Algorithmische Graphentheorie (SS2016) Kapitel 8 Gossiping Walter Unger
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(2) Einleitung 8. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Inhaltsverzeichnis. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. Inhalt I 1. Einleitung Erinnerung und Motivation Erste Resultate. 2. Einfache Graphen Linien Bäume Graphen mit Brücke. 3. Netzwerke Kreise HQ Hypercube CCC und BF. 4. Komplexität Aussagen. 5. Telefonmode Gerade Knotenanzahl Ungerade Knotenanzahl. 6. Telegraphmode Obere Schranke Untere Schranke. 7. Zusammenfassung Telefonmodus Telegraphmodus. SS2016. Z. Zus..
(3) Einleitung 8:1. Einfache Graphen. Netzwerke. Erinnerung und Motivation. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Erinnerung Definition (Gossip): Gegeben sei G = (V , E ). Jeder Knoten w ∈ V habe Information I (w ), und kein Knoten aus V \ {w } kennt I (w ). Bestimme Verfahren, bei dem jeder Knoten v ∈ V die Information ∪w ∈V I (w ) erfährt. Mit comm(A) wird die Komplexität (Anzahl der Runden) eines Kommunikationsalgorithmus bezeichnet. r (G ) = min{comm(A) | A ist Einweg-Algorithmus und löst Gossip-Problem auf G } r2 (G ) = min{comm(A) | A ist Zweiweg-Algorithmus und löst Gossip-Problem auf G }. Z. Zus..
(4) Einleitung 8:2. Einfache Graphen. Erinnerung und Motivation. Netzwerke. Komplexität. 1/6. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Motivation Broadcast ist ein Teil von Gossip. Viele gleichzeitige Broadcasts müssen zusammenpassen. Das macht das Problem interessant. Noch interessanter, da wichtiger für Algorithmen auf Netzwerken. Beispiel: Verteilen der unteren Schranke bei “Branch and Bound”. Diesmal Unterschied zwischen Telegraph- und Telefonmode. Daher zuerst Gossiping in Telefonmode.. Z. Zus..
(5) Einleitung 8:2. Einfache Graphen. Erinnerung und Motivation. Netzwerke. Komplexität. 2/6. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Motivation Broadcast ist ein Teil von Gossip. Viele gleichzeitige Broadcasts müssen zusammenpassen. Das macht das Problem interessant. Noch interessanter, da wichtiger für Algorithmen auf Netzwerken. Beispiel: Verteilen der unteren Schranke bei “Branch and Bound”. Diesmal Unterschied zwischen Telegraph- und Telefonmode. Daher zuerst Gossiping in Telefonmode.. Z. Zus..
(6) Einleitung 8:2. Einfache Graphen. Erinnerung und Motivation. Netzwerke. Komplexität. 3/6. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Motivation Broadcast ist ein Teil von Gossip. Viele gleichzeitige Broadcasts müssen zusammenpassen. Das macht das Problem interessant. Noch interessanter, da wichtiger für Algorithmen auf Netzwerken. Beispiel: Verteilen der unteren Schranke bei “Branch and Bound”. Diesmal Unterschied zwischen Telegraph- und Telefonmode. Daher zuerst Gossiping in Telefonmode.. Z. Zus..
(7) Einleitung 8:2. Einfache Graphen. Erinnerung und Motivation. Netzwerke. Komplexität. 4/6. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Motivation Broadcast ist ein Teil von Gossip. Viele gleichzeitige Broadcasts müssen zusammenpassen. Das macht das Problem interessant. Noch interessanter, da wichtiger für Algorithmen auf Netzwerken. Beispiel: Verteilen der unteren Schranke bei “Branch and Bound”. Diesmal Unterschied zwischen Telegraph- und Telefonmode. Daher zuerst Gossiping in Telefonmode.. Z. Zus..
(8) Einleitung 8:2. Einfache Graphen. Erinnerung und Motivation. Netzwerke. Komplexität. 5/6. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Motivation Broadcast ist ein Teil von Gossip. Viele gleichzeitige Broadcasts müssen zusammenpassen. Das macht das Problem interessant. Noch interessanter, da wichtiger für Algorithmen auf Netzwerken. Beispiel: Verteilen der unteren Schranke bei “Branch and Bound”. Diesmal Unterschied zwischen Telegraph- und Telefonmode. Daher zuerst Gossiping in Telefonmode.. Z. Zus..
(9) Einleitung 8:2. Einfache Graphen. Erinnerung und Motivation. Netzwerke. Komplexität. 6/6. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Motivation Broadcast ist ein Teil von Gossip. Viele gleichzeitige Broadcasts müssen zusammenpassen. Das macht das Problem interessant. Noch interessanter, da wichtiger für Algorithmen auf Netzwerken. Beispiel: Verteilen der unteren Schranke bei “Branch and Bound”. Diesmal Unterschied zwischen Telegraph- und Telefonmode. Daher zuerst Gossiping in Telefonmode.. Z. Zus..
(10) Einleitung 8:3. Einfache Graphen. Erste Resultate. Netzwerke. Komplexität. 1/8. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Untere Schranke Lemma: Sei G = (V , E ) mit n Knoten. Dann gilt: dlog2 ne n gerade, r (G ) > r2 (G ) > dlog2 ne + 1 n ungerade. Beweis: Nur der Fall n ungerade ist zu zeigen Zeige: r2 (G ) > dlog2 ne + 1. Sei A ein Kommunikationsalgorithmus für das Gossip-Problem. A habe Kommunikationsrunden (Matchings) E1 , E2 , · · · , Ek . Zeige per Induktion: Nach i Runden hat jeder Knoten höchstens 2i Informationen. IA: i = 0: Jeder Knoten hat 20 = 1 Informationen. IS: i − 1 → i: Ein Knoten kann höchstens 2i−1 + 2i−1 = 2i Informationen zusammenfassen. In Runde k ist ein Knoten v inaktiv. v hat nach Runde k höchstens 2k−1 Informationen.. Z. Zus..
(11) Einleitung 8:3. Einfache Graphen. Erste Resultate. Netzwerke. Komplexität. 2/8. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Untere Schranke Lemma: Sei G = (V , E ) mit n Knoten. Dann gilt: dlog2 ne n gerade, r (G ) > r2 (G ) > dlog2 ne + 1 n ungerade. Beweis: Nur der Fall n ungerade ist zu zeigen Zeige: r2 (G ) > dlog2 ne + 1. Sei A ein Kommunikationsalgorithmus für das Gossip-Problem. A habe Kommunikationsrunden (Matchings) E1 , E2 , · · · , Ek . Zeige per Induktion: Nach i Runden hat jeder Knoten höchstens 2i Informationen. IA: i = 0: Jeder Knoten hat 20 = 1 Informationen. IS: i − 1 → i: Ein Knoten kann höchstens 2i−1 + 2i−1 = 2i Informationen zusammenfassen. In Runde k ist ein Knoten v inaktiv. v hat nach Runde k höchstens 2k−1 Informationen.. Z. Zus..
(12) Einleitung 8:3. Einfache Graphen. Erste Resultate. Netzwerke. Komplexität. 3/8. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Untere Schranke Lemma: Sei G = (V , E ) mit n Knoten. Dann gilt: dlog2 ne n gerade, r (G ) > r2 (G ) > dlog2 ne + 1 n ungerade. Beweis: Nur der Fall n ungerade ist zu zeigen Zeige: r2 (G ) > dlog2 ne + 1. Sei A ein Kommunikationsalgorithmus für das Gossip-Problem. A habe Kommunikationsrunden (Matchings) E1 , E2 , · · · , Ek . Zeige per Induktion: Nach i Runden hat jeder Knoten höchstens 2i Informationen. IA: i = 0: Jeder Knoten hat 20 = 1 Informationen. IS: i − 1 → i: Ein Knoten kann höchstens 2i−1 + 2i−1 = 2i Informationen zusammenfassen. In Runde k ist ein Knoten v inaktiv. v hat nach Runde k höchstens 2k−1 Informationen.. Z. Zus..
(13) Einleitung 8:3. Einfache Graphen. Erste Resultate. Netzwerke. Komplexität. 4/8. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Untere Schranke Lemma: Sei G = (V , E ) mit n Knoten. Dann gilt: dlog2 ne n gerade, r (G ) > r2 (G ) > dlog2 ne + 1 n ungerade. Beweis: Nur der Fall n ungerade ist zu zeigen Zeige: r2 (G ) > dlog2 ne + 1. Sei A ein Kommunikationsalgorithmus für das Gossip-Problem. A habe Kommunikationsrunden (Matchings) E1 , E2 , · · · , Ek . Zeige per Induktion: Nach i Runden hat jeder Knoten höchstens 2i Informationen. IA: i = 0: Jeder Knoten hat 20 = 1 Informationen. IS: i − 1 → i: Ein Knoten kann höchstens 2i−1 + 2i−1 = 2i Informationen zusammenfassen. In Runde k ist ein Knoten v inaktiv. v hat nach Runde k höchstens 2k−1 Informationen.. Z. Zus..
(14) Einleitung 8:3. Einfache Graphen. Erste Resultate. Netzwerke. Komplexität. 5/8. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Untere Schranke Lemma: Sei G = (V , E ) mit n Knoten. Dann gilt: dlog2 ne n gerade, r (G ) > r2 (G ) > dlog2 ne + 1 n ungerade. Beweis: Nur der Fall n ungerade ist zu zeigen Zeige: r2 (G ) > dlog2 ne + 1. Sei A ein Kommunikationsalgorithmus für das Gossip-Problem. A habe Kommunikationsrunden (Matchings) E1 , E2 , · · · , Ek . Zeige per Induktion: Nach i Runden hat jeder Knoten höchstens 2i Informationen. IA: i = 0: Jeder Knoten hat 20 = 1 Informationen. IS: i − 1 → i: Ein Knoten kann höchstens 2i−1 + 2i−1 = 2i Informationen zusammenfassen. In Runde k ist ein Knoten v inaktiv. v hat nach Runde k höchstens 2k−1 Informationen.. Z. Zus..
(15) Einleitung 8:3. Einfache Graphen. Erste Resultate. Netzwerke. Komplexität. 6/8. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Untere Schranke Lemma: Sei G = (V , E ) mit n Knoten. Dann gilt: dlog2 ne n gerade, r (G ) > r2 (G ) > dlog2 ne + 1 n ungerade. Beweis: Nur der Fall n ungerade ist zu zeigen Zeige: r2 (G ) > dlog2 ne + 1. Sei A ein Kommunikationsalgorithmus für das Gossip-Problem. A habe Kommunikationsrunden (Matchings) E1 , E2 , · · · , Ek . Zeige per Induktion: Nach i Runden hat jeder Knoten höchstens 2i Informationen. IA: i = 0: Jeder Knoten hat 20 = 1 Informationen. IS: i − 1 → i: Ein Knoten kann höchstens 2i−1 + 2i−1 = 2i Informationen zusammenfassen. In Runde k ist ein Knoten v inaktiv. v hat nach Runde k höchstens 2k−1 Informationen.. Z. Zus..
(16) Einleitung 8:3. Einfache Graphen. Erste Resultate. Netzwerke. Komplexität. 7/8. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Untere Schranke Lemma: Sei G = (V , E ) mit n Knoten. Dann gilt: dlog2 ne n gerade, r (G ) > r2 (G ) > dlog2 ne + 1 n ungerade. Beweis: Nur der Fall n ungerade ist zu zeigen Zeige: r2 (G ) > dlog2 ne + 1. Sei A ein Kommunikationsalgorithmus für das Gossip-Problem. A habe Kommunikationsrunden (Matchings) E1 , E2 , · · · , Ek . Zeige per Induktion: Nach i Runden hat jeder Knoten höchstens 2i Informationen. IA: i = 0: Jeder Knoten hat 20 = 1 Informationen. IS: i − 1 → i: Ein Knoten kann höchstens 2i−1 + 2i−1 = 2i Informationen zusammenfassen. In Runde k ist ein Knoten v inaktiv. v hat nach Runde k höchstens 2k−1 Informationen.. Z. Zus..
(17) Einleitung 8:3. Einfache Graphen. Erste Resultate. Netzwerke. Komplexität. 8/8. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Untere Schranke Lemma: Sei G = (V , E ) mit n Knoten. Dann gilt: dlog2 ne n gerade, r (G ) > r2 (G ) > dlog2 ne + 1 n ungerade. Beweis: Nur der Fall n ungerade ist zu zeigen Zeige: r2 (G ) > dlog2 ne + 1. Sei A ein Kommunikationsalgorithmus für das Gossip-Problem. A habe Kommunikationsrunden (Matchings) E1 , E2 , · · · , Ek . Zeige per Induktion: Nach i Runden hat jeder Knoten höchstens 2i Informationen. IA: i = 0: Jeder Knoten hat 20 = 1 Informationen. IS: i − 1 → i: Ein Knoten kann höchstens 2i−1 + 2i−1 = 2i Informationen zusammenfassen. In Runde k ist ein Knoten v inaktiv. v hat nach Runde k höchstens 2k−1 Informationen.. Z. Zus..
(18) Einleitung 8:4. Einfache Graphen. Erste Resultate. Netzwerke. 1/7. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. Allgemeiner Algorithums Lemma: Für jeden Graphen G = (V , E ) mit |V | = n gilt: r (G ) 6 2n − 2, und r2 (G ) 6 2n − 3. Beweis: Ergibt sich aus den folgenden bekannten Tatsachen: minb(G ) 6 n − 1 für jeden Graphen G = (V , E ) mit |V | = n. r (G ) 6 2 · minb(G ) r2 (G ) 6 2 · minb(G ) − 1. SS2016. Z. Zus..
(19) Einleitung 8:4. Einfache Graphen. Erste Resultate. Netzwerke. 2/7. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. Allgemeiner Algorithums Lemma: Für jeden Graphen G = (V , E ) mit |V | = n gilt: r (G ) 6 2n − 2, und r2 (G ) 6 2n − 3. Beweis: Ergibt sich aus den folgenden bekannten Tatsachen: minb(G ) 6 n − 1 für jeden Graphen G = (V , E ) mit |V | = n. r (G ) 6 2 · minb(G ) r2 (G ) 6 2 · minb(G ) − 1. SS2016. Z. Zus..
(20) Einleitung 8:4. Einfache Graphen. Erste Resultate. Netzwerke. 3/7. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. Allgemeiner Algorithums Lemma: Für jeden Graphen G = (V , E ) mit |V | = n gilt: r (G ) 6 2n − 2, und r2 (G ) 6 2n − 3. Beweis: Ergibt sich aus den folgenden bekannten Tatsachen: minb(G ) 6 n − 1 für jeden Graphen G = (V , E ) mit |V | = n. r (G ) 6 2 · minb(G ) r2 (G ) 6 2 · minb(G ) − 1. SS2016. Z. Zus..
(21) Einleitung 8:4. Einfache Graphen. Erste Resultate. Netzwerke. 4/7. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. Allgemeiner Algorithums Lemma: Für jeden Graphen G = (V , E ) mit |V | = n gilt: r (G ) 6 2n − 2, und r2 (G ) 6 2n − 3. Beweis: Ergibt sich aus den folgenden bekannten Tatsachen: minb(G ) 6 n − 1 für jeden Graphen G = (V , E ) mit |V | = n. r (G ) 6 2 · minb(G ) r2 (G ) 6 2 · minb(G ) − 1. SS2016. Z. Zus..
(22) Einleitung 8:4. Einfache Graphen. Erste Resultate. Netzwerke. 5/7. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. Allgemeiner Algorithums Lemma: Für jeden Graphen G = (V , E ) mit |V | = n gilt: r (G ) 6 2n − 2, und r2 (G ) 6 2n − 3. Beweis: Ergibt sich aus den folgenden bekannten Tatsachen: minb(G ) 6 n − 1 für jeden Graphen G = (V , E ) mit |V | = n. r (G ) 6 2 · minb(G ) r2 (G ) 6 2 · minb(G ) − 1. SS2016. Z. Zus..
(23) Einleitung 8:4. Einfache Graphen. Erste Resultate. Netzwerke. 6/7. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. Allgemeiner Algorithums Lemma: Für jeden Graphen G = (V , E ) mit |V | = n gilt: r (G ) 6 2n − 2, und r2 (G ) 6 2n − 3. Beweis: Ergibt sich aus den folgenden bekannten Tatsachen: minb(G ) 6 n − 1 für jeden Graphen G = (V , E ) mit |V | = n. r (G ) 6 2 · minb(G ) r2 (G ) 6 2 · minb(G ) − 1. SS2016. Z. Zus..
(24) Einleitung 8:4. Einfache Graphen. Erste Resultate. Netzwerke. 7/7. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. Allgemeiner Algorithums Lemma: Für jeden Graphen G = (V , E ) mit |V | = n gilt: r (G ) 6 2n − 2, und r2 (G ) 6 2n − 3. Beweis: Ergibt sich aus den folgenden bekannten Tatsachen: minb(G ) 6 n − 1 für jeden Graphen G = (V , E ) mit |V | = n. r (G ) 6 2 · minb(G ) r2 (G ) 6 2 · minb(G ) − 1. SS2016. Z. Zus..
(25) Einleitung 8:5. Einfache Graphen. Erste Resultate. Netzwerke. Komplexität. 1/11. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Allgemeiner Algorithums (Fortsetzung) r (G ) r2 (G ). Lemma: Es gilt: r (Tk (1)) = 2k r2 (Tk (1)) = 2k − 1 Beweis: Zeige: r (Tk (1)) > 2k. r (Tk (1)) hat eine Wurzel und k Blätter. Das maximale Matching ist 1. In jeder Runde ist höchstens ein Blatt aktiv. Jedes Blatt muss einmal senden. Jedes Blatt muss einmal empfangen. Damit sind 2k Runden notwendig. r2 (Tk (1)) > 2k − 1, einfache Übung.. Z. Zus.. 6 6. 2n − 2 2n − 3.
(26) Einleitung 8:5. Einfache Graphen. Erste Resultate. Netzwerke. Komplexität. 2/11. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Allgemeiner Algorithums (Fortsetzung) r (G ) r2 (G ). Lemma: Es gilt: r (Tk (1)) = 2k r2 (Tk (1)) = 2k − 1 Beweis: Zeige: r (Tk (1)) > 2k. r (Tk (1)) hat eine Wurzel und k Blätter. Das maximale Matching ist 1. In jeder Runde ist höchstens ein Blatt aktiv. Jedes Blatt muss einmal senden. Jedes Blatt muss einmal empfangen. Damit sind 2k Runden notwendig. r2 (Tk (1)) > 2k − 1, einfache Übung.. Z. Zus.. 6 6. 2n − 2 2n − 3.
(27) Einleitung 8:5. Einfache Graphen. Erste Resultate. Netzwerke. Komplexität. 3/11. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Allgemeiner Algorithums (Fortsetzung) r (G ) r2 (G ). Lemma: Es gilt: r (Tk (1)) = 2k r2 (Tk (1)) = 2k − 1 Beweis: Zeige: r (Tk (1)) > 2k. r (Tk (1)) hat eine Wurzel und k Blätter. Das maximale Matching ist 1. In jeder Runde ist höchstens ein Blatt aktiv. Jedes Blatt muss einmal senden. Jedes Blatt muss einmal empfangen. Damit sind 2k Runden notwendig. r2 (Tk (1)) > 2k − 1, einfache Übung.. Z. Zus.. 6 6. 2n − 2 2n − 3.
(28) Einleitung 8:5. Einfache Graphen. Erste Resultate. Netzwerke. Komplexität. 4/11. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Allgemeiner Algorithums (Fortsetzung) r (G ) r2 (G ). Lemma: Es gilt: r (Tk (1)) = 2k r2 (Tk (1)) = 2k − 1 Beweis: Zeige: r (Tk (1)) > 2k. r (Tk (1)) hat eine Wurzel und k Blätter. Das maximale Matching ist 1. In jeder Runde ist höchstens ein Blatt aktiv. Jedes Blatt muss einmal senden. Jedes Blatt muss einmal empfangen. Damit sind 2k Runden notwendig. r2 (Tk (1)) > 2k − 1, einfache Übung.. Z. Zus.. 6 6. 2n − 2 2n − 3.
(29) Einleitung 8:5. Einfache Graphen. Erste Resultate. Netzwerke. Komplexität. 5/11. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Allgemeiner Algorithums (Fortsetzung) r (G ) r2 (G ). Lemma: Es gilt: r (Tk (1)) = 2k r2 (Tk (1)) = 2k − 1 Beweis: Zeige: r (Tk (1)) > 2k. r (Tk (1)) hat eine Wurzel und k Blätter. Das maximale Matching ist 1. In jeder Runde ist höchstens ein Blatt aktiv. Jedes Blatt muss einmal senden. Jedes Blatt muss einmal empfangen. Damit sind 2k Runden notwendig. r2 (Tk (1)) > 2k − 1, einfache Übung.. Z. Zus.. 6 6. 2n − 2 2n − 3.
(30) Einleitung 8:5. Einfache Graphen. Erste Resultate. Netzwerke. Komplexität. 6/11. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Allgemeiner Algorithums (Fortsetzung) r (G ) r2 (G ). Lemma: Es gilt: r (Tk (1)) = 2k r2 (Tk (1)) = 2k − 1 Beweis: Zeige: r (Tk (1)) > 2k. r (Tk (1)) hat eine Wurzel und k Blätter. Das maximale Matching ist 1. In jeder Runde ist höchstens ein Blatt aktiv. Jedes Blatt muss einmal senden. Jedes Blatt muss einmal empfangen. Damit sind 2k Runden notwendig. r2 (Tk (1)) > 2k − 1, einfache Übung.. Z. Zus.. 6 6. 2n − 2 2n − 3.
(31) Einleitung 8:5. Einfache Graphen. Erste Resultate. Netzwerke. Komplexität. 7/11. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Allgemeiner Algorithums (Fortsetzung) r (G ) r2 (G ). Lemma: Es gilt: r (Tk (1)) = 2k r2 (Tk (1)) = 2k − 1 Beweis: Zeige: r (Tk (1)) > 2k. r (Tk (1)) hat eine Wurzel und k Blätter. Das maximale Matching ist 1. In jeder Runde ist höchstens ein Blatt aktiv. Jedes Blatt muss einmal senden. Jedes Blatt muss einmal empfangen. Damit sind 2k Runden notwendig. r2 (Tk (1)) > 2k − 1, einfache Übung.. Z. Zus.. 6 6. 2n − 2 2n − 3.
(32) Einleitung 8:5. Einfache Graphen. Erste Resultate. Netzwerke. Komplexität. 8/11. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Allgemeiner Algorithums (Fortsetzung) r (G ) r2 (G ). Lemma: Es gilt: r (Tk (1)) = 2k r2 (Tk (1)) = 2k − 1 Beweis: Zeige: r (Tk (1)) > 2k. r (Tk (1)) hat eine Wurzel und k Blätter. Das maximale Matching ist 1. In jeder Runde ist höchstens ein Blatt aktiv. Jedes Blatt muss einmal senden. Jedes Blatt muss einmal empfangen. Damit sind 2k Runden notwendig. r2 (Tk (1)) > 2k − 1, einfache Übung.. Z. Zus.. 6 6. 2n − 2 2n − 3.
(33) Einleitung 8:5. Einfache Graphen. Erste Resultate. Netzwerke. Komplexität. 9/11. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Allgemeiner Algorithums (Fortsetzung) r (G ) r2 (G ). Lemma: Es gilt: r (Tk (1)) = 2k r2 (Tk (1)) = 2k − 1 Beweis: Zeige: r (Tk (1)) > 2k. r (Tk (1)) hat eine Wurzel und k Blätter. Das maximale Matching ist 1. In jeder Runde ist höchstens ein Blatt aktiv. Jedes Blatt muss einmal senden. Jedes Blatt muss einmal empfangen. Damit sind 2k Runden notwendig. r2 (Tk (1)) > 2k − 1, einfache Übung.. Z. Zus.. 6 6. 2n − 2 2n − 3.
(34) Einleitung 8:5. Einfache Graphen. Erste Resultate. Netzwerke. Komplexität. 10/11. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Allgemeiner Algorithums (Fortsetzung) r (G ) r2 (G ). Lemma: Es gilt: r (Tk (1)) = 2k r2 (Tk (1)) = 2k − 1 Beweis: Zeige: r (Tk (1)) > 2k. r (Tk (1)) hat eine Wurzel und k Blätter. Das maximale Matching ist 1. In jeder Runde ist höchstens ein Blatt aktiv. Jedes Blatt muss einmal senden. Jedes Blatt muss einmal empfangen. Damit sind 2k Runden notwendig. r2 (Tk (1)) > 2k − 1, einfache Übung.. Z. Zus.. 6 6. 2n − 2 2n − 3.
(35) Einleitung 8:5. Einfache Graphen. Erste Resultate. Netzwerke. Komplexität. 11/11. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Allgemeiner Algorithums (Fortsetzung) r (G ) r2 (G ). Lemma: Es gilt: r (Tk (1)) = 2k r2 (Tk (1)) = 2k − 1 Beweis: Zeige: r (Tk (1)) > 2k. r (Tk (1)) hat eine Wurzel und k Blätter. Das maximale Matching ist 1. In jeder Runde ist höchstens ein Blatt aktiv. Jedes Blatt muss einmal senden. Jedes Blatt muss einmal empfangen. Damit sind 2k Runden notwendig. r2 (Tk (1)) > 2k − 1, einfache Übung.. Z. Zus.. 6 6. 2n − 2 2n − 3.
(36) Einleitung 8:6. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. 1/7. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. Gossip auf Linien Theorem: Es gilt: r2 (L(n)) = n − 1 für jede gerade Zahl n > 2, r2 (L(n)) = n für jede ungerade Zahl n > 3, r (L(n)) = n für jede gerade Zahl n > 2 und r (L(n)) = n + 1 für jede ungerade Zahl n > 3. Beweis: Zeige: r2 (L(n)) > n − 1. Beachte dazu: r2 (L(n)) > b(L(n)) > diam(L(n)) = n − 1. SS2016. Z. Zus..
(37) Einleitung 8:6. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. 2/7. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. Gossip auf Linien Theorem: Es gilt: r2 (L(n)) = n − 1 für jede gerade Zahl n > 2, r2 (L(n)) = n für jede ungerade Zahl n > 3, r (L(n)) = n für jede gerade Zahl n > 2 und r (L(n)) = n + 1 für jede ungerade Zahl n > 3. Beweis: Zeige: r2 (L(n)) > n − 1. Beachte dazu: r2 (L(n)) > b(L(n)) > diam(L(n)) = n − 1. SS2016. Z. Zus..
(38) Einleitung 8:6. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. 3/7. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. Gossip auf Linien Theorem: Es gilt: r2 (L(n)) = n − 1 für jede gerade Zahl n > 2, r2 (L(n)) = n für jede ungerade Zahl n > 3, r (L(n)) = n für jede gerade Zahl n > 2 und r (L(n)) = n + 1 für jede ungerade Zahl n > 3. Beweis: Zeige: r2 (L(n)) > n − 1. Beachte dazu: r2 (L(n)) > b(L(n)) > diam(L(n)) = n − 1. SS2016. Z. Zus..
(39) Einleitung 8:6. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. 4/7. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. Gossip auf Linien Theorem: Es gilt: r2 (L(n)) = n − 1 für jede gerade Zahl n > 2, r2 (L(n)) = n für jede ungerade Zahl n > 3, r (L(n)) = n für jede gerade Zahl n > 2 und r (L(n)) = n + 1 für jede ungerade Zahl n > 3. Beweis: Zeige: r2 (L(n)) > n − 1. Beachte dazu: r2 (L(n)) > b(L(n)) > diam(L(n)) = n − 1. SS2016. Z. Zus..
(40) Einleitung 8:6. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. 5/7. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. Gossip auf Linien Theorem: Es gilt: r2 (L(n)) = n − 1 für jede gerade Zahl n > 2, r2 (L(n)) = n für jede ungerade Zahl n > 3, r (L(n)) = n für jede gerade Zahl n > 2 und r (L(n)) = n + 1 für jede ungerade Zahl n > 3. Beweis: Zeige: r2 (L(n)) > n − 1. Beachte dazu: r2 (L(n)) > b(L(n)) > diam(L(n)) = n − 1. SS2016. Z. Zus..
(41) Einleitung 8:6. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. 6/7. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. Gossip auf Linien Theorem: Es gilt: r2 (L(n)) = n − 1 für jede gerade Zahl n > 2, r2 (L(n)) = n für jede ungerade Zahl n > 3, r (L(n)) = n für jede gerade Zahl n > 2 und r (L(n)) = n + 1 für jede ungerade Zahl n > 3. Beweis: Zeige: r2 (L(n)) > n − 1. Beachte dazu: r2 (L(n)) > b(L(n)) > diam(L(n)) = n − 1. SS2016. Z. Zus..
(42) Einleitung 8:6. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. 7/7. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. Gossip auf Linien Theorem: Es gilt: r2 (L(n)) = n − 1 für jede gerade Zahl n > 2, r2 (L(n)) = n für jede ungerade Zahl n > 3, r (L(n)) = n für jede gerade Zahl n > 2 und r (L(n)) = n + 1 für jede ungerade Zahl n > 3. Beweis: Zeige: r2 (L(n)) > n − 1. Beachte dazu: r2 (L(n)) > b(L(n)) > diam(L(n)) = n − 1. SS2016. Z. Zus..
(43) Einleitung 8:7. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. 1/11. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis I) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r2 (L(n)) 6 n − 1 für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. v0. {{0, 1}, {n − 1, n − 2}}, {{1, 2}, {n − 2, n − 3}}, {{2, 3}, {n − 3, n − 4}}, ··· {{n/2 − 1, n/2}} ··· {{2, 3}, {n − 3, n − 4}}, {{1, 2}, {n − 2, n − 3}}, {{0, 1}, {n − 1, n − 2}} Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(44) Einleitung 8:7. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. 2/11. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis I) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r2 (L(n)) 6 n − 1 für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. v0. {{0, 1}, {n − 1, n − 2}}, {{1, 2}, {n − 2, n − 3}}, {{2, 3}, {n − 3, n − 4}}, ··· {{n/2 − 1, n/2}} ··· {{2, 3}, {n − 3, n − 4}}, {{1, 2}, {n − 2, n − 3}}, {{0, 1}, {n − 1, n − 2}} Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(45) Einleitung 8:7. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. 3/11. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis I) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r2 (L(n)) 6 n − 1 für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. v0. {{0, 1}, {n − 1, n − 2}}, {{1, 2}, {n − 2, n − 3}}, {{2, 3}, {n − 3, n − 4}}, ··· {{n/2 − 1, n/2}} ··· {{2, 3}, {n − 3, n − 4}}, {{1, 2}, {n − 2, n − 3}}, {{0, 1}, {n − 1, n − 2}} Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(46) Einleitung 8:7. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. 4/11. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis I) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r2 (L(n)) 6 n − 1 für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. v0. {{0, 1}, {n − 1, n − 2}}, {{1, 2}, {n − 2, n − 3}}, {{2, 3}, {n − 3, n − 4}}, ··· {{n/2 − 1, n/2}} ··· {{2, 3}, {n − 3, n − 4}}, {{1, 2}, {n − 2, n − 3}}, {{0, 1}, {n − 1, n − 2}} Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(47) Einleitung 8:7. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. 5/11. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis I) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r2 (L(n)) 6 n − 1 für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. v0. {{0, 1}, {n − 1, n − 2}}, {{1, 2}, {n − 2, n − 3}}, {{2, 3}, {n − 3, n − 4}}, ··· {{n/2 − 1, n/2}} ··· {{2, 3}, {n − 3, n − 4}}, {{1, 2}, {n − 2, n − 3}}, {{0, 1}, {n − 1, n − 2}} Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(48) Einleitung 8:7. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. 6/11. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis I) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r2 (L(n)) 6 n − 1 für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. v0. {{0, 1}, {n − 1, n − 2}}, {{1, 2}, {n − 2, n − 3}}, {{2, 3}, {n − 3, n − 4}}, ··· {{n/2 − 1, n/2}} ··· {{2, 3}, {n − 3, n − 4}}, {{1, 2}, {n − 2, n − 3}}, {{0, 1}, {n − 1, n − 2}} Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(49) Einleitung 8:7. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. 7/11. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis I) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r2 (L(n)) 6 n − 1 für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. v0. {{0, 1}, {n − 1, n − 2}}, {{1, 2}, {n − 2, n − 3}}, {{2, 3}, {n − 3, n − 4}}, ··· {{n/2 − 1, n/2}} ··· {{2, 3}, {n − 3, n − 4}}, {{1, 2}, {n − 2, n − 3}}, {{0, 1}, {n − 1, n − 2}} Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(50) Einleitung 8:7. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. 8/11. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis I) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r2 (L(n)) 6 n − 1 für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. v0. {{0, 1}, {n − 1, n − 2}}, {{1, 2}, {n − 2, n − 3}}, {{2, 3}, {n − 3, n − 4}}, ··· {{n/2 − 1, n/2}} ··· {{2, 3}, {n − 3, n − 4}}, {{1, 2}, {n − 2, n − 3}}, {{0, 1}, {n − 1, n − 2}} Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(51) Einleitung 8:7. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. 9/11. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis I) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r2 (L(n)) 6 n − 1 für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. v0. {{0, 1}, {n − 1, n − 2}}, {{1, 2}, {n − 2, n − 3}}, {{2, 3}, {n − 3, n − 4}}, ··· {{n/2 − 1, n/2}} ··· {{2, 3}, {n − 3, n − 4}}, {{1, 2}, {n − 2, n − 3}}, {{0, 1}, {n − 1, n − 2}} Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(52) Einleitung 8:7. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. 10/11. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis I) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r2 (L(n)) 6 n − 1 für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. v0. {{0, 1}, {n − 1, n − 2}}, {{1, 2}, {n − 2, n − 3}}, {{2, 3}, {n − 3, n − 4}}, ··· {{n/2 − 1, n/2}} ··· {{2, 3}, {n − 3, n − 4}}, {{1, 2}, {n − 2, n − 3}}, {{0, 1}, {n − 1, n − 2}} Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(53) Einleitung 8:7. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. 11/11. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis I) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r2 (L(n)) 6 n − 1 für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. v0. {{0, 1}, {n − 1, n − 2}}, {{1, 2}, {n − 2, n − 3}}, {{2, 3}, {n − 3, n − 4}}, ··· {{n/2 − 1, n/2}} ··· {{2, 3}, {n − 3, n − 4}}, {{1, 2}, {n − 2, n − 3}}, {{0, 1}, {n − 1, n − 2}} Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(54) Einleitung 8:8. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. 1/11. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis II) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r2 (L(n)) 6 n für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. {{0, 1}, {{1, 2}, {n − 1, n − 2}}, {{2, 3}, {n − 2, n − 3}}, ··· {{bn/2c, dn/2e}} ··· {{2, 3}, {n − 2, n − 3}}, {{1, 2}, {n − 1, n − 2}}, {{0, 1}} v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(55) Einleitung 8:8. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. 2/11. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis II) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r2 (L(n)) 6 n für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. {{0, 1}, {{1, 2}, {n − 1, n − 2}}, {{2, 3}, {n − 2, n − 3}}, ··· {{bn/2c, dn/2e}} ··· {{2, 3}, {n − 2, n − 3}}, {{1, 2}, {n − 1, n − 2}}, {{0, 1}} v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(56) Einleitung 8:8. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. 3/11. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis II) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r2 (L(n)) 6 n für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. {{0, 1}, {{1, 2}, {n − 1, n − 2}}, {{2, 3}, {n − 2, n − 3}}, ··· {{bn/2c, dn/2e}} ··· {{2, 3}, {n − 2, n − 3}}, {{1, 2}, {n − 1, n − 2}}, {{0, 1}} v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(57) Einleitung 8:8. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. 4/11. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis II) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r2 (L(n)) 6 n für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. {{0, 1}, {{1, 2}, {n − 1, n − 2}}, {{2, 3}, {n − 2, n − 3}}, ··· {{bn/2c, dn/2e}} ··· {{2, 3}, {n − 2, n − 3}}, {{1, 2}, {n − 1, n − 2}}, {{0, 1}} v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(58) Einleitung 8:8. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. 5/11. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis II) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r2 (L(n)) 6 n für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. {{0, 1}, {{1, 2}, {n − 1, n − 2}}, {{2, 3}, {n − 2, n − 3}}, ··· {{bn/2c, dn/2e}} ··· {{2, 3}, {n − 2, n − 3}}, {{1, 2}, {n − 1, n − 2}}, {{0, 1}} v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(59) Einleitung 8:8. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. 6/11. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis II) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r2 (L(n)) 6 n für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. {{0, 1}, {{1, 2}, {n − 1, n − 2}}, {{2, 3}, {n − 2, n − 3}}, ··· {{bn/2c, dn/2e}} ··· {{2, 3}, {n − 2, n − 3}}, {{1, 2}, {n − 1, n − 2}}, {{0, 1}} v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(60) Einleitung 8:8. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. 7/11. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis II) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r2 (L(n)) 6 n für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. {{0, 1}, {{1, 2}, {n − 1, n − 2}}, {{2, 3}, {n − 2, n − 3}}, ··· {{bn/2c, dn/2e}} ··· {{2, 3}, {n − 2, n − 3}}, {{1, 2}, {n − 1, n − 2}}, {{0, 1}} v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(61) Einleitung 8:8. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. 8/11. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis II) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r2 (L(n)) 6 n für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. {{0, 1}, {{1, 2}, {n − 1, n − 2}}, {{2, 3}, {n − 2, n − 3}}, ··· {{bn/2c, dn/2e}} ··· {{2, 3}, {n − 2, n − 3}}, {{1, 2}, {n − 1, n − 2}}, {{0, 1}} v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(62) Einleitung 8:8. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. 9/11. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis II) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r2 (L(n)) 6 n für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. {{0, 1}, {{1, 2}, {n − 1, n − 2}}, {{2, 3}, {n − 2, n − 3}}, ··· {{bn/2c, dn/2e}} ··· {{2, 3}, {n − 2, n − 3}}, {{1, 2}, {n − 1, n − 2}}, {{0, 1}} v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(63) Einleitung 8:8. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. 10/11. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis II) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r2 (L(n)) 6 n für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. {{0, 1}, {{1, 2}, {n − 1, n − 2}}, {{2, 3}, {n − 2, n − 3}}, ··· {{bn/2c, dn/2e}} ··· {{2, 3}, {n − 2, n − 3}}, {{1, 2}, {n − 1, n − 2}}, {{0, 1}} v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(64) Einleitung 8:8. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. 11/11. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis II) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r2 (L(n)) 6 n für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. {{0, 1}, {{1, 2}, {n − 1, n − 2}}, {{2, 3}, {n − 2, n − 3}}, ··· {{bn/2c, dn/2e}} ··· {{2, 3}, {n − 2, n − 3}}, {{1, 2}, {n − 1, n − 2}}, {{0, 1}} v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(65) Einleitung 8:9. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. 1/6. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis II) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r2 (L(n)) > n für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Fluß der Nachrichten vom linken und rechten Knoten. Diese können nicht ohne Verzögerung weitergereicht werden. Denn sonst gibt es in der Mitte einen Zeitkonflikt. Daher muss mindestens eine Nachricht verzögert werden. Damit ergibt sich die untere Schranke. v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(66) Einleitung 8:9. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. 2/6. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis II) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r2 (L(n)) > n für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Fluß der Nachrichten vom linken und rechten Knoten. Diese können nicht ohne Verzögerung weitergereicht werden. Denn sonst gibt es in der Mitte einen Zeitkonflikt. Daher muss mindestens eine Nachricht verzögert werden. Damit ergibt sich die untere Schranke. v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(67) Einleitung 8:9. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. 3/6. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis II) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r2 (L(n)) > n für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Fluß der Nachrichten vom linken und rechten Knoten. Diese können nicht ohne Verzögerung weitergereicht werden. Denn sonst gibt es in der Mitte einen Zeitkonflikt. Daher muss mindestens eine Nachricht verzögert werden. Damit ergibt sich die untere Schranke. v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(68) Einleitung 8:9. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. 4/6. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis II) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r2 (L(n)) > n für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Fluß der Nachrichten vom linken und rechten Knoten. Diese können nicht ohne Verzögerung weitergereicht werden. Denn sonst gibt es in der Mitte einen Zeitkonflikt. Daher muss mindestens eine Nachricht verzögert werden. Damit ergibt sich die untere Schranke. v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(69) Einleitung 8:9. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. 5/6. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis II) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r2 (L(n)) > n für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Fluß der Nachrichten vom linken und rechten Knoten. Diese können nicht ohne Verzögerung weitergereicht werden. Denn sonst gibt es in der Mitte einen Zeitkonflikt. Daher muss mindestens eine Nachricht verzögert werden. Damit ergibt sich die untere Schranke. v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(70) Einleitung 8:9. Linien. Einfache Graphen. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. 6/6. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis II) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r2 (L(n)) > n für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Fluß der Nachrichten vom linken und rechten Knoten. Diese können nicht ohne Verzögerung weitergereicht werden. Denn sonst gibt es in der Mitte einen Zeitkonflikt. Daher muss mindestens eine Nachricht verzögert werden. Damit ergibt sich die untere Schranke. v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(71) Einleitung. Einfache Graphen. 8:10. 1/12. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis III) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) 6 n für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. v0. {(0, 1), (n − 1, n − 2)}, {(1, 2), (n − 2, n − 3)}, {(2, 3), (n − 3, n − 4)}, ··· {(n/2 − 1, n/2)} {(n/2, n/2 − 1)} ··· {(3, 2), (n − 4, n − 3)}, {(2, 1), (n − 3, n − 2)}, {(1, 0), (n − 2, n − 1)} Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(72) Einleitung. Einfache Graphen. 8:10. 2/12. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis III) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) 6 n für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. v0. {(0, 1), (n − 1, n − 2)}, {(1, 2), (n − 2, n − 3)}, {(2, 3), (n − 3, n − 4)}, ··· {(n/2 − 1, n/2)} {(n/2, n/2 − 1)} ··· {(3, 2), (n − 4, n − 3)}, {(2, 1), (n − 3, n − 2)}, {(1, 0), (n − 2, n − 1)} Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(73) Einleitung. Einfache Graphen. 8:10. 3/12. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis III) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) 6 n für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. v0. {(0, 1), (n − 1, n − 2)}, {(1, 2), (n − 2, n − 3)}, {(2, 3), (n − 3, n − 4)}, ··· {(n/2 − 1, n/2)} {(n/2, n/2 − 1)} ··· {(3, 2), (n − 4, n − 3)}, {(2, 1), (n − 3, n − 2)}, {(1, 0), (n − 2, n − 1)} Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(74) Einleitung. Einfache Graphen. 8:10. 4/12. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis III) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) 6 n für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. v0. {(0, 1), (n − 1, n − 2)}, {(1, 2), (n − 2, n − 3)}, {(2, 3), (n − 3, n − 4)}, ··· {(n/2 − 1, n/2)} {(n/2, n/2 − 1)} ··· {(3, 2), (n − 4, n − 3)}, {(2, 1), (n − 3, n − 2)}, {(1, 0), (n − 2, n − 1)} Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(75) Einleitung. Einfache Graphen. 8:10. 5/12. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis III) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) 6 n für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. v0. {(0, 1), (n − 1, n − 2)}, {(1, 2), (n − 2, n − 3)}, {(2, 3), (n − 3, n − 4)}, ··· {(n/2 − 1, n/2)} {(n/2, n/2 − 1)} ··· {(3, 2), (n − 4, n − 3)}, {(2, 1), (n − 3, n − 2)}, {(1, 0), (n − 2, n − 1)} Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(76) Einleitung. Einfache Graphen. 8:10. 6/12. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis III) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) 6 n für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. v0. {(0, 1), (n − 1, n − 2)}, {(1, 2), (n − 2, n − 3)}, {(2, 3), (n − 3, n − 4)}, ··· {(n/2 − 1, n/2)} {(n/2, n/2 − 1)} ··· {(3, 2), (n − 4, n − 3)}, {(2, 1), (n − 3, n − 2)}, {(1, 0), (n − 2, n − 1)} Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(77) Einleitung. Einfache Graphen. 8:10. 7/12. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis III) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) 6 n für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. v0. {(0, 1), (n − 1, n − 2)}, {(1, 2), (n − 2, n − 3)}, {(2, 3), (n − 3, n − 4)}, ··· {(n/2 − 1, n/2)} {(n/2, n/2 − 1)} ··· {(3, 2), (n − 4, n − 3)}, {(2, 1), (n − 3, n − 2)}, {(1, 0), (n − 2, n − 1)} Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(78) Einleitung. Einfache Graphen. 8:10. 8/12. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis III) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) 6 n für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. v0. {(0, 1), (n − 1, n − 2)}, {(1, 2), (n − 2, n − 3)}, {(2, 3), (n − 3, n − 4)}, ··· {(n/2 − 1, n/2)} {(n/2, n/2 − 1)} ··· {(3, 2), (n − 4, n − 3)}, {(2, 1), (n − 3, n − 2)}, {(1, 0), (n − 2, n − 1)} Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(79) Einleitung. Einfache Graphen. 8:10. 9/12. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis III) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) 6 n für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. v0. {(0, 1), (n − 1, n − 2)}, {(1, 2), (n − 2, n − 3)}, {(2, 3), (n − 3, n − 4)}, ··· {(n/2 − 1, n/2)} {(n/2, n/2 − 1)} ··· {(3, 2), (n − 4, n − 3)}, {(2, 1), (n − 3, n − 2)}, {(1, 0), (n − 2, n − 1)} Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(80) Einleitung. Einfache Graphen. 8:10. 10/12. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis III) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) 6 n für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. v0. {(0, 1), (n − 1, n − 2)}, {(1, 2), (n − 2, n − 3)}, {(2, 3), (n − 3, n − 4)}, ··· {(n/2 − 1, n/2)} {(n/2, n/2 − 1)} ··· {(3, 2), (n − 4, n − 3)}, {(2, 1), (n − 3, n − 2)}, {(1, 0), (n − 2, n − 1)} Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(81) Einleitung. Einfache Graphen. 8:10. 11/12. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis III) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) 6 n für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. v0. {(0, 1), (n − 1, n − 2)}, {(1, 2), (n − 2, n − 3)}, {(2, 3), (n − 3, n − 4)}, ··· {(n/2 − 1, n/2)} {(n/2, n/2 − 1)} ··· {(3, 2), (n − 4, n − 3)}, {(2, 1), (n − 3, n − 2)}, {(1, 0), (n − 2, n − 1)} Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(82) Einleitung. Einfache Graphen. 8:10. 12/12. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis III) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) 6 n für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. v0. {(0, 1), (n − 1, n − 2)}, {(1, 2), (n − 2, n − 3)}, {(2, 3), (n − 3, n − 4)}, ··· {(n/2 − 1, n/2)} {(n/2, n/2 − 1)} ··· {(3, 2), (n − 4, n − 3)}, {(2, 1), (n − 3, n − 2)}, {(1, 0), (n − 2, n − 1)} Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(83) Einleitung. Einfache Graphen. 8:11. 1/7. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis IV) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) > n für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Analoges Vorgehen wie oben. Betrachte Fluß der Nachrichten vom linken und rechten Knoten. Diese können nicht ohne Verzögerung weitergereicht werden. Denn sonst gibt es in der Mitte einen Zeitkonflikt. Daher muss mindestens eine Nachricht verzögert werden. Damit ergibt sich die untere Schranke. v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(84) Einleitung. Einfache Graphen. 8:11. 2/7. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis IV) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) > n für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Analoges Vorgehen wie oben. Betrachte Fluß der Nachrichten vom linken und rechten Knoten. Diese können nicht ohne Verzögerung weitergereicht werden. Denn sonst gibt es in der Mitte einen Zeitkonflikt. Daher muss mindestens eine Nachricht verzögert werden. Damit ergibt sich die untere Schranke. v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(85) Einleitung. Einfache Graphen. 8:11. 3/7. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis IV) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) > n für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Analoges Vorgehen wie oben. Betrachte Fluß der Nachrichten vom linken und rechten Knoten. Diese können nicht ohne Verzögerung weitergereicht werden. Denn sonst gibt es in der Mitte einen Zeitkonflikt. Daher muss mindestens eine Nachricht verzögert werden. Damit ergibt sich die untere Schranke. v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(86) Einleitung. Einfache Graphen. 8:11. 4/7. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis IV) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) > n für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Analoges Vorgehen wie oben. Betrachte Fluß der Nachrichten vom linken und rechten Knoten. Diese können nicht ohne Verzögerung weitergereicht werden. Denn sonst gibt es in der Mitte einen Zeitkonflikt. Daher muss mindestens eine Nachricht verzögert werden. Damit ergibt sich die untere Schranke. v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(87) Einleitung. Einfache Graphen. 8:11. 5/7. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis IV) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) > n für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Analoges Vorgehen wie oben. Betrachte Fluß der Nachrichten vom linken und rechten Knoten. Diese können nicht ohne Verzögerung weitergereicht werden. Denn sonst gibt es in der Mitte einen Zeitkonflikt. Daher muss mindestens eine Nachricht verzögert werden. Damit ergibt sich die untere Schranke. v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(88) Einleitung. Einfache Graphen. 8:11. 6/7. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis IV) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) > n für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Analoges Vorgehen wie oben. Betrachte Fluß der Nachrichten vom linken und rechten Knoten. Diese können nicht ohne Verzögerung weitergereicht werden. Denn sonst gibt es in der Mitte einen Zeitkonflikt. Daher muss mindestens eine Nachricht verzögert werden. Damit ergibt sich die untere Schranke. v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(89) Einleitung. Einfache Graphen. 8:11. 7/7. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis IV) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) > n für n gerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Analoges Vorgehen wie oben. Betrachte Fluß der Nachrichten vom linken und rechten Knoten. Diese können nicht ohne Verzögerung weitergereicht werden. Denn sonst gibt es in der Mitte einen Zeitkonflikt. Daher muss mindestens eine Nachricht verzögert werden. Damit ergibt sich die untere Schranke. v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. v9. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(90) Einleitung. Einfache Graphen. 8:12. 1/12. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis V) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) 6 n + 1 für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. {(0, 1)}, {(1, 2), (n − 1, n − 2)}, {(2, 3), (n − 2, n − 3)}, ··· {(bn/2c, dn/2e)} {(dn/2e, bn/2c)} ··· {(3, 2), (n − 3, n − 2)}, {(2, 1), (n − 2, n − 1)}, {(1, 0)} v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(91) Einleitung. Einfache Graphen. 8:12. 2/12. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis V) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) 6 n + 1 für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. {(0, 1)}, {(1, 2), (n − 1, n − 2)}, {(2, 3), (n − 2, n − 3)}, ··· {(bn/2c, dn/2e)} {(dn/2e, bn/2c)} ··· {(3, 2), (n − 3, n − 2)}, {(2, 1), (n − 2, n − 1)}, {(1, 0)} v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(92) Einleitung. Einfache Graphen. 8:12. 3/12. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis V) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) 6 n + 1 für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. {(0, 1)}, {(1, 2), (n − 1, n − 2)}, {(2, 3), (n − 2, n − 3)}, ··· {(bn/2c, dn/2e)} {(dn/2e, bn/2c)} ··· {(3, 2), (n − 3, n − 2)}, {(2, 1), (n − 2, n − 1)}, {(1, 0)} v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(93) Einleitung. Einfache Graphen. 8:12. 4/12. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis V) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) 6 n + 1 für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. {(0, 1)}, {(1, 2), (n − 1, n − 2)}, {(2, 3), (n − 2, n − 3)}, ··· {(bn/2c, dn/2e)} {(dn/2e, bn/2c)} ··· {(3, 2), (n − 3, n − 2)}, {(2, 1), (n − 2, n − 1)}, {(1, 0)} v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(94) Einleitung. Einfache Graphen. 8:12. 5/12. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis V) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) 6 n + 1 für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. {(0, 1)}, {(1, 2), (n − 1, n − 2)}, {(2, 3), (n − 2, n − 3)}, ··· {(bn/2c, dn/2e)} {(dn/2e, bn/2c)} ··· {(3, 2), (n − 3, n − 2)}, {(2, 1), (n − 2, n − 1)}, {(1, 0)} v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(95) Einleitung. Einfache Graphen. 8:12. 6/12. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis V) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) 6 n + 1 für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. {(0, 1)}, {(1, 2), (n − 1, n − 2)}, {(2, 3), (n − 2, n − 3)}, ··· {(bn/2c, dn/2e)} {(dn/2e, bn/2c)} ··· {(3, 2), (n − 3, n − 2)}, {(2, 1), (n − 2, n − 1)}, {(1, 0)} v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(96) Einleitung. Einfache Graphen. 8:12. 7/12. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis V) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) 6 n + 1 für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. {(0, 1)}, {(1, 2), (n − 1, n − 2)}, {(2, 3), (n − 2, n − 3)}, ··· {(bn/2c, dn/2e)} {(dn/2e, bn/2c)} ··· {(3, 2), (n − 3, n − 2)}, {(2, 1), (n − 2, n − 1)}, {(1, 0)} v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(97) Einleitung. Einfache Graphen. 8:12. 8/12. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis V) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) 6 n + 1 für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. {(0, 1)}, {(1, 2), (n − 1, n − 2)}, {(2, 3), (n − 2, n − 3)}, ··· {(bn/2c, dn/2e)} {(dn/2e, bn/2c)} ··· {(3, 2), (n − 3, n − 2)}, {(2, 1), (n − 2, n − 1)}, {(1, 0)} v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(98) Einleitung. Einfache Graphen. 8:12. 9/12. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis V) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) 6 n + 1 für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. {(0, 1)}, {(1, 2), (n − 1, n − 2)}, {(2, 3), (n − 2, n − 3)}, ··· {(bn/2c, dn/2e)} {(dn/2e, bn/2c)} ··· {(3, 2), (n − 3, n − 2)}, {(2, 1), (n − 2, n − 1)}, {(1, 0)} v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(99) Einleitung. Einfache Graphen. 8:12. 10/12. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis V) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) 6 n + 1 für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. {(0, 1)}, {(1, 2), (n − 1, n − 2)}, {(2, 3), (n − 2, n − 3)}, ··· {(bn/2c, dn/2e)} {(dn/2e, bn/2c)} ··· {(3, 2), (n − 3, n − 2)}, {(2, 1), (n − 2, n − 1)}, {(1, 0)} v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(100) Einleitung. Einfache Graphen. 8:12. 11/12. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis V) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) 6 n + 1 für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. {(0, 1)}, {(1, 2), (n − 1, n − 2)}, {(2, 3), (n − 2, n − 3)}, ··· {(bn/2c, dn/2e)} {(dn/2e, bn/2c)} ··· {(3, 2), (n − 3, n − 2)}, {(2, 1), (n − 2, n − 1)}, {(1, 0)} v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(101) Einleitung. Einfache Graphen. 8:12. 12/12. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis V) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) 6 n + 1 für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. Betrachte Algorithmus A, gegeben durch die Matchings: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. {(0, 1)}, {(1, 2), (n − 1, n − 2)}, {(2, 3), (n − 2, n − 3)}, ··· {(bn/2c, dn/2e)} {(dn/2e, bn/2c)} ··· {(3, 2), (n − 3, n − 2)}, {(2, 1), (n − 2, n − 1)}, {(1, 0)} v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. 2)) 2)) 2)) 2)).
(102) Einleitung. Einfache Graphen. 8:13. 1/9. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis VI) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) > n + 1 für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. Analoges Vorgehen wie oben. Betrachte Fluß der Nachrichten vom linken und rechten Knoten. Diese können nicht ohne Verzögerung weitergereicht werden. Denn sonst gibt es in der Mitte einen Zeitkonflikt. Daher muss mindestens eine Nachricht (O.E.d.A. die rechte) verzögert werden. Nun muss die rechte Nachricht weiterlaufen, sonst hätten wir schon jetzt ein Verzögerung von 2. Nun ergibt sich eine weitere Verzögerung. Damit ergibt sich die untere Schranke. v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. 2)) 2)) 2)) 2)).
(103) Einleitung. Einfache Graphen. 8:13. 2/9. Linien. Netzwerke. Komplexität. Telefonmode. Telegraphmode. Walter Unger 15.6.2016 18:31. SS2016. Gossip auf Linien (Beweis VI) r2 (L(n)) r2 (L(n)) r (L(n)) r (L(n)). Zeige: r (L(n)) > n + 1 für n ungerade.. = = = =. n−1 n n n+1. (n (n (n (n. Z. Zus.. ≡ ≡ ≡ ≡. 0 1 0 1. (mod (mod (mod (mod. Analoges Vorgehen wie oben. Betrachte Fluß der Nachrichten vom linken und rechten Knoten. Diese können nicht ohne Verzögerung weitergereicht werden. Denn sonst gibt es in der Mitte einen Zeitkonflikt. Daher muss mindestens eine Nachricht (O.E.d.A. die rechte) verzögert werden. Nun muss die rechte Nachricht weiterlaufen, sonst hätten wir schon jetzt ein Verzögerung von 2. Nun ergibt sich eine weitere Verzögerung. Damit ergibt sich die untere Schranke. v0. Σ=0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. v7. v8. 2)) 2)) 2)) 2)).
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