Deswegen Ω = −gT V m3/2 √2π2~3 ∞ Z 0 dǫ√ ǫln 1 +eβ(µ−ǫ

Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie

Ubungen zur Theoretischen Physik F¨ SS 11

Prof. Dr. A. Shnirman L¨osungsvorschlag zu Blatt 7

Dr. B. Narozhny 3.6.2011

1. Ideales Fermi-Gas:

(a) Das großkanonische Potential:

Ω = −T X

λ

ln 1 +e^{β(µ−ǫλ)}

=−gT V

Z d³k

(2π~)³ ln 1 +e^β(µ−ǫk) , wobei

g = 2s+ 1 = 2, und

ǫ_k= k² 2m. Die Zustandsdichte:

Z d³k (2π~)³ =

Z

dǫ ν(ǫ) Z dΩ

4π, ν(ǫ) = m^3/2

√2π²~³

√ǫ.

Deswegen

Ω = −gT V m^3/2

√2π²~³

∞

Z

0

dǫ√

ǫln 1 +e^β(µ−ǫ) .

Partielle Integration liefert

Ω =−2

3gV m^3/2

√2π²~³

∞

Z

0

dǫ n_F(ǫ)ǫ^3/2; n_F(ǫ) = 1 1 +e^β(ǫ−µ).

(b) Die Entropie

S =− ∂Ω

∂T

V,µ

= 2

3gV m^3/2

√2π²~³

∞

Z

0

dǫ ǫ^3/2 ∂

∂Tn_F(ǫ).

Wir bemerken, dass

∂

∂Tn_F(ǫ) =−ǫ−µ T

∂

∂ǫn_F(ǫ).

Deswegen

S=−2 3

gV T

m^3/2

√2π²~³

∞

Z

0

dǫ ǫ^3/2(ǫ−µ) ∂

∂ǫn_F(ǫ) = 1 3

gV T

m^3/2

√2π²~³

∞

Z

0

dǫ n_F(ǫ)√

ǫ(5ǫ−3µ).

(c) Die innere Energie

U =X

λ

ǫ_λhn_λi=gV

∞

Z

0

dǫ ν(ǫ)ǫ n_F(ǫ) =gV m^3/2

√2π²~³

∞

Z

0

dǫ ǫ n_F(ǫ)√ ǫ.

(d) Die Gesamtteilchenzahl

N =X

λ

hn_λi=gV

∞

Z

0

dǫ ν(ǫ)n_F(ǫ) =gV m^3/2

√2π²~³

∞

Z

0

dǫ n_F(ǫ)√ ǫ.

(e) Der Ausdruck auf der rechten Seite:

U −T S−µN =gV m^3/2

√2π²~³

∞

Z

0

dǫ n_F(ǫ)√ ǫ

ǫ− 1

3(5ǫ−3µ)−µ

=gV m^3/2

√2π²~³

∞

Z

0

dǫ n_F(ǫ)√ ǫ

−2 3ǫ

=−2

3gV m^3/2

√2π²~³

∞

Z

0

dǫ n_F(ǫ)ǫ^3/2 = Ω.

(f) Die Relation

Ω = −2 3U folgt aus der Ergebnissen (a) und (c).

(g) Von der Thermodynamik:

dU =T dS−P dV +µdN.

Die Legendre-Transformation:

d(U−T S−µN) =−P dV −SdT −N dµ.

Deswegen

P =− ∂Ω

∂V

T,µ

=−2

3g m^3/2

√2π²~³

∞

Z

0

dǫ nF(ǫ)ǫ^3/2 =−Ω V .

2. Das relativistische entartete Fermi-Gas:

F¨ur Elektronen

g = 2.

(a)

N =X

λ

hnλi= gV 2π²~³

pF

Z

0

dpp² =V p³_F

3π²~³ ⇒ pF = 3π²~³1/3 N V

1/3

.

(b)

E_F =cp_F ⇒ E_F =c 3π²~³1/3 N V

1/3

.

(c)

U(T = 0) =X

λ

ǫ_λhn_λi= gV 2π²~³

pF

Z

0

dpp²cp=V cp⁴_F 4π²~³ deswegen

U(T = 0) = 3

4c 3π²~³1/3

V^−1/3N^4/3.

(d) Laut Definition

P =− ∂U

∂V

S,N

. Bei T = 0 gibt es S =const. Dann

P =−3

4c 3π²~³1/3

N^4/3 ∂

∂V V^−1/3 = 1

4c 3π²~³1/3 N V

4/3

.

(e) Es folgt aus der Ergebnissen (d) und (c), dass

P V = 1

4c 3π²~³1/3 N V

4/3

V = 1

4c 3π²~³1/3

V^−1/3N^4/3 = 1

3U(T = 0).

(f) Das großkanonische Potential:

Ω = −T X

λ

ln 1 +e^{β(µ−ǫλ)}

=−gT V

Z d³k

(2π~)³ ln 1 +e^β(µ−ǫk) ,

Ω =− T V π²~³

∞

Z

0

dk k² ln 1 +e^β(µ−ǫk)

=− T V π²c³~³

∞

Z

0

dǫ ǫ² ln 1 +e^β(µ−ǫ) ,

Partielle Integration liefert

Ω =−1 3

V π²c³~³

∞

Z

0

dǫ ǫ³ 1 +e^β(ǫ−µ).

(g) Die innere Energie

U =X

λ

ǫ_λhn_λi= V π²~³

∞

Z

0

dk k² ǫ_kn_F(ǫk) = V π²c³~³

∞

Z

0

dǫ ǫ³ 1 +e^β(ǫ−µ). (h) Die Relation

Ω = −1 3U folgt aus der Ergebnissen (f) und (g).