Algorithmische Graphentheorie (SS2016) Kapitel 8 Gossiping Walter Unger

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(1)Algorithmische Graphentheorie (SS2016) Kapitel 8 Gossiping. Walter Unger Lehrstuhl für Informatik 1. 18:51 Uhr, den 15. Juni 2016.

(2) Einleitung 8. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Inhaltsverzeichnis. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. Inhalt I 1. Einleitung Erinnerung und Motivation Erste Resultate. 2. Einfache Graphen Linien Bäume Graphen mit Brücke. 3. Netzwerke Kreise HQ Hypercube CCC und BF. 4. Komplexität Aussagen. 5. Telefonmode Gerade Knotenanzahl Ungerade Knotenanzahl. 6. Telegraphmode Obere Schranke Untere Schranke. 7. Zusammenfassung Telefonmodus Telegraphmodus. SS2016. Z. Zus..

(3) Einleitung 8:1. Einfache Graphen. Netzwerke. Erinnerung und Motivation. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. Erinnerung Definition (Gossip): Gegeben sei G = (V , E ). Jeder Knoten w ∈ V habe Information I (w ), und kein Knoten aus V \ {w } kennt I (w ). Bestimme Verfahren, bei dem jeder Knoten v ∈ V die Information ∪w ∈V I (w ) erfährt. Mit comm(A) wird die Komplexität (Anzahl der Runden) eines Kommunikationsalgorithmus bezeichnet. r (G ) = min{comm(A) | A ist Einweg-Algorithmus und löst Gossip-Problem auf G } r2 (G ) = min{comm(A) | A ist Zweiweg-Algorithmus und löst Gossip-Problem auf G }. Z. Zus..

(4) Einleitung 8:2. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Erinnerung und Motivation. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. Motivation Broadcast ist ein Teil von Gossip. Viele gleichzeitige Broadcasts müssen zusammenpassen. Das macht das Problem interessant. Noch interessanter, da wichtiger für Algorithmen auf Netzwerken. Beispiel: Verteilen der unteren Schranke bei “Branch and Bound”. Diesmal Unterschied zwischen Telegraph- und Telefonmode. Daher zuerst Gossiping in Telefonmode.. Z. Zus..

(5) Einleitung 8:3. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Erste Resultate. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. Untere Schranke Lemma: Sei G = (V , E ) mit n Knoten. Dann gilt: dlog2 ne n gerade, r (G ) > r2 (G ) > dlog2 ne + 1 n ungerade. Beweis: Nur der Fall n ungerade ist zu zeigen Zeige: r2 (G ) > dlog2 ne + 1. Sei A ein Kommunikationsalgorithmus für das Gossip-Problem. A habe Kommunikationsrunden (Matchings) E1 , E2 , · · · , Ek . Zeige per Induktion: Nach i Runden hat jeder Knoten höchstens 2i Informationen. IA: i = 0: Jeder Knoten hat 20 = 1 Informationen. IS: i − 1 → i: Ein Knoten kann höchstens 2i−1 + 2i−1 = 2i Informationen zusammenfassen. In Runde k ist ein Knoten v inaktiv. v hat nach Runde k höchstens 2k−1 Informationen.. Z. Zus..

(6) Einleitung 8:4. Einfache Graphen. Netzwerke. Erste Resultate. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. Allgemeiner Algorithums Lemma: Für jeden Graphen G = (V , E ) mit |V | = n gilt: r (G ) 6 2n − 2, und r2 (G ) 6 2n − 3. Beweis: Ergibt sich aus den folgenden bekannten Tatsachen: minb(G ) 6 n − 1 für jeden Graphen G = (V , E ) mit |V | = n. r (G ) 6 2 · minb(G ) r2 (G ) 6 2 · minb(G ) − 1. SS2016. Z. Zus..

(7) Einleitung 8:5. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Erste Resultate. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. Allgemeiner Algorithums (Fortsetzung) r (G ) r2 (G ). Lemma: Es gilt: r (Tk (1)) = 2k r2 (Tk (1)) = 2k − 1 Beweis: Zeige: r (Tk (1)) > 2k. r (Tk (1)) hat eine Wurzel und k Blätter. Das maximale Matching ist 1. In jeder Runde ist höchstens ein Blatt aktiv. Jedes Blatt muss einmal senden. Jedes Blatt muss einmal empfangen. Damit sind 2k Runden notwendig. r2 (Tk (1)) > 2k − 1, einfache Übung.. Z. Zus.. 6 6. 2n − 2 2n − 3.

(8) Einleitung 8:6. Einfache Graphen. Netzwerke. Linien. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. Gossip auf Linien Theorem: Es gilt: r2 (L(n)) = n − 1 für jede gerade Zahl n > 2, r2 (L(n)) = n für jede ungerade Zahl n > 3, r (L(n)) = n für jede gerade Zahl n > 2 und r (L(n)) = n + 1 für jede ungerade Zahl n > 3. Beweis: Zeige: r2 (L(n)) > n − 1. Beachte dazu: r2 (L(n)) > b(L(n)) > diam(L(n)) = n − 1. SS2016. Z. Zus..

(9) Einleitung 8:7. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Linien. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis I) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r2 (L(n)) 6 n − 1 für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. v0. {{0, 1}, {n − 1, n − 2}}, {{1, 2}, {n − 2, n − 3}}, {{2, 3}, {n − 3, n − 4}}, ··· {{n/2 − 1, n/2}} ··· {{2, 3}, {n − 3, n − 4}}, {{1, 2}, {n − 2, n − 3}}, {{0, 1}, {n − 1, n − 2}} Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).

(10) Einleitung 8:8. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Linien. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis II) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r2 (L(n)) 6 n für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. {{0, 1}, {{1, 2}, {n − 1, n − 2}}, {{2, 3}, {n − 2, n − 3}}, ··· {{bn/2c, dn/2e}} ··· {{2, 3}, {n − 2, n − 3}}, {{1, 2}, {n − 1, n − 2}}, {{0, 1}} v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).

(11) Einleitung 8:9. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Linien. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis II) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r2 (L(n)) > n für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Fluß der Nachrichten vom linken und rechten Knoten. Diese können nicht ohne Verzögerung weitergereicht werden. Denn sonst gibt es in der Mitte einen Zeitkonflikt. Daher muss mindestens eine Nachricht verzögert werden. Damit ergibt sich die untere Schranke. v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).

(12) Einleitung 8:10. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Linien. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis III) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) 6 n für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. v0. {(0, 1), (n − 1, n − 2)}, {(1, 2), (n − 2, n − 3)}, {(2, 3), (n − 3, n − 4)}, ··· {(n/2 − 1, n/2)} {(n/2, n/2 − 1)} ··· {(3, 2), (n − 4, n − 3)}, {(2, 1), (n − 3, n − 2)}, {(1, 0), (n − 2, n − 1)} Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).

(13) Einleitung 8:11. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Linien. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis IV) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) > n für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Analoges Vorgehen wie oben. Betrachte Fluß der Nachrichten vom linken und rechten Knoten. Diese können nicht ohne Verzögerung weitergereicht werden. Denn sonst gibt es in der Mitte einen Zeitkonflikt. Daher muss mindestens eine Nachricht verzögert werden. Damit ergibt sich die untere Schranke. v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).

(14) Einleitung 8:12. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Linien. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis V) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) 6 n + 1 für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. {(0, 1)}, {(1, 2), (n − 1, n − 2)}, {(2, 3), (n − 2, n − 3)}, ··· {(bn/2c, dn/2e)} {(dn/2e, bn/2c)} ··· {(3, 2), (n − 3, n − 2)}, {(2, 1), (n − 2, n − 1)}, {(1, 0)} v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).

(15) Einleitung 8:13. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Linien. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis VI) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) > n + 1 für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. Analoges Vorgehen wie oben. Betrachte Fluß der Nachrichten vom linken und rechten Knoten. Diese können nicht ohne Verzögerung weitergereicht werden. Denn sonst gibt es in der Mitte einen Zeitkonflikt. Daher muss mindestens eine Nachricht (O.E.d.A. die rechte) verzögert werden. Nun muss die rechte Nachricht weiterlaufen, sonst hätten wir schon jetzt ein Verzögerung von 2. Nun ergibt sich eine weitere Verzögerung. Damit ergibt sich die untere Schranke. v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. 2)) 2)) 2)) 2)).

(16) Einleitung 8:14. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Bäume. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. Gossip auf allgemeinen Bäumen Lemma: Es gilt für jeden Baum T : r (T ) = 2 · minb(T ) r2 (T ) = 2 · minb(T ) − 1 Beweisidee: Für beliebige Graphen G schon gezeigt: r (G ) 6 2 · minb(G ). Zeige daher: r (G ) > 2 · minb(G ). Sei W = ∪w ∈V I (v ) die Gesamtinformation. Sei A ein beliebiger Kommunikationsalgorithmus auf T . Sei t der Zeitpunkt, bei dem erstmals ein Knoten W kennt. Sei v ein Knoten, der nach t Schritten W kennt. Zeige nun: Zum Zeitpunkt t kennt nur v die Information W .. SS2016. Z. Zus..

(17) Einleitung 8:15. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Bäume. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. Gossip auf allgemeinen Bäumen (Beweis I). Z. Sei u 6= v ein weiterer Knoten der nach t Schritten W kennt. Sei (u, y1 , y2 , · · · , yk , v ) der eindeutige Weg zwischen u und v . Falls v an yk sendet im Zeitpunkt t, dann kannte v W schon zum Zeitpunkt t − 1. Betrachte nun den Fall, yk sendet an v im Zeitpunkt t: Also gibt yk an v eine fehlende Information. yk kennt zum Zeitpunkt t − 1 die gesamte Information, die von yk nach v fließen muss. Die gesamte Information, die von v nach yk gereicht werden muss, ist schon geflossen. Dann kennt yk die Information W schon zum Zeitpunt t − 1. Widerspruch: es gibt u nicht. Damit gilt: t > minb(T ) = b(v , T ). u. Σ=0. y1. y2. y3. yk. v. Zus..

(18) Einleitung 8:16. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Bäume. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. Gossip auf allgemeinen Bäumen (Beweis II) Betrachte die Situation bei v nach Runde t. Sei o.E.d.A. v Wurzel von T . Seien v1 , v2 , · · · , vk die Söhne von v . Seien T1 , T2 , · · · , Tk die Teilbäume mit Wurzeln v1 , v2 , · · · , vk . In jedem Teilbaum Ti fehlt eine Information wi . Nur v kennt ∪kj=1 wj . Damit sind noch b(v , T ) Schritte notwendig. Damit gilt r (T ) > minb(T ) + b(v , T ) > 2 · minb(T ) v. v1. v2. v3. vk. T1 Σ=0. T2. T3. Tk. SS2016. Z. Zus..

(19) Einleitung 8:17. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Bäume. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. Gossip auf allgemeinen Bäumen (Beweis III) Betrachte nun Zweiweg-Modus: Mit analogem Vorgehen kann man zeigen: Zum Zeitpunkt t kennen nur zwei benachbarte Knoten u und v die gesamte Information. Damit ergibt sich analog die Aussage. u. y1. y2. y3. yk. w. v1. v2. v3. vk. T1 Σ=0. T2. T3. Tk. v. Z. Zus..

(20) Einleitung 8:18. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Bäume. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. Folgerung Lemma: Es gilt für alle m > 1 und k > 2: r (Tk (m)) = 2 minb(Tk (m)) = 2 · k · m. r2 (Tk (m)) = 2 minb(Tk (m)) − 1 = 2 · k · m − 1.. SS2016. Z. Zus..

(21) Einleitung 8:19. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Graphen mit Brücke. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. Graphen mit Brücke Lemma: Sei G = (V , E ) ein Graph mit Brücke e ∈ E , der durch Löschen von e in die Komponenten G1 und G2 zerfällt. Dann gilt: r (G ) > minb(G ) + 1 + min{minb(G1 ), minb(G2 )} Beweis: Sei W = ∪v ∈V I (v ) die Gesamtinformation. Sei t > minb(G ) der Zeitpunkt, bei dem erstmals ein Knoten w W kennt. Wenn w ∈ G1 ist, dann kennt kein Knoten aus G2 W . Dann sind noch 1 + minb(G2 ) Schritte notwendig. Wenn w ∈ G2 ist, dann kennt kein Knoten aus G1 W . Dann sind noch 1 + minb(G1 ) Schritte notwendig. Damit gilt: r (G ) > minb(G ) + 1 + min{minb(G1 ), minb(G2 )}. G1 Σ=0. v1. v2. G2. Z. Zus..

(22) Einleitung 8:20. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Graphen mit Brücke. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. Graphen mit Brücke. Z. Lemma: Sei G = (V , E ) ein Graph mit Brücke e ∈ E , der durch Löschen von e in die Komponenten G1 und G2 zerfällt. Dann gilt: r2 (G ) > minb(G ) + min{minb(G1 ), minb(G2 )} Beweis: Sei t > minb(G ) der Zeitpunkt, bei dem erstmals ein Knoten w W kennt. Analog wie oben kann man zeigen: Sei i ∈ {1, 2}. Wenn w ∈ Gi ist und v3−i kennt W nicht, dann kennt kein Knoten aus G3−i W . Dann sind noch 1 + minb(G3−i ) Schritte notwendig. Wenn v1 und v2 W kennen, dann kein weiterer Knoten. Dann sind noch min{minb(G1 ), minb(G2 )} Schritte notwendig. Damit gilt: r2 (G ) > minb(G ) + min{minb(G1 ), minb(G2 )}. G1 Σ=0. v1. v2. G2. Zus..

(23) Einleitung 8:21. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Kreise. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. Gossip auf Kreisen Theorem: Es gilt: r2 (C (k)) = k/2 für gerade k. r2 (C (k)) = dk/2e + 1 für ungerade k. Beweisidee (k gerade): [k ungerade: siehe Übung] Sei k gerade. r2 (C (k)) > k/2 ergibt sich mittels Durchmesser. r2 (C (k)) 6 k/2 ergibt sich durch folgenden Algorithmus: 1 2 3 4 5. {{0, 1}, {2, 3}, {4, 5}, · · · {{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}, · · · {{0, 1}, {2, 3}, {4, 5}, · · · {{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}, · · · ···. , {2i, 2i + 1}, · · · , {2i − 1, 2i}, · · · , {2i, 2i + 1}, · · · , {2i − 1, 2i}, · · ·. , {n − 2, n − 1} , {n − 1, 0} , {n − 2, n − 1} , {n − 1, 0}. Beachte: Nach i Runden kennt jeder Knoten 2 · i Informationen.. SS2016. Z. Zus..

(24) Einleitung 8:22. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Kreise. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. 1-Weg Gossip auf Kreisen (Idee) Nachrichten sind in beide Richtungen zu schicken. Aktiviere “gleichverteilt” jeden f (n)-ten Knoten. Damit hat man eine Verzögerung von Θ(f (n)). Beim Versenden treten Θ( 2·fn(n) ) Verzögerungen auf. √ Damit wähle f (n) = Θ( n). Damit bekommt man untere und obere Schranke.. SS2016. Z. Zus..

(25) Einleitung 8:23. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Kreise. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. Gossip auf Kreisen (Idee). Konflikt. SS2016. Z. Zus..

(26) Einleitung 8:24. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Kreise. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. Gossip auf Kreisen (Idee des Algorithmus). Z. Zus.. √ Aufteilung in Θ( n) Blöcke Bi .. √ Das folgende geschehe in Bi : i ∈ {1, 2, 3, · · · , k} mit k ∈ Θ( n). 1. Phase: Die Knoten vi [ui ] starten eine “Sendewelle” nach links [rechts]. Die Nachrichten√von vi und ui werden dabei von den anderen Nachrichten Θ(pn) mal aufgehalten. Nach n/2 + Θ( n)) Runden kennt zi alle Nachrichten. 2. Phase:. √ Die Knoten zi verteilen ihre Nachricht an Θ( n) Knoten.. Beachte: Bei geradem n ist die Verzögerung immer eins, und die Synchronisation ist einfach. f5. f4. f3. f2. f1. e6. e5. e4. e3. e2. e1. d6. d5. d4. d3. d2. d1. Σ=0 a1 a2. a3. a4. a5. a6. b1. b2. b3. b4. b5. b6. c1. c2. c3. c4. c5. c6. f6.

(27) Einleitung 8:25. Einfache Graphen. Netzwerke. Kreise. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. Gossip auf Kreisen (Idee) Theorem: Es gilt:. √. 2n − 1 für gerade n. p r (C (n)) 6 dn/2e + d2 · dn/2ee − 1 für ungerade n. √ r (C (n)) > n/2 + 2n − 1 für gerade n. √ r (C (n)) > dn/2e + d 2n − 1/2e − 1 für ungerade n. r (C (n)) 6 n/2 +. Beweis: Siehe Literatur.. SS2016. Z. Zus..

(28) Einleitung 8:26. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Hypercube. Telefonmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. Gossip auf Hypercube Theorem: Für alle m ∈ N gilt: r2 (HQ(m)) = m Beweis: Untere Schranke ist der Durchmesser. Obere Schranke durch folgenden Algorithmus: for i = 1 to m do for all a1 , a2 , · · · , am−1 ∈ {0, 1} do in parallel a1 a2 · · · ai−1 0ai ai+1 · · · am−1 sendet an a1 a2 · · · ai−1 1ai ai+1 · · · am−1 Folgerung: Für alle m ∈ N gilt: r2 (K (2m )) = m. Telegraphmode SS2016. Z. Zus..

(29) Einleitung 8:27. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. CCC und BF. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. CCC und BF (Idee). SS2016. Z. Betrachte Einweg-Modus: Führe erste Phase des Gossip-Algorithmus für Kreise auf allen Kreisen aus. √ Jeder Θ( n)-te Knoten jedes Kreises kennt die komplette Information auf dem Kreis. √ In Θ( n) Wellen verteile diese Information nach unten. √ Nach Θ(n) Schritten kennt jeder Θ( n)-te Knoten jedes Kreises die vollständige Information. Führe die zweite Phase des Gossip-Algorithmus für Kreise auf allen Kreisen aus. Alle Knoten kennen alle Informationen.. CCC,BF. Zus..

(30) Einleitung 8:28. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. CCC und BF. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. CCC und BF (Idee) Betrachte Zweiweg-Modus: Führe Gossip-Algorithmus für Kreise auf allen Kreisen aus. Jeder Knoten jedes Kreises kennt die komplette Information auf dem Kreis. In Θ(n/2) Wellen verteile diese Information nach unten. Nach Θ(n) Schritten kennt jeder Knoten die vollständige Information.. CCC,BF. Z. Zus..

(31) Einleitung 8:29. Einfache Graphen. Netzwerke. CCC und BF. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. CCC und BF Theorem: Sei k > 3. Dann gilt: q r (CCC (k)) 6 r (C (k)) + 3k − 1 6 d 7k e + 2 d k2 e − 2. 2 q k r (BF (k)) 6 r (C (k)) + 2k 6 d 5k e + 2 d e − 1. 2 2 r2 (CCC (k) 6. k 2. r2 (CCC (k) 6. d k2 e. r2 (BF (k) 6. k 2. + 2k = 5 · d k2 e für gerade k. + 2k + 2 = 5 · d k2 e für ungerade k.. + 2k = 5 · d k2 e für gerade k.. r2 (BF (k) 6 d k2 e + 2k + 2 = 5 · d k2 e für ungerade k.. SS2016. Z. Zus..

(32) Einleitung 8:30. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Aussagen. Komplexität Definition: Das 2-Weg Gossip-Problem ist: Gegeben: G = (V , E ) und k ∈ N. Frage: Gilt r2 (G ) 6 k. Definition: Das 1-Weg Gossip-Problem ist: Gegeben: G = (V , E ) und k ∈ N. Frage: Gilt r (G ) 6 k.. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. Z. Zus..

(33) Einleitung 8:31. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Aussagen. Telefonmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. Komplexität Theorem: Das 2-Weg und 1-Weg Gossip-Problem auf Bäumen ist in P. Beweis: einfache Übung. Theorem: Das 2-Weg und 1-Weg Gossip-Problem ist in N PC. Beweis: analog zum Broadcast-Problem.. Telegraphmode SS2016. Z. Zus..

(34) Einleitung 8:32. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Gerade Knotenanzahl. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. Gossip auf Graphen mit 2 · m Knoten (0. Idee). 0000. 0001. 0010. 0011. 0100. 0101. 0110. 0111. 1000. Z. Zus.. SS2016. 1001.

(35) Einleitung 8:33. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Gerade Knotenanzahl. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. Gossip auf Graphen mit 2 · m Knoten (1. Idee). 0000. 0001. 0010. 0011. 0100. 0101. 0110. Folgerung: Für alle m ∈ N gilt: r2 (K (2m )) = m Für alle m ∈ N gilt: r2 (K (m)) 6 dlog me + 1. 0111. 1000. Z. Zus.. SS2016. 1001.

(36) Einleitung 8:34. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Gerade Knotenanzahl. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. Gossip auf Graphen mit 2 · m Knoten (2. Idee) Problem: Knoten waren lange inaktiv. Damit konnten diese ihr Wissen nicht verdoppeln. Idee: Versuche Wissen zu verdoppeln. Versuche, dass in jedem Schritt ein Knoten ein “Intervall” von Informationen kennt. Damit diese Verdoppelung einfach wird, arbeite auf zwei Gruppen von Knoten. Beide Gruppen seien gleich groß. Im ersten Schritt tauschen die Knoten der Gruppen paarweise ihre Informationen.. Z. Zus..

(37) Einleitung 8:35. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Gerade Knotenanzahl. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. Gossip auf Graphen mit 2 · m Knoten (2. Idee) 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 23 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 w1. w2. w3. w4. w5. w6. w7. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. 1 2 3 4Σ 5= 6 70 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7. Z. Zus..

(38) Einleitung 8:36. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Gerade Knotenanzahl. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. Gossip auf Graphen mit 2 · m Knoten Theorem: Für alle m ∈ N gilt: r2 (K (2m)) = dlog 2me Beweis: Teile Knoten in Gruppen Q[i] und R[i] auf (0 6 i 6 m − 1}). Algorithmus: for all i ∈ {0, · · · , m − 1} do in parallel Tausche Information zwischen Q[i] und R[i] for t = 1 to dlog2 me do for all i ∈ {0, . . . , m − 1} do in parallel Tausche Information zwischen Q[i] und R[(i + 2t−1 ) mod m] Invariante: Sei α[i] Information von Q[i] und R[i] nach ersten Austausch. Nach Runde t kennen Knoten Q[i] und R[(i + 2t−1 ) mod m]: ∪06j62t −1 α[(i + j) mod m] Die Invariante ist leicht zu zeigen.. Z. Zus..

(39) Einleitung 8:37. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Ungerade Knotenanzahl. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. Gossip auf Graphen mit 2 · m + 1 Knoten (Versuch) 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 23 4 5 6 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 0 1 23 4 5 6 7 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 12 3 4 5 6 7 w1. w2. w3. w4. w5. w6. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. 1 2 3 4Σ 5= 6 01 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 0 1 23 4 5 6 7 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 0 0 0 7. Wir brauchen noch eine weitere Runde. Ein allgemeiner Beweis wird mit dieser Idee schwer. Also versuchen ein strukturierteres Vorgehen.. Z. Zus..

(40) Einleitung 8:38. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Ungerade Knotenanzahl. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. Gossip auf Graphen mit 2 · m + 1 Knoten (Idee) w1. w2. w3. w4. w5. w6. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. Σ=0. Wo soll da eine Idee sein? Wir haben nur die Kanten des ersten Schrittes. Idee: Man kann nun eine kleine gerade Zahl von Knoten wählen, die das Gesamtwissen haben. Diese können ohne Probleme Gossip machen. Im letzten Schritt wird die erste Runde wiederholt.. Z. Zus..

(41) Einleitung 8:39. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Ungerade Knotenanzahl. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. Gossip auf Graphen mit 2 · m + 1 Knoten Sei n = 2 · m + 1. Seien v0 , v1 , v2 , · · · , vn−1 die Knoten. Für alle i ∈ {0, 1, · · · , m − 1} sendet Knoten vm+2+i an vi . Nun haben die Knoten {v0 , v1 , v2 , · · · , vm } gemeinsam die Gesamtinformation. Falls m + 1 gerade, führe Gossip auf {v0 , v1 , v2 , · · · , vm } aus. Falls m + 1 ungerade, führe Gossip auf {v0 , v1 , v2 , · · · , vm+1 } aus. Für alle i ∈ {0, 1, · · · , m − 1} sendet Knoten vi an vm+2+i . Korrektheit ergibt sich durch Konstruktion. Laufzeit für m + 1 gerade: r2 (K (m + 1)) + 2 = dlog2 (m + 1)e + 2 = dlog2 (n + 1)e + 1. = =. +2 log2 n+1 2 dlog2 ne + 1. Laufzeit für m + 1 ungerade: r2 (K (m + 2)) + 2 = dlog2 (m + 2)e + 2 = dlog2 (n + 3)e + 1. = =. +2 log2 n+3 2 dlog2 ne + 1. . . Z. Zus..

(42) Einleitung 8:40. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Obere Schranke. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. 1. Idee (Wissen möglichst anwachsen lassen) 1 2 0 0 0 0 0 0 2 3 0 0 0 0 0 03 4 0 0 0 0 0 0 4 5 0 0 0 0 0 0 5 6 0 00 0 0 0 6 7 1 0 0 0 0 0 7 1 2 3 0 0 0 0 0 2 3 4 0 0 0 0 0 3 4 5 0 0 0 0 0 4 5 6 0 0 0 0 0 5 6 7 10 0 0 0 6 7 1 2 0 0 0 0 7 w1. w2. w3. w4. w5. w6. w7. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. 0 0 0 4Σ 5= 0 70 1 0 0 0 5 6 0 0 2 0 0 0 6 7 1 0 3 0 0 0 7 1 2 0 4 0 0 0 0 2 3 0 5 0 0 0 0 3 4 0 6 0 1 0 0 4 5 6 7 1 2 0 0 5 6 7 1 2 3 0 0 6 7 1 2 3 4 0 0 7 1 2 3 4 5 0 0 02 3 4 5 6 0 0 0 3 4 5 6 7. Wir brauchen noch weitere Runden. Ein allgemeiner Beweis wird mit dieser Idee wieder schwer. Also versuchen wieder ein strukturierteres Vorgehen.. Z. Zus..

(43) Einleitung 8:41. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Obere Schranke. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. 2. Idee (Wissen möglichst geschlossen wachsen lassen) 1 0 0 4 5 6 7 1 2 0 0 5 6 7 1 23 0 0 6 7 1 2 3 4 0 0 7 1 2 3 4 5 0 0 02 3 4 5 6 0 0 0 3 4 5 6 7 1 0 0 4 5 6 7 1 2 0 0 5 6 7 1 2 3 0 0 6 7 1 2 3 4 0 0 7 1 2 3 4 5 0 0 02 3 4 5 6 0 0 0 3 4 5 6 7 w1. w2. w3. w4. w5. w6. w7. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. 1 0 0 0Σ 0= 6 70 1 2 0 0 0 0 7 1 2 3 0 0 0 0 0 2 3 4 0 0 0 0 0 3 4 5 0 0 0 0 0 4 5 6 0 0 0 0 0 5 6 7 1 0 0 0 0 6 7 1 2 0 0 0 0 7 1 2 3 0 0 0 0 0 2 3 4 0 0 0 0 0 3 4 5 0 0 00 0 4 5 6 0 0 0 0 0 5 6 7. Wir brauchen noch zwei weitere Runden. vx und wy wechseln sich als Sender und Emfänger immer ab. Die Information wächst geschlossen in den Knoten. Ein allgemeiner Beweis wird mit dieser Idee einfacher. Die ersten beiden Runden nehmen eine Sonderrolle ein.. Z. Zus..

(44) Einleitung 8:42. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Obere Schranke. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. 2. Idee (Wissen möglichst geschlossen wachsen lassen) Nach den beiden ersten Austauschen haben alle Knoten ein Informationspaar. Betrachten wir diese Situation als Start: Alle vx und alle wx haben 1 Informationspaar. vi sendet an wj und die wx haben 2 Informationspaare. wi sendet an vj und die vx haben 3 Informationspaare. vi sendet an wj und die wx haben 5 Informationspaare. wi sendet an vj und die vx haben 8 Informationspaare. vi sendet an wj und die wx haben 13 Informationspaare. wi sendet an vj und die vx haben 21 Informationspaare. Damit ist das Wachstum und der Algorithmus klar.. Z. Zus..

(45) Einleitung 8:43. Einfache Graphen. Obere Schranke. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. Algorithmus. SS2016. Z. Zus.. fib(0) = fib(1) = 1 fib(i) = fib(i − 1) + fib(i − 2). Sei n = 2m. Gossip-Algorithmus: t := 0; for all i ∈ {0, . . . , m − 1} do in parallel R[i] sendet an Q[i]; for all i ∈ {0, . . . , m − 1} do in parallel Q[i] sendet an R[i]; while fib(2t + 1) < m do begin t := t + 1; for all i ∈ {0, . . . , m − 1} do in parallel R[(i + fib(2t − 1)) mod m] sendet an Q[i]; if fib(2t) < m then for all i ∈ {0, . . . , m − 1} do in parallel Q[(i + fib(2t)) mod m] sendet an R[i] end;.

(46) Einleitung 8:44. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Obere Schranke. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. Einweg-Gossip. Z. Zus.. fib(0) = fib(1) = 1 fib(i) = fib(i − 1) + fib(i − 2). Theorem: Sei n = 2m und k = min{x | fib(x) > m}. Dann gilt r (K (n)) 6 k + 1. Beweis: Der Algorithmus hält, falls fib(2t + 1) > m oder fib(2t) > m. Dann sind 2t oder 2(t − 1) + 1 Runden in der Schleife gelaufen. Damit sind (k − 1) + 2 Runden gelaufen. Korrektheit ergibt sich durch folgende Invariante: Sei a[i] die Information, die R[i] und Q[i] nach zwei Runden gemeinsam haben. Nach t Schleifendurchläufen gilt: Q[i] kennt ∪06j6fib(2t+1)−1 α[(i + j) mod m] R[i] kennt ∪06j6fib(2t+2)−1 α[(i + j) mod m] Damit ergibt sich direkt die Korrektheit..

(47) Einleitung 8:45. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Obere Schranke. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. Einweg-Gossip Theorem: Sei n = 2m − 1 und k = min{x | fib(x) > m}. Dann gilt r (K (n)) 6 k + 2. Beweis: Analoges Vorgehen wie beim Zweiweg-Modus. Theorem: Sei n gerade. Dann gilt: r (K (n)) > 2 + dlog 1 (1+√5) 2n e. 2. Beweis: Siehe Literatur (Idee n 2 4 6 Upper Bound 2 4 5 Lower Bound 2 4 5. im Folgenden). 8 10 12 14 6 6 7 7 5 6 6 7. 16 7 7. 18 8 7. 20 8 7. 22 8 7. Z. Zus..

(48) Einleitung 8:46. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Untere Schranke. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. Idee der unteren Schranke Situation: Algorithmus mit “Fibonacci Wachstum”. Keine Idee das Wachstum zu verbessern. Aufbau einer unteren Schranke: Von allgemeinem Algorithmus ausgehen. Notwendige Bedingungen nutzen. Abstrahieren. Hier nun die Abstraktion. Versuche auf das Kernproblem zu kommen. Kernproblem hier: “Fibonacci Wachstum” ist scheinbar nicht zu verbessern.. SS2016. Z. Zus..

(49) Einleitung 8:47. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Untere Schranke. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. 1. Abstraktion. Z. Definition: Das Network Counting Problem: Gegeben ein ungerichteter Graph G = (V , E ). Jeder Knoten speichert eine Zahl. Initial wird eine 1 gespeichert. Bei den Kommunikationen kann der Emfänger einfach die gesendete Zahl zu seiner addieren. Ziel ist es, dass alle Knoten eine Zahl größer oder gleich |V | speichern. Mit nc(G ) wird die minimale Anzahl der Runden bezeichnet, die nötig ist, um dies zu erreichen. Lemma: Für jeden Graphen G gilt: r (G ) > nc(G ).. Zus..

(50) Einleitung 8:48. Einfache Graphen. Untere Schranke. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. 2. Abstraktion Sei G = ({v1 , v2 , v3 , · · · , vn }, E ) ein ungerichteter Graph. Jeder Knoten vi speichere nach t Runden die Zahl zit . Dann kann die aktuelle Situation für das Network Counting Problem durch einen Vektor beschrieben werden: Initial: (1, 1, 1, · · · , 1)T . Nach t Runden: (z1t , z2t , z3t , ..., znt )T . Eine Runde eines Algorithmus für das Network Counting Problem wird dann durch eine Matrix B beschrieben: A ist eine n × n Matrix. aij = 1 Knoten j sendet an Knoten i. A hat auf der Hauptdiagonalen lauter 1-en. A hat in jeder Zeile höchstens zwei 1-en. A hat in jeder Spalte höchstens zwei 1-en. Falls aij = akl = 1 (i 6= j 6= k 6= l), dann gilt l 6= i 6= k und l 6= j 6= k. Damit: A · (z1t , z2t , z3t , ..., znt )T = (z1t+1 , z2t+1 , z3t+1 , ..., znt+1 )T. Z. Zus..

(51) Einleitung 8:49. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Untere Schranke. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. 2. Abstraktion (Fortsetzung) Wir betrachten nun nur noch Matrizen dieser Form. Also Matrizen A, für die es Transformation T gibt mit:  B 0  B   .   .  B TAT −1 =    1   .   . 0 11 und B = . 01.        .       1. Den Zuwachs, den diese Matrizen für das Network Counting Problem liefern, wollen wir abschätzen.. Z. Zus..

(52) Einleitung 8:50. Einfache Graphen. Untere Schranke. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. Erinnerung (Norm, 3. Abstraktion). SS2016. Z. Sei ||..|| eine Vektor Norm über Rn . Dann gilt: ||x|| = 0 ⇔ x = 0n , ||α · x|| = |α| · ||x||, ||x + y || 6 ||x|| + ||y || dies für alle α ∈ R, x, y ∈ Rn Die Matrix Norm zur Vektor Norm ||..|| ist definiert durch ||A|| = supx6=0 ||Ax|| . Dann gilt: ||x|| ||A|| = 0 ⇔ A = 0 ||A + B|| 6 ||A|| + ||B|| ||αA|| = α · ||A|| ||A · B|| 6 ||A|| · ||B|| ||A · x|| 6 ||A|| · ||x|| 2 dies für alle A, B ∈ Rn , x ∈ Rn , α ∈ R, α > 0. p n Hier: ||x|| = Σi=1 |xi |2 für ein x = (x1 , .., xn ), p Bekannt: ||A|| = Spektral Norm(A) = |λmax (AT · A)| mit: λmax ist der größte Eigenwertsbetrag.. Zus..

(53) Einleitung 8:51. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Untere Schranke. 2. Abstraktion (Fortsetzung) Damit bestimmen wir die Spektralnorm: ||A|| = ||TAT −1 || = ||B||. 10 11 11 BT · B = = . 11 01 12 ⇒ (2 − λ)(1 − λ) − 1 = 0 ⇒ λ2 − 3λ + 1 = 0 q ⇒ λmax (B T B) = 32 + 54 p √ ||A|| = λmax (AT A) = 12 (1 + 5). Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. Z. Zus..

(54) Einleitung 8:52. Einfache Graphen. Untere Schranke. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. Theorem: Ein Algorithmus, der das Network Counting Problem löst, braucht 2 + dlog 1 (1+√5) 2n e Runden. 2. Beweis: Seien Aj , 1 6 j 6 r die Matrixen, die das Problem in r Runden lösen. α := (α1 , α2 , · · · , αn )T = Ar −2 · ... · A2 · A1 · (1, 1, · · · , 1)T . rQ −2 √ √ ||α|| 6 ( ||Ai ||) · ||(1, ..., 1)|| 6 ( 21 (1 + 5))r −2 · n i=1. Sei inf (i, t) die Information, die Knoten vi nach t Runden hat. Nach Runde t gilt: inf (i, t) > n für alle i ∈ {1, 2, · · · , n}. Nach Runde t − 1 gilt: inf (i, t − 1) > n für mindestens n/2 Knoten. Es kann einige Werte i geben mit: inf (i, t − 2) > n. Falls aber αi < n und inf (i, t − 1) > n, dann gibt es j mit: αi + αj > n.. Z. Zus..

(55) Einleitung 8:53. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Untere Schranke. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. Fortsetzung. Z. Zus.. α := (α1 , α2 , · · · , αn )T = Ar −2 · ... · A2 · A1 · (1, 1, · · · , 1). Sei nun c1 die Anzahl der Fälle mit: αi > n, c2 die Anzahl der Fälle mit: αi < n und αj > n, c3 die Anzahl der Fälle mit: αi < n, αj < n und αi + αj > n. Dann gilt: c1 > c2 und c1 + c2 + c3 > n/2. Daraus folgt: 2c1 + c3 > 2n q p ||α|| = Σni=1 αi2 > c1 n2 + c3 · 2 ·. n2 4. >n·. q. 1 (2c1 2. + c3 ) >. Schon gezeigt: rQ −2 √ √ ||α|| 6 ( ||Ai ||) · ||(1, ..., 1)|| 6 ( 21 (1 + 5))r −2 · n. i=1. Damit haben wir: √ n √ · n 6 ||α|| 6 Φr −2 · n, 2 Womit folgt: r > 2 + dlog 1 (1+√5) 2n e 2. n√ n. 2.

(56) Einleitung 8:54. Einfache Graphen. Netzwerke. Untere Schranke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. Güte der Schranken. SS2016. Z. Lemma: Sei n = 2m und sei: t1 := 1 + k, mit k ist die kleinste Zahl mit m 6 F (k) t2 := 2 + dlog 1 (1+√5) me 2. Dann gilt t1 = t2 für unendlich viele m und t1 6 t2 + 1 für alle m. Beweis: Setze Φ = 12 (1 +. √ 5).. Es gilt: Φ2 = Φ + 1. Damit gilt: Φi−2 6 F (i) 6 Φi−1 für alle i > 2. Betrachte n ∈ N mit: n = 2 · F (k) für ein k. Dann gilt: t1 = k + 1 und t2 = 2 + dlogΦ F (k)e = 2 + k − 1 = k + 1. Damit gilt: t1 = t2 für diese n.. Zus..

(57) Einleitung 8:55. Einfache Graphen. Netzwerke. Untere Schranke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. Güte der Schranken (2.Teil) Lemma: Sei n = 2m und sei: t1 := 1 + k, mit k ist die kleinste Zahl mit m 6 F (k) t2 := 2 + dlog 1 (1+√5) me 2. Dann gilt: t1 = t2 für unendlich viele m und t1 6 t2 + 1 für alle m. Beweis: Setze Φ = 12 (1 +. √ 5).. Damit gilt Φi−2 6 F (i) 6 Φi−1 für alle i > 2. Sei n = 2 · m beliebig. Sei i bestimmt durch: Φi−1 < m 6 Φi . Dann gilt: t2 = 2 + i. Sei k die kleinste Zahl mit F (k) > m. Beachte: Φk−2 6 F (k) 6 Φk−1 . Damit gilt: i = k − 1 oder i = k − 2. Daraus folgt: t1 = k + 1 6 i + 3.. Z. Zus..

(58) Einleitung 8:56. Einfache Graphen. Netzwerke. Telefonmodus. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. Zusammenfassung (Telefonmodus) Graph Kn Hk Pn Cn CCCk. |V | n 2k n n k · 2k. diam 1 k n−1 b n2 c 5k b 2 c−2. SEk BFk DBk. 2k k · 2k 2k. 2k − 1 b 3k 2 c k. Lower Bound dlog2 ne + odd(n) k n − even(n) d n2 e + odd(n) d 5k 2 e−2 5k d 2 e + 1, k ungerade 2k − 1 1.9770k 1.5965k. Upper Bound dlog2 ne + odd(n) k n − even(n) d n2 e + odd(n) 5k d 2 e − 2, k gerade 2k + 5 2.25 · k + o(k) 2k + 5. Z. Zus..

(59) Einleitung 8:57. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Telegraphmodus. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. SS2016. Zusammenfassung (Telegraphmodus) Graph Kn Hk Pn Cn. |V | n 2k n n even n odd. diam 1 k n−1 b n2 c b n2 c. Lower Bound 1.44 log2 n 1.44k n +√ odd(n) n + d 1 2 √ 2ne − n 1 d 2 e + d 2n − 2 e − 1. CCCk. k · 2k. b 5k 2 c−2. d 5k 2 e−2. SEk. 2k. 2k − 1. 2k − 1. BFk. k ·2. b 3k 2 c. DBk. 2k. k. k. 1.9770k 1.5965k. Upper Bound 1.44 log2 n 1.88k n +√ odd(n) n + d 2ne − 1 2 p n n d 2 e + d2 qd 2 ee− 1 k d 7k 2 e + 2 d2e − 2 d 5k 2 e. 3k +3 q + 2 d k2 e − 1 3k + 3. Z. Zus..

(60) Einleitung 8:58. Einfache Graphen. Telegraphmodus. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:51. Literatur J. Hromkovič, et al.: Dissemination of Information in Communication Networks : Broadcasting, Gossiping, Leader Election, and Fault-Tolerance. EATCS Series, Springer 2005.. SS2016. Z. Zus..

(61) 9. Inhaltsverzeichnis. Walter Unger 15.6.2016 18:51. Legende : Nicht relevant : Grundlagen, die implizit genutzt werden : Idee des Beweises oder des Vorgehens : Struktur des Beweises oder des Vorgehens : Vollständiges Wissen. SS2016. Z.

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