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Funktionen 11. Entscheiden Sie, ob die folgenden Zuordnungen Funktionen sind oder nicht. Bestimmen Sie die Definitions– und Wertemenge so genau Sie können.
a) SchülerInnen der Klasse → Schuhgrösse b) Schulfach → Schulzimmer c) Nachname der SchülerInnen der Klasse → Vorname der SchülerInnen
d) Vorname der SchülerInnen der Klasse → Nachname der SchülerInnen e) Jasskarten → Kartenwert f) Kartenwert → Jasskarten
g) Kartenwert → Herzkarten h) Hausnummer → Name des Bewohners i) AHV–Nummer → Name des Versicherten j) Name des Versicherten → AHV–Nummer 2. Vervollständigen Sie die Wertetabellen und bestimmen Sie — falls nötig — die Funktion.
a) f(x) = 3x–5 x 7 –2 0 3.25 f(x) –1 1 –1.45 2 b) x 3 –2 0 1 3.75 –10 g(x) 7 –3 1 3 2 –7.4 c) x 3 –2 0 1 –3 –10 h(x) 14 9 5 6 21 11.25
3. Zeichnen Sie die Graphen der folgenden Funktionen für natürliche Zahlen n = 1, 2, ..., 30: a) Die Funktion t ordnet jedem n die Anzahl ihrer Teiler zu.
b) Die Funktion p ordnet jedem n den Wert 1 zu, wenn n Primzahl ist, andernfalls 0. c) Die Funktion q ordnet jede n die Anzahl der Primzahlen zu, die kleiner oder gleich n sind. 4. Stellen Sie eine Wertetabelle für –3 ≤ x ≤ 3 (Schrittweite 0.5) der folgenden Funktionen auf und
zeichnen Sie danach den zugehörigen Graphen.
a) f(x) = a·x2 mit a = 0.5, 1.5 b) g(x) = x2+c mit c = –2, 4 c) h(x) = x3 d) i(x) = x e) k(x) = 2+ −x x2 f) m(x) = 2−x2
5. Gegeben sei ein Rechteck mit Umfang U = 20 cm. Gesucht sind die Funktionen, die der Länge x des Rechtecks (in cm)
a) die Breite b(x) des Rechtecks (in cm),
b) den Flächeninhalt A(x) des Rechtecks (in cm2), c) die Länge der Diagonalen d(x) (in cm) zuordnen. Lösungen
2a) 16, –11, –5, 4.75, 4/3, 2, 1.2, 7/3; b) 0.5, 8.5, –4.2, –19; c) h(x) = x2+5, ±4, 14, ±2.5, 105. 5a) b(x) = 10–x; b) A(x) = x·(10–x); c) d(x) = √(2x2–20x+100)
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Funktionen 21. a) Versuchen Sie, zu jedem Graphen die passende Funktion zu finden. b) Lesen Sie danach die gesuchten Werte ab!
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
A
B
C
D
E
Orangen: Gewicht (kg) → Preis (Fr) Graph: ...
a) Wieviel kosten 6 kg Orangen? ...
b) Preis von 36 kg Orangen? ...
c) Wie viele kg Orangen erhalte ich für Fr. 12.–? ...
Parking: Parkdauer (h) → Gebühren (Fr) Graph: ...
d) Grundpreis der Parkgebühr? ...
e) Parkgebühr für 8 h? ...
f) Wie lange kann man für Fr. 8.– parkieren? ...
Inhaltsgleiche Rechtecke: Länge (cm) → Breite (cm) Graph: ... g) Wie breit ist das Rechteck bei einer Länge von 48 cm? ... h) Flächeninhalt der Rechtecke? ... i) Länge des Rechteckes bei einer Breite von 4 cm? ...
Postauto: Anzahl Fahrgäste → Benzinverbrauch (l) Graph: ... j) Benzinverbrauch bei 6 Fahrgästen? ...
Wetter: Zeit (Tag) → Temperatur (°C) Graph: ...
k) Temperatur am 16. des Monats? ... l) Temperatur am 26. des Monats? ... m) An welchem Tag herrschte die tiefste Temperatur? ...
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Funktionen 3: Lineare Funktionen
1. a) Für die lineare Funktion f(x) = 2/3·x + q gilt f(–6) = 0. Berechnen Sie zuerst q und dann f(10). b) Für die lineare Funktion g(x) = m·x + 4 gilt g(5) = 9. Berechnen Sie zuerst m und dann g(–5). c) Für die lineare Funktion h gilt h(2) = 1 und h(4.5) = 4. Geben Sie die Funktionsgleichung an und
berechnen Sie h(20).
2. f und g sind aus mehreren linearen Funktionen zusammengesetzt. Zeichnen Sie ihre Graphen!
a) f x x falls x x falls x ( )= + ≤ − + > 2 4 10 4 b) g x x x falls x falls x falls x ( )= − − + < ≤ ≤ > 2 4 4 2 20 4 4 8 8
3. x Franken sind zu 5% und y Franken zu 7% so angelegt, dass sie insgesamt Fr 420.– Jahreszins ergeben. Drücken Sie das nötige Kapital y als Funktion von x aus!
4. Eine 80 cm hohe zylinderförmige Regentonne wird gleichmässig mit Wasser gefüllt. Nach 3 Minuten steht das Wasser 25 cm hoch, nach weiteren 2 Minuten steht es 33 cm hoch.
a) Drücken Sie die Höhe des Wasserstandes als Funktion der Zeit aus. b) Wie lange dauert es, bis die Tonne voll ist?
c) War die Tonne bei Beginn der Füllung leer?
5. Ein Sportwagen beschleunigt gleichmässig in 6 s von 0 auf 27.8 m/s (resp. 100 km/h). Bestimmen Sie die Funktion, welche der Zeit t (in s) die momentane Geschwindigkeit v (in m/s) zuordnet.
6. Drücken Sie jeweils die erste Einheit als Funktion der zweiten Einheit aus.
Wasser Celsiusskala Kelvinskala Fahrenheitskala
Schmelzpunkt 0°C 273 K 32°F
Siedepunkt 100°C 373 K 212°F
a) K mit °C b) °F mit °C c) °C mit K d) °C mit °F
7. In einer Probe gibt es für die Maximalpunktzahl 15 die Note 6 und für 0 Punkte eine 1.
a) Die Notenskala soll linear sein. Geben Sie die Gleichung der Funktion n an, welche der Punktzahl p die Note n(p) zuordnet.
b) Welche Note erhält eine Schülerin mit 13 Punkten, wenn halbe Noten gesetzt werden? c) Welche Punktzahl ergibt exakt die Note 4.5?
d) Welche Punktzahlen ergeben die Note 4.5, wenn der Lehrer halbe Noten macht? Lösungen
1a) q = 4, f(10) = 32/3, b) m = 1, g(–5) = –1, c) h(x) = 1.2x–1.4, h(20) = 22.6; 3) f(x) = –5/7·x+6000; 4a) h(t) = 4t+13, b) 16.75 min, c) 13 cm; 5a) v(t) = 4.6 m/s2·t;
6a) f(x) = x+273, b) f(x) = 9/5·x+32, c) f(x) = x–273, d) f(x) = 5/9·x–160/9; 7a) n(p) = 5p/15+1, b) 5.5, c) 10.5, d) 9.75 ≤ p < 11.25.
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Funktionen 3a: Lineare Funktionen
1. Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen. 2. Der Preis für eine Taxifahrt setzt sich aus einem
Grundpreis und einem Kilometerpreis
zusammen. Eine Fahrt über 10 km kostet total Fr 9.50, eine über 17.5 km Fr 14.75.
a) Bestimmen Sie Grundpreis und
Kilometerpreis. Geben Sie den Gesamtpreis als Funktion der zurückgelegten Strecke an. b) Bei einer langen Fahrt über 50 km, sind für
die Kilometer über 50 nur noch Fr 0.40 zu bezahlen. Geben Sie den Gesamtpreis als abschnittweise definierte Funktion an. 3. Das Schmelzen von Eis benötigt Energie.
Konkret bedeutet dies, dass einem Eisblock von 1 kg bei einer Temperatur von 0°C 340'000 J an Wärmeenergie zugeführt werden müssen, damit das Eis schmilzt. Das Wasser–Eis–Gemisch erwärmt sich dabei nicht. Erst wenn alles Eis geschmolzen ist, wird das Wasser wärmer. Jetzt sind 4200 J nötig, um 1kg um 1°C zu erwärmen.
Nehmen Sie an, pro Sekunde werden 2000 J zugeführt. a) Wie lange dauert es, bis 1 kg Eis geschmolzen ist.
b) Geben Sie die Funktionsgleichung an, welche die Temperaturzunahme in Abhängigkeit der Zeit anzeigt, wobei zum Zeitpunkt t = 0 s 1 kg Eis vorhanden ist. Dies ergibt eine abschnittsweise definierte Funktion! Lösungen 1) f(x) = –5/4·x+2; g(x) = 7/3·x+4/3; h(x) = {0.5x–2 für x ≤ 2; 2x–5 für x > 2. 2a) p(s) = 0.7s+2.5, s in km, p in Fr; b) p(s) = {0.7s+2.5 für x ≤ 50; 0.4·s+17.5 für x > 50. 3a) 170 s; b) ϑ(t) = {0 für t ≤ 170; 0.48·t–80.95 für t > 170, t in s, ϑ in °C. 4 3 2 1 0 - 1 - 2 - 3 - 4 4 3 2 1 0 - 1 - 2 - 3 - 4 f(x) g(x) h(x)
