Algorithmische Graphentheorie (SS2016) Kapitel 2 Färbungen Walter Unger
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(2) Einleitung 2. Schwere. Algorithmen. Greedyfärbungen. Inhaltsverzeichnis. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Inhalt I 1. Beispiele Aussagen. Einleitung Kantengraph und Färbung Kantenfärbung Theoreme. 5. 2. Satz von Brooks Aussage Beweis. Schwere der Kantenfärbung Beweis von Hoyer. 6. 3. Algorithmen Matching auf bipatiten Graphen Beweis von König Beweis von Vizing. Taillenweite Ausagen Beweis. 7. Färbung bei bekannten χ(G ) Grundlage Aussagen. 8. Komplexität Negative Aussagen Positive Aussagen. 4. Greedyfärbungen Einfache Schranken Algorithmus. Z. Komplexität. SS2016.
(3) Einleitung 2:1. Schwere. Algorithmen. Kantengraph und Färbung. Greedyfärbungen. 1/10. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Definition der Färbungszahlen Ein Graph G = (V , E ) heißt k-färbbar falls gilt: ∃f : V 7→ {1, ..., k} : ∀(a, b) ∈ E , f (a) 6= f (b). Die Abbildung f heißt Färbung von G . χ(G ) ist die chromatische Zahl χ(G ) von G genau dann, wenn G χ(G )-färbbar, aber nicht (χ(G ) − 1)-färbbar ist. Definition Sei G = (V , E ) Graph. α(G ) ω(G ) χ(G ). = = =. max{ |V 0 | ; V 0 ⊂ V ∧ ∀a, b ∈ V 0 : (a, b) 6∈ E } max{ |V 0 | ; V 0 ⊂ V ∧ ∀a, b ∈ V 0 : (a, b) ∈ E } min{ k ; ∃V1 , V2 , . . . , Vk : ∪ki=1 Vi = V ∧ ∀i : 1 6 i 6 k : ∀a, b ∈ Vi : (a, b) 6∈ E }. Z. Komplexität. SS2016.
(4) Einleitung 2:1. Schwere. Algorithmen. Kantengraph und Färbung. Greedyfärbungen. 2/10. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Definition der Färbungszahlen Ein Graph G = (V , E ) heißt k-färbbar falls gilt: ∃f : V 7→ {1, ..., k} : ∀(a, b) ∈ E , f (a) 6= f (b). Die Abbildung f heißt Färbung von G . χ(G ) ist die chromatische Zahl χ(G ) von G genau dann, wenn G χ(G )-färbbar, aber nicht (χ(G ) − 1)-färbbar ist. Definition Sei G = (V , E ) Graph. α(G ) ω(G ) χ(G ). = = =. max{ |V 0 | ; V 0 ⊂ V ∧ ∀a, b ∈ V 0 : (a, b) 6∈ E } max{ |V 0 | ; V 0 ⊂ V ∧ ∀a, b ∈ V 0 : (a, b) ∈ E } min{ k ; ∃V1 , V2 , . . . , Vk : ∪ki=1 Vi = V ∧ ∀i : 1 6 i 6 k : ∀a, b ∈ Vi : (a, b) 6∈ E }. Z. Komplexität. SS2016.
(5) Einleitung 2:1. Schwere. Algorithmen. Kantengraph und Färbung. Greedyfärbungen. 3/10. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Definition der Färbungszahlen Ein Graph G = (V , E ) heißt k-färbbar falls gilt: ∃f : V 7→ {1, ..., k} : ∀(a, b) ∈ E , f (a) 6= f (b). Die Abbildung f heißt Färbung von G . χ(G ) ist die chromatische Zahl χ(G ) von G genau dann, wenn G χ(G )-färbbar, aber nicht (χ(G ) − 1)-färbbar ist. Definition Sei G = (V , E ) Graph. α(G ) ω(G ) χ(G ). = = =. max{ |V 0 | ; V 0 ⊂ V ∧ ∀a, b ∈ V 0 : (a, b) 6∈ E } max{ |V 0 | ; V 0 ⊂ V ∧ ∀a, b ∈ V 0 : (a, b) ∈ E } min{ k ; ∃V1 , V2 , . . . , Vk : ∪ki=1 Vi = V ∧ ∀i : 1 6 i 6 k : ∀a, b ∈ Vi : (a, b) 6∈ E }. Z. Komplexität. SS2016.
(6) Einleitung 2:1. Schwere. Algorithmen. Kantengraph und Färbung. Greedyfärbungen. 4/10. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Definition der Färbungszahlen Ein Graph G = (V , E ) heißt k-färbbar falls gilt: ∃f : V 7→ {1, ..., k} : ∀(a, b) ∈ E , f (a) 6= f (b). Die Abbildung f heißt Färbung von G . χ(G ) ist die chromatische Zahl χ(G ) von G genau dann, wenn G χ(G )-färbbar, aber nicht (χ(G ) − 1)-färbbar ist. Definition Sei G = (V , E ) Graph. α(G ) ω(G ) χ(G ). = = =. max{ |V 0 | ; V 0 ⊂ V ∧ ∀a, b ∈ V 0 : (a, b) 6∈ E } max{ |V 0 | ; V 0 ⊂ V ∧ ∀a, b ∈ V 0 : (a, b) ∈ E } min{ k ; ∃V1 , V2 , . . . , Vk : ∪ki=1 Vi = V ∧ ∀i : 1 6 i 6 k : ∀a, b ∈ Vi : (a, b) 6∈ E }. Z. Komplexität. SS2016.
(7) Einleitung 2:1. Schwere. Algorithmen. Kantengraph und Färbung. Greedyfärbungen. 5/10. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Definition der Färbungszahlen Ein Graph G = (V , E ) heißt k-färbbar falls gilt: ∃f : V 7→ {1, ..., k} : ∀(a, b) ∈ E , f (a) 6= f (b). Die Abbildung f heißt Färbung von G . χ(G ) ist die chromatische Zahl χ(G ) von G genau dann, wenn G χ(G )-färbbar, aber nicht (χ(G ) − 1)-färbbar ist. Definition Sei G = (V , E ) Graph. α(G ) ω(G ) χ(G ). = = =. max{ |V 0 | ; V 0 ⊂ V ∧ ∀a, b ∈ V 0 : (a, b) 6∈ E } max{ |V 0 | ; V 0 ⊂ V ∧ ∀a, b ∈ V 0 : (a, b) ∈ E } min{ k ; ∃V1 , V2 , . . . , Vk : ∪ki=1 Vi = V ∧ ∀i : 1 6 i 6 k : ∀a, b ∈ Vi : (a, b) 6∈ E }. Z. Komplexität. SS2016.
(8) Einleitung 2:1. Schwere. Algorithmen. Kantengraph und Färbung. Greedyfärbungen. 6/10. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Definition der Färbungszahlen Ein Graph G = (V , E ) heißt k-färbbar falls gilt: ∃f : V 7→ {1, ..., k} : ∀(a, b) ∈ E , f (a) 6= f (b). Die Abbildung f heißt Färbung von G . χ(G ) ist die chromatische Zahl χ(G ) von G genau dann, wenn G χ(G )-färbbar, aber nicht (χ(G ) − 1)-färbbar ist. Definition Sei G = (V , E ) Graph. α(G ) ω(G ) χ(G ). = = =. max{ |V 0 | ; V 0 ⊂ V ∧ ∀a, b ∈ V 0 : (a, b) 6∈ E } max{ |V 0 | ; V 0 ⊂ V ∧ ∀a, b ∈ V 0 : (a, b) ∈ E } min{ k ; ∃V1 , V2 , . . . , Vk : ∪ki=1 Vi = V ∧ ∀i : 1 6 i 6 k : ∀a, b ∈ Vi : (a, b) 6∈ E }. Z. Komplexität. SS2016.
(9) Einleitung 2:1. Schwere. Algorithmen. Kantengraph und Färbung. Greedyfärbungen. 7/10. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Definition der Färbungszahlen Ein Graph G = (V , E ) heißt k-färbbar falls gilt: ∃f : V 7→ {1, ..., k} : ∀(a, b) ∈ E , f (a) 6= f (b). Die Abbildung f heißt Färbung von G . χ(G ) ist die chromatische Zahl χ(G ) von G genau dann, wenn G χ(G )-färbbar, aber nicht (χ(G ) − 1)-färbbar ist. Definition Sei G = (V , E ) Graph. α(G ) ω(G ) χ(G ). = = =. max{ |V 0 | ; V 0 ⊂ V ∧ ∀a, b ∈ V 0 : (a, b) 6∈ E } max{ |V 0 | ; V 0 ⊂ V ∧ ∀a, b ∈ V 0 : (a, b) ∈ E } min{ k ; ∃V1 , V2 , . . . , Vk : ∪ki=1 Vi = V ∧ ∀i : 1 6 i 6 k : ∀a, b ∈ Vi : (a, b) 6∈ E }. Z. Komplexität. SS2016.
(10) Einleitung 2:1. Schwere. Algorithmen. Kantengraph und Färbung. Greedyfärbungen. 8/10. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Definition der Färbungszahlen Ein Graph G = (V , E ) heißt k-färbbar falls gilt: ∃f : V 7→ {1, ..., k} : ∀(a, b) ∈ E , f (a) 6= f (b). Die Abbildung f heißt Färbung von G . χ(G ) ist die chromatische Zahl χ(G ) von G genau dann, wenn G χ(G )-färbbar, aber nicht (χ(G ) − 1)-färbbar ist. Definition Sei G = (V , E ) Graph. α(G ) ω(G ) χ(G ). = = =. max{ |V 0 | ; V 0 ⊂ V ∧ ∀a, b ∈ V 0 : (a, b) 6∈ E } max{ |V 0 | ; V 0 ⊂ V ∧ ∀a, b ∈ V 0 : (a, b) ∈ E } min{ k ; ∃V1 , V2 , . . . , Vk : ∪ki=1 Vi = V ∧ ∀i : 1 6 i 6 k : ∀a, b ∈ Vi : (a, b) 6∈ E }. Z. Komplexität. SS2016.
(11) Einleitung 2:1. Schwere. Algorithmen. Kantengraph und Färbung. Greedyfärbungen. 9/10. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Definition der Färbungszahlen Ein Graph G = (V , E ) heißt k-färbbar falls gilt: ∃f : V 7→ {1, ..., k} : ∀(a, b) ∈ E , f (a) 6= f (b). Die Abbildung f heißt Färbung von G . χ(G ) ist die chromatische Zahl χ(G ) von G genau dann, wenn G χ(G )-färbbar, aber nicht (χ(G ) − 1)-färbbar ist. Definition Sei G = (V , E ) Graph. α(G ) ω(G ) χ(G ). = = =. max{ |V 0 | ; V 0 ⊂ V ∧ ∀a, b ∈ V 0 : (a, b) 6∈ E } max{ |V 0 | ; V 0 ⊂ V ∧ ∀a, b ∈ V 0 : (a, b) ∈ E } min{ k ; ∃V1 , V2 , . . . , Vk : ∪ki=1 Vi = V ∧ ∀i : 1 6 i 6 k : ∀a, b ∈ Vi : (a, b) 6∈ E }. Z. Komplexität. SS2016.
(12) Einleitung 2:1. Schwere. Algorithmen. Kantengraph und Färbung. Greedyfärbungen. 10/10. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Definition der Färbungszahlen Ein Graph G = (V , E ) heißt k-färbbar falls gilt: ∃f : V 7→ {1, ..., k} : ∀(a, b) ∈ E , f (a) 6= f (b). Die Abbildung f heißt Färbung von G . χ(G ) ist die chromatische Zahl χ(G ) von G genau dann, wenn G χ(G )-färbbar, aber nicht (χ(G ) − 1)-färbbar ist. Definition Sei G = (V , E ) Graph. α(G ) ω(G ) χ(G ). = = =. max{ |V 0 | ; V 0 ⊂ V ∧ ∀a, b ∈ V 0 : (a, b) 6∈ E } max{ |V 0 | ; V 0 ⊂ V ∧ ∀a, b ∈ V 0 : (a, b) ∈ E } min{ k ; ∃V1 , V2 , . . . , Vk : ∪ki=1 Vi = V ∧ ∀i : 1 6 i 6 k : ∀a, b ∈ Vi : (a, b) 6∈ E }. Z. Komplexität. SS2016.
(13) Einleitung 2:2. Schwere. Algorithmen. Kantengraph und Färbung. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 1/3. Z. Komplexität. SS2016. Kantengraphen Definition (Kantengraph) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. L(G ) = (E , E 0 ) heißt Kantengraph von G , falls E 0 = {(e, e 0 ) | e, e 0 ∈ E ∧ e ∩ e 0 6= ∅}.. Ein Graph H heißt Kantengraph, falls es einen Graphen G gibt mit L(G ) = H. a. b. c.
(14) Einleitung 2:2. Schwere. Algorithmen. Kantengraph und Färbung. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 2/3. Z. Komplexität. SS2016. Kantengraphen Definition (Kantengraph) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. L(G ) = (E , E 0 ) heißt Kantengraph von G , falls E 0 = {(e, e 0 ) | e, e 0 ∈ E ∧ e ∩ e 0 6= ∅}.. Ein Graph H heißt Kantengraph, falls es einen Graphen G gibt mit L(G ) = H. a. c. b x. y.
(15) Einleitung 2:2. Schwere. Algorithmen. Kantengraph und Färbung. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 3/3. Z. Komplexität. SS2016. Kantengraphen Definition (Kantengraph) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. L(G ) = (E , E 0 ) heißt Kantengraph von G , falls E 0 = {(e, e 0 ) | e, e 0 ∈ E ∧ e ∩ e 0 6= ∅}.. Ein Graph H heißt Kantengraph, falls es einen Graphen G gibt mit L(G ) = H. a. c. b x. y.
(16) Einleitung 2:3. Schwere. Algorithmen. Kantengraph und Färbung. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Walter Unger 19.7.2016 14:38. 1/4. Beispiel 1 c. d cz. dz z az. a. Färbung χ(G ). bz. b. Z. Komplexität. SS2016.
(17) Einleitung 2:3. Schwere. Algorithmen. Kantengraph und Färbung. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Walter Unger 19.7.2016 14:38. 2/4. Beispiel 1 c. d cz. dz z az. a. Färbung χ(G ). bz. b. Z. Komplexität. SS2016.
(18) Einleitung 2:3. Schwere. Algorithmen. Kantengraph und Färbung. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Walter Unger 19.7.2016 14:38. 3/4. Beispiel 1 c. d cz. dz z az. a. Färbung χ(G ). bz. b. Z. Komplexität. SS2016.
(19) Einleitung 2:3. Schwere. Algorithmen. Kantengraph und Färbung. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Walter Unger 19.7.2016 14:38. 4/4. Beispiel 1 c. d cz. dz z az. a. Färbung χ(G ). bz. b. Z. Komplexität. SS2016.
(20) Einleitung 2:4. Schwere. Algorithmen. Kantengraph und Färbung. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Walter Unger 19.7.2016 14:38. 1/4. Beispiel 2 d. cd. da. a. Färbung χ(G ). c. bc. ab. b. Z. Komplexität. SS2016.
(21) Einleitung 2:4. Schwere. Algorithmen. Kantengraph und Färbung. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Walter Unger 19.7.2016 14:38. 2/4. Beispiel 2 d. cd. da. a. Färbung χ(G ). c. bc. ab. b. Z. Komplexität. SS2016.
(22) Einleitung 2:4. Schwere. Algorithmen. Kantengraph und Färbung. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Walter Unger 19.7.2016 14:38. 3/4. Beispiel 2 d. cd. da. a. Färbung χ(G ). c. bc. ab. b. Z. Komplexität. SS2016.
(23) Einleitung 2:4. Schwere. Algorithmen. Kantengraph und Färbung. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Walter Unger 19.7.2016 14:38. 4/4. Beispiel 2 d. cd. da. a. Färbung χ(G ). c. bc. ab. b. Z. Komplexität. SS2016.
(24) Einleitung 2:5. Schwere. Algorithmen. Kantengraph und Färbung. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 1/4. Beispiel 3 g. fg. f. gh. gj. fj. h. hi. i. ah. bh. bi. a. ab. b. ef. e. ij. j. ce. de. bc. c. cd. d. Z. Komplexität. SS2016.
(25) Einleitung 2:5. Schwere. Algorithmen. Kantengraph und Färbung. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 2/4. Beispiel 3 g. fg. f. gh. gj. fj. h. hi. i. ah. bh. bi. a. ab. b. ef. e. ij. j. ce. de. bc. c. cd. d. Z. Komplexität. SS2016.
(26) Einleitung 2:5. Schwere. Algorithmen. Kantengraph und Färbung. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 3/4. Beispiel 3 g. fg. f. gh. gj. fj. h. hi. i. ah. bh. bi. a. ab. b. ef. e. ij. j. ce. de. bc. c. cd. d. Z. Komplexität. SS2016.
(27) Einleitung 2:5. Schwere. Algorithmen. Kantengraph und Färbung. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 4/4. Beispiel 3 g. fg. f. gh. gj. fj. h. hi. i. ah. bh. bi. a. ab. b. ef. e. ij. j. ce. de. bc. c. cd. d. Z. Komplexität. SS2016.
(28) Einleitung 2:6. Schwere. Kantenfärbung. Algorithmen. Greedyfärbungen. 1/3. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Kantenfärbung I. Z. Komplexität. SS2016. ∆(G ) = maxv ∈V (G ) {deg(v )}. Definition Das Kantenfärbungsproblem für einen Graphen G entspricht dem Knotenfärbungsproblem für L(G ): χ0 (G ) = χ(L(G )). Theorem (Vizing 1965) χ0 (K2n ) = 2n − 1 und χ0 (K2n+1 ) = 2n + 1. Theorem χ0 (G ) > ω(L(G )) > ∆(G )..
(29) Einleitung 2:6. Schwere. Kantenfärbung. Algorithmen. Greedyfärbungen. 2/3. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Kantenfärbung I. Z. Komplexität. SS2016. ∆(G ) = maxv ∈V (G ) {deg(v )}. Definition Das Kantenfärbungsproblem für einen Graphen G entspricht dem Knotenfärbungsproblem für L(G ): χ0 (G ) = χ(L(G )). Theorem (Vizing 1965) χ0 (K2n ) = 2n − 1 und χ0 (K2n+1 ) = 2n + 1. Theorem χ0 (G ) > ω(L(G )) > ∆(G )..
(30) Einleitung 2:6. Schwere. Kantenfärbung. Algorithmen. Greedyfärbungen. 3/3. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Kantenfärbung I. Z. Komplexität. SS2016. ∆(G ) = maxv ∈V (G ) {deg(v )}. Definition Das Kantenfärbungsproblem für einen Graphen G entspricht dem Knotenfärbungsproblem für L(G ): χ0 (G ) = χ(L(G )). Theorem (Vizing 1965) χ0 (K2n ) = 2n − 1 und χ0 (K2n+1 ) = 2n + 1. Theorem χ0 (G ) > ω(L(G )) > ∆(G )..
(31) Einleitung 2:7. Schwere. Theoreme. Algorithmen. 1/3. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. SS2016. Kantenfärbung II. Z. Komplexität. Theorem (Holyer) Das d-Kantenfärbungsproblem ist NP-vollständig für d > 3. Theorem (König 1916) Jeder bipartite Graph mit Knotengrad ∆ ist ∆ kantenfärbbar (Laufzeit O(nm)). Theorem (Vizing 1964) Jeder Graph mit Knotengrad ∆ ist ∆ + 1 kantenfärbbar (Laufzeit O(nm))..
(32) Einleitung 2:7. Schwere. Theoreme. Algorithmen. 2/3. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. SS2016. Kantenfärbung II. Z. Komplexität. Theorem (Holyer) Das d-Kantenfärbungsproblem ist NP-vollständig für d > 3. Theorem (König 1916) Jeder bipartite Graph mit Knotengrad ∆ ist ∆ kantenfärbbar (Laufzeit O(nm)). Theorem (Vizing 1964) Jeder Graph mit Knotengrad ∆ ist ∆ + 1 kantenfärbbar (Laufzeit O(nm))..
(33) Einleitung 2:7. Schwere. Theoreme. Algorithmen. 3/3. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. SS2016. Kantenfärbung II. Z. Komplexität. Theorem (Holyer) Das d-Kantenfärbungsproblem ist NP-vollständig für d > 3. Theorem (König 1916) Jeder bipartite Graph mit Knotengrad ∆ ist ∆ kantenfärbbar (Laufzeit O(nm)). Theorem (Vizing 1964) Jeder Graph mit Knotengrad ∆ ist ∆ + 1 kantenfärbbar (Laufzeit O(nm))..
(34) Einleitung 2:8. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 1/5. Beweis I (Holyer). SS2016. l. Die Komponente entspricht einer Negation; o.E.d.A. sind (a, b) und (h, i) gleich gefärbt und (c, d), (j, k), (g , l) haben drei verschiedene Farben.. Z. Komplexität. h. j. i. k. g. Damit kann man Variablen darstellen und e. f. b. c. mit einem ungeraden Kreis dann Klauseln auswerten. a. d.
(35) Einleitung 2:8. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 2/5. Beweis I (Holyer). SS2016. l. Die Komponente entspricht einer Negation; o.E.d.A. sind (a, b) und (h, i) gleich gefärbt und (c, d), (j, k), (g , l) haben drei verschiedene Farben.. Z. Komplexität. h. j. i. k. g. Damit kann man Variablen darstellen und e. f. b. c. mit einem ungeraden Kreis dann Klauseln auswerten. a. d.
(36) Einleitung 2:8. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 3/5. Beweis I (Holyer). SS2016. l. Die Komponente entspricht einer Negation; o.E.d.A. sind (a, b) und (h, i) gleich gefärbt und (c, d), (j, k), (g , l) haben drei verschiedene Farben.. Z. Komplexität. h. j. i. k. g. Damit kann man Variablen darstellen und e. f. b. c. mit einem ungeraden Kreis dann Klauseln auswerten. a. d.
(37) Einleitung 2:8. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 4/5. Beweis I (Holyer). SS2016. l. Die Komponente entspricht einer Negation; o.E.d.A. sind (a, b) und (h, i) gleich gefärbt und (c, d), (j, k), (g , l) haben drei verschiedene Farben.. Z. Komplexität. h. j. i. k. g. Damit kann man Variablen darstellen und e. f. b. c. mit einem ungeraden Kreis dann Klauseln auswerten. a. d.
(38) Einleitung 2:8. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 5/5. Beweis I (Holyer). SS2016. l. Die Komponente entspricht einer Negation; o.E.d.A. sind (a, b) und (h, i) gleich gefärbt und (c, d), (j, k), (g , l) haben drei verschiedene Farben.. Z. Komplexität. h. j. i. k. g. Damit kann man Variablen darstellen und e. f. b. c. mit einem ungeraden Kreis dann Klauseln auswerten. a. d.
(39) Einleitung 2:9. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 1/13. Beweis II (Holyer). SS2016. l. 1.Fall: (h, i) und (l, g ) sind gleich gefärbt. Dann färbe (i, e) und (i, j) und zeige im Weiteren:. Z. Komplexität. h. j. i. k. (a, b) und (h, i) gleich gefärbt und g. (c, d), (j, k), (g , l) haben drei verschiedene Farben. 2.Fall: (j, k) und (l, g ) sind gleich gefärbt.. e. f. b. c. Analog ergibt sich: (c, d) und (j, k) gleich gefärbt und (a, b), (h, i), (g , l) haben drei verschiedene Farben.. a. d.
(40) Einleitung 2:9. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 2/13. Beweis II (Holyer). SS2016. l. 1.Fall: (h, i) und (l, g ) sind gleich gefärbt. Dann färbe (i, e) und (i, j) und zeige im Weiteren:. Z. Komplexität. h. j. i. k. (a, b) und (h, i) gleich gefärbt und g. (c, d), (j, k), (g , l) haben drei verschiedene Farben. 2.Fall: (j, k) und (l, g ) sind gleich gefärbt.. e. f. b. c. Analog ergibt sich: (c, d) und (j, k) gleich gefärbt und (a, b), (h, i), (g , l) haben drei verschiedene Farben.. a. d.
(41) Einleitung 2:9. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 3/13. Beweis II (Holyer). SS2016. l. 1.Fall: (h, i) und (l, g ) sind gleich gefärbt. Dann färbe (i, e) und (i, j) und zeige im Weiteren:. Z. Komplexität. h. j. i. k. (a, b) und (h, i) gleich gefärbt und g. (c, d), (j, k), (g , l) haben drei verschiedene Farben. 2.Fall: (j, k) und (l, g ) sind gleich gefärbt.. e. f. b. c. Analog ergibt sich: (c, d) und (j, k) gleich gefärbt und (a, b), (h, i), (g , l) haben drei verschiedene Farben.. a. d.
(42) Einleitung 2:9. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 4/13. Beweis II (Holyer). SS2016. l. 1.Fall: (h, i) und (l, g ) sind gleich gefärbt. Dann färbe (i, e) und (i, j) und zeige im Weiteren:. Z. Komplexität. h. j. i. k. (a, b) und (h, i) gleich gefärbt und g. (c, d), (j, k), (g , l) haben drei verschiedene Farben. 2.Fall: (j, k) und (l, g ) sind gleich gefärbt.. e. f. b. c. Analog ergibt sich: (c, d) und (j, k) gleich gefärbt und (a, b), (h, i), (g , l) haben drei verschiedene Farben.. a. d.
(43) Einleitung 2:9. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 5/13. Beweis II (Holyer). SS2016. l. 1.Fall: (h, i) und (l, g ) sind gleich gefärbt. Dann färbe (i, e) und (i, j) und zeige im Weiteren:. Z. Komplexität. h. j. i. k. (a, b) und (h, i) gleich gefärbt und g. (c, d), (j, k), (g , l) haben drei verschiedene Farben. 2.Fall: (j, k) und (l, g ) sind gleich gefärbt.. e. f. b. c. Analog ergibt sich: (c, d) und (j, k) gleich gefärbt und (a, b), (h, i), (g , l) haben drei verschiedene Farben.. a. d.
(44) Einleitung 2:9. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 6/13. Beweis II (Holyer). SS2016. l. 1.Fall: (h, i) und (l, g ) sind gleich gefärbt. Dann färbe (i, e) und (i, j) und zeige im Weiteren:. Z. Komplexität. h. j. i. k. (a, b) und (h, i) gleich gefärbt und g. (c, d), (j, k), (g , l) haben drei verschiedene Farben. 2.Fall: (j, k) und (l, g ) sind gleich gefärbt.. e. f. b. c. Analog ergibt sich: (c, d) und (j, k) gleich gefärbt und (a, b), (h, i), (g , l) haben drei verschiedene Farben.. a. d.
(45) Einleitung 2:9. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 7/13. Beweis II (Holyer). SS2016. l. 1.Fall: (h, i) und (l, g ) sind gleich gefärbt. Dann färbe (i, e) und (i, j) und zeige im Weiteren:. Z. Komplexität. h. j. i. k. (a, b) und (h, i) gleich gefärbt und g. (c, d), (j, k), (g , l) haben drei verschiedene Farben. 2.Fall: (j, k) und (l, g ) sind gleich gefärbt.. e. f. b. c. Analog ergibt sich: (c, d) und (j, k) gleich gefärbt und (a, b), (h, i), (g , l) haben drei verschiedene Farben.. a. d.
(46) Einleitung 2:9. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 8/13. Beweis II (Holyer). SS2016. l. 1.Fall: (h, i) und (l, g ) sind gleich gefärbt. Dann färbe (i, e) und (i, j) und zeige im Weiteren:. Z. Komplexität. h. j. i. k. (a, b) und (h, i) gleich gefärbt und g. (c, d), (j, k), (g , l) haben drei verschiedene Farben. 2.Fall: (j, k) und (l, g ) sind gleich gefärbt.. e. f. b. c. Analog ergibt sich: (c, d) und (j, k) gleich gefärbt und (a, b), (h, i), (g , l) haben drei verschiedene Farben.. a. d.
(47) Einleitung 2:9. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 9/13. Beweis II (Holyer). SS2016. l. 1.Fall: (h, i) und (l, g ) sind gleich gefärbt. Dann färbe (i, e) und (i, j) und zeige im Weiteren:. Z. Komplexität. h. j. i. k. (a, b) und (h, i) gleich gefärbt und g. (c, d), (j, k), (g , l) haben drei verschiedene Farben. 2.Fall: (j, k) und (l, g ) sind gleich gefärbt.. e. f. b. c. Analog ergibt sich: (c, d) und (j, k) gleich gefärbt und (a, b), (h, i), (g , l) haben drei verschiedene Farben.. a. d.
(48) Einleitung 2:9. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 10/13. Beweis II (Holyer). SS2016. l. 1.Fall: (h, i) und (l, g ) sind gleich gefärbt. Dann färbe (i, e) und (i, j) und zeige im Weiteren:. Z. Komplexität. h. j. i. k. (a, b) und (h, i) gleich gefärbt und g. (c, d), (j, k), (g , l) haben drei verschiedene Farben. 2.Fall: (j, k) und (l, g ) sind gleich gefärbt.. e. f. b. c. Analog ergibt sich: (c, d) und (j, k) gleich gefärbt und (a, b), (h, i), (g , l) haben drei verschiedene Farben.. a. d.
(49) Einleitung 2:9. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 11/13. Beweis II (Holyer). SS2016. l. 1.Fall: (h, i) und (l, g ) sind gleich gefärbt. Dann färbe (i, e) und (i, j) und zeige im Weiteren:. Z. Komplexität. h. j. i. k. (a, b) und (h, i) gleich gefärbt und g. (c, d), (j, k), (g , l) haben drei verschiedene Farben. 2.Fall: (j, k) und (l, g ) sind gleich gefärbt.. e. f. b. c. Analog ergibt sich: (c, d) und (j, k) gleich gefärbt und (a, b), (h, i), (g , l) haben drei verschiedene Farben.. a. d.
(50) Einleitung 2:9. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 12/13. Beweis II (Holyer). SS2016. l. 1.Fall: (h, i) und (l, g ) sind gleich gefärbt. Dann färbe (i, e) und (i, j) und zeige im Weiteren:. Z. Komplexität. h. j. i. k. (a, b) und (h, i) gleich gefärbt und g. (c, d), (j, k), (g , l) haben drei verschiedene Farben. 2.Fall: (j, k) und (l, g ) sind gleich gefärbt.. e. f. b. c. Analog ergibt sich: (c, d) und (j, k) gleich gefärbt und (a, b), (h, i), (g , l) haben drei verschiedene Farben.. a. d.
(51) Einleitung 2:9. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 13/13. Beweis II (Holyer). SS2016. l. 1.Fall: (h, i) und (l, g ) sind gleich gefärbt. Dann färbe (i, e) und (i, j) und zeige im Weiteren:. Z. Komplexität. h. j. i. k. (a, b) und (h, i) gleich gefärbt und g. (c, d), (j, k), (g , l) haben drei verschiedene Farben. 2.Fall: (j, k) und (l, g ) sind gleich gefärbt.. e. f. b. c. Analog ergibt sich: (c, d) und (j, k) gleich gefärbt und (a, b), (h, i), (g , l) haben drei verschiedene Farben.. a. d.
(52) Einleitung 2:10. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 1/6. Beweis III (Holyer). Z. Komplexität. SS2016. l. 3.Fall: (h, i) und (j, k) sind gleich gefärbt und (l, g ) ist mit anderen Farbe gefärbt. h. j. i. k. Fall 3a: (i, j) hat die gleiche Farbe wie (l, g ) Zeige weiter:. g. Der Fall tritt nicht auf.. a. e. f. b. c. d.
(53) Einleitung 2:10. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 2/6. Beweis III (Holyer). Z. Komplexität. SS2016. l. 3.Fall: (h, i) und (j, k) sind gleich gefärbt und (l, g ) ist mit anderen Farbe gefärbt. h. j. i. k. Fall 3a: (i, j) hat die gleiche Farbe wie (l, g ) Zeige weiter:. g. Der Fall tritt nicht auf.. a. e. f. b. c. d.
(54) Einleitung 2:10. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 3/6. Beweis III (Holyer). Z. Komplexität. SS2016. l. 3.Fall: (h, i) und (j, k) sind gleich gefärbt und (l, g ) ist mit anderen Farbe gefärbt. h. j. i. k. Fall 3a: (i, j) hat die gleiche Farbe wie (l, g ) Zeige weiter:. g. Der Fall tritt nicht auf.. a. e. f. b. c. d.
(55) Einleitung 2:10. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 4/6. Beweis III (Holyer). Z. Komplexität. SS2016. l. 3.Fall: (h, i) und (j, k) sind gleich gefärbt und (l, g ) ist mit anderen Farbe gefärbt. h. j. i. k. Fall 3a: (i, j) hat die gleiche Farbe wie (l, g ) Zeige weiter:. g. Der Fall tritt nicht auf.. a. e. f. b. c. d.
(56) Einleitung 2:10. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 5/6. Beweis III (Holyer). Z. Komplexität. SS2016. l. 3.Fall: (h, i) und (j, k) sind gleich gefärbt und (l, g ) ist mit anderen Farbe gefärbt. h. j. i. k. Fall 3a: (i, j) hat die gleiche Farbe wie (l, g ) Zeige weiter:. g. Der Fall tritt nicht auf.. a. e. f. b. c. d.
(57) Einleitung 2:10. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 6/6. Beweis III (Holyer). Z. Komplexität. SS2016. l. 3.Fall: (h, i) und (j, k) sind gleich gefärbt und (l, g ) ist mit anderen Farbe gefärbt. h. j. i. k. Fall 3a: (i, j) hat die gleiche Farbe wie (l, g ) Zeige weiter:. g. Der Fall tritt nicht auf.. a. e. f. b. c. d.
(58) Einleitung 2:11. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 1/4. Beweis IV (Holyer). Z. Komplexität. SS2016. l. 3.Fall: (h, i) und (j, k) sind gleich gefärbt und (l, g ) benutzt andere Farbe. h. j. i. k. Fall 3b: (i, j) hat die dritte Farbe. Zeige wieder: g. (c, d) und (j, k) gleich gefärbt und (a, b), (h, i), (g , l) haben drei verschiedene Farben.. a. e. f. b. c. d.
(59) Einleitung 2:11. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 2/4. Beweis IV (Holyer). Z. Komplexität. SS2016. l. 3.Fall: (h, i) und (j, k) sind gleich gefärbt und (l, g ) benutzt andere Farbe. h. j. i. k. Fall 3b: (i, j) hat die dritte Farbe. Zeige wieder: g. (c, d) und (j, k) gleich gefärbt und (a, b), (h, i), (g , l) haben drei verschiedene Farben.. a. e. f. b. c. d.
(60) Einleitung 2:11. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 3/4. Beweis IV (Holyer). Z. Komplexität. SS2016. l. 3.Fall: (h, i) und (j, k) sind gleich gefärbt und (l, g ) benutzt andere Farbe. h. j. i. k. Fall 3b: (i, j) hat die dritte Farbe. Zeige wieder: g. (c, d) und (j, k) gleich gefärbt und (a, b), (h, i), (g , l) haben drei verschiedene Farben.. a. e. f. b. c. d.
(61) Einleitung 2:11. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 4/4. Beweis IV (Holyer). Z. Komplexität. SS2016. l. 3.Fall: (h, i) und (j, k) sind gleich gefärbt und (l, g ) benutzt andere Farbe. h. j. i. k. Fall 3b: (i, j) hat die dritte Farbe. Zeige wieder: g. (c, d) und (j, k) gleich gefärbt und (a, b), (h, i), (g , l) haben drei verschiedene Farben.. a. e. f. b. c. d.
(62) Einleitung 2:12. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 1/3. Beweis V (Holyer). SS2016. l. 4.Fall: (h, i), (j, k) und (l, g ) sind mit drei Farben gefärbt. Zeige wieder:. Z. Komplexität. h. j. i. k. (c, d) und (j, k) gleich gefärbt und g. (a, b), (h, i), (g , l) haben drei verschiedene Farben.. a. e. f. b. c. d.
(63) Einleitung 2:12. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 2/3. Beweis V (Holyer). SS2016. l. 4.Fall: (h, i), (j, k) und (l, g ) sind mit drei Farben gefärbt. Zeige wieder:. Z. Komplexität. h. j. i. k. (c, d) und (j, k) gleich gefärbt und g. (a, b), (h, i), (g , l) haben drei verschiedene Farben.. a. e. f. b. c. d.
(64) Einleitung 2:12. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 3/3. Beweis V (Holyer). SS2016. l. 4.Fall: (h, i), (j, k) und (l, g ) sind mit drei Farben gefärbt. Zeige wieder:. Z. Komplexität. h. j. i. k. (c, d) und (j, k) gleich gefärbt und g. (a, b), (h, i), (g , l) haben drei verschiedene Farben.. a. e. f. b. c. d.
(65) Einleitung 2:13. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. 1/8. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. SS2016. Beweis VI (Holyer) Nun werden zwei der obigen Konstruktionen zusammen geschaltet.. s m. Damit erhalten wir drei “Ausgänge” (Paare von Kanten). Ein Ausgang hat den Wert “false”, falls die Kanten gleich gefärbt sind, ansonsten “true”. Es gilt nun: Falls links [oder rechts] “false” ist, so haben die anderen Ausgänge auch “false”. Falls links [rechts] “true” ist, so hat rechts [links] “ true”.. n. t o. p. k. a. q. r. l. g. h. i. j. b. c. d. e. Z. Komplexität. f.
(66) Einleitung 2:13. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. 2/8. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. SS2016. Beweis VI (Holyer) Nun werden zwei der obigen Konstruktionen zusammen geschaltet.. s m. Damit erhalten wir drei “Ausgänge” (Paare von Kanten). Ein Ausgang hat den Wert “false”, falls die Kanten gleich gefärbt sind, ansonsten “true”. Es gilt nun: Falls links [oder rechts] “false” ist, so haben die anderen Ausgänge auch “false”. Falls links [rechts] “true” ist, so hat rechts [links] “ true”.. n. t o. p. k. a. q. r. l. g. h. i. j. b. c. d. e. Z. Komplexität. f.
(67) Einleitung 2:13. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. 3/8. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. SS2016. Beweis VI (Holyer) Nun werden zwei der obigen Konstruktionen zusammen geschaltet.. s m. Damit erhalten wir drei “Ausgänge” (Paare von Kanten). Ein Ausgang hat den Wert “false”, falls die Kanten gleich gefärbt sind, ansonsten “true”. Es gilt nun: Falls links [oder rechts] “false” ist, so haben die anderen Ausgänge auch “false”. Falls links [rechts] “true” ist, so hat rechts [links] “ true”.. n. t o. p. k. a. q. r. l. g. h. i. j. b. c. d. e. Z. Komplexität. f.
(68) Einleitung 2:13. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. 4/8. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. SS2016. Beweis VI (Holyer) Nun werden zwei der obigen Konstruktionen zusammen geschaltet.. s m. Damit erhalten wir drei “Ausgänge” (Paare von Kanten). Ein Ausgang hat den Wert “false”, falls die Kanten gleich gefärbt sind, ansonsten “true”. Es gilt nun: Falls links [oder rechts] “false” ist, so haben die anderen Ausgänge auch “false”. Falls links [rechts] “true” ist, so hat rechts [links] “ true”.. n. t o. p. k. a. q. r. l. g. h. i. j. b. c. d. e. Z. Komplexität. f.
(69) Einleitung 2:13. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. 5/8. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. SS2016. Beweis VI (Holyer) Nun werden zwei der obigen Konstruktionen zusammen geschaltet.. s m. Damit erhalten wir drei “Ausgänge” (Paare von Kanten). Ein Ausgang hat den Wert “false”, falls die Kanten gleich gefärbt sind, ansonsten “true”. Es gilt nun: Falls links [oder rechts] “false” ist, so haben die anderen Ausgänge auch “false”. Falls links [rechts] “true” ist, so hat rechts [links] “ true”.. n. t o. p. k. a. q. r. l. g. h. i. j. b. c. d. e. Z. Komplexität. f.
(70) Einleitung 2:13. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. 6/8. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. SS2016. Beweis VI (Holyer) Nun werden zwei der obigen Konstruktionen zusammen geschaltet.. s m. Damit erhalten wir drei “Ausgänge” (Paare von Kanten). Ein Ausgang hat den Wert “false”, falls die Kanten gleich gefärbt sind, ansonsten “true”. Es gilt nun: Falls links [oder rechts] “false” ist, so haben die anderen Ausgänge auch “false”. Falls links [rechts] “true” ist, so hat rechts [links] “ true”.. n. t o. p. k. a. q. r. l. g. h. i. j. b. c. d. e. Z. Komplexität. f.
(71) Einleitung 2:13. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. 7/8. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. SS2016. Beweis VI (Holyer) Nun werden zwei der obigen Konstruktionen zusammen geschaltet.. s m. Damit erhalten wir drei “Ausgänge” (Paare von Kanten). Ein Ausgang hat den Wert “false”, falls die Kanten gleich gefärbt sind, ansonsten “true”. Es gilt nun: Falls links [oder rechts] “false” ist, so haben die anderen Ausgänge auch “false”. Falls links [rechts] “true” ist, so hat rechts [links] “ true”.. n. t o. p. k. a. q. r. l. g. h. i. j. b. c. d. e. Z. Komplexität. f.
(72) Einleitung 2:13. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. 8/8. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. SS2016. Beweis VI (Holyer) Nun werden zwei der obigen Konstruktionen zusammen geschaltet.. s m. Damit erhalten wir drei “Ausgänge” (Paare von Kanten). Ein Ausgang hat den Wert “false”, falls die Kanten gleich gefärbt sind, ansonsten “true”. Es gilt nun: Falls links [oder rechts] “false” ist, so haben die anderen Ausgänge auch “false”. Falls links [rechts] “true” ist, so hat rechts [links] “ true”.. n. t o. p. k. a. q. r. l. g. h. i. j. b. c. d. e. Z. Komplexität. f.
(73) Einleitung 2:14. Schwere. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Beweis von Hoyer. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Proof VI.a (Holyer) s. m. n. t. o. p. k. a. q. r. l. g. h. i. j. b. c. d. e. f. Z. Komplexität. SS2016.
(74) Einleitung 2:15. Schwere. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Beweis von Hoyer. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Proof VI.b (Holyer) s. m. n. t. o. p. k. a. q. r. l. g. h. i. j. b. c. d. e. f. Z. Komplexität. SS2016.
(75) Einleitung 2:16. Schwere. Algorithmen. Greedyfärbungen. Brooks. Beweis von Hoyer. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Proof VI.c (Holyer) s. m. n. t. o. p. k. a. q. r. l. g. h. i. j. b. c. d. e. f. Z. Komplexität. SS2016.
(76) Einleitung 2:17. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. 1/4. Beweis VI (Holyer) Nun werden mindestens drei der neuen Konstruktionen zu einem Kreis zusammen geschaltet. Damit erhalten wir mindestens drei “Ausgänge” (Paare von Kanten). Nun gilt: Alle Ausgänge haben immer den gleichen logischen Wert.. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Z. Komplexität. SS2016.
(77) Einleitung 2:17. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. 2/4. Beweis VI (Holyer) Nun werden mindestens drei der neuen Konstruktionen zu einem Kreis zusammen geschaltet. Damit erhalten wir mindestens drei “Ausgänge” (Paare von Kanten). Nun gilt: Alle Ausgänge haben immer den gleichen logischen Wert.. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Z. Komplexität. SS2016.
(78) Einleitung 2:17. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. 3/4. Beweis VI (Holyer) Nun werden mindestens drei der neuen Konstruktionen zu einem Kreis zusammen geschaltet. Damit erhalten wir mindestens drei “Ausgänge” (Paare von Kanten). Nun gilt: Alle Ausgänge haben immer den gleichen logischen Wert.. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Z. Komplexität. SS2016.
(79) Einleitung 2:17. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. 4/4. Beweis VI (Holyer) Nun werden mindestens drei der neuen Konstruktionen zu einem Kreis zusammen geschaltet. Damit erhalten wir mindestens drei “Ausgänge” (Paare von Kanten). Nun gilt: Alle Ausgänge haben immer den gleichen logischen Wert.. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Z. Komplexität. SS2016.
(80) Einleitung 2:18. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. 1/3. Beweis VII (Holyer) Zum Test einer Klausel werden die “Ausgänge” [ggf. nach einer zusätzlichen Negation] der passenden Literale zu einem ungeraden Kreis zusammen geschaltet. Nun gilt: Falls alle Ausgänge den Wert “false” haben, so werden nun vier Farben notwendig.. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Z. Komplexität. SS2016.
(81) Einleitung 2:18. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. 2/3. Beweis VII (Holyer) Zum Test einer Klausel werden die “Ausgänge” [ggf. nach einer zusätzlichen Negation] der passenden Literale zu einem ungeraden Kreis zusammen geschaltet. Nun gilt: Falls alle Ausgänge den Wert “false” haben, so werden nun vier Farben notwendig.. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Z. Komplexität. SS2016.
(82) Einleitung 2:18. Schwere. Beweis von Hoyer. Algorithmen. Greedyfärbungen. 3/3. Beweis VII (Holyer) Zum Test einer Klausel werden die “Ausgänge” [ggf. nach einer zusätzlichen Negation] der passenden Literale zu einem ungeraden Kreis zusammen geschaltet. Nun gilt: Falls alle Ausgänge den Wert “false” haben, so werden nun vier Farben notwendig.. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Z. Komplexität. SS2016.
(83) Einleitung 2:19. Schwere. Algorithmen. Matching auf bipatiten Graphen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 1/3. SS2016. Theorem von Hall Definition Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph und A ⊆ V1 . Wir bezeichnen: Γ(A) = {v ∈ V2 (v , w ) ∈ E , w ∈ A}. Theorem (Hall) Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph. Es existiert ein vollständiges Matching von V1 nach V2 genau dann, wenn für jedes A ⊆ V1 gilt |Γ(A)| > |A|. Corollary Jeder reguläre bipartite Graph G = (V1 , V2 , E ) mit |V1 | = |V2 | enthält ein vollständiges Matching.. Z. Komplexität.
(84) Einleitung 2:19. Schwere. Algorithmen. Matching auf bipatiten Graphen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 2/3. SS2016. Theorem von Hall Definition Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph und A ⊆ V1 . Wir bezeichnen: Γ(A) = {v ∈ V2 (v , w ) ∈ E , w ∈ A}. Theorem (Hall) Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph. Es existiert ein vollständiges Matching von V1 nach V2 genau dann, wenn für jedes A ⊆ V1 gilt |Γ(A)| > |A|. Corollary Jeder reguläre bipartite Graph G = (V1 , V2 , E ) mit |V1 | = |V2 | enthält ein vollständiges Matching.. Z. Komplexität.
(85) Einleitung 2:19. Schwere. Algorithmen. Matching auf bipatiten Graphen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 3/3. SS2016. Theorem von Hall Definition Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph und A ⊆ V1 . Wir bezeichnen: Γ(A) = {v ∈ V2 (v , w ) ∈ E , w ∈ A}. Theorem (Hall) Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph. Es existiert ein vollständiges Matching von V1 nach V2 genau dann, wenn für jedes A ⊆ V1 gilt |Γ(A)| > |A|. Corollary Jeder reguläre bipartite Graph G = (V1 , V2 , E ) mit |V1 | = |V2 | enthält ein vollständiges Matching.. Z. Komplexität.
(86) Einleitung 2:20. Schwere. Algorithmen. Matching auf bipatiten Graphen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 1/5. Beweis (Hall). Z. Komplexität. SS2016. Theorem (Hall) Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph. Es existiert ein vollständiges Matching von V1 nach V2 genau dann, wenn für jedes A ⊆ V1 gilt |Γ(A)| > |A|. =⇒ einfach: Sei M Matching mit |M| = |V1 | und sei A ⊂ V1 beliebig. |Γ(A)| = |{v ∈ V2 (v , w ) ∈ E , w ∈ A}|. |Γ(A)| > |{v ∈ V2 (v , w ) ∈ M, w ∈ A}|. |Γ(A)| > |A|..
(87) Einleitung 2:20. Schwere. Algorithmen. Matching auf bipatiten Graphen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 2/5. Beweis (Hall). Z. Komplexität. SS2016. Theorem (Hall) Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph. Es existiert ein vollständiges Matching von V1 nach V2 genau dann, wenn für jedes A ⊆ V1 gilt |Γ(A)| > |A|. =⇒ einfach: Sei M Matching mit |M| = |V1 | und sei A ⊂ V1 beliebig. |Γ(A)| = |{v ∈ V2 (v , w ) ∈ E , w ∈ A}|. |Γ(A)| > |{v ∈ V2 (v , w ) ∈ M, w ∈ A}|. |Γ(A)| > |A|..
(88) Einleitung 2:20. Schwere. Algorithmen. Matching auf bipatiten Graphen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 3/5. Beweis (Hall). Z. Komplexität. SS2016. Theorem (Hall) Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph. Es existiert ein vollständiges Matching von V1 nach V2 genau dann, wenn für jedes A ⊆ V1 gilt |Γ(A)| > |A|. =⇒ einfach: Sei M Matching mit |M| = |V1 | und sei A ⊂ V1 beliebig. |Γ(A)| = |{v ∈ V2 (v , w ) ∈ E , w ∈ A}|. |Γ(A)| > |{v ∈ V2 (v , w ) ∈ M, w ∈ A}|. |Γ(A)| > |A|..
(89) Einleitung 2:20. Schwere. Algorithmen. Matching auf bipatiten Graphen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 4/5. Beweis (Hall). Z. Komplexität. SS2016. Theorem (Hall) Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph. Es existiert ein vollständiges Matching von V1 nach V2 genau dann, wenn für jedes A ⊆ V1 gilt |Γ(A)| > |A|. =⇒ einfach: Sei M Matching mit |M| = |V1 | und sei A ⊂ V1 beliebig. |Γ(A)| = |{v ∈ V2 (v , w ) ∈ E , w ∈ A}|. |Γ(A)| > |{v ∈ V2 (v , w ) ∈ M, w ∈ A}|. |Γ(A)| > |A|..
(90) Einleitung 2:20. Schwere. Algorithmen. Matching auf bipatiten Graphen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 5/5. Beweis (Hall). Z. Komplexität. SS2016. Theorem (Hall) Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph. Es existiert ein vollständiges Matching von V1 nach V2 genau dann, wenn für jedes A ⊆ V1 gilt |Γ(A)| > |A|. =⇒ einfach: Sei M Matching mit |M| = |V1 | und sei A ⊂ V1 beliebig. |Γ(A)| = |{v ∈ V2 (v , w ) ∈ E , w ∈ A}|. |Γ(A)| > |{v ∈ V2 (v , w ) ∈ M, w ∈ A}|. |Γ(A)| > |A|..
(91) Einleitung 2:21. Schwere. Algorithmen. Matching auf bipatiten Graphen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 1/9. SS2016. Beweis (Hall) Theorem (Hall) Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph. Es existiert ein vollständiges Matching von V1 nach V2 genau dann, wenn für jedes A ⊆ V1 gilt |Γ(A)| > |A|. ⇐= durch Widerspruch: Sei M größtes Matching mit |M| < |V1 |. Sei A1 = {v ∈ V1 | ∃b ∈ V2 : {v , b} ∈ M}. Sei A2 = {v ∈ V2 | ∃b ∈ V1 : {v , b} ∈ M}. Sei a ∈ V1 \ A1 . Γ(a) ⊂ A2 , da M größtes Matching. Jeder alternierende Weg von a kann nur Knoten aus A01 ∪ A02 erreichen mit A0i ⊂ Ai und |A01 | = |A02 |. Damit Γ(A01 ∪ {a}) ⊂ A02 . |A01 ∪ {a}| > |A02 |.. Z. Komplexität.
(92) Einleitung 2:21. Schwere. Algorithmen. Matching auf bipatiten Graphen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 2/9. SS2016. Beweis (Hall) Theorem (Hall) Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph. Es existiert ein vollständiges Matching von V1 nach V2 genau dann, wenn für jedes A ⊆ V1 gilt |Γ(A)| > |A|. ⇐= durch Widerspruch: Sei M größtes Matching mit |M| < |V1 |. Sei A1 = {v ∈ V1 | ∃b ∈ V2 : {v , b} ∈ M}. Sei A2 = {v ∈ V2 | ∃b ∈ V1 : {v , b} ∈ M}. Sei a ∈ V1 \ A1 . Γ(a) ⊂ A2 , da M größtes Matching. Jeder alternierende Weg von a kann nur Knoten aus A01 ∪ A02 erreichen mit A0i ⊂ Ai und |A01 | = |A02 |. Damit Γ(A01 ∪ {a}) ⊂ A02 . |A01 ∪ {a}| > |A02 |.. Z. Komplexität.
(93) Einleitung 2:21. Schwere. Algorithmen. Matching auf bipatiten Graphen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 3/9. SS2016. Beweis (Hall) Theorem (Hall) Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph. Es existiert ein vollständiges Matching von V1 nach V2 genau dann, wenn für jedes A ⊆ V1 gilt |Γ(A)| > |A|. ⇐= durch Widerspruch: Sei M größtes Matching mit |M| < |V1 |. Sei A1 = {v ∈ V1 | ∃b ∈ V2 : {v , b} ∈ M}. Sei A2 = {v ∈ V2 | ∃b ∈ V1 : {v , b} ∈ M}. Sei a ∈ V1 \ A1 . Γ(a) ⊂ A2 , da M größtes Matching. Jeder alternierende Weg von a kann nur Knoten aus A01 ∪ A02 erreichen mit A0i ⊂ Ai und |A01 | = |A02 |. Damit Γ(A01 ∪ {a}) ⊂ A02 . |A01 ∪ {a}| > |A02 |.. Z. Komplexität.
(94) Einleitung 2:21. Schwere. Algorithmen. Matching auf bipatiten Graphen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 4/9. SS2016. Beweis (Hall) Theorem (Hall) Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph. Es existiert ein vollständiges Matching von V1 nach V2 genau dann, wenn für jedes A ⊆ V1 gilt |Γ(A)| > |A|. ⇐= durch Widerspruch: Sei M größtes Matching mit |M| < |V1 |. Sei A1 = {v ∈ V1 | ∃b ∈ V2 : {v , b} ∈ M}. Sei A2 = {v ∈ V2 | ∃b ∈ V1 : {v , b} ∈ M}. Sei a ∈ V1 \ A1 . Γ(a) ⊂ A2 , da M größtes Matching. Jeder alternierende Weg von a kann nur Knoten aus A01 ∪ A02 erreichen mit A0i ⊂ Ai und |A01 | = |A02 |. Damit Γ(A01 ∪ {a}) ⊂ A02 . |A01 ∪ {a}| > |A02 |.. Z. Komplexität.
(95) Einleitung 2:21. Schwere. Algorithmen. Matching auf bipatiten Graphen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 5/9. SS2016. Beweis (Hall) Theorem (Hall) Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph. Es existiert ein vollständiges Matching von V1 nach V2 genau dann, wenn für jedes A ⊆ V1 gilt |Γ(A)| > |A|. ⇐= durch Widerspruch: Sei M größtes Matching mit |M| < |V1 |. Sei A1 = {v ∈ V1 | ∃b ∈ V2 : {v , b} ∈ M}. Sei A2 = {v ∈ V2 | ∃b ∈ V1 : {v , b} ∈ M}. Sei a ∈ V1 \ A1 . Γ(a) ⊂ A2 , da M größtes Matching. Jeder alternierende Weg von a kann nur Knoten aus A01 ∪ A02 erreichen mit A0i ⊂ Ai und |A01 | = |A02 |. Damit Γ(A01 ∪ {a}) ⊂ A02 . |A01 ∪ {a}| > |A02 |.. Z. Komplexität.
(96) Einleitung 2:21. Schwere. Algorithmen. Matching auf bipatiten Graphen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 6/9. SS2016. Beweis (Hall) Theorem (Hall) Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph. Es existiert ein vollständiges Matching von V1 nach V2 genau dann, wenn für jedes A ⊆ V1 gilt |Γ(A)| > |A|. ⇐= durch Widerspruch: Sei M größtes Matching mit |M| < |V1 |. Sei A1 = {v ∈ V1 | ∃b ∈ V2 : {v , b} ∈ M}. Sei A2 = {v ∈ V2 | ∃b ∈ V1 : {v , b} ∈ M}. Sei a ∈ V1 \ A1 . Γ(a) ⊂ A2 , da M größtes Matching. Jeder alternierende Weg von a kann nur Knoten aus A01 ∪ A02 erreichen mit A0i ⊂ Ai und |A01 | = |A02 |. Damit Γ(A01 ∪ {a}) ⊂ A02 . |A01 ∪ {a}| > |A02 |.. Z. Komplexität.
(97) Einleitung 2:21. Schwere. Algorithmen. Matching auf bipatiten Graphen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 7/9. SS2016. Beweis (Hall) Theorem (Hall) Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph. Es existiert ein vollständiges Matching von V1 nach V2 genau dann, wenn für jedes A ⊆ V1 gilt |Γ(A)| > |A|. ⇐= durch Widerspruch: Sei M größtes Matching mit |M| < |V1 |. Sei A1 = {v ∈ V1 | ∃b ∈ V2 : {v , b} ∈ M}. Sei A2 = {v ∈ V2 | ∃b ∈ V1 : {v , b} ∈ M}. Sei a ∈ V1 \ A1 . Γ(a) ⊂ A2 , da M größtes Matching. Jeder alternierende Weg von a kann nur Knoten aus A01 ∪ A02 erreichen mit A0i ⊂ Ai und |A01 | = |A02 |. Damit Γ(A01 ∪ {a}) ⊂ A02 . |A01 ∪ {a}| > |A02 |.. Z. Komplexität.
(98) Einleitung 2:21. Schwere. Algorithmen. Matching auf bipatiten Graphen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 8/9. SS2016. Beweis (Hall) Theorem (Hall) Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph. Es existiert ein vollständiges Matching von V1 nach V2 genau dann, wenn für jedes A ⊆ V1 gilt |Γ(A)| > |A|. ⇐= durch Widerspruch: Sei M größtes Matching mit |M| < |V1 |. Sei A1 = {v ∈ V1 | ∃b ∈ V2 : {v , b} ∈ M}. Sei A2 = {v ∈ V2 | ∃b ∈ V1 : {v , b} ∈ M}. Sei a ∈ V1 \ A1 . Γ(a) ⊂ A2 , da M größtes Matching. Jeder alternierende Weg von a kann nur Knoten aus A01 ∪ A02 erreichen mit A0i ⊂ Ai und |A01 | = |A02 |. Damit Γ(A01 ∪ {a}) ⊂ A02 . |A01 ∪ {a}| > |A02 |.. Z. Komplexität.
(99) Einleitung 2:21. Schwere. Algorithmen. Matching auf bipatiten Graphen. Greedyfärbungen. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. 9/9. SS2016. Beweis (Hall) Theorem (Hall) Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph. Es existiert ein vollständiges Matching von V1 nach V2 genau dann, wenn für jedes A ⊆ V1 gilt |Γ(A)| > |A|. ⇐= durch Widerspruch: Sei M größtes Matching mit |M| < |V1 |. Sei A1 = {v ∈ V1 | ∃b ∈ V2 : {v , b} ∈ M}. Sei A2 = {v ∈ V2 | ∃b ∈ V1 : {v , b} ∈ M}. Sei a ∈ V1 \ A1 . Γ(a) ⊂ A2 , da M größtes Matching. Jeder alternierende Weg von a kann nur Knoten aus A01 ∪ A02 erreichen mit A0i ⊂ Ai und |A01 | = |A02 |. Damit Γ(A01 ∪ {a}) ⊂ A02 . |A01 ∪ {a}| > |A02 |.. Z. Komplexität.
(100) Einleitung 2:22. Schwere. Beweis von König. Algorithmen. Greedyfärbungen. 1/8. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Beweis (König). Z. Komplexität. SS2016. Theorem (König) Jeder bipartite Graph mit Knotengrad ∆ ist ∆ kantenfärbbar (Laufzeit O(nm)). a. b. An den Knoten a, b seien Farben ca , cb frei.. c. d. Falls ca = cb , dann kann (a, b) mit ca gefärbt werden.. e. f. g. h. Ha,b besteht aus disjunkter Vereinigung von Kreisen und Pfaden.. i. j. a und b sind Endpunkte von zwei verschiedenen Pfaden.. k. l. Daher kann ein Pfad umgefärbt werden.. m. n. Laufzeit: Speichere zu jedem Knoten und Farbe die zugehörige Kante.. o. p. Zeige, wie eine Kante (a, b) in O(n) gefärbt werden kann.. Betrachte Graph Ha,b , der nur Kanten mit Farben ca , cb enthält..
(101) Einleitung 2:22. Schwere. Beweis von König. Algorithmen. Greedyfärbungen. 2/8. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Beweis (König). Z. Komplexität. SS2016. Theorem (König) Jeder bipartite Graph mit Knotengrad ∆ ist ∆ kantenfärbbar (Laufzeit O(nm)). a. b. An den Knoten a, b seien Farben ca , cb frei.. c. d. Falls ca = cb , dann kann (a, b) mit ca gefärbt werden.. e. f. g. h. Ha,b besteht aus disjunkter Vereinigung von Kreisen und Pfaden.. i. j. a und b sind Endpunkte von zwei verschiedenen Pfaden.. k. l. Daher kann ein Pfad umgefärbt werden.. m. n. Laufzeit: Speichere zu jedem Knoten und Farbe die zugehörige Kante.. o. p. Zeige, wie eine Kante (a, b) in O(n) gefärbt werden kann.. Betrachte Graph Ha,b , der nur Kanten mit Farben ca , cb enthält..
(102) Einleitung 2:22. Schwere. Beweis von König. Algorithmen. Greedyfärbungen. 3/8. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Beweis (König). Z. Komplexität. SS2016. Theorem (König) Jeder bipartite Graph mit Knotengrad ∆ ist ∆ kantenfärbbar (Laufzeit O(nm)). a. b. An den Knoten a, b seien Farben ca , cb frei.. c. d. Falls ca = cb , dann kann (a, b) mit ca gefärbt werden.. e. f. g. h. Ha,b besteht aus disjunkter Vereinigung von Kreisen und Pfaden.. i. j. a und b sind Endpunkte von zwei verschiedenen Pfaden.. k. l. Daher kann ein Pfad umgefärbt werden.. m. n. Laufzeit: Speichere zu jedem Knoten und Farbe die zugehörige Kante.. o. p. Zeige, wie eine Kante (a, b) in O(n) gefärbt werden kann.. Betrachte Graph Ha,b , der nur Kanten mit Farben ca , cb enthält..
(103) Einleitung 2:22. Schwere. Beweis von König. Algorithmen. Greedyfärbungen. 4/8. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Beweis (König). Z. Komplexität. SS2016. Theorem (König) Jeder bipartite Graph mit Knotengrad ∆ ist ∆ kantenfärbbar (Laufzeit O(nm)). a. b. An den Knoten a, b seien Farben ca , cb frei.. c. d. Falls ca = cb , dann kann (a, b) mit ca gefärbt werden.. e. f. g. h. Ha,b besteht aus disjunkter Vereinigung von Kreisen und Pfaden.. i. j. a und b sind Endpunkte von zwei verschiedenen Pfaden.. k. l. Daher kann ein Pfad umgefärbt werden.. m. n. Laufzeit: Speichere zu jedem Knoten und Farbe die zugehörige Kante.. o. p. Zeige, wie eine Kante (a, b) in O(n) gefärbt werden kann.. Betrachte Graph Ha,b , der nur Kanten mit Farben ca , cb enthält..
(104) Einleitung 2:22. Schwere. Beweis von König. Algorithmen. Greedyfärbungen. 5/8. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Beweis (König). Z. Komplexität. SS2016. Theorem (König) Jeder bipartite Graph mit Knotengrad ∆ ist ∆ kantenfärbbar (Laufzeit O(nm)). a. b. An den Knoten a, b seien Farben ca , cb frei.. c. d. Falls ca = cb , dann kann (a, b) mit ca gefärbt werden.. e. f. g. h. Ha,b besteht aus disjunkter Vereinigung von Kreisen und Pfaden.. i. j. a und b sind Endpunkte von zwei verschiedenen Pfaden.. k. l. Daher kann ein Pfad umgefärbt werden.. m. n. Laufzeit: Speichere zu jedem Knoten und Farbe die zugehörige Kante.. o. p. Zeige, wie eine Kante (a, b) in O(n) gefärbt werden kann.. Betrachte Graph Ha,b , der nur Kanten mit Farben ca , cb enthält..
(105) Einleitung 2:22. Schwere. Beweis von König. Algorithmen. Greedyfärbungen. 6/8. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Beweis (König). Z. Komplexität. SS2016. Theorem (König) Jeder bipartite Graph mit Knotengrad ∆ ist ∆ kantenfärbbar (Laufzeit O(nm)). a. b. An den Knoten a, b seien Farben ca , cb frei.. c. d. Falls ca = cb , dann kann (a, b) mit ca gefärbt werden.. e. f. g. h. Ha,b besteht aus disjunkter Vereinigung von Kreisen und Pfaden.. i. j. a und b sind Endpunkte von zwei verschiedenen Pfaden.. k. l. Daher kann ein Pfad umgefärbt werden.. m. n. Laufzeit: Speichere zu jedem Knoten und Farbe die zugehörige Kante.. o. p. Zeige, wie eine Kante (a, b) in O(n) gefärbt werden kann.. Betrachte Graph Ha,b , der nur Kanten mit Farben ca , cb enthält..
(106) Einleitung 2:22. Schwere. Beweis von König. Algorithmen. Greedyfärbungen. 7/8. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Beweis (König). Z. Komplexität. SS2016. Theorem (König) Jeder bipartite Graph mit Knotengrad ∆ ist ∆ kantenfärbbar (Laufzeit O(nm)). a. b. An den Knoten a, b seien Farben ca , cb frei.. c. d. Falls ca = cb , dann kann (a, b) mit ca gefärbt werden.. e. f. g. h. Ha,b besteht aus disjunkter Vereinigung von Kreisen und Pfaden.. i. j. a und b sind Endpunkte von zwei verschiedenen Pfaden.. k. l. Daher kann ein Pfad umgefärbt werden.. m. n. Laufzeit: Speichere zu jedem Knoten und Farbe die zugehörige Kante.. o. p. Zeige, wie eine Kante (a, b) in O(n) gefärbt werden kann.. Betrachte Graph Ha,b , der nur Kanten mit Farben ca , cb enthält..
(107) Einleitung 2:22. Schwere. Beweis von König. Algorithmen. Greedyfärbungen. 8/8. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Beweis (König). Z. Komplexität. SS2016. Theorem (König) Jeder bipartite Graph mit Knotengrad ∆ ist ∆ kantenfärbbar (Laufzeit O(nm)). a. b. An den Knoten a, b seien Farben ca , cb frei.. c. d. Falls ca = cb , dann kann (a, b) mit ca gefärbt werden.. e. f. g. h. Ha,b besteht aus disjunkter Vereinigung von Kreisen und Pfaden.. i. j. a und b sind Endpunkte von zwei verschiedenen Pfaden.. k. l. Daher kann ein Pfad umgefärbt werden.. m. n. Laufzeit: Speichere zu jedem Knoten und Farbe die zugehörige Kante.. o. p. Zeige, wie eine Kante (a, b) in O(n) gefärbt werden kann.. Betrachte Graph Ha,b , der nur Kanten mit Farben ca , cb enthält..
(108) Einleitung 2:23. Schwere. Beweis von Vizing. Algorithmen. Greedyfärbungen. 1/7. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Z. Komplexität. SS2016. Beweis (Vizing). ∆(G ) = maxv ∈V (G ) {deg(v )}. Theorem (Vizing) Jeder Graph mit Knotengrad ∆ ist ∆ + 1 kantenfärbbar. c. Beweis per Induktion über die Kantenanzahl.. b. d. Sei ∆ = ∆(G ) und e = (x, y ) ∈ E . Für G − e gibt es Kantenfärbung c : E \ {e} 7→ {1, 2, · · · , ∆ + 1}.. a. e x. Beachte: An jedem Knoten sind ∆ + 1 − deg(v ) > 1 Farben frei.. y. Für v ∈ V bezeichne Fv die Menge der freien Farben. Falls Fx ∩ Fy 6= ∅, dann kann (x, y ) gefärbt werden. Also gelte im Folgenden: Fx ∩ Fy = ∅. f. g. h. i. j.
(109) Einleitung 2:23. Schwere. Beweis von Vizing. Algorithmen. Greedyfärbungen. 2/7. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Z. Komplexität. SS2016. Beweis (Vizing). ∆(G ) = maxv ∈V (G ) {deg(v )}. Theorem (Vizing) Jeder Graph mit Knotengrad ∆ ist ∆ + 1 kantenfärbbar. c. Beweis per Induktion über die Kantenanzahl.. b. d. Sei ∆ = ∆(G ) und e = (x, y ) ∈ E . Für G − e gibt es Kantenfärbung c : E \ {e} 7→ {1, 2, · · · , ∆ + 1}.. a. e x. Beachte: An jedem Knoten sind ∆ + 1 − deg(v ) > 1 Farben frei.. y. Für v ∈ V bezeichne Fv die Menge der freien Farben. Falls Fx ∩ Fy 6= ∅, dann kann (x, y ) gefärbt werden. Also gelte im Folgenden: Fx ∩ Fy = ∅. f. g. h. i. j.
(110) Einleitung 2:23. Schwere. Beweis von Vizing. Algorithmen. Greedyfärbungen. 3/7. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Z. Komplexität. SS2016. Beweis (Vizing). ∆(G ) = maxv ∈V (G ) {deg(v )}. Theorem (Vizing) Jeder Graph mit Knotengrad ∆ ist ∆ + 1 kantenfärbbar. c. Beweis per Induktion über die Kantenanzahl.. b. d. Sei ∆ = ∆(G ) und e = (x, y ) ∈ E . Für G − e gibt es Kantenfärbung c : E \ {e} 7→ {1, 2, · · · , ∆ + 1}.. a. e x. Beachte: An jedem Knoten sind ∆ + 1 − deg(v ) > 1 Farben frei.. y. Für v ∈ V bezeichne Fv die Menge der freien Farben. Falls Fx ∩ Fy 6= ∅, dann kann (x, y ) gefärbt werden. Also gelte im Folgenden: Fx ∩ Fy = ∅. f. g. h. i. j.
(111) Einleitung 2:23. Schwere. Beweis von Vizing. Algorithmen. Greedyfärbungen. 4/7. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Z. Komplexität. SS2016. Beweis (Vizing). ∆(G ) = maxv ∈V (G ) {deg(v )}. Theorem (Vizing) Jeder Graph mit Knotengrad ∆ ist ∆ + 1 kantenfärbbar. c. Beweis per Induktion über die Kantenanzahl.. b. d. Sei ∆ = ∆(G ) und e = (x, y ) ∈ E . Für G − e gibt es Kantenfärbung c : E \ {e} 7→ {1, 2, · · · , ∆ + 1}.. a. e x. Beachte: An jedem Knoten sind ∆ + 1 − deg(v ) > 1 Farben frei.. y. Für v ∈ V bezeichne Fv die Menge der freien Farben. Falls Fx ∩ Fy 6= ∅, dann kann (x, y ) gefärbt werden. Also gelte im Folgenden: Fx ∩ Fy = ∅. f. g. h. i. j.
(112) Einleitung 2:23. Schwere. Beweis von Vizing. Algorithmen. Greedyfärbungen. 5/7. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Z. Komplexität. SS2016. Beweis (Vizing). ∆(G ) = maxv ∈V (G ) {deg(v )}. Theorem (Vizing) Jeder Graph mit Knotengrad ∆ ist ∆ + 1 kantenfärbbar. c. Beweis per Induktion über die Kantenanzahl.. b. d. Sei ∆ = ∆(G ) und e = (x, y ) ∈ E . Für G − e gibt es Kantenfärbung c : E \ {e} 7→ {1, 2, · · · , ∆ + 1}.. a. e x. Beachte: An jedem Knoten sind ∆ + 1 − deg(v ) > 1 Farben frei.. y. Für v ∈ V bezeichne Fv die Menge der freien Farben. Falls Fx ∩ Fy 6= ∅, dann kann (x, y ) gefärbt werden. Also gelte im Folgenden: Fx ∩ Fy = ∅. f. g. h. i. j.
(113) Einleitung 2:23. Schwere. Beweis von Vizing. Algorithmen. Greedyfärbungen. 6/7. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Z. Komplexität. SS2016. Beweis (Vizing). ∆(G ) = maxv ∈V (G ) {deg(v )}. Theorem (Vizing) Jeder Graph mit Knotengrad ∆ ist ∆ + 1 kantenfärbbar. c. Beweis per Induktion über die Kantenanzahl.. b. d. Sei ∆ = ∆(G ) und e = (x, y ) ∈ E . Für G − e gibt es Kantenfärbung c : E \ {e} 7→ {1, 2, · · · , ∆ + 1}.. a. e x. Beachte: An jedem Knoten sind ∆ + 1 − deg(v ) > 1 Farben frei.. y. Für v ∈ V bezeichne Fv die Menge der freien Farben. Falls Fx ∩ Fy 6= ∅, dann kann (x, y ) gefärbt werden. Also gelte im Folgenden: Fx ∩ Fy = ∅. f. g. h. i. j.
(114) Einleitung 2:23. Schwere. Beweis von Vizing. Algorithmen. Greedyfärbungen. 7/7. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Z. Komplexität. SS2016. Beweis (Vizing). ∆(G ) = maxv ∈V (G ) {deg(v )}. Theorem (Vizing) Jeder Graph mit Knotengrad ∆ ist ∆ + 1 kantenfärbbar. c. Beweis per Induktion über die Kantenanzahl.. b. d. Sei ∆ = ∆(G ) und e = (x, y ) ∈ E . Für G − e gibt es Kantenfärbung c : E \ {e} 7→ {1, 2, · · · , ∆ + 1}.. a. e x. Beachte: An jedem Knoten sind ∆ + 1 − deg(v ) > 1 Farben frei.. y. Für v ∈ V bezeichne Fv die Menge der freien Farben. Falls Fx ∩ Fy 6= ∅, dann kann (x, y ) gefärbt werden. Also gelte im Folgenden: Fx ∩ Fy = ∅. f. g. h. i. j.
(115) Einleitung 2:24. Schwere. Beweis von Vizing. Algorithmen. Greedyfärbungen. 1/29. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Z. Komplexität. SS2016. Beweis I (Vizing). ∆(G ) = maxv ∈V (G ) {deg(v )}. Konstruiere nun eine Folge {y1 , y2 , · · · , yk } von Nachbarn von x und {b1 , b2 , · · · , bk } von Farben mit: y1 = y und bj ∈ Fyj und c((x, yj+1 )) = bj und {y1 , y2 , · · · , yk } sind verschieden.. d c. e. b. f x g. a. y. Falls in Runde k gilt: Die Kante (x, yk ) kann in Farbe f ∈ Fx ∩ Fyk mit f 6∈ {b1 , b2 , · · · , bk−1 } umgefärbt werden. Dann mache: c((x, yk )) = f c((x, yi )) = bi für 1 6 i < k. Das nennen wir Shift(k, f ).. h. i. j. k. l.
(116) Einleitung 2:24. Schwere. Beweis von Vizing. Algorithmen. Greedyfärbungen. 2/29. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Z. Komplexität. SS2016. Beweis I (Vizing). ∆(G ) = maxv ∈V (G ) {deg(v )}. Konstruiere nun eine Folge {y1 , y2 , · · · , yk } von Nachbarn von x und {b1 , b2 , · · · , bk } von Farben mit: y1 = y und bj ∈ Fyj und c((x, yj+1 )) = bj und {y1 , y2 , · · · , yk } sind verschieden.. d c. e. b. f x g. a. y. Falls in Runde k gilt: Die Kante (x, yk ) kann in Farbe f ∈ Fx ∩ Fyk mit f 6∈ {b1 , b2 , · · · , bk−1 } umgefärbt werden. Dann mache: c((x, yk )) = f c((x, yi )) = bi für 1 6 i < k. Das nennen wir Shift(k, f ).. h. i. j. k. l.
(117) Einleitung 2:24. Schwere. Beweis von Vizing. Algorithmen. Greedyfärbungen. 3/29. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Z. Komplexität. SS2016. Beweis I (Vizing). ∆(G ) = maxv ∈V (G ) {deg(v )}. Konstruiere nun eine Folge {y1 , y2 , · · · , yk } von Nachbarn von x und {b1 , b2 , · · · , bk } von Farben mit: y1 = y und bj ∈ Fyj und c((x, yj+1 )) = bj und {y1 , y2 , · · · , yk } sind verschieden.. d c. e. b. f x g. a. y. Falls in Runde k gilt: Die Kante (x, yk ) kann in Farbe f ∈ Fx ∩ Fyk mit f 6∈ {b1 , b2 , · · · , bk−1 } umgefärbt werden. Dann mache: c((x, yk )) = f c((x, yi )) = bi für 1 6 i < k. Das nennen wir Shift(k, f ).. h. i. j. k. l.
(118) Einleitung 2:24. Schwere. Beweis von Vizing. Algorithmen. Greedyfärbungen. 4/29. Brooks. Taillenweite. Färbung χ(G ). Walter Unger 19.7.2016 14:38. Z. Komplexität. SS2016. Beweis I (Vizing). ∆(G ) = maxv ∈V (G ) {deg(v )}. Konstruiere nun eine Folge {y1 , y2 , · · · , yk } von Nachbarn von x und {b1 , b2 , · · · , bk } von Farben mit: y1 = y und bj ∈ Fyj und c((x, yj+1 )) = bj und {y1 , y2 , · · · , yk } sind verschieden.. d c. e. b. f x g. a. y. Falls in Runde k gilt: Die Kante (x, yk ) kann in Farbe f ∈ Fx ∩ Fyk mit f 6∈ {b1 , b2 , · · · , bk−1 } umgefärbt werden. Dann mache: c((x, yk )) = f c((x, yi )) = bi für 1 6 i < k. Das nennen wir Shift(k, f ).. h. i. j. k. l.
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