Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie
Ubungen zur Theoretischen Physik F¨ SS 11
Prof. Dr. A. Shnirman L¨osungsvorschlag zu Blatt 6
Dr. B. Narozhny 27.5.2011
1. Zustandsdichte in niedrigen Dimensionen:
1 V
X
k
→
Z d2k (2π~)2, ǫ(k) = k2
2m, (a) Zwei Dimensionen:
ν(ǫ) =
Z d2k (2π~)2 δ
ǫ− k2 2m
= 1
2π~2
∞
Z
0
kdk δ
ǫ− k2 2m
= m
2π~2
∞
Z
0
d k2
2m
δ
ǫ− k2 2m
= m
2π~2,
ν2D(ǫ) = m 2π~2 (b) Ein Dimension:
ν(ǫ) = Z ∞
−∞
dk 2π~ δ
ǫ− k2
2m
= 2m π~
∞
Z
0
dk δ 2mǫ−k2
= m π~
∞
Z
0
d(k2)
k δ 2mǫ−k2
= 1 π~
rm 2ǫ,
ν1D(ǫ) = 1 π~
rm 2ǫ
2. Besetsungszahlen in einem idealen Fermi-Gas:
In einem Fermi-Gas
nλ =
1, wenn λbesetzt ist
0, wennλleer ist ⇒ nλ =n2λ. Die Teilchen sind ununterscheidbar und unabh¨angig.
Deswegen (hier Wλ(nλ) ist die Warscheinlichkeit dass der Zustand λ besetzt ist) (a)
hn2λi=X
nλ
n2λWλ(nλ) =X
nλ
nλWλ(nλ) =hnλi (b) Wenn λ1 6=λ2:
Wλ1λ2(nλ1λ2) =Wλ1(nλ1)Wλ2(nλ2),
hnλ1nλ2i= X
nλ 1nλ
2
nλ1nλ2Wλ1λ2(nλ1λ2) = X
nλ 1nλ
2
nλ1nλ2Wλ1(nλ1)Wλ2(nλ2)
=X
nλ 1
nλ1Wλ1(nλ1)X
nλ 2
nλ2Wλ2(nλ2) =hnλ1ihnλ2i.
(c)
hNi=X
λ
hnλi.
hNi2 = X
λ
hnλi
!2
=X
λ
hnλi2+ X
λ16=λ2
hnλ1ihnλ2i
hN2i=
* X
λ
nλ
!2+
=X
λ
hn2λi+ X
λ16=λ2
hnλ1nλ2i
(∆N)2 ≡ hN2i − hNi2 =X
λ
hn2λi − hnλi2
=X
λ
hnλi[1− hnλi], deswegen
(∆N)2 =hNi −X
λ
hnλi2 6hNi
Letztendlich
∆N 6p
hNi ⇒ ∆N
hNi 6 1 phNi. WennT = 0, dann hnλi= 0,1, deswegen
∆N(T = 0) = 0.
3. Thermodynamik des idealen Fermi-Gases:
X
λ
→X
σ
V
Z d3p
(2π~)3 = (2s+ 1)V Z
dǫν(ǫ) Z dΩ
4π, wobeidΩ = sinθdθdϕ.
ν(ǫ) = m3/2
√2π2~3
√ǫ.
WennT = 0
µ=EF = p2F
2m; hnλi=
1, ǫλ 6EF 0, ǫλ > EF. (a)
N =X
λ
hnλi= (2s+ 1)V
EF
Z
0
dǫν(ǫ) = (2s+ 1)V m3/2
√2π2~3
EF
Z
0
dǫ√
ǫ= (2s+ 1)V p3F 6π2~3 (b)
U(T = 0) =X
λ
hnλiǫλ = (2s+ 1)V
EF
Z
0
dǫν(ǫ)ǫ= (2s+ 1)V p5F 20mπ2~3 (c)
Ω =−TX
λ
ln
1 + expµ−ǫλ kBT
=−T(2s+ 1)V Z
dǫν(ǫ) ln
1 + expµ−ǫ kBT
=−(2s+ 1)V
∞
Z
0
dǫnF(ǫ)a(ǫ),
wobei
a(ǫ) =
ǫ
Z
0
dǫ′ν(ǫ′) = m3/2
√2π2~3
ǫ
Z
0
dǫ′√ ǫ′ = 2
3 m3/2
√2π2~3ǫ3/2 und
nF(ǫ) = 1
1 + exp[β(ǫ−µ)]. Deswegen
Ω(T = 0) =−(2s+ 1)V 2 3
m3/2
√2π2~3
EF
Z
0
dǫǫ3/2 =−(2s+ 1)V p5F 30π2~3m (d)
Ω(T = 0) =− 1 30
(2s+ 1)V π2~3
p5F m U(T = 0) = 1
20
(2s+ 1)V π2~3
p5F m
µN = 1 12
(2s+ 1)V π2~3
p5F m und die Relation
Ω =U −T S−µN gilt weil
− 1 30 = 1
20− 1 12 (e)
P(T = 0) = (2s+ 1) p5F
30π2~3m = 1 5m
2s+ 1 6π2~3
−2/3 N V
5/3
