nach rechts. Speichere zu jedem Endpunkt e die Größe einer maximalen unabhängige Menge S(e) von Intervallen, die links von e liegen. Beim Durchlauf von links nach rechts mache: 1 Falls e Startpunkt vom Intervall (e, f ) ist und es keinen Endpunkt links von e gibt, dann setze S(f ) = 1. 2 Falls e Startpunkt vom Intervall (e, f ) ist, so bestimme: größten Endpunkt e 0 der links von e liegt und setze S(f ) = S(e 0 ) + 1. 3 Falls e Endpunkt vom Intervall (a, e) ist, so bestimme: größten Endpunkt e 0 der links von e liegt und rechts von a liegt. Falls es den gibt, so setze S(e) = max(S(e 0 ), S(e))..
(120) Schnittgraphen 3:15. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr. 1/2. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Maximale Clique auf Intervallgraphen Theorem Eine maximale Clique von Knoten zu finden, ist für Intervallgraphen in O(n log(n)) Zeit lösbar. Bemerkung Sehr viele Probleme lassen sich schnell auf Intervallgraphen lösen.. Z. Zus.f.. SS2016.
(121) Schnittgraphen 3:15. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr. 2/2. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Maximale Clique auf Intervallgraphen Theorem Eine maximale Clique von Knoten zu finden, ist für Intervallgraphen in O(n log(n)) Zeit lösbar. Bemerkung Sehr viele Probleme lassen sich schnell auf Intervallgraphen lösen.. Z. Zus.f.. SS2016.
(122) Schnittgraphen 3:16. Einleitung. Intervallgraphen. Perm.gr.. 1/5. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Z. Zus.f.. SS2016. Permutationsgraphen Definition (Permutationsgraph) Ein Graph G = (V , E ) heißt Permutationsgraph, falls er durch eine Permutation π : {1..n} → {1..n} wie folgt darstellbar ist: G = ({1..n}, {(i, j); (i − j)(π(i) − π(j)) < 0}). Theorem Ein Permutationsgraph ist der Schnittgraph von Strecken, die zwei Parallelen verbinden..
(123) Schnittgraphen 3:16. Einleitung. Intervallgraphen. Perm.gr.. 2/5. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Z. Zus.f.. SS2016. Permutationsgraphen Definition (Permutationsgraph) Ein Graph G = (V , E ) heißt Permutationsgraph, falls er durch eine Permutation π : {1..n} → {1..n} wie folgt darstellbar ist: G = ({1..n}, {(i, j); (i − j)(π(i) − π(j)) < 0}). Theorem Ein Permutationsgraph ist der Schnittgraph von Strecken, die zwei Parallelen verbinden..
(124) Schnittgraphen 3:16. Einleitung. Intervallgraphen. Perm.gr.. 3/5. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Z. Zus.f.. SS2016. Permutationsgraphen Definition (Permutationsgraph) Ein Graph G = (V , E ) heißt Permutationsgraph, falls er durch eine Permutation π : {1..n} → {1..n} wie folgt darstellbar ist: G = ({1..n}, {(i, j); (i − j)(π(i) − π(j)) < 0}). Theorem Ein Permutationsgraph ist der Schnittgraph von Strecken, die zwei Parallelen verbinden..
(125) Schnittgraphen 3:16. Einleitung. Intervallgraphen. Perm.gr.. 4/5. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Z. Zus.f.. SS2016. Permutationsgraphen Definition (Permutationsgraph) Ein Graph G = (V , E ) heißt Permutationsgraph, falls er durch eine Permutation π : {1..n} → {1..n} wie folgt darstellbar ist: G = ({1..n}, {(i, j); (i − j)(π(i) − π(j)) < 0}). Theorem Ein Permutationsgraph ist der Schnittgraph von Strecken, die zwei Parallelen verbinden..
(126) Schnittgraphen 3:16. Einleitung. Intervallgraphen. Perm.gr.. 5/5. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. Z. Zus.f.. SS2016. Permutationsgraphen Definition (Permutationsgraph) Ein Graph G = (V , E ) heißt Permutationsgraph, falls er durch eine Permutation π : {1..n} → {1..n} wie folgt darstellbar ist: G = ({1..n}, {(i, j); (i − j)(π(i) − π(j)) < 0}). Theorem Ein Permutationsgraph ist der Schnittgraph von Strecken, die zwei Parallelen verbinden..
(127) Schnittgraphen 3:17. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 18:44. 1/18. SS2016. Beispiel und Färbung π(i). π(h). π(e). a. b. π(c). c. d. π(f ) π(a). e. f. b. π(b). g. h. h i. c. Σ=0. e. π(d) π(k) π(g ) π(j). i. j. k. Z. Zus.f..
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