Turbulente Grenzschichten

Turbulente Grenzschichten

Vgl. Blasius-Experiment bis bzw. OK !

x ≤ x

kr Re_x ≤ Re_kr

kr

x Re

Re > Übergang laminar turbulent

kr f

x =

Re ₍ Oberfläche, Geometrie der Vorderkante; U‘ , V‘ ; etc. ) U

δ(x)

längsangeströmte ebene Platte : Re_kr ≈ 5⋅10⁵

U u(x)

laminar

^{Übergang turbulent}

laminare Grenzschicht :

2 / 0 3

2 / 1

~

~

U x τ δ

turbulente Grenzschicht :

4 / 0 7

5 / 4

~

~

U x τ

δ

Grenzschichtgleichungen der turbulenten Strömung

Erhaltungsgleichungen gültig für laminare und turbulente Strömungen ; jedoch : Auflösung aller Skalen „unmöglich“

jedoch : Auflösung aller Skalen „unmöglich“

Strömung wird durch gemittelte Größen beschrieben

Reynolds Mittelung hier : zeitliche Mittelung

⇒

⇒

Zerlegung nach Reynolds (siehe turbulente Rohrströmung)

f f

f = + ′

mit

∫

+

=

T t

t

dt t z y x T f

f 1 ( , , , )

zeitlicher Mittelwert

f ′

Erhaltungsgleichungen in Divergenzform für inkompressibles Fluid : Schwankungsanteil

∂u ∂v ∂w

∂u

∂x + ∂v

∂y + ∂w

∂z = 0

∂( ρ u)

∂t + ∂( ρ u

²

)

∂x + ∂( ρ uv)

∂y + ∂( ρ uw)

∂z = − ∂p

∂x + η ∇

²

u

∂( ρ v)

∂t + ∂( ρ uv)

∂x + ∂( ρ v

²

)

∂y + ∂( ρ vw)

∂z = − ∂p

∂y + η ∇

²

v

∂( ρ w)

∂t + ∂( ρ uw)

∂x + ∂( ρ vw)

∂y + ∂( ρ w

²

)

∂z = − ∂p

∂z + η ∇

²

w

Kontinuitätsgleichung :

x-Impulsgleichung :

( ) ( ) ( )

= 0

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

∂ =

∂ ′

∂ +

∂ ′

∂ +

∂ ′

∂ + + ∂

∂ + ∂

∂

∂

′ =

∂ + + ∂ + ′

∂ + ∂ + ′

∂

∂

z w y

v x

u

z w y

v x

u z

w y

v x

u

w z w

v y v

u x u

( )

[ ^′ ] ^∂ [ ( ^′ ) ] ^{∂ [ ( ′ )( ′ ) ] ∂ [ ( ′ )( ′ ) ]}

∂

2

( )

[ ] [ ( ) ] ^{[ ( )( ) ] [ ( )( ) ]}

( ^{p p} ) ( ^{u u} )

x

w w u z u

v v u y u

u x u

u t u

+ ′

∇

′ +

∂ +

− ∂

=

+ ′ + ′

∂ + ∂ + ′

+ ′

∂ + ∂ + ′

∂ + ∂ + ′

∂

∂

2

2

η

ρ ρ

ρ ρ

( )

[ ] [ ( ) ] [ ( ) ]

x u p

w u w z u

v u v y u

u x u

t u

2

2 2

∇

∂ +

− ∂

=

′ + ′

∂ + ∂

′ + ′

∂ + ∂ + ′

∂ + ∂

∂

∂

η

ρ ρ

ρ ρ

denn :

y-Impuls , z-Impuls ebenso

( ² ) ^, [ ^{( )} ] ^, [ ^{( )} ] ^{, , ∇}

²

^{′ → 0}

∂

∂ ′ + ′

∂ ′

′ ∂

′ +

∂

′ ∂

∂

∂ u

x w p

u w z u

v u v y u

u

x ρ u ρ ρ

⇒

= 0

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

z w y

v x

u

 

  ∂ ′ ′

′ +

∂ ′

′ +

− ∂

∇

∂ +

−

 =

 

 ∂

∂ +

∂ + u u v u w

p u w u

v u u u

2

2

ρ

η ρ

 





 





∂

∂ ′

∂ +

′

∂ ′

∂ +

′

∂ ′

−

∇

∂ +

− ∂

 =





 



∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

 





 





∂

′

∂ ′

∂ +

∂ ′

∂ +

′

∂ ′

−

∇

∂ +

− ∂

 =





 



∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

 





 





∂

′

∂ ′

∂ +

′

∂ ′

∂ +

∂ ′

−

∇

∂ +

− ∂

 =





 



∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

z w y

w v x

w w u

z p z

w w y

v w x

u w

z w v y

v x

v v u

y p z

w v y v v x u v

z w u y

v u x

u u x

p z

w u y v u x u u

2 2

2 2

2

ρ η

ρ

ρ η

ρ

ρ η

ρ

die gemittelten Produkte der turbulenten Schwankungsgrößen ergeben den turbulenten oder Reynoldsschen Spannungstensor.

g f ′ ′

− ρ

turbulente Strömung :

: Reynolds- oder scheinbare Spannungen

 

 





 

 





′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

−

 =

 





 







′

′

′

′

′

′

′

′

′

2 2

2

w w

v w u

w v v

v u

w u v

u u

zz yz

xz

yz yy

xy

xz xy

xx

ρ σ

τ τ

τ σ

τ

τ τ

σ

Gesamtspannung = visk. Spannung + turbulente Spannung i. a. gilt : turbulente Spannung >> visk. Spannung

Vereinfachung obiger Erhaltungsgleichungen mittels

- ebene Strömung

0 , → 0

∂

= ∂ w z

- Grenzschichtannahme

y

x ∂

<< ∂

∂

∂

Grenzschichtgleichungen turbulenter Strömungen

zusätzlicher Term :

Randbedingungen analog zur laminaren Strömung

= 0

∂ + ∂

∂

∂

y v x

u



 



 − ′ ′

∂

∂

∂ + ∂

∂

− ∂

∂ = + ∂

∂

∂ u v

y u y

x p y

v u x

u u ν

ρ

1

v u ′ ′

− ρ

Randbedingungen analog zur laminaren Strömung

Schließung des Gleichgewichtssystems durch die Prandtlsche Mischungsweghypothese

l = f

(charakteristische Länge )

dy u d dy

u d dy

u l d v

u

_t

t

ρ ρ η

τ = − ′ ′ =

²

=

Turbulente Plattengrenzschicht

Annahme : Grenzschicht ist turbulent ab

x = 0 u ( y )

_GS

v e r g l e i c h b ^{a r m i t}

u ( y )

_Rohr

y U

δ

zähe Unterschicht

ρ τ ν

u

w

y u u

u =

^* _*

=

*

m i t

log. Schicht

yu C u

u = +

ν

*

*

ln 5 .

2

univers. Wandgesetz

y *

y <

y y

_*

<

*

y y_t

u

Achtung : das universelle Wandgesetz gilt nicht in Wandnähe

y < y

* äußerer Grenzschichtbereich

δ

≤

<< y y

_*

− u ~ bzw. u

_*

⇒ U τ _w

 

 



= 

−

δ f y u

u U

*

?

 :



 



 δ

f y

Annahme : universelles Wandgesetz gilt im Außenbereich Abnahme der turbulenten Spannungen



 δ

nach Prandtl :

δ δ

y k f y 1 ln

 =



 





δ / y

u*

u u −

0 0

0.5 1.0

-10

-20

Zusammenfassung :

δ

≤

≤

<

<

≤

≤

y y

y y y

y y

t

*

t

0

_* zähe Unterschicht Übergangsschicht Außenbereich

innerer Bereich u

*

y y_t

y U

u

δ

30

20

10

1 10 10² 10³

41 0

innerer Bereich zähe

US ZS log. S

u*

u

5 . 5 ln 5 . 2

*

+

= y

u u

Außenbereich

Re

Herleitung des logarithmischen Gesetzes mittels Dimensionsbetrachtungen

• Geschwindigkeitsprofil in Wandnähe

) , , ( ^u

_*

^y ν u

u =

π

– Theorem : 4 Var. , 2 Ref. dim.

zähe Unterschicht :

)

*

(

*

=

+

 

 



=  u y f y u f

u

⇒ ν

y U

zähe Unterschicht :

= +

= yu y u

u

ν

*

*

η ρ η

τ η τ

2

u

*

y u y

dy u d

w w

=

=

=

y* y_t

u

δ

Außenbereich :

~ u

*

U u −

( ) ζ

δ ^g

g y u

U

u  =



 



= 

−

*

Gebiet zwischen Innen- und Außenbereich :

→

∞

+ →

ζ dy y

u d

für

y* y_t

y U

u

δ

y U

0 δ

ζ

→

⇒ f(y

₊

)

und

g( ζ )

Innenbereich :

Außenbereich :

+ +

+ =

=

dy

df u dy

df dy u dy dy

u d

ν

2

*

*

du

dy = u

_*

dg d(y / δ )

d( y / δ ) dy = u

_*

δ

dg d( y / δ )

y* y_t

u

δ

Außen Innen

dy

u d dy

u

d =

*

* 2

*

u y d

dg u dy

df

u = ⋅

+

δ ζ

ν

) ( )

( ζ

ζ ζ ^r d

y dg dy h

y df =

₊

= =

+ +

⇒

k

! 1 konstant = 1

Experiment :

k = 0.4 , α = 5.5 , β = -1.0

5 . 5 ln

5 . 2

*

+

+

= y

u y

_{g r o ß}

: u

( log. Gesetz )

0 . 1 ) ln(

5 . 2

*

−

− =

= δ δ

ζ ^y

u U u y

_{k l e i n}

:

( Defektverteilung ) k

β δ δ

α

+

=

+

= ₊

+

) / 1 ln(

) / (

1ln ) (

k y y

g

k y y

⇒ f

Näherung von

ū (y)

mittels

Vgl. mit Experiment

n = 7

Verdrängungsdicke

Impulsverlustdicke

δ

₂

y

n

U

u

^1/



 



=

δ

1 8

1

0 1

δ δ δ

δ

 =



 



 



 



 −

=

∫ _U ^{u d y}

δ δ δ

δ

72

1 7

1

0

2  =



 



 



 



 −

=

∫ _U ^u _U ^{u d y}

δ

1

⇒

! 0

!

7 1

 =



 



=  y

δ y U

u

^/ n i c h t g ü l t i g ^{b e i}

aus der turbulenten Rohrströmung

τ w

8 8 0

316 . 0

2 4

U . u d u

u

w

=

=

=

^{i n}

^{u n d}

ρ λ τ

ν λ

Mit folgt

⇒

7 / 1

74 .

8 



 



= 

^∗

∗

ν

R u u

U

bzw.

v. Karmansche Integralbeziehung

4 / 1 2

2

0 . 0225 



 



= 

= U U

dx

d

_w

δ ν ρ

δ τ

8 / 1 8

/ 7

*

0 . 150 



 



= 

δ U ν

⇒ u

4 / 1 4

/ 7 2

*

0 . 0225 



 



= 

= δ

ρ ν ρ

τ

_w

u U

2



 

 U

dx ρ U δ

dx d dx

d ₂

72

7

δ δ

=

D. h.

h t G r e n z s c h i c l a m i n a r e

h t G r e n z s c h i c t u r b u l e n t e

x

~ δ

x

~ δ

/ /

2 1

5 4

5 / 1 5

/

1

(Re )

37 . 0 37

. 0 )

(

Ux

x

x

x =

 

 



= 

ν

δ

Reibungskraft auf einer Seite

L

5 / 9 5

/

4

. ~

~ L bzw D U

⇒ D

[

^{l a m .}

^{: D ~ L}

^1/2

^{bzw . D ~ U}

^3/2

]

5 / 1 2

0

0

0 . 036 (Re )

L

L

L

U dx

D ⁼ ∫ τ ⁼ ρ

[

^{l a m .}

^{: D ~ L bzw . D ~ U} ]

bzw

allgemein :

!

g r o ß s e h r

f ü r

L k f

c

_D

= ( ) Re

_L

5 / 2

(Re )

1

072 . 0 2

1

L

D

L U

c = D =

ρ ( ^Re

₂

)

^1/5

074 .

= 0

c

D _(Exp.)

) / ,

(Re

₂

k L f

c

_D

=

bzw

0.006 0.008 0.010 0.012 0.014

voll turb.

turb.

c

D

10 3

3 /L = ⋅ ⁻ k

10 3

1⋅ ⁻

10 4

2⋅ ⁻

0.002 0.004 0.006

turb.

lam.

Übergang

turb. (glatte Platte)

10

5

10

⁶

10

⁷

10

⁸

Re

L

10 2⋅

10 5

5⋅ ⁻ 10 6

5⋅ ⁻

Zum Diagramm :

Übergangsbereich :

glatte Platte :

58 .

)

2

Re (log

455 . 0

L

c

D

=

L L

c

D

Re 1700 Re

074 . 0

5

−

=

voll turbulentes Gebiet :

[ ^{1 . 89 − 1 . 62 log( / )} ]

^−2.5

= k L

c

_D

Bemerkungen zur Turbulenz

vorteilhaft :

Wärmeübergang zwischen Wand und Fluid

• Klimaanlagen

• Kessel im Kraftwerk Vermischung von Fluiden

• Rauch aus Schornsteinen laminare Strömung wünschenswert :

Druckverlust der Rohrströmung Widerstand eines Tragflügels

jedoch : Vermeidung von Ablösung in turbulenten Strömungen größerer Auftrieb als mit Ablösung

⇒