6.1 Formfaktoren des Nukleons (p,n)

MICHAEL FEINDT

Kerne und Teilchen

Moderne Experimentalphysik III Vorlesung 6

MICHAEL FEINDT

INSTITUT FÜR EXPERIMENTELLE KERNPHYSIK

Streuung

− elastische Streuung am Nukleon

− quasielastische Streuung

6.1 Formfaktoren des Nukleons (p,n)

■ e-Streuung am H und D Daten über p, n

■ aber es gilt zu beachten:

a) Rückstoß wichtig

b) Magnetisches Moment

c) elektrische und magnetische Formfaktoren

Erinnerung:

^_^

^σ

_Ω ^_^{∗ = }_^

^σ

_Ω ^_^{ ⋅}

(

¹⁻

^β

^{2 sin2}

^θ

₂

)

* : "ohne Rückstoß"

Ru

Mott d

d d

d

→ cos²(θ/2) für β→1

sin 2

|

| 2

|

|

;

|'

|

|

|

; ' sin ;

4

) ( 4

2 4 2

2 2

2

α θ

σ

θ E E p p q p

E

c Z

d d

Ru

r r

r h r

=

=

=

 =



 



 Ω

mit

Formfaktoren des Nukleons – a

a)

Vgl. ρ(r)-Daten R(p) ≈ 1 fm

■

D.h. E_kin ist nicht mehr klein gegen m_p, m_n ≈ 938 MeV/c².

■

Im Mott-WQ ist E und E' enthalten (gut), aber Phasenraumdichte dn/dE_f muss modifiziert werden.

■

Es gilt nicht mehr dE_f = dE' ≈ dE so einfach …

c c MeV

fm

fm MeV

q R 900

1 197 5

. 4 5

.

4 = ⋅ ≈

= h r

f

Vielmehr gilt:

■

Benutze im Folgenden lorentz-invariante Größe Viererimpulsübertrag:



 



⋅ 



 



 Ω

 =



 



 Ω

∗

' dE

dE d

d d

d

Mott Mott

σ

σ

[Herleitung im Perkins]

Def.: Q² := −~q²

sin 2 ' 4

) cos ' /

' ( 2 2

)

~' (~

~

2 2

2 2

2 2 2

θ θ

c EE

p p c E E c

m p p q

e

−

≈

−

−

=

−

= r r

WQ Mott

im oder

Ersetze qr ² → ~q² Q² −

Formfaktoren des Nukleons – b

b) bisher: elektrische WW zwischen e

^-

und Kernladungen etc.

jetzt: auch die magnetische WW von e-Strom und magnetischem Moment von Proton bzw. Neutron berücksichtigen!

■

Magn. WW ist mit Umklappen des Nukleonspins verknüpft (siehe VL 5).

Aus L- und S-Erhaltung Drehimpuls und Helizitätserhaltung unvereinbar bei Streuung um 0°

unvereinbar bei Streuung um 0°

Streuung um 180°wird favorisiert

Der Rutherford-Wirkungsquerschnitt muss bei Umklappen des Nukleonspins mit einem Zusatzterm ∝∝∝∝ sin²(θ/2) ergänzt werden:

sin²

θ

2

σ

_{ ⋅}



 



 Ω

=

d Ru

WQ d magn

Formfaktoren des Nukleons – b

■

Aus rel. QM, Dirac-Gleichung:

magnetisches Moment eines punktförmigen (pf) Spin-½ -Teilchens:

Die WW zwischen elektrischem Strom und magnetischem Moment ergab einen Zusatzterm ∝ sin²(θ/2) im Rutherford-WQ.

Für den Mott-WQ entspricht das einem zusätzlichen tan²-Term:

2 2 ;

2 ⋅ =

= g

M g e

pf

µ

h "Magneton" : eħ/ 2M

Für den Mott-WQ entspricht das einem zusätzlichen tan²-Term:

(Rf·sin² = Rf·cos² · tan² = Mott · tan² ):

Der magn. Term ist wichtig bei hohem Q²-Übertrag und großen Streuwinkeln.

(

^{1 2 tan2} ₂

)

2 1

τ θ σ

σ

_{ ⋅ +}



 



 Ω

 =



 



 Ω _{= Mott}

pf

S d

d d

d

siehe Plausibilitätsbetrachtung auf nächster Folie

2 2 2

4M c

= Q τ

elektrisch (kein Spin-Flip)

magnetisch (Spin-Flip)

Formfaktoren des Nukleons – b

Wie erklärt sich der Faktor 2τ ?

Das Matrixelement A der magn. WW ist ( mit )

Im WQ geht A² ein

B E_mag

r r

⋅

−

=

µ

Q

dt F B

A

M A

B

e ∝ ∝

∝

∝

∝

∫

− Ablenkung aus r 1/

µ A ∝ ∝ ∝ ∝ Q/ M

2 2

Q2

τ =

(

^{1 2 tan2} ₂

)

2 1

τ θ σ

σ _{ ⋅ +}



 



 Ω

=



 



 Ω _{= Mott}

pf

S d

d d

d

Im WQ geht A² ein

Für Dirac-Teilchen: g(e) = g(µ) = 2 (aus g – 2-Exp. und QED )

p,n bestehen aus Quarks (mit einem anomalen magnetischen Moment, das noch nicht wirklich verstanden ist: Beitrag von Gluonen, virtuellen qq u.v.a.m. …)

2

4M2c τ =

gemessen:

N N

n n

N N

p p

g g

µ µ

µ

µ µ

µ

91 . 2 1

79 . 2 2

−

=

=

+

=

= p = ( u u d )

n = ( u d d ) alles zusammen

mit Kernmagneton:

µ_N = eħ/ 2M_p = 3.1·10^-14 MeV/T

+ + - + - -

Formfaktoren des Nukleons – c

c) elektrische G

_E

(Q

²

) und magnetische G

_M

(Q

²

) FF werden benötigt (1950):



 



 ++ +

 ⋅



 



 Ω

 =



 



 Ω 2 tan 2

1

2 2

2

2 ττ τ θ

σ

σ M

M E

Mott Rosenbluth

G G G

d d d

d

Im Falle Q²→0 folgt:

G=G(Q²)

Q µ e G

Q Z

G ( ²)→ ; ( ²) →

Also für Nukleonen:

N M

E µ

Q µ e G

e Q Z

G ( ²)→ ; ( ²) →

79 . 2 ) 0 (

1 ) 0 (

2 2

=

=

=

= Q G

Q G

p M p E

91 . 1 )

0 (

0 ) 0 (

2 2

−

=

= =

= Q G

Q G

n M

n E

Protonen: Neutronen:

Rosenbluth – Diagramm

Experimentell bestimmt man als Funktion von :

Mott

Rosenbluth d

d d

d 



 



 Ω



 



 Ωσ σ

tan

²

θ 2

Beschuss von

Wasserstoff-Targets mit e^- : E = 400 MeV – 16 GeV

genaue Messung von E' und θ in Magnetischen Spektrometern [Perkins Kap. 6, Anh. G;

Quotient aus gemessenem und Mott-WQ σ_exp/σ_Mott als Funktion von tan²(θ/2) bei einem Viererimpulsübertrag von Q²= 2.5 GeV²/c² [aus Taylor, 1967]

Gerade mit Steigung und Achsenabschnitt bei θ = 0°

Für verschiedene Q² durchführen G_E(Q²) und G_M(Q²) separat

) ( Q

²

G

_M^{p GE2}₁⁺₊^τ_τ^GM2

[Perkins Kap. 6, Anh. G;

Cheng/O'Neill, Ch. 4]

elektrische und magnetische Formfaktoren

elektrische und magnetische FF von p und n

Gemeinsame Beschreibung von p und n durch Dipolfit:

Nukleonen sind diffuse Gebilde

"Dipolskalierung":

27

1

. 4 )

0 ( )

( r = ⋅ e

^−ar

a = fm

⁻

N

ρ mit

ρ

2 2 2

2 2

2 2

) (

71 . 1 0 )

91 ( . 1

) ( 79

. 2

) ) (

(

−



 



 +

=

− =

=

= GeV c

Q Q Q G

G Q

Q G

G ^Dipol

n M p

p M E

Vgl. ρ(r) und FF-Tabelle!

"Radien" aus Steigung von G_E,M(Q²)| :_Q2=0

)2

( 71 . 1 0 )

91 ( . 1 79

. ) 2

( 

 

 +

=

− =

=

= G Q GeV c

Q G_E

2 2

0 2

2

2 6 12 0.66

2

a fm dQ

r dG

Q Dipol

=

=

−

=

=

h

〈〈〈〈r²〉〉〉〉^1/2_p = 0.862 fm

neuere Daten ergeben:

〈〈〈〈r²〉〉〉〉_Dipol^1/2 = 0.81 fm

und somit:

elektrische und magnetische FF von p und n

■

ist schwierig zu messen: über eD-Streuung und nachträgliches Subtrahieren des eH-Anteils.

■

Eleganter: Reaktor-Neutronen an Atom-Elektronen streuen, dabei ist Q² klein.

e-Nachweis (& zusätzlicher Foldy-Term) führt zu:

2 2

0 2

2

2 ( ) 0.133(5)

6

2

fm dQ r

Q dG

Q n

E = = −

−

=

h ) (Q² G_Eⁿ

Neutron nur nach außen neutral;

geladene Konstituenten im Innern, die auch das magn. Moment tragen!

Elastischer Wirkungsquerschnitt

Energiespektrum

Erinnerung: e

^-

– Streuung

(Laborenergie E)

an ruhenden Nukleonen

(Masse M)

Jetzt: Experiment mit gebundenen Nukleonen durchführen Energiespektrum wird komplizierter

Bsp: H₂¹⁶O (ee') am MAMI (Mainzer Mikrotron) Überlagerung von p(ee') und ¹⁶O(ee')

Interpretation:

) cos 1

(

1+ 2 − θ

′ =

Mc E

E E

feste Relation zwischen E' und θ

p aus H

Interpretation:

(q.e.) quasielastische Streuung an den Nukleonen im ¹⁶O – Kern

Breite: Dopplereffekt

Verschiebung: Austrittsarbeit aus Kernpotential Modell:

Stoßnäherung: e^- – WW mit einzelnen Nukleonen

Herauslösen aus dem Kernverband: Austrittsarbeit ∆E

Breites Spektrum: Nukleonen bewegen sich schnell und ~ frei im Kern Dopplereffekt

16O gesamter Kern p im ¹⁶O-Kern

Elektron – Wasser – Streuung (MAMI)

elastisch

e+p (H-Kern)

quasielastisch E=246 MeV

θ= 148.5° fest

quasielastisch e+p (im O-Kern)

elastisch

e+¹⁶O (gesamter Kern)

■

Proton bewegt sich mit Impuls p im effektiven mittleren Kernpotential S

■

Bindungsenergie := S – p²/2M

■

Impulserhaltung e, p

Energieübertrag ν

p, E P, E_p

-P (Restkern)

e^-

P', E'_p Proton

-P

p', E' Elektron RESTKERN

KERN

P p P

pr + r = r′+ r′

■

Kinematik: Impulserhaltung e, p Impulserhaltung ɣ, p Energieerhaltung e, p

■

Energieübertrag von e^- auf p :

p

p E E

E E

P q P

P p P

p

+ ′

= ′ +

+

′ =

+ ′

= ′

+r r r r r r r

p

p E

E E

E − ′ = ′ − ν =

S P P q P q

S P P

S Mc

Mc

M M

M P M

P

+

− + +

=

+

′ −

=

− +

− +

= ^′

) 2

(

) (

) (

2 2

2 2

1

2 2 2

1

2 2 2

2 ^{2 2}

r v r r

r r r

r r

M P S q

M q

2 2

2 r r

r + + ⋅

=

|q|·|P|·cosα

= M , mit α= ∠∠∠∠(q, P)

für: - "hohe e^- -Energie"

E',E >> m_ec²

- kleine Impulsüberträge p,p' << Mc

mittlerer Nukleonenimpuls

■ kugelsymmetrische Verteilung von P zeitl. Mittel q ⋅ P = 0 r r

M S q +

=

= 2

2 0

r

ν

ν

mit Breite ( ₀)^{2 cos}2 ² cos² ₃^{1 2}

2 2 2

M P P q

M q

M P

q r r

r r

r r

=

=

=

−

=

ν ν α

σ

_ν ^α

3 ... 1 cos

4 cos 1 ²

0 1

1 cos

2 = =

= _π

∫ ∫

_ϕ=^π _α=−^{α d α dϕ}

Def. Varianz

■ ∆E in H

₂

O(ee') ~ 15 MeV S ≈ 15 MeV

■ σ

_E'

~ σ

_ν

≈ 70 MeV FWHM /2.3

≈ 30 MeV

mittlerer Nukleonimpuls im Kern ist 128 MeV (sehr hoch!) was bedeutet das? Modell: Fermi – Gas

3 4_π

∫ ∫

_ϕ=^{0 cos}_α=−¹

( )

^{2 2}

2 2

128 378 3

30 936

3

=

⋅

⋅

=

⋅



 



 ⋅

= q

P Mr

r

σν

2 2 2

2 2

378 143000

74 sin 150 246 4 2 4 sin

≈

=

°

⋅

⋅

⋅

′ =

= θ

c E q E

■

siehe Povh 17.1

■

p,n unabhängige Fermionensysteme mit Fermi-Dirac-Statistik; freie Bewegung im Kernvolumen; Pauli-Prinzip

■

Jedes Nukleon "sieht" die Superposition der Kernpotentiale der anderen Nukleonen effektiver Potentialtopf

■

Zahl der Zustände

Einschub: Fermi – Gas – Modell

dp V dn = p² ₃ ⋅

) 2 ( 4

πh π (in Vol. V und p…p+dp)

3

Protonen- Potential (Coulomb)

Neutronen- Potential

Protonen Neutronen

Grundzustand (T=0):

Teilchenzahlen:

■

Isoskalarer Kern: N=Z=A/2 ergibt:

Die Nukleonen können sich im Kern mit hohem Impuls bewegen (vgl. Unschärferelation ∆p·∆x ≈ ħ für ein auf ∆x lokalisiertes Teilchen)

3 2

3

6π h^F p n = V

(wg. Spin: 2/Zustand) ^{2 3}

3 3

2 3

3 )

; ( 3

) (

h

h π

π

p F n

F V p

p Z

N =V =

alle Zust. bis p_max=p_F besetzt

MeV R

p p

p_F = _F^p = _Fⁿ = ^h ₀ (9

π

8)^1/3≈ 250

Protonen Neutronen

B/A

(mit V = 4/3 πR³= 4/3 πR₀³·A)

1,21 fm

"Fermi – Energie"

■

-

unabhängig von A

-

nicht extern vorgegeben, sondern durch WW unter den Nukleonen erzeugt

-

KEINE gute Näherung für kleine A

■

N>Z für schwere Kerne: E_F ≤ E_F für stabile Kerne, sonst β-Zerfall M MeV

E_F p^F 33 2

2 ≈

= Tiefe des Potentialtopfs:

V₀ = E_F + B/A ≈ 40 MeV B/A ~7-8 MeV /Nukleon

n p

• E_F konstant konstante Kerndichte

• Zunahme der Niveaudichte wg. des mit A größeren Kernvolumens

■

N>Z für schwere Kerne: E_F ≤ E_F für stabile Kerne, sonst β-Zerfall

-

p sind wegen der Coulomb-Abstoßung schwächer gebunden als n: N > Z

"n-Topf tiefer als p-Topf"

■

Verbindung mit aus quasi-elastischer Streuung (Breite der E'-Verteilung):pr³

M p M

p dp

p

dp M p

p dp

p dp p E kin

F p

p

p p

kin

F F

F F

E

² ₅³ _{2 2}

2 2

0 2 0

2 2

0 2 0

2

=

=

=

=

∫

∫

∫

∫

pro Nukleon

allg.

2 2

5 p 3

p

_F

=

Datenbeispiele aus quasielastischer e

^-

-Streuung

■ 1971 – 1974, 320-500 Mev, θ=60°

6Li ¹²C ⁵⁹Ni ²⁰⁸Pb

p_F [MeV/c] 169 221 260 265 ±5

S [MeV] 17 25 36 44 ±3

Ladungsradien von Mesonen aus Formfaktoren

■ Formfaktoren von π, K: -

qq – Systeme mit Spin 0

nur elektrische Formfaktoren - m_π=140 MeV ; m_K=494 MeV

Streuung an H -Hüllenelektronen:

Fit an Monopol-Form:

) ( )

(cos FF Q²

d

dΩσ θ →

1 2 2

2

2) 1

( n

Q Q

F 



 



 +

=

−

h

2 2

2 2

6

1 )

(

r a

Q n F

=



 +

= h

fm r

K

fm r

) 2 ( 58 . 0 :

) 2 ( 67 . 0 :

2 2

=

π = (ud)

(su), kleiner stärker gebunden

Elektron – Wasser – Streuung (MAMI)

[Quelle: Povh, Teilchen und Kerne]

Pion- und Kaon-Formfaktoren