Algorithmische Graphentheorie (SS2016) Kapitel 3 Einfache Schnittgraphen Walter Unger

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(1)Algorithmische Graphentheorie (SS2016) Kapitel 3 Einfache Schnittgraphen. Walter Unger Lehrstuhl für Informatik 1. 19:02 Uhr, den 15. Juni 2016.

(2) Schnittgraphen 3. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Inhaltsverzeichnis. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Inhalt I 1. Schnittgraphen Grundlagen Probleme. 2. Intervallgraphen Einleitung Färbung Stabile Mengen und Cliquen. 3. Permutationsgraphen Einleitung Färbung. 4. Kreisbogengraphen. Einleitung Färbungen. 5. Kreissehnengraphen Einleitung Färbungen Konstruktion Färbungen Stabile Menge und Clique. 6. Zusammenfassung Segmentgraphen Diskgraphen Überblick. Z. Zus.f.. SS2016.

(3) Schnittgraphen 3:1. Intervallgraphen. Perm.gr.. Grundlagen. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. SS2016. Grundlagen Ein Graph besteht aus Knoten, von denen einige in Relation (über Kanten) stehen. Oft haben wir auch Objekte, die in Relation stehen. Mögliche Relationen: Objekte Objekte Objekte Objekte. haben gemeinsame Eigenschaft. sind benachbart. haben kleinen Abstand. schneiden sich.. Über die letzte Art von Relation definieren wir im folgenden Schnittgraphen.. Z. Zus.f..

(4) Schnittgraphen 3:2. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Grundlagen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Z. Zus.f.. SS2016. Definition Definition. Ein Graph G = (V , E ) heißt Schnittgraph einer Menge M von Objekten, falls G = (V , E ) isomorph ist zu H = (M, {{a, b} | a ∩ b 6= ∅}). M ist dann die Schnittgraphdarstellung von G . Mögliche Familien von Objekten sind: Intervalle auf einer Linie Kreisbögen eines Kreises Sehnen eines Kreises Kreise in der Ebene Parallelogramme zwischen zwei Linien und weitere Über verschiedene Klassen von Familien ergeben sich verschiedene Graphklassen..

(5) Schnittgraphen 3:3. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Probleme. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Graphfärbung Definition Ein Graph G = (V , E ) heißt k-färbbar falls gilt: ∃f : V 7→ {1, ..., k} : ∀(a, b) ∈ E , f (a) 6= f (b). Die Abbildung f heißt Färbung von G . Definition χ(G ) ist die chromatische Zahl χ(G ) von G genau dann, wenn G χ(G )-färbbar, aber nicht (χ(G ) − 1)-färbbar ist.. Z. Zus.f.. SS2016.

(6) Schnittgraphen 3:4. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Probleme. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Färbungsprobleme Definition Das Graph-zu-Färbungsproblem ist wie folgt gegeben: Eingabe: G Graph Ausgabe: Optimale Färbung von G . Definition Das Färbungsproblem ist wie folgt gegeben: Eingabe: k ∈ N und G Graph Ausgabe: Ist G k-färbbar? Definition Das k-Färbungsproblem ist wie folgt gegeben: Eingabe: G Graph Ausgabe: Ist G k-färbbar?. Kreissehnengraphen. Z. Zus.f.. SS2016.

(7) Schnittgraphen 3:5. Intervallgraphen. Probleme. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Stabile Mengen. Z. Zus.f.. SS2016. Definition Ein Graph G = (V , E ) enthält eine stabile Menge der Größe k, falls gilt: ∃S ⊂ V : |S| = k ∧ ∀a, b ∈ S, a 6= b : (a, b) 6∈ E . Definition α(G ) gibt die Größe der größten stabilen Menge an: G enthält stabile Menge der Größe α(G ), aber nicht der Größe α(G ) + 1..

(8) Schnittgraphen 3:6. Intervallgraphen. Probleme. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Definitionen Definition Sei G = (V , E ) Graph. α(G ) ω(G ) χ(G ). = = =. χ(G ). =. max{ |V 0 | ; V 0 ⊂ V ∧ ∀a, b ∈ V 0 : (a, b) 6∈ E } max{ |V 0 | ; V 0 ⊂ V ∧ ∀a, b ∈ V 0 : (a, b) ∈ E } min{ k ; ∃V1 , V2 , . . . , Vk : ∪ki=1 Vi = V ∧ ∀i : 1 6 i 6 k : ∀a, b ∈ Vi : (a, b) 6∈ E } min{ k ; ∃V1 , V2 , . . . , Vk : ∪ki=1 Vi = V ∧ ∀i : 1 6 i 6 k : ∀a, b ∈ Vi : (a, b) ∈ E }. Weitere Schreibweisen: ω(G ) = α(G ), α(G ) = ω(G ) = β0 (G ), κ(G ) = χ(G ). Z. Zus.f.. SS2016.

(9) Schnittgraphen 3:7. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Einleitung. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Erstes einfaches Beispiel Lebenszeit von Registern beim Compilerbau Programmteile: · · · Read(A) · · · Write(B) · · · Lebenszeit einer Variablen A: Maximales Intervall von einem Write(A) bis zum letzten Read(A) ohne ein weiteres Write(A) dazwischen. Problem: Wie viele Register braucht man? D.h. weise jeder Lebenszeit einer Variablen ein Register zu. Beispiel: (0, 10), (3, 7), (9, 20), (25, 50), (12, 34), (6, 16), (17, 26) (11, 46), (23, 26), (30, 46), (19, 27) 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 k. f. a. g e. c b. j i. h. d. Z. Zus.f.. SS2016.

(10) Schnittgraphen 3:8. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Einleitung. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. SS2016. Intervallgraphen Definition (Intervallgraph) Ein Graph G = (V , E ) heißt Intervallgraph, falls er als Schnittgraph einer Menge von Intervallen auf einer Geraden dargestellt werden kann. Ein Intervallgraph heißt proper, falls kein Intervall in einem anderen Intervall enthalten ist. 0. 2. 4. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50. 6. k. f. d. b. a 2. 4. 6 e. a. g e. c 0. j. i. h. b. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 g r d c. Z. Zus.f..

(11) Schnittgraphen 3:9. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Färbung. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Modell und Färbung (Idee) Idee: Suche stabile Mengen. 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 k. f. j i. h. g e d. c b. a 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 c. a. b. d. Z. Zus.f.. SS2016.

(12) Schnittgraphen 3:10. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Färbung. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. SS2016. Modell und Färbung (Idee) Idee: gehe von links nach rechts durch (sortiert nach linken Endpunkten): 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h. k. i. e. g. c f a. b. d. j. Z. Zus.f..

(13) Schnittgraphen 3:11. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Färbung. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Modell und Färbung (Invariante) Suche Invariante: 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 j f. c a. b. d. e. h g i. k. Z. Zus.f.. SS2016.

(14) Schnittgraphen 3:12. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Z. Zus.f.. SS2016. Färbung von Intervallgraphen (Algorithmus) Theorem Das Graph-zu-Färbungsproblem ist für Intervallgraphen in O(n log(n)) Zeit lösbar. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Endpunkten.. 2. Durchlaufe die Endpunkte e von links nach rechts.. 3. Falls e der Startpunkt eines Intervalls ist, färbe dies Intervall mit der kleinsten freien Farbe. 4. Falls e der Endpunkt eines Intervalls I ist, gebe die Farbe von I frei.. Invariante Falls ein Knoten v mit Farbe k gefärbt wird, dann ist v in einer k-Clique..

(15) Schnittgraphen 3:13. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. SS2016. Beispiel Independent Set Problem auf Intervallgraphen 0. 2. 4. 6. 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 h 3 e 1. b a. 1. d c. g. 2 2. 3. 2. k. 3. f i. 3. j. l 4. n. 5. m. Z. Zus.f.. 6 5 5. 1. Sortiere die Intervalle nach ihren Startpunkten.. 2. Durchlaufe die Startpunkte e von links nach rechts.. 3. Speichere zu jedem Intervall I die Größe einer maximalen unabhängige Menge von Intervallen, die I als rechtestes Intervall enthält..

(16) Schnittgraphen 3:14. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Independent Set Problem auf Intervallgraphen. Z. Zus.f.. SS2016. Theorem Eine maximale unabhängige Menge von Knoten zu finden, ist für Intervallgraphen in O(n log(n)) Zeit lösbar. 1 2. 3. Durchlaufe die Start- und Endpunkte e von links nach rechts. Speichere zu jedem Endpunkt e die Größe einer maximalen unabhängige Menge S(e) von Intervallen, die links von e liegen. Beim Durchlauf von links nach rechts mache: 1 Falls e Startpunkt vom Intervall (e, f ) ist und es keinen Endpunkt links von e gibt, dann setze S(f ) = 1. 2 Falls e Startpunkt vom Intervall (e, f ) ist, so bestimme: größten Endpunkt e 0 der links von e liegt und setze S(f ) = S(e 0 ) + 1. 3 Falls e Endpunkt vom Intervall (a, e) ist, so bestimme: größten Endpunkt e 0 der links von e liegt und rechts von a liegt. Falls es den gibt, so setze S(e) = max(S(e 0 ), S(e))..

(17) Schnittgraphen 3:15. Intervallgraphen. Stabile Mengen und Cliquen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Maximale Clique auf Intervallgraphen Theorem Eine maximale Clique von Knoten zu finden, ist für Intervallgraphen in O(n log(n)) Zeit lösbar. Bemerkung Sehr viele Probleme lassen sich schnell auf Intervallgraphen lösen.. Z. Zus.f.. SS2016.

(18) Schnittgraphen 3:16. Intervallgraphen. Perm.gr.. Einleitung. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Z. Zus.f.. SS2016. Permutationsgraphen Definition (Permutationsgraph) Ein Graph G = (V , E ) heißt Permutationsgraph, falls er durch eine Permutation π : {1..n} → {1..n} wie folgt darstellbar ist: G = ({1..n}, {(i, j); (i − j)(π(i) − π(j)) < 0}). Theorem Ein Permutationsgraph ist der Schnittgraph von Strecken, die zwei Parallelen verbinden..

(19) Schnittgraphen 3:17. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Färbung. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. SS2016. Beispiel und Färbung π(i). π(h). π(e). a. b. π(c). c. d. π(f ) π(a). e. f. b. π(b). g. h. h i. c. Σ=0. Invariante analog zu Intervallgraphen.. e. π(d) π(k) π(g ) π(j). i. j. k. Z. Zus.f..

(20) Schnittgraphen 3:18. Färbung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. SS2016. Färbungsproblem auf Permutationsgraphen Theorem Das Graph-zu-Färbungsproblem ist für Permutationsgraphen in O(n log(n)) Zeit lösbar. Idee: Analoges Vorgehen wie bei Intervallgraphen Theorem Eine maximale unabhängige Menge von Knoten zu finden, ist für Permutationsgraphen in O(n log(n)) Zeit lösbar. Idee: Analoges Vorgehen wie bei Intervallgraphen Theorem Eine maximale Clique von Knoten zu finden, ist für Permutationsgraphen in O(n log(n)) Zeit lösbar. Idee: Analoges Vorgehen wie bei Intervallgraphen. Z. Zus.f..

(21) Schnittgraphen 3:19. Intervallgraphen. Perm.gr.. Einleitung. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. SS2016. Kreisbogengraphen Definition (Kreisbogengraph) Ein Graph G = (V , E ) heißt Kreisbogengraph (arc-graph), falls er als Schnittgraph einer Menge von Kreisbögen auf einem Kreis dargestellt werden kann. Ein Kreisbogengraph heißt proper, falls kein Bogen in einem anderen Bogen enthalten ist. Bemerkung Jeder Intervallgraph ist auch ein Kreisbogengraph. Frage: Können wir Algorithmen für Intervallgraphen auf Kreisbogengraphen übertragen?. Z. Zus.f..

(22) Schnittgraphen 3:20. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Einleitung. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. SS2016. Begründung zu obigen Resultaten Frage, was ist der Grund, dass die obigen Probleme auf Intervallgraphen schnell lösbar sind? Untersuche “Informationsfluss”, d.h.: Welche Information ist beim Durchlauf von links nach rechts zu speichern? Man könnte meinen, alle k! Färbungen sind vorzuhalten. aber, jede Färbung ist gleichwertig. Daher nur zu speichern: eine aktuelle Färbung. Frage Wie sieht es auf Kreisbogengraphen aus?. Z. Zus.f..

(23) Schnittgraphen 3:21. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Einleitung. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Z. Zus.f.. SS2016. Färbungsproblem auf Kreisbogengraphen (Idee). Untersuche “Informationsfluss”, d.h.: Welche Information ist beim Durchlauf um den Kreis zu speichern? Die Färbungen sind nicht gleichwertig, denn am Ende müssen die Farben passen. Man muss ggf. alle k! Färbungen speichern. D.h. wenn k konstant ist, dann ist das Problem in P. D.h. wenn k nicht konstant ist, dann könnte das Problem in N PC sein..

(24) Schnittgraphen 3:22. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Färbungen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Färbungsproblem auf Kreisbogengraphen. Z. Zus.f.. SS2016. Theorem Das k-Färbungsproblem für Kreisbogengraphen ist in polynomieller Zeit lösbar. Idee: Es reicht aus, k! Fälle zu betrachten 1. O.E.d.A.: Der Graph hat keine k + 1 Clique.. 2. Ansonsten suche analog wie bei Intervallgraphen nach der größten Clique.. 3. Färbe eine beliebige k 0 -Clique.. 4. Färbe die Bögen weiter gegen den Uhrzeigersinn.. 5. Es reicht aus, k! Färbungen vorzuhalten.. 6. Teste am Ende, ob eine der möglichen Färbungen passt.. 7. Laufzeit: O(k!2 · n log n) = O(n log n).

(25) Schnittgraphen 3:23. Färbungen. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Färbungsproblem auf Kreisbogengraphen Theorem Das Färbungsproblem für Kreisbogengraphen ist NP-vollständig. Idee: Reduktion auf das Word Problem für symmetrische Gruppen. Definition Das Word Problem für symmetrische Gruppen ist wie folgt gegeben: Eingabe: π ∈ Sk (Wort und symmetrische Gruppe) und S1 , S2 , · · · Sn Untergruppen Ausgabe: Gilt: π ∈ S1 S2 · · · Sn. Z. Zus.f.. SS2016.

(26) Schnittgraphen 3:24. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Färbungen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. SS2016. Färbungsproblem auf Kreisbogengraphen π(6) π(5) π(4) π(3) π(2) π(1). = = = = = =. 6 4 5 2 1 3. S4 = {1, 6}. S3 = {1, 3}. S2 = {4, 6}. S1 = {2, 4}. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... Z. Zus.f..

(27) Schnittgraphen 3:25. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Einleitung. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. SS2016. Kreissehnengraph und Overlapgraph Definition (Kreissehnengraph) Ein Graph G = (V , E ) heißt Kreissehnengraph (circle-graph), falls er als Schnittgraph einer Menge von Kreissehnen auf einem Kreis dargestellt werden kann. Definition (Overlapgraph) Ein Graph G = (V , E ) heißt Overlapgraph, falls er als Überlappungsgraph einer Menge von Intervallen dargestellt werden kann. D.h. sei I eine Menge von Intervallen: Dann ist der Overlapgraph: G = (I , {(a, b) | a, b ∈ I ∧ a \ b 6= ∅ ∧ b \ a 6= ∅ ∧ a ∩ b 6= ∅}). Z. Zus.f..

(28) Schnittgraphen 3:26. Einleitung. Beispiel. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Z. Zus.f.. SS2016.

(29) Schnittgraphen 3:27. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Einleitung. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Z. Zus.f.. SS2016. Aussagen zu Kreissehnengraphen Lemma 1. Jeder Intervallgraph ist auch ein Kreisbogengraph.. 2. Jeder Propere Kreisbogengraph ist auch ein Kreissehnengraph.. 3. Jeder Permutationsgraph ist auch ein Kreissehnengraph.. 4. Ein Graph G ist ein Kreissehnengraph gdw. G ist ein Overlapgraph.. Zeige nur: Ein Graph G ist ein Kreissehnengraph gdw. G ist ein Overlapgraph. 0. Sehne A von r · e i·a nach r · e i·a wird zum Intervall A0 = (a, a0 ) (0 6 a < a0 < 2 · π). 0. Sehne B von r · e i·b nach r · e i·b wird zum Intervall b 0 = (b, b 0 ) (0 6 b < b 0 < 2 · π). Sehne A kreuzt B gdw. a < b < a0 < b 0 oder b < a < b 0 < a0 . Intervall A0 hat Overlap mit B gdw. a < b < a0 < b 0 oder b < a < b 0 < a0 ..

(30) Schnittgraphen 3:28. Einleitung. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Z. Zus.f.. SS2016. G ist ein Kreissehnengraph gdw. G ist ein Overlapgraph.

(31) Schnittgraphen 3:29. Intervallgraphen. Perm.gr.. Färbungen. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Z. Zus.f.. SS2016. Färbung auf Kreissehnengraphen (Idee) Wie ist der Informationsfluss? Kreuzende Sehnen “behindern” einen Informationsfluss.. Beachte aber: Information durch Färbung von Sehnenpaaren kann besser (ungehinderter) fließen. Daher könnte schon das 4-Färbungsproblem für Kreissehnengraphen NP-vollständig sein. Und das 3-Färbungsproblem für Kreissehnengraphen ist dann erst mal offen..

(32) Schnittgraphen 3:30. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Färbungen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Z. Zus.f.. SS2016. Färbungsprobleme (Überblick II) Theorem Das 4-Färbungsproblem für Kreissehnengraphen ist NP-vollständig. Theorem Das 3-Färbungsproblem für Kreissehnengraphen ist in O(n log(n)) Zeit lösbar..

(33) Schnittgraphen 3:31. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Färbungen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. SS2016. 4-Färbungsproblem für Kreissehnengraphen Reduktion vom 3-SAT Problem D.h. zu einer gegebenen 3-SAT Formel F wird ein passender Kreissehnengraph G konstruiert. Dabei gilt: F erfüllbar ⇐⇒ G 4-färbbar. Problem: Darstellung von logischen Werten durch Färbung von Sehnen. Idee: Je ein Sehnenpaar (a, b) stellt einen logischen Wert v dar. Es gilt: v ⇐⇒ f (a) = f (b) für eine Färbung f . Konstruiere eine Art “Schaltkreis”. Z. Zus.f..

(34) Schnittgraphen 3:32. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Konstruktion. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Komponente Negation I (x = ¬y ) y0 y x0 x. h3 a y 0 e b h2 a y c b x d h1 c e x 0 d k1 k2 k3 h1 h2 h3 k1 k2 k3 y. x. ¬. Z. Zus.f.. SS2016.

(35) Schnittgraphen 3:33. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Konstruktion. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Überblick 0 x1...n. 1 xn...1. c1n. 2 x1...n. c2n. 3 xn...1. c3n. ... ... ... ... .... m x1...n. m−1 xn...1 n cm. ya−1...1 xc+1...n ya xc yb−1...a+1 xb+1...c−1 yb. xb. yc−1...b+1 xa+1...b−1 yc xa yn...c+1 x1...a−1. a ⇔k1. ⇐⇒. b ×k2. c ci. d ×k3. ⇐⇒. ⇔k4. Z. Zus.f.. SS2016.

(36) Schnittgraphen 3:34. Intervallgraphen. Perm.gr.. Konstruktion. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Die Negation. Negation II: x = ¬y y. x a. ¬. b. ¬. ¬. Mögliche x a 1,1 2,3 1,1 2,3 1,1 2,4 1,1 2,3 1,1 2,4 1,1 3,4. Farben b y 4,4 1,2 4,4 1,3 3,3 1,4 4,4 2,3 3,3 2,4 2,2 3,4. Z. Zus.f.. SS2016.

(37) Schnittgraphen 3:35. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Konstruktion. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. SS2016. Einige Einfache Komponenten. Negation II: x = ¬y x. a. ¬. y. b. ¬. ¬. y. x. y. x. a ¬. y. x. Statisches XOR: x =y ⊕e. Gleichheit: x =y. ¬. ⊕e. ¬. y. x. ⇔. Z. Zus.f..

(38) Schnittgraphen 3:36. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Konstruktion. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Gleichheit: (x = y = z) y x. z b2. b1. ¬. a1 h. ¬. ¬. a2. ⇔. ¬y ⇒ a1 ⇒ a2 ⇒ ¬z ¬y ⇒ b1 ⇒ ¬x y ⇒ ¬a1 ⇒ ¬a2 ⇒ z y ⇒ ¬a2 ⇒ b2 ⇒ ¬b1 ⇒ x Eine Färbung ist in allen Fällen möglich.. h. ¬. Z. Zus.f.. SS2016.

(39) Schnittgraphen 3:37. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Konstruktion. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. 0. SS2016. 0. Gleichheit: (x = x ∧ y = y ) y0. y y1 x. y2. x1 ⇔. ¬. y3. x2 ⇔. ¬. x3 ⇔. ¬. x0. x4 ⇔. ¬. ⇔. y 1,1 1,1 1,1 1,1 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2. y1 1,2 1,2 1,2 1,2 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1. y2 1,1 1,1 1,1 1,1 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,3. Z. Zus.f.. y3 1,2 1,2 1,3 1,4 1,1 1,1 1,1 2,2 2,2 3,3. y0 1,1 2,2 3,3 4,4 1,2 1,3 1,4 2,3 2,4 3,4.

(40) Schnittgraphen 3:38. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Konstruktion. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. SS2016. Gleichheit (x = y = z) x =y =z. x = x 0 und y = y 0 y0. y. y. x. y1. z b2. b1. x. a1 h. x. ¬. ¬. y. y2. x1. x2. x0. x4. x3. ⇔. h. ¬. ⇔. ¬. ⇔. ⇔. ¬. ¬. x. y y0. z ×. ⇐⇒. y3. a2 ⇔. ¬. Z. Zus.f.. x0. ¬. ⇔.

(41) Schnittgraphen 3:39. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Konstruktion. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. SS2016. Mehr Einfache Komponenten. Schwaches Oder: ¬x ∧ ¬z ⇒ ¬y y0. y. Schwache Negation: ¬x ⇒ y und ¬y ⇒ x y. x z0 z. x0 x. h. h. x. ∼¬ x. y z2. ∼∨. Wahr: x = true x. a b c y. z0 y z x y0 x0. Z. Zus.f.. a b c. x. 1.

(42) Schnittgraphen 3:40. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Konstruktion. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Oder (x ∨ y = z) y. x. z. z1. z3 x1 x2. 0. x ⇔. ∼¬. ¬. y1. x3 ⇐⇒. ⇐⇒. ∼∨. x. z y0 4. y2. y. ¬. z. ∨. ¬x ∧ ¬y ⇒ ¬x3 ∧ ¬y1 ⇒ ¬z3 ⇒ ¬z x ⇒ ¬x 0 ⇒ z1 ⇒ z y ⇒ ¬y 0 ⇒ z4 ⇒ z Eine Färbung ist in allen Fällen möglich.. ∼¬. z2 ⇐⇒. ⇐⇒. Z. Zus.f.. SS2016.

(43) Schnittgraphen 3:41. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Konstruktion. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Statische einfache Klausel x2 = x20 und (x1 ⊕ e1 ) ∨ (x2 ⊕ e2 ) ∨ (x3 ⊕ e3 ) = true x20. x2. x1. x3 a2. a1 ⊕e1. b1 ×. b2 ⇐⇒. x1. c1 b3. ⊕e2. 0 x2 x2. ci. e1 ∨. e2 ∨. x3. 1. ⊕e3. Z. Zus.f.. SS2016.

(44) Schnittgraphen 3:42. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Konstruktion. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. SS2016. Mehrfache Gleichheit (xi = yi ) [mit Durchreichung (z0 = zk )]. y1. y1. y2 . . . . . . yk. y2 xk. . . . . .. xk . . . . .. yk. x2 x1 ⇔. ... ... .... ⇔. x1...k. ⇔. . . . . . x2 x1 z1. z0 ×. ... ... .... ×. x1...k ⇔. zk−1. z2. yk...1. k. Z. Zus.f.. ×. yk...1 zk. z0. ×k. zk.

(45) Schnittgraphen 3:43. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Konstruktion. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Klausel (xi = yi und ci erfüllt) ya−1...1 xc+1...n ya xc yb−1...a+1 xb+1...c−1 yb. xb. yc−1...b+1 xa+1...b−1 yc xa yn...c+1 x1...a−1. a ⇔k1. ⇐⇒. b ×k2. c ci. d ×k3 yn...1. x1...n cin. ⇐⇒. ⇔k4. Z. Zus.f.. SS2016.

(46) Schnittgraphen 3:44. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Konstruktion. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Formel (alle ci sind erfüllt) 0 x1...n. 1 xn...1. c1n. 2 x1...n. c2n. 3 xn...1. c3n. ... ... ... ... .... m x1...n. m−1 xn...1 n cm. Z. Zus.f.. SS2016.

(47) Schnittgraphen 3:45. Intervallgraphen. Färbungen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Z. Zus.f.. SS2016. Färbungsprobleme Theorem Das k-Färbungsproblem für Kreissehnengraphen ist NP-vollständig für k > 4. Theorem. Das (2 · k − 1)-Färbungsproblem für Kreissehnengraphen mit Cliquengröße k ist NP-vollständig. Theorem Jeder Kreissehnengraph mit Cliquengröße k ist (3 · k)-färbbar..

(48) Schnittgraphen 3:46. Intervallgraphen. Perm.gr.. Stabile Menge und Clique. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Stabile Menge und Clique. Z. Zus.f.. SS2016. Theorem Eine maximale unabhängige Menge von Knoten zu finden, ist für Kreissehengraph in O(n log(n)) Zeit lösbar. Theorem Eine maximale Clique von Knoten zu finden, ist für Kreissehnengraph in O(n2 ) Zeit lösbar..

(49) Schnittgraphen 3. Intervallgraphen. Inhaltsverzeichnis. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Z. Zus.f.. SS2016. Zusammenfassung Theorem Für Intervallgraphen G können in O(n log(n)) Zeit χ(G ), α(G ) und ω(G ) bestimmt werden. Theorem. Für Permutationsgraphen G können in O(n log(n)) Zeit χ(G ), α(G ) und ω(G ) bestimmt werden. Theorem Das k-Färbungsproblem für Kreisbogengraphen ist in polynomieller Zeit lösbar, aber das Färbungsproblem für Kreisbogengraphen ist NP-vollständig. Theorem Das 3-Färbungsproblem für Kreissehnengraphen ist in Zeit O(n log(n)) lösbar. Das k-Färbungsproblem für Kreissehnengraphen für k > 4 ist NP-vollständig..

(50) Schnittgraphen 3. Intervallgraphen. Inhaltsverzeichnis. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. SS2016. Zusammenfassung Färbung (und viele andere Probleme) auf Intervallgraphen ist leicht. k-Färbungsproblem auf Kreisbogengraphen ist leicht. Färbungsproblem auf Kreisbogengraphen ist schwer. 4-Färbungsproblem auf Sehnengraphen ist schwer. 3-Färbungsproblem auf Sehnengraphen ist leicht. k-Färbungsproblem auf Sehnengraphen ist schwer (für k > 3).. Z. Zus.f..

(51) Schnittgraphen 3:49. Intervallgraphen. Perm.gr.. Segmentgraphen. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. SS2016. g -Segmentgraphen Definition (g -Segmentgraphen) Ein Graph G = (V , E ) heißt g -Segmentgraphen, falls er als Schnittgraph einer Menge von Sehnen auf einem g -Eck dargestellt werden kann. Lemma Es gilt: 1. Jeder Permutationsgraph ist auch ein Kreissehnengraph.. 2. Jeder Permutationsgraph ist auch ein g -Segmentgraphen.. 3. Jeder Propere Kreisbogengraph ist auch ein Kreissehnengraph.. 4. Nicht jeder Propere Kreisbogengraph ist ein g -Segmentgraphen.. Z. Zus.f..

(52) Schnittgraphen 3:50. Intervallgraphen. Perm.gr.. Kreisbogengraphen. Diskgraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Z. Zus.f.. SS2016. Diskgraphen Definition (Diskgraphen) Ein Graph G = (V , E ) heißt Diskgraph,. falls er als Schnittgraph einer Menge von Kreisen in der Ebene dargestellt werden kann. Definition (Unit-Diskgraphen) Ein Graph G = (V , E ) heißt Unit-Diskgraph, falls er als Schnittgraph einer Menge von gleich grossen Kreisen in der Ebene dargestellt werden kann..

(53) Schnittgraphen 3:51. Intervallgraphen. Perm.gr.. Überblick. Kreisbogengraphen. Kreissehnengraphen. Walter Unger 15.6.2016 19:02. SS2016. Überblick der Ergebnisse Graphen Intervall Permutation Circle g -Segment Disk Planar k-außenplanar. k-Col. ?P ?P ?N PC ?P ?N PC ?N PC ?P. Col. ?P ?P ?N PC ?P ?N PC ?N PC ?P. Opt-Col ?P ?P ?N P-hard ?P ?N P-hard ?N P-hard ?P. Ind. ?P ?P ?P ?P ?N PC ?N PC ?P. Clique ?P ?P ?P ?P ?P ?P ?P. Z. Zus.f.. Erk. ?P ?P ?P ?P ?N PC ?P ?P.

(54) 4. Inhaltsverzeichnis. Walter Unger 15.6.2016 19:02. SS2016. Fragen Wie löst man das Färbungproblem auf Intervallgraphen? Wie löst man das Färbungproblem auf Permutationsgraphen Wie findet man eine maximal stabile Menge auf Kreisbogengraphen und Kreissehnengraphen? Wie findet man eine maximale Clique auf obigen Kreisbogengraphen? Warum ist das Färbungsproblem auf Kreisbogengraphen schwer? Was ist die Idee bei der Reduktion zum 4-Färbungsproblem auf Sehnengraphen.. Z.

(55) 4. Inhaltsverzeichnis. Walter Unger 15.6.2016 19:02. Legende : Nicht relevant : Grundlagen, die implizit genutzt werden : Idee des Beweises oder des Vorgehens : Struktur des Beweises oder des Vorgehens : Vollständiges Wissen. SS2016. Z.

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