Hall-Effekt und Magnetfeldmessung
erweitert aus Studiengeb¨uhren
Vorbereitung: Halbleiter, B¨andermodell: n-Leitung, p-Leitung, Kraft auf Ladungstr¨ager in elektrischen und magnetischen Feldern, Hall-Effekt, Gesetz von Biot-Savart, Helmholtz-Spulen.
Literatur:
• Standard-Lehrb¨ucher der Experimentalphysik, z.B. Gerthsen, Vogel:
Physik, Springer-Verlag
1 Einf¨ uhrung
In diesem Versuch wird der Hall-Effekt an einem n- und p-dotierten Halblei- terpl¨attchen untersucht, sowie als Anwendung das Magnetfeld eines Helm- holtz-Spulenpaars mit Hilfe einer Hall-Sonde vermessen.
Fließt durch ein Halbleiterpl¨attchen, das sich in einem Magentfeld be- findet (siehe Abb. 1) senkrecht zum Magnetfeld ein Strom, so bildet sich senkrecht zur Stromrichtung und zum Magnetfeld eine Querspannung aus, die sogenannte Hall-SpannungUH:
UH =RH
ISB
d (1)
mitRH = 1/(nq) Hallkonstante,
nLadungstr¨agerkonzentration (Zahl der Ladungstr¨ager pro Volumen), q <0 Elektronenleitung (n-Leitung),
q >0 L¨ocherleitung (p-Leitung).
IS Strom durch das Pl¨attchen, B Betrag des B-Feldes,
dDicke des Pl¨attchens
F¨uhrt man die Beweglichkeit µ der Ladungstr¨ager ein (µ = v/E, v: Ge- schwindigkeit der Ladungstr¨ager, E: elektrische Feldst¨arke), so kann UH
geschrieben werden als:
UH =BEbµ (2)
mit
b Breite des Pl¨attchens.
Da die resultierende Hall-Spannung direkt proportional zum B-Feld ist, das das Hall-Pl¨attchen durchsetzt, kann der Hall-Effekt zur Magnetfeldmessung
Abbildung 1: Hall-Effekt
verwendet werden, wenn die Proportionalit¨atskonstanten bekannt sind. Ent- sprechende Messsonden heissen Hall-Sonden. Exemplarisch wird das Mag- netfeld eines Helmholtz-Spulenpaars mit einer Hall-Sonde vermessen:
Ein Helmholtz-Spulenpaar besteht aus zwei kurzen stromdurchflossenen Zylinderspulen mit Radius R, die parallel und konzentrisch zueinander ste- hen (siehe auch Abb.2). Wird der Abstandazwischen den Spulen so gew¨ahlt, dass a = R gilt, so ergibt sich ein weitgehend homogener Feldverlauf zwi- schen den Spulen (bei gleichsinnigem Verlauf des Stroms durch die beiden Spulen).
Abbildung 2: Schematische Darstellung eines Helmholtz-Spulenpaars Das erzeugte Magnetfeld kann mit Hilfe des Gesetzes von Biot-Savart
berechnet werden. Ein Stromleiter der infintesimalen L¨ange dl~ am Ort r~′, der von einem Strom I durchflossen wird, erzeugt am Ort~rdie magnetische Flussdichte
dB(~r) =~ µ0
4πI ~dl× ~r−~r′
~r−r~′3
(3) Zun¨achst soll das Biot-Svart-Gesetz zur Berchnung des B-Feldes einer strom- durchflossenen kreisf¨ormigen Leiterschleife (Schleife mit Radius R parallel zur xy-Ebene an der Stellez0, z-Achse geht durch Mittelpunkt der Schleife) angewandt werden (vgl. Abb. 2). Dann gilt:
~l=
Rcosϕ Rsinϕ
z0
=r~′
dl~ dϕ =
−Rsinϕ Rcosϕ
0
Zur Vereinfachung der Rechnungen soll das B-Feld nur auf der z-Achse be- trachtet werden, also
~r=
0 0 z
mit
~r−~r′ =
−Rcosϕ
−Rsinϕ z−z0
~r−r~′=qR2+ (z−z0)2 und
dl~ ×~r−r~′=
(z−z0)Rcosϕ (z−z0)Rsinϕ
R2
dϕ folgt aus (3)
B~ = Z
d ~B = µ0
4πI 1
pR2+ (z−z0)23
2π
Z
0
dϕ
(z−z0)Rcosϕ (z−z0)Rsinϕ
R2
Die Integration des Sinus bzw. Cosinus ¨uber den gesamten Winkelbereich ergibt Null, so dass nur die z-Komponente von Null verschieden ist:
B~ = µ0IR2
2pR2+ (z−z0)23~ez= µ0I 2Rq1 + z−Rz02
3~ez (4)
Das Magnetfeld eines Spulenpaars (auf der z-Achse = Achse durch die Spu- lenmittelpunkte), bei dem sich die Spulen bei±z0befinden, jeNWindungen haben und gleichsinnig vom Strom I durchflossen werden, ergibt sich damit durch Superposition zu
B~ = µ0N I 2R
1 q
1 + z−Rz02
3 + 1
q
1 + z+zR02
3
~ez (5) Das Magnetfeld ist weitestgehend homogen, wenn der Abstand a der Spulen genau ihrem Radius entspricht, d.h. a = R bzw. z0 = R2 (Wenn Sie Lust haben, k¨onnen Sie dies zeigen, indem Sie Gleichung (5) um z = 0 Taylor entwickeln und nachweisen, dass dann abgesehen von der nullten Ordung erst die vierte Ordnung von Null verschieden ist.).
Verzichtet man auf die N¨aherung, das Feld auf der Spulenachse zu be- rechnen, so kann kein einfacher geschlossener Ausdruck mehr angegeben werden. N¨aherungsweise kann der radiale Verlauf (r = Abstand von der z- Achse) der z-Komponente des B-Feldes in der Mitte zwischen den Spulen (z=0) f¨ur den Fall z0= R2 beschrieben werden als
Bz(r) = 4
5
32 µ0N I
R 1− 16r4 25R4
!
(6) Bearbeiten Sie folgende Aufgabe schriftlich in der Vorberei- tung:
1. Leiten Sie die Gleichungen (1) und (2) her.
2 Versuchsdurchf¨ uhrung
I. Hall-Effekt
2. Mit der in Abbildung 3 dargestellten Schaltung soll die Abh¨angigkeit der Hallspannung vom Sondenstrom IS (Strom durch das Hall-Pl¨att- chen) und vom Magnetfeld B gemessen werden: Messen Sie f¨ur die Sondenstr¨ome 10 mA, 20 mA, 30 mA, 40 mA und 50 mA jeweils die Hallspannung f¨ur verschiedene B-Felder, indem sie den Strom IM im Magnetstromkreis von 0 - 5 A in 1 A-Schritten durchfahren (beide Sonden!). Die Eichkurve, aus der Sie f¨ur die verschiedenenIM den Wert des B-Feldes erhalten, liegt aus (Abstand der Polschuhe a= 10mm).
Der Konstanter f¨ur IS ist im Strom-Modus zu betreiben, wobei IS
50 mA nicht ¨uberschreiten darf. Pr¨ufen Sie, ob f¨ur B = 0 (also IM = 0) dasUH-Instrument die Spannung 0 anzeigt. Woran liegt es, wenn dies nicht der Fall ist?
Abbildung 3: Schaltung zur Messung des Hall-Effekts
Auswertung: Tragen Sie alle UH-Werte f¨ur beide Sonden getrennt aufUH =f(B) mitIS als Parameter. Bestimmen Sie aus den Steigun- gen der resultierenden Geraden die Ladungstr¨agerkonzentrationnf¨ur beide Sonden (d=1 mm, b=5 mm) sowie die Driftgeschwindigkeit der Ladnungstr¨ager. Berechnen Sie f¨ur jede Sonde den Mittelwert und die Standardabweichung der Ladungstr¨agerkonzentration. Tragen Sie die Driftgeschwindigkeiten ¨uber den SondenstromIS auf. Diskussion!
II. Magnetische Widerstands¨anderung, nur Physiker/ Ma- thematiker
Legt man an einen stromf¨uhrenden Leiter senkrecht zum Strom ein B- Feld, so beobachtet man eine Erh¨ohung des elektrischen Widerstands.
Bei nicht zu hohen Feldern gilt:
R−R0
R0
=K2B2 (7)
mit
R0 Widerstand f¨ur B=0,
K Konstante, die n¨aherungsweise die Beweglichkeit µ der Ladungs- tr¨ager darstellt.
Die quantitative Erkl¨arung dieses Effekts ist nicht elementar. Eine an- schauliche Erkl¨arung besteht darin, dass aufgrund des B-Feldes und der damit verbundenen Kraftwirkung auf die Ladungstr¨ager die Strom- richtung im Leiter nicht mehr exakt in Richtung des E-Feldes (erzeugt durch die angelegte Spannung) ¨ubereinstimmt, sondern um den soge- nannten Hall-Winkel davon abweicht. Dies f¨uhrt zu einer Verl¨angerung
der ’Strombahnen’ im Leiter und effektiv zu einer Widerstandser- h¨ohung.
3. Messen Sie die magnetische Widerstands¨anderung ∆R/R =f(B) f¨ur beide Sonden, wobei ein Sondestrom IS von 50mA zu w¨ahlen ist und IM von 0 - 5 A in 1 A-Schritten variiert wird. Die jeweils anliegende Spannung US wird mit dem digitalen Voltmeter gemessen.
Hinweis: Die zu messenden ¨Anderungen sind sehr klein; notieren Sie sich alle Stellen des am digitalen Voltmeters angezeigten Wertes. Ver- meiden Sie St¨orfelder, z.B. durch Mobiltelefone (Ausschalten!). Begin- nen Sie die Messung bei IM = 0, warten Sie bis sich eine konstante Spannung eingestellt hat und f¨uhren Sie die Messung dann z¨ugig durch.
Auswertung: Pr¨ufen Sie den Zusammenhang (7) durch Auftragen von ∆R/Ruber¨ B2f¨ur beide Sonden. Bestimmen Sie die Steigung der resultierenden Geraden und daraus die Konstante K. Fehlerabsch¨atzung!
III. Vermessung des B-Felds eines Helmholtz-Spulenpaars Die Messung des Magnetfelds erfolgt mit einer Hall-Sonde, die ¨uber Pocket-Cassy ausgelesen wird. Die Sonde enh¨alt zwei Sensoren, einen zur Messung der axialen und einen zur Messung der transversalen Komponente des Magnetfelds. ¨Uberlegen Sie sich anhand des Feld- verlaufs welchen Sie ben¨otigen, Sie m¨ussen diesen am Steuerger¨at ak- tivieren (Bt, Ba ein). Beachten Sie, dass der transversale Sensor sich an der Spitze der Sonde befindet, der axiale dagegen an der Verdickungs- stelle des Stabes. Die beiden Spulen besitzen jeweils 320 Windungen und einen RadiusR= 6.5cm. An die Spulen wird eine Spannung von 21 V angelegt, da sich die Spulen dabei langsam erw¨armen, m¨ussen Sie die Spannung mindestens 10 min bevor Sie die Messung starten wol- len anlegen, damit der Strom w¨ahrend der Messung konstant bleibt.
Notieren Sie sich den Strom durch die Spulen zum Beginn und Ende jeder Messreihe.
Bei diesem Versuchsteil ist nur von Physikern und Mathe- matikern der erwartete Verlauf bei der Auswertung mit ein- zuzeichnen!
4. Messen Sie das B-Feld auf der Mittelachse (z-Achse) der Spulen im Innenbereich zwischen den Spulen, sowie auf einer Seite bis zu einem z von 15 cm (z=0 entspricht der Stelle genau in der Mitte zwischen den Spulen) in 1cm-Schritten f¨ur einen Spulenabstand
(a) a=13 cm (d.h.z0 = 6.5cm in Gl. (5)),
(b) a=6.5 cm (Helmholtz-Anordnung a=R,z0 = 3.25cm).
Korrigieren Sie am Steuerger¨at vor jeder Messreihe den m¨oglichen Off- set der Hall-Sonde, indem Sie die Sonde aus dem B-Feld nehmen (Ei- genschaften→ Offset korrigieren →0).
Auswertung:Tragen Sie beide Messreihen in ein Diagramm (B ¨uber z) und zeichnen Sie jeweils den erwarteten Verlauf nach Gleichung (5) ein. Diskutieren Sie m¨ogliche Abweichungen zum erwarteten Verlauf und machen Sie sich Gedanken ¨uber den Fehler der einzelnen Mess- punkte. Zeichnen Sie sinnvolle Fehlerbalken ein.
5. Messen Sie die radiale Abh¨angigkeit des B-Feld am Ort z=0 (Mitte zwischen den Spulen) von r=0 cm (Mittelachse) bis zum Spulenrand (r=6 cm) in 0.5cm-Schritten f¨ur die Helmholtz-Anordnung der Spulen (a=R).
Tragen Sie Ihre Messwerte graphisch auf (B ¨uber r) und zeichnen Sie den erwarteten Verlauf nach Gleichung (6) ein. Diskutieren Sie Gr¨unde f¨ur m¨ogliche Abweichungen vom erwarteten Verlauf.
