Projekt Überprüfung einer einfachen Kopfrechenmethode zur Umrechnung der Fluggeschwindigkeit von CAS in TAS

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Projekt

Überprüfung einer einfachen Kopfrechenmethode zur Umrechnung der Fluggeschwindigkeit

von CAS in TAS

Autor: Dennis Lucht

Betreuer: Prof. Dr.-Ing. Dieter Scholz, MSME Abgegeben: 30.04.2019

Fakultät Technik und Informatik

Department Fahrzeugtechnik und Flugzeugbau

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DOI:

https://doi.org/10.15488/9411 URN:

https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:gbv:18302-aero2019-04-30.018 Associated URLs:

https://nbn-resolving.org/html/urn:nbn:de:gbv:18302-aero2019-04-30.018

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Department of Automotive and Aeronautical Engineering Hamburg University of Applied Science

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https://doi.org/10.7910/DVN/VU7TB8

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Kurzreferat

Zweck – Von Piloten werden u.a. die sogenannten "Manual Flying Skills" gefordert. Dabei muss der Pilot in der Lage sein (ohne Autopiloten) nach grundlegenden Instrumenten zu fliegen. Dafür sind neben Geschick auch Faustformeln erforderlich. Die Faustformeln müssen da- für verlässlich sein. Der Inhalt dieser Arbeit beschäftigt sich exemplarisch mit einer Faust- formel zur Umrechnung der kalibrierten Fluggeschwindigkeit (Calibrated Airspeed, CAS) in die wahre Fluggeschwindigkeit (True Airspeed, TAS).

Methodik – In Excel und Matlab werden die Ergebnisse aus den Berechnungen der Faust- formel mit dem Ergebnis einer exakten Berechnungsweise anhand flugmechanischer Formeln verglichen. Dabei wird die Flughöhe und Fluggeschwindigkeit variiert. Es werden die Abwei- chungen ermittelt und in Diagrammen zwei- und dreidimensional visualisiert.

Ergebnisse – Die zu prüfende Faustformel liefert in dem für Sie vorgesehen Anwendungsbe- reich hinreichend genaue Ergebnisse mit Abweichungen unter 5 %. Dabei nehmen die Ab- weichung zu, umso weiter die Parameter (Höhe und Geschwindigkeit) von typischen Reise- flugbedingungen entfernt sind.

Bedeutung in der Praxis – Piloten können bedenkenlos auf die in dieser Arbeit geprüfte Faustformel zurückgreifen und kommen so mit überschaubarem Kopfrechenaufwand auf rela- tiv genaue Ergebnisse.

Wert – Diese Arbeit zeigt, wie mit mäßigem Zeitaufwand in Excel eine Faustformel über ei- nen gesamten Bereich geprüft werden kann. Das Vorgehen kann auf weitere Faustformeln übertragen werden, sodass sich ein Pilot sein "Kniebrett" mit verifizierten Faustformeln füllen kann.

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DEPARTMENT FAHRZEUGTECHNIK UND FLUGZEUGBAU

Überprüfung einer einfachen Kopfrechenmethode zur Umrechnung der Fluggeschwindigkeit

von CAS in TAS

Aufgabenstellung für ein Projekt Hintergrund

Von Piloten werden u. a. die sogenannten "Manual Flying Skills" gefordert (https://www.skybrary.aero/index.php/Pilot_Handling_Skills). Dabei muss der Pilot in der Lage sein nach grundlegenden Instrumenten zu fliegen. Dafür sind neben Geschick auch Faustformeln erforderlich. Die Faustformeln müssen dafür verlässlich sein. In dieser Arbeit geht es exemplarisch darum, eine Faustformel zur Umrechnung der Kalibrierten Flugge- schwindigkeit (Calibrated Airspeed, CAS) in die Wahre Fluggeschwindigkeit (True Airspeed, TAS) zu überprüfen. Diese Faustformel wird von Piloten angewendet, die schnellere Flug- zeuge fliegen und wird in der Vorlesung "Flugmechanik" an der HAW Hamburg erklärt (http://www.fzt.haw-hamburg.de/pers/Scholz/materialFM1/1-19.JPG). In einem Beispiel (http://www.fzt.haw-hamburg.de/pers/Scholz/materialFM1/1-20.JPG) wird gezeigt, dass die Berechnung (in diesem Beispiel) gut funktioniert.

Aufgabe

Die Aufgabe dieser Projektarbeit ist es, die Faustformel zur Umrechnung von CAS in TAS auf ihre Gültigkeit im gesamten Flugbereich zu überprüfen. Beginnen Sie bei den relevanten Gleichungen der Flugmechanik. Berechnen und visualisieren Sie den relativen Fehler abhän- gig von Flughöhe und Fluggeschwindigkeit.

Die Ergebnisse sollen in einem Bericht dokumentiert werden. Es sind die DIN-Normen zur Erstellung technisch-wissenschaftlicher Berichte zu beachten.

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Inhalt

Seite

Verzeichnis der Bilder ... 6

Verzeichnis der Tabellen ... 7

Liste der Symbole ... 8

Liste der Abkürzungen ... 9

Verzeichnis der Begriffe und Definitionen ... 10

1 Einleitung ... 12

1.1 Motivation ... 12

1.2 Begriffsdefinitionen ... 17

1.3 Ziel der Arbeit ... 18

1.4 Literaturübersicht ... 18

1.5 Aufbau der Arbeit ... 19

2 Internationale Standard Atmosphäre (ISA) ... 20

2.1 Erdatmosphäre ... 20

2.2 Allgemeine Zusammenhänge der Atmosphäre ... 21

2.3 Zusammenhänge für die Troposphäre ... 21

2.4 Zusammenhänge für die Stratosphäre ... 22

2.5 Konstanten in der Atmosphäre ... 23

3 Comressibility Correction Chart ... 25

3.1 Einführung in das Chart ... 25

3.2 Compressibility Correction Chart in Excel ... 26

3.3 Anwendungsbeispiele aus dem Chart ... 27

4 Herleitung des relativen Fehlers ... 31

5 Relativer Fehler in Excel ... 36

5.1 Integrieren der ISA-Tabellen in Excel ... 36

5.2 Ermittlung des relativen Fehlers in Prozent ... 39

5.3 Faustformel für geringe Geschwindigkeiten und Höhen ... 42

6 Matlab Live Skript ... 44

6.1 3D-Diagramm ... 44

6.2 Aufbau des Live Skripts ... 44

7 Auswertung der Ergebnisse ... 48

7.1 ISA-Tabellen ... 48

7.2 3D-Diagramm in Matlab ... 51

7.3 3D-Diagramm mit ΔT=0 ... 58

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7.4 2D-Diagramm unter ISA-Bedingungen in Matlab ... 61

8 Zusammenfassung ... 64

9 Ausblick ...65

Literaturverzeichnis ... 66

Anhang Aufbau der ergänzenden Exceldatei ... 68

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Verzeichnis der Bilder

Bild 1.1 Tödliche Flugzeugunfälle mit mehr als 19 Todesopfern ... 13

Bild 1.2 Pitot-Static-System des CRJ 900 (Scheiderer 2008) ... 15

Bild 1.3 Aufbau eines Fahrtmesser (Sachs 2014) ... 15

Bild 1.4 Geschwindigkeitsabhängigkeiten (Scheiderer 2008) ... 17

Bild 2.1 Temperaturverlauf der Atmosphäre (Demtröder 1994) ... 20

Bild 3.1 Compressibility Correction Chart (Dole 2017) ... 25

Bild 3.2 Compressibility Correction Chart, Beispiel 1 ... 28

Bild 6.1 Definierte Konstanten im Matlab-Code ... 44

Bild 6.2 Start- und Endwerte sowie Intervalle als Dropdownmenü ... 45

Bild 6.3 Punktgrößen, Farben, Lösungsbereiche als Dropdownmenü ... 46

Bild 6.4 Auszug aus dem Matlab-Code ... 47

Bild 7.1 Abweichung der Faustformel aus Gl. (1.6), Perspektive 1 ... 50

Bild 7.6 Dropdownmenü für Lösungsmengen und Farben ... 54

Bild 7.7 Abweichung kleiner 5 %, Perspektive 1 ... 54

Bild 7.12 3D-Diagramm mit ΔT und Intervall von 0... 58

Bild 7.13 3D-Diagramm mit ΔT und Intervall von 0, Seitenansicht ... 59

Bild 7.14 Vergleich ISA-Tabelle & Matlab-Diagramm ... 60

Bild 7.15 2D-Diagramm mit großen Abfrage-Intervallen ... 61

Bild 7.16 2D-Diagramm, Perspektive 1... 62

Bild 7.19 2D-Diagramm, Draufsicht ... 63

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Verzeichnis der Tabellen

Tabelle 1.1 Tödliche Flugzeugunfälle nach Jahrzehnten ... 13

Tabelle 2.1 Allgemeine Konstanten ... 23

Tabelle 2.2 Konstante Parameter der Troposphäre nach ISA ... 24

Tabelle 2.3 Konstante Parameter der Stratosphäre nach ISA ... 24

Tabelle 3.1 Auszug ISA-Tabelle, 40000 ft ... 28

Tabelle 3.2 Auszug ISA-Tabelle, 35000 ft ... 29

Tabelle 5.1 Auszug einer ISA-Tabelle (Scheiderer 2008) ... 37

Tabelle 5.2 ISA-Tabelle in Excel generiert ... 38

Tabelle 5.3 Machzahlen in Abhängigkeit von H und CAS ... 39

Tabelle 5.4 TAT in Kelvin in Abhängigkeit von H und CAS ... 39

Tabelle 5.5 TAS in kt in Abhängigkeit von H und CAS ... 40

Tabelle 5.6 TASROT in kt über Faustformel in Abhängigkeit von H und CAS ... 40

Tabelle 5.7 Relativer Fehler der Faustformel in Abhängigkeit von H und CAS ... 41

Tabelle 5.8 Gültigkeitsbereich der Faustformel (grün) aus Gl. (1.6) ... 41

Tabelle 5.9 Relativer Fehler für Gl. (5.1) für geringe Höhen und Geschwindigkeiten .. 43

Tabelle 7.1 Gültigkeitsbereich der Faustformel (grün) ... 48

Tabelle 7.2 Reiseflugbedingungen (schwarz) ... 49

Tabelle 7.3 Überlagerung „cruise speed“ und relativer Fehler ... 49

Tabelle 7.4 Anwendungsbereich der Faustformel aus Gl. (1.6) ... 50

Tabelle 7.5 Anwendungsbereich der Faustformel aus Gl. (1.6) bei ΔT = -10 °C ... 57

Tabelle 7.6 Anwendungsbereich der Faustformel aus Gl. (1.6) bei ΔT = 15°C ... 57

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Liste der Symbole

∆𝑇𝑇 Differenz aus Referenztemperatur und tatsächlicher Temperatur auf Meereshöhe 𝑎𝑎 Schallgeschwindigkeit

𝑎𝑎₀ Schallgeschwindigkeit nach ISA auf Meereshöhe 𝐹𝐹_𝐿𝐿 Flugfläche

𝑔𝑔 Erdbeschleunigung

ℎ Geometrische Höhe

𝐻𝐻 Geopotenzielle Höhe ℎ𝑝𝑝 Druckhöhe

𝑘𝑘_𝑟𝑟 Recovery Factor 𝐿𝐿 Temperaturgradient

𝑀𝑀 Machzahl

𝑝𝑝 Druck

𝑝𝑝₀ Referenzdruck nach ISA auf Meereshöhe 𝑝𝑝𝑠𝑠 Statischer Druck

𝑞𝑞 Dynamischer Druck, inkompressibel 𝑞𝑞_𝑐𝑐 Dynamischer Druck, kompressibel

𝑅𝑅 Gaskonstante

𝑟𝑟_{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑟𝑟𝑒𝑒ℎ} Erdradius

𝑅𝑅_𝐿𝐿 Gaskonstante, Luft

𝑇𝑇 Temperatur

𝑇𝑇₀ Referenztemperatur nach ISA auf Meereshöhe 𝑇𝑇_𝑇𝑇 Total Air Temperature

𝑣𝑣 True Airspeed (TAS)

𝑣𝑣_𝑒𝑒 Aerodynamische Geschwindigkeit (entspricht v) 𝑣𝑣_𝐶𝐶 Calibrated Airspeed (CAS)

𝑣𝑣𝐸𝐸 Equivalent Airspeed (EAS)

𝑣𝑣_𝐼𝐼 Angezeigte Geschwindigkeit (IAS) 𝑣𝑣_𝐾𝐾 Bahngeschwindigkeit

𝑣𝑣𝑤𝑤 Windgeschwindigkeit

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Griechische Symbole

𝛿𝛿 Druckverhältnis

𝛿𝛿𝑇𝑇 Druckverhältnis, Tropopause 𝜀𝜀 Relativer Fehler

𝜃𝜃 Temperaturverhältnis

𝛩𝛩𝑇𝑇 Temperaturverhältnis, Tropopause 𝜅𝜅 Isentropenexponent

𝜌𝜌 Dichte

𝜌𝜌₀ Referenzdichte auf Meereshöhe (MSL) 𝜌𝜌𝑇𝑇 Referenzdichte in Höhe der Tropopause 𝜎𝜎 Dichteverhältnis

𝜎𝜎_𝑇𝑇 Dichteverhältnis, Tropopause 𝛾𝛾 Wärmekapazitätsverhältnis

Indizes

0 Normbedingungen

𝑅𝑅𝑅𝑅𝑇𝑇 Rule of Thumb

𝑇𝑇 Tropopause

Liste der Abkürzungen

CAS Calibrated Airspeed EAS Equivalent Airspeed

FAA Federal Aviation Administration FL Flight Level

GS Ground Speed IAS Indicated Airspeed

IFALPA International Federation of Air Line Pilots' Associations IMC Instrument Meteorological Conditions

ISA International Standard Atmosphere LOC-I lost of control in flight

M Machzahl

TAS True Airspeed

TAT Total Air Temperature

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Verzeichnis der Begriffe und Definitionen

CAS

"Die CAS (kalibrierte Fluggeschwindigkeit) ist die Geschwindigkeit, die direkt durch das Pitot Static-System des Flugzeugs gemessen wird. Sie entspricht der IAS, korrigiert um den Statikdruckquellenfehler. (…) In modernen Flugzeugen werden die Fehler durch einen Air Data Computer kompensiert, so dass die dem Piloten angezeigte Geschwindigkeit (IAS) der CAS entspricht." (Scheiderer 2008)

Druckhöhe

"Engl.: Pressure Altitude. Gibt für einen gemessenen Luftdruck an, welcher Höhe er in der Standardatmosphäre entspricht. Die Druckhöhe ist also die Flughöhe, die ein barometrischer Höhenmesser bei QNE-Einstellung anzeigt." (Klußmann 2007)

EAS

"Abk. für Equivalent Air Speed. Im Deutschen auch als äquivalente (Flug-) Geschwindigkeit oder Äquivalenzgeschwindigkeit bezeichnet. Die EAS entspricht der am Fahrtmesser im Flugzeug angezeigten Geschwindigkeit (IAS), die um den Einfluss der Kompressibilität der Luft bereinigt wurde. Diese Korrektur ist ab Fluggeschwindigkeiten nahe Mach 1 relevant." (Klußmann 2007)

Flugfläche

"Auch Flight Level genannt und mit FL abgekürzt. Bezeichnung für Flächen konstanter Druckhöhe, die als Höhenbänder der vertikalen Regelung des Flugverkehrs dienen. Flugflächen sind stets Vielfache von 500 ft und werden als Druckhöhen in Vielfachen von 100 ft angegeben. Die Angabe FL 65 steht also für eine Druckhöhe von 6500 ft." (Klußmann 2007)

Geopotenzielle_Höhe

"Die geopotentielle Höhe H ist eine Hilfsgröße, mit der die auf die Masse bezogene potenzielle Energie eines Fluidelements unter Berücksichtigung der Höhenveränderlichkeit der Erdbe-schleunigung beschrieben werden kann (…) Benutzen wir also anstelle der tatsächlichen Höhenkoordinate z die geopotentielle Höhe H, so können wir mit konstanten Normerdbeschleunigun g0 rechnen" (Kümmel 2007)

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IAS

"Abk. für Indicated Air Speed. (…) Bezeichnet die Fluggeschwindigkeit, die von einem Fahrtmesser angezeigt wird. Die Fluggeschwindigkeit wird vom Fahrtmesser indirekt über die Messung des Staudrucks ermittelt. (…)“ (Klußmann 2007)

ISA "ISA bedeutet International Standard Atmosphere oder ICAO Standard Atmoshere. Eine Standard Atmosphäre ist eine hypothetische vertikale Verteilung der atmosphärischen Tempe- ratur, des Luftdrucks und der Luftdichte entsprechend einer nationalen oder internationalen Vereinbarung. Dies soll es beispielsweise ermöglichen, Höhenmesser zu kalibrieren, Flug- zeuge nach einheitlichen Kriterien zu konstruieren und Leistungskurven von Fluggerät zu entwickeln.“ (Schmidt 2000)

Machzahl

"Angabe der Fluggeschwindigkeit in Vielfachen der momentanen Schallgeschwindigkeit. Die momentane Schallgeschwindigkeit ändert sich dabei unter anderem in Abhängigkeit von der Dichte und der Temperatur der Luft. (…) Die Einheit der Machzahl ist das Mach.“ (Kluß- mann 2007)

„Normatmosphäre ist ein Begriff aus der Luftfahrt und bezeichnet idealisierte Eigenschaften der Erdatmosphäre. Die internationale Standardatmosphäre (engl. International Standard At- mosphere, ISA) ist von der International Civil Aviation Organisation (ICAO) definiert wor- den. Sie stellt eine Atmosphäre dar, bei der die Größen Luftdruck, Lufttemperatur, Luftfeuch- tigkeit sowie Temperaturabnahme je 100 m Höhenstufe Werte haben, die ungefähr gleich den auf der Erde herrschenden Mittelwerten sind.“ (Nguewo 2018)

TAS

"Abk. für True Air Speed. Im Deutschen auch als wahre Eigengeschwindigkeit bezeichnet.

(…) wirkliche Geschwindigkeit gegenüber der umgebenden Luft. (…) wobei zur Umrech- nung die Luftdichte in Meereshöhe verwendet wird. (…) Darüber hinaus berücksichtigt die TAS auch Einfluss der Kompressibilität der Luft, die ab Fluggeschwindigkeiten nahe Mach 1 relevant ist.“ (Klußmann 2007)

TAT

"Die mittels Fluginstrument angezeigte Temperatur der umgebenden Luft, erhitzt durch die adiabatische Kompression (ram effect). TAT = SAT (1,2·M²)“ (Scheiderer 2008)

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1 Einleitung

1.1 Motivation

Heute wird ein Großteil der Strecken in der zivilen Luftfahrt mittels Autopiloten geflogen.

Dennoch sind in einigen Situationen die sogenannten "manual pilot skills" von besonderer Bedeutung. Damit ist der Blindflug ohne Autopiloten gemeint, was sich aber nicht nur auf das Geschick des Piloten beschränkt, sondern auch beinhaltet, dass der Pilot mit Rohdaten (von grundlegenden Instrumenten) fliegen kann. Dafür sind nebst diversen Finessen auch Faust- formeln erforderlich. Hierbei ist es von entscheidender Bedeutung, dass der Pilot sich auf die Ergebnisse der verwendeten Faustformeln verlassen kann.

Ein Ergebnis der unzureichenden sogenannten "blind flying skills" bei Piloten ist die Anzahl der lost of control in flight (LOC-I) Unfälle. Fast alle dieser Geschehnisse ereigneten sich in der Nacht oder bei „Instrument Meteorological Conditions (IMC)“, wenn Piloten gezwungen waren, die Kontrolle zu übernehmen.

Von der FAA wird angenommen, dass der kontinuierliche Einsatz von Autoflight-Systemen in dem zunehmenden Unvermögen resultiert, das Flugzeug schnell aus einem unerwünschten Zustand heraus zu stabilisieren. Ergo sollten Piloten zusätzlich und regelmäßig entsprechende Kenntnisse aufarbeiten, um das Risiko zu minimieren. Hierbei ergibt sich ein Kosten-Nutzen- Problem, denn das statistische Risiko tödlicher Unfälle ist aufgrund des Erfolgs moderner Cockpit-Technologie sowie einer präzisen und zuverlässigen Flugdeckautomation gering, so dass Piloten kaum manuell mit dem Flugzeug umgehen müssen. Aber wenn sie die Kontrolle übernehmen müssen, zeigen Statistiken, dass nicht garantiert ist, dass Piloten gute Fertigkei- ten im Hinblick auf die manuelle Flugsteuerung vorweisen können. Je weniger sie manuell fliegen, desto mehr scheinen sie kostspielige Zusatzschulungen zu benötigen, um verlorene Fähigkeiten aufzufrischen. Das Risiko solcher Ereignisse ist mit etwa einem tödlichen Unfall pro 2 Millionen Flügen sehr gering.

Eine Überlegung ist, Piloten die Möglichkeit zu geben, manuelle Flugpraxis ohne Kosten für die Fluggesellschaften zu erhalten, indem ihnen erlaubt wird, wie IFALPA empfiehlt, die Kontrolle während kommerziellen Flügen zu übernehmen. Europa lehnt dies ab, denn wenn Fluggesellschaften es zulassen, wissen sie aus der Überwachung der Betriebsflugdaten, dass es mehr energiereiche oder instabile und verpasste Anflüge gibt. Die USA hingegen befür- worten manuelle Flugpraxis während kommerziellen Flügen, denn es ist sinnvoll, Piloten Praxis bei der manuellen Handhabung zu geben, wenn die Bedingungen sicher sind. Aller- dings ist das Wetter in den USA hinsichtlich der Flugbedingungen in der Regel gutmütiger und weniger schwankend als in Europa, da ein großer Teil der USA in mediterranen Breiten- graden liegt, während nur Südeuropa die meiste Zeit des Jahres gutes Wetter genießt. Dies

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führt zu einem US-Flugverkehrsmanagementsystem, das eher bereit ist, Flüge nach Sichtflug- regeln zuzulassen. Zudem hat der größte Teil des Luftraums der USA, mit Ausnahme einiger wichtiger Terminalbereiche, weniger intensiven Verkehr als im dicht besiedelten Europa.

Die FAA-Statistiken zeigen, dass in der allgemeinen Luftfahrt, dem Umfeld, in dem alle zivilen Flieger, einschließlich der Piloten von Fluggesellschaften, ihr berufliches Lernen beginnen, für den Kontrollverlust, in der Regel ein Strömungsabriss als die häufigste Ursache für tödliche Unfälle ausgemacht werden kann.

Die Besatzungen müssen darauf vorbereitet sein, wenn die Bedingungen im Cockpit deutlich von den gewohnten Bedingungen abweichen. Da die im Anfangsstadium der Pilotenkarriere gewonnenen Erkenntnisse eher langfristig erhalten bleiben, als jedes andere erlernte Wissen, ist es wichtig, dass Piloten nicht nur Tests bestehen, sondern auch vollständig verstehen, was sie lernen, damit Ihnen Fehleinschätzungen sich nicht durch eine gesamte Karriere folgen.

(Learmount 2017)

Wenngleich die absolute Anzahl der fatalen Flugzeugunglücke zwar im Verlauf der letzten Jahrzehnte abgenommen hat (Bild 1.1), so ist prozentual häufig ein Pilotenfehler ausschlag- gebend (Tabelle 1.1).

Tabelle 1.1 Tödliche Flugzeugunfälle nach Jahrzehnten – nach Kebabjian 2019

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Bild 1.1 Tödliche Flugzeugunfälle mit mehr als 19 Todesopfern (Kebabjian 2019)

Im Flugzeug werden die Geschwindigkeiten über den mit sogenannten Pitot-Static-Systemen gemessenen statischen sowie totalen Druck ermittelt (Bild 1.1). Die Differenz zwischen dem statischen Druck und absoluten Gesamtdruck entspricht dem dynamischen Druck. Die folgenden Zusammenhänge gelten für Unterschallgeschwindigkeiten bei M < 0,4 nach Scheiderer 2008.

𝑝𝑝=𝑝𝑝𝑠𝑠+𝑞𝑞 (1.1)

𝑞𝑞 =𝜌𝜌

2𝑣𝑣² (1.2)

𝑝𝑝 =𝑝𝑝_𝑠𝑠+𝜌𝜌

2𝑣𝑣² (1.3)

𝑣𝑣 =�2

𝜌𝜌(𝑝𝑝 − 𝑝𝑝_𝑠𝑠) (1.4)

𝑝𝑝 Gesamtdruck

𝑝𝑝𝑠𝑠 statischer Druck

𝑞𝑞 dynamischer Druck, inkompressibel

𝜌𝜌 Dichte

𝑣𝑣 Geschwindigkeit

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Bild 1.2 Pitot-Static-System des CRJ 900 (Scheiderer 2008)

Aus dem dynamischen Druck ergibt sich die angezeigte Geschwindigkeit (IAS), also die Ge- schwindigkeit, die dem Piloten auf dem Fahrmesser angezeigt wird (Bild 1.2). Die angezeigte Geschwindigkeit ist jedoch aufgrund von Statikdruckquellenfehlern, Ausrichtungsfehlern, Dichteänderungen mit der Höhe und Energieunterschieden am Flugzeugrumpf wegen Strö- mungsvorgängen fehlerbehaftet (Bild 1.3). Daher wird der tatsächliche Druck nicht exakt er- fasst. Werden die Positionierungsfehler berücksichtigt, so erhalt man die kalibrierte Ge- schwindigkeit (CAS).

Bild 1.3 Aufbau eines Fahrtmesser (Sachs 2014)

Werden zudem Kompressibilitätseffekte berücksichtigt, dann resultiert die äquivalente Ge- schwindigkeit (EAS).

Wenn darüber hinaus die sinkende Dichte mit steigender Höhe Beachtung findet, so erhält man die Wahre Fluggeschwindigkeit (TAS).

Neben den genannten Geschwindigkeiten, ist oft auch die Machzahl (bei hohen Geschwindig- keiten) entscheidend. Welche Fluggeschwindigkeit für den Piloten gerade relevant ist, hängt von dem jeweiligen Flugabschnitt, der Situation und der Fragestellung ab, beispielsweise ob bei einem Steigflug der Abschnitt mit konstanter angezeigter Geschwindigkeit oder mit kon-

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stanter Machzahl geflogen wird. Im Flughandbuch sind zudem i.d.R. die Grenzwerte für die Geschwindigkeit in IAS angegeben, weshalb grundsätzlich mit IAS geflogen wird, da die Grenzwerte dann unabhängig von der Höhe gelten, sofern man sich an der angezeigten Ge- schwindigkeit orientiert.

Für die Reichweite oder Flugzeit ist wiederum die kinematische, bzw. die Bahngeschwindig- keit (v�⃗_K) entscheidend, welche aus aerodynamischer Geschwindigkeit (𝑣𝑣⃗_𝑒𝑒) und der Windge- schwindigkeit (v�⃗w) resultiert. Nach Nguewo 2018:

𝑣𝑣⃗𝑘𝑘= 𝑣𝑣⃗𝑤𝑤+𝑣𝑣⃗𝑒𝑒 (1.5)

𝑣𝑣⃗_𝑒𝑒 aerodynamische Geschwindigkeit, entspricht TAS 𝑣𝑣⃗_𝑘𝑘 kinematische Geschwindigkeit, (Bahngeschwindigkeit) 𝑣𝑣⃗𝑤𝑤 Windgeschwindigkeit

Eine mögliche Faustformel, um die kalibrierte Geschwindigkeit in die wahre Geschwindigkeit umzurechnen, ergibt sich indem die Flugfläche durch 10 dividiert und das Resultat mit 6 mul- tipliziert wird. Anschließend werden der CAS-Wert sowie der TAT-Wert hinzuaddiert.

Hierzu ein Beispiel:

FL: 350 CAS: 280 kt TAT: -15 °C

𝑣𝑣𝑅𝑅𝑅𝑅𝑇𝑇 =�³⁵⁰₁₀ ∙ 6 + 280 − 15� 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 475 𝑘𝑘𝑘𝑘

CAS kalibrierte Geschwindigkeit (Calibrated Airspeed) FL Flugfläche (Flight Level)

TAT absolute Temperatur (Total Airtemperature)

𝑣𝑣_{𝑅𝑅𝑅𝑅𝑇𝑇} wahre Geschwindigkeit aus Faustformel (True Airspeed)

Die Faustformel entstammt dem Skript von Prof. Dr. Scholz (Scholz 2019), dass an der HAW Hamburg ergänzend zur Vorlesung Flugmechanik bereitgestellt wird.

Somit kann die Faustformel wie in Gl. (1.6) dargestellt werden. Die Faustformel aus Gl. (1.6) gilt es im weiteren Verlauf zu überprüfen:

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𝑣𝑣_{𝑅𝑅𝑅𝑅𝑇𝑇} =^6∙𝐹𝐹₁₀^𝐿𝐿+𝑣𝑣_𝑐𝑐+𝑇𝑇_𝑇𝑇 in kt (1.6) 𝑣𝑣𝑐𝑐 Kalibrierte Fluggeschwindigkeit (Calibrated Air Speed, CAS) in kt

𝐹𝐹_𝐿𝐿 Flugfläche (Flight Level)

𝑇𝑇_𝑇𝑇 absolute Temperatur (Total Air Temperature) in °C 𝑣𝑣𝑅𝑅𝑅𝑅𝑇𝑇 Wahre Fluggeschwindigkeit (True Air Speed, TAS) in kt

berechnet aus der Rule of Thumb (ROT)

Der Index ROT (rule of thumb) wird für alle Ergebnisse aus der Faustformel verwendet.

Bild 1.4 Geschwindigkeitsabhängigkeiten (nach Scheiderer 2008)

1.2 Begriffsdefinitionen

Eine Faustformel ist „die grobe einfache Formel, mit der man eine überschlägige Berech- nung durchführen kann.“ (Scholze-Stubenrecht 2015)

Als synonymer Begriff für Faustformel kann aus dem englischen abgeleitet Daumenregel (rule of thumbs) verwendet werden.

Piloten benötigen oft keine exakten Angaben, sondern vielmehr Richtwerte mit gewisser To- leranz, die sich auf die abgelesenen Werte beziehen. Dazu werden dann oft entsprechende Faustformeln verwendet, die ausreichend genaue Ergebnisse liefern und dabei vor allem den Vorteil ergeben schnell eine Lösung anzubieten und gleichzeitig einen überschaubaren Kopf- rechenaufwand fordern.

IAS CAS EAS TAS

Mach Korrektur von Statik-

druckquellen-messfehler

Korrektur für Kompressibilität

Korrektur für Dichte

TAS / a(H)

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Faustformeln gibt es in der Luftfahrt für eine Vielzahl von Parametern, so z.B. um u.a. ver- schiede Höhen, Einheiten oder Geschwindigkeiten umzurechnen.

Die Flugmechanik befasst sich mit der Anwendung der Gesetze der Mechanik und Dynamik auf Flugzeuge. Aufgabe der Flugmechanik ist es, die am Flugzeug wirkenden Kräfte und Momente zu bestimmen, und daraus den Flugzustand mit seinen Zustandsgrößen und die Sta- bilität des Flugzeugs zu berechnen. (Klußmann 2007)

1.3 Ziel der Arbeit

Ziel dieser Projektarbeit ist es, die Kopfrechenmethode zur Umrechnung von CAS in TAS aus Gl. (1.6) auf ihre Gültigkeit zu prüfen, respektive einen Gültigkeitsbereich zu definieren.

𝑣𝑣_{𝑅𝑅𝑅𝑅𝑇𝑇} = 6∙ 𝐹𝐹_𝐿𝐿

10 +𝑣𝑣_𝑐𝑐 +𝑇𝑇_𝑇𝑇 (1.6)

Hierzu ist es notwendig eine hinreichend hohe Anzahl an TAS-Werten über die Faustformel aus den zu prüfenden kalibrierten Geschwindigkeiten und Höhen zu ermitteln und mit den bereits bewährten Gleichungen der Flugmechanik mittels Zusammenhangs zwischen Tempera- tur, Höhe, CAS, TAT, Machzahl und TAS bestenfalls zu verifizieren oder ggfs. zu widerle- gen.

1.4 Literaturübersicht

Die Definitionen beziehen sich zumeist auf das „Lexikon der Luftfahrt“ von Klußmann 2007.

Dort stehen die meisten für diese Studienarbeit relevanten Fachtermini der Luftfahrt.

Die wichtigste und die an der häufigsten genutzten Quelle, insbesondere in Bezug auf die verwendeten Gleichungen, ist das Manuskript „Flight Mechanics Lecture notes“ von Y- oung 2001. Das Skript wird begleitend für die Vorlesung „Flugmechanik 1“ an der HAW von Prof. Scholz genutzt und bietet einen sehr guten Überblick über die wichtigsten flugmechani- schen Zusammenhänge und Gleichungen.

Ergänzend zum Manuskript „Flight Mechanics Lecture notes“ von Young 2001 werden „An- gewandte Flugleistungen“ von Scheiderer 2008, „Handbuch der Luftfahrzeugtechnik“ von Sachs 2014 sowie das Vorlesungsskript. „Vorlesung Flugmechanik 1“ von Nguewo 2018 verwendet. Weitere Quellen finden teils nur einmalig Verwendung und werden an dieser Stel- le nicht weiter aufgeführt, finden sich jedoch im Literaturverzeichnis.

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1.5 Aufbau der Arbeit

Um diese Projektarbeit in vollem Umfang nachvollziehen zu können, ist es hilfreich, wenngleich nicht zwingend erforderlich, die interaktiven Diagramme und Tabellen, sowie das Li- ve-Skript aus Matlab zu nutzen. Hierbei werden Vorkenntnisse der Programme jeweils vorausgesetzt.1

Im Hauptteil der Projektarbeit steht die Verifizierung der Faustformel aus Gl. (1.6) im Fokus.

Abschnitt 2 beschreibt die grundsätzlichen aus flugmechanischem Aspekt relevanten Zusammenhänge und Parameter der Erdatmosphäre und die daraus resultierenden Gleichungen.

Abschnitt 3 erklärt den Aufbau des „Comressibility Correction Chart“ und es werden an Anwendungsbeispielen exemplarisch einige CAS-Werte in TAS-Werte überführt.

Abschnitt 4 stellt die zu Grunde liegenden Gleichungen und die Beziehungen zu den ge- nerierten Diagrammen in Excel dar. Es wird ein Zusammenhang zwischen den bewährten Gleichungen der Flugmechanik und der Faustformel aus Gl (1.6) sowie dem daraus ermittelten relativen Fehler der Faustformel in Pro- zent hergeleitet.

Abschnitt 5 zeigt die Zusammenhänge der nachgebildeten ISA-Tabellen und den Tabel- len für den relativen Fehler der Faustformel in Abhängigkeit von Höhe und Geschwindigkeit.

Abschnitt 6 befasst sich mit der Programmierung eines Live-Skripts in Matlab zur Visu- alisierung von zwei -und dreidimensionalen Diagrammen in Abhängigkeit von den Parametern CAS, H und ΔT um die relativen Abweichungen der Faustformel darstellen zu können.

Abschnitt 7 präsentiert die Ergebnisse aus den Tabellen, der Diagramme und aus dem Matlab-Skript.

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2 Internationale Standard Atmosphäre (ISA)

2.1 Erdatmosphäre

Das Leistungsvermögen eines Flugzeuges ist im hohen Maß abhängig von den vorherrschenden atmosphärischen Bedingungen. Die Atmosphäre wird durch Sonneneinstrahlung erhitzt.

Die Temperatur der bodennahen Luftschichten erhöht sich dadurch. Die erwärmte Luft steigt auf und kühlt sich dabei ab. Ist keine weitere Abkühlung mehr möglich, so erreicht man die Tropopause. Die Erdatmosphäre lässt sich über den Temperaturverlauf in vier Schichten auf- teilen (Bild 2.1). Die unterste Schicht der Erdatmosphäre bezeichnet die Troposphäre. Dar- über liegt die Stratosphäre, wobei die Tropopause die Grenzschicht zwischen der Troposphäre und der Stratosphäre bildet. In der Stratosphäre ist die Temperatur weitestgehend konstant.

Die Tropopausenhöhe variiert in den unterschiedlichen Breiten und ist aufgrund ihrer Grenz- schichtfunktion für die Flugplanung und Flugdurchführung von besonderer Bedeutung. Die reale Atmosphäre unterliegt ständigen Änderungen. Wechselnde Jahreszeiten, tatsächlich vorherrschende Winde und Luftmassenbewegungen haben großen Einfluss auf die Tempera- tur, den Luftdruck und die Dichte. (Scheiderer 2008)

Bild 2.1 Temperaturverlauf der Atmosphäre (Demtröder 1994, S. 207)

Zwecks Vergleichbarkeit der Flugleistungs- und Triebwerksparameter ist eine einheitliche Basis notwendig. Zudem erfordert die (Höhen-) Staffelung der Flugzeuge durch die Flugver- kehrskontrolle einheitliche Referenzwerte bzgl. Druck, Dichte und Temperatur, damit diese die gleichen Werte angezeigt bekommen. Die Internationale Standard Atmosphäre (ISA) der ICAO bietet eine solche Referenz.

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2.2 Allgemeine Zusammenhänge der Atmosphäre

Zustandsgleichung:

𝑝𝑝

𝜌𝜌 =𝑅𝑅_𝐿𝐿∙ 𝑇𝑇 (2.1)

𝜌𝜌0 = 𝑝𝑝₀

𝑅𝑅_𝐿𝐿∙ 𝑇𝑇₀ (2.2)

Hydrostatische Gleichung:

𝑑𝑑𝑝𝑝

𝑑𝑑ℎ= −𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 (2.3)

Aus Gl. (2.1) und Gl. (2.3) ergibt sich

� 1

𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 =− � 𝑔𝑔 𝑅𝑅_𝐿𝐿∙ 𝑇𝑇

𝐻𝐻 𝐻𝐻0 𝑝𝑝

𝑝𝑝0 𝑑𝑑𝐻𝐻 (2.4)

𝑔𝑔 Erdbeschleunigung 𝐻𝐻 Geopotenzielle Höhe

𝑝𝑝0 Referenzdruck auf Meereshöhe 𝑅𝑅𝐿𝐿 Gaskonstante, Luft

𝑇𝑇 Temperatur

𝑇𝑇0 Referenztemperatur auf Meereshöhe

Während in der Troposphäre ein konstanter Temperaturfall von 6,5 °C pro km bei steigender Höhe vorausgesetzt wird, besteht in der Stratosphäre annähernd Isothermie bis zu einer Höhe von 20 km. Daher muss die Integration von Gl. (2.4) jeweils für beide Schichten der Atmo- sphäre getrennt ausgeführt werden.

2.3 Zusammenhänge für die Troposphäre

Die Integration von Gl. (2.4) ergibt bei konstantem Temperaturgradienten L:

𝛿𝛿= 𝑝𝑝

𝑝𝑝0 = �𝑇𝑇₀− 𝐿𝐿 ∙ 𝐻𝐻 𝑇𝑇0 �

𝑅𝑅∙𝐿𝐿𝑔𝑔 (2.5)

(23)

Unter Beachtung der tatsächlichen vorherrschenden Temperaturverhältnisse ergibt sich eine Differenz zu der Referenztemperatur, die durch ΔT ausgedrückt werden kann, woraus Gl.

(2.6) resultiert:

𝛿𝛿= 𝑝𝑝

𝑝𝑝0 =�1− 𝐿𝐿 ∙ 𝐻𝐻 𝑇𝑇0 +Δ𝑇𝑇�

𝑅𝑅∙𝐿𝐿𝑔𝑔 (2.6)

Außerdem gilt:

𝜎𝜎= 𝛿𝛿

Θ (2.7)

𝛿𝛿 Druckverhältnis 𝜃𝜃 Temperaturverhältnis 𝜎𝜎 Dichteverhältnis

∆𝑇𝑇 Differenz aus Referenztemperatur und tatsächlicher Temperatur auf Meereshöhe

2.4 Zusammenhänge für die Stratosphäre

Die Integration von Gl. (2.4) ergibt bei konstanter Temperatur T:

𝑝𝑝

𝑝𝑝_𝑇𝑇 = 𝑒𝑒^{− 𝑔𝑔}^{𝑅𝑅∙𝑇𝑇}^𝑇𝑇^{(𝐻𝐻−𝐻𝐻}^𝑇𝑇⁾ (2.8)

𝐻𝐻𝑇𝑇 Höhe der Tropopause

𝑝𝑝_𝑇𝑇 Referenzdruck in Höhe der Tropopause 𝑇𝑇_𝑇𝑇 Referenztemperatur in Höhe der Tropopause

Für die Tropopause gelten zudem folgend aufgeführte Verhältnisse:

Θ_𝑇𝑇 =𝑇𝑇𝑇𝑇

𝑇𝑇₀ = 0,75187 (2.9)

𝛿𝛿_𝑇𝑇 = 𝑝𝑝𝑇𝑇

𝑝𝑝₀ = 0,22336 (2.10)

𝜎𝜎𝑇𝑇 = 𝜌𝜌_𝑇𝑇

𝜌𝜌₀ = 0,29708 (2.11)

(24)

Außerdem gilt:

𝜎𝜎𝑇𝑇 = 𝛿𝛿_𝑇𝑇

ΘT (2.12)

𝛿𝛿𝑇𝑇 Druckverhältnis, Tropopause 𝜃𝜃_𝑇𝑇 Temperaturverhältnis, Tropopause 𝜎𝜎_𝑇𝑇 Dichteverhältnis, Tropopause

𝜌𝜌𝑇𝑇 Referenzdichte in Höhe der Tropopause 𝜌𝜌0 Referenzdichte auf Meereshöhe (MSL)

Anmerkung: Die angegebenen Werte aus Gl. (2.9) bis Gl. (2.11) gelten nur für den Fall, dass ideale ISA-Bedingungen vorliegen, folglich ΔT=0 ist. Für abweichende Temperaturverhält- nisse werden auch in der Stratosphäre im weiteren Verlauf die Grenzwerte entsprechend angepasst.

𝑇𝑇_𝑇𝑇 =−56,5 +Δ𝑇𝑇 (2.13)

2.5 Konstanten in der Atmosphäre

Die im Konstanten müssen zunächst in Non-SI Einheiten umgerechnet werden. Längenanga- ben erfolgen hierbei in ft, Geschwindigkeitsangaben in kt.

1 𝑚𝑚= 3,280839895 𝑓𝑓𝑘𝑘 (2.14)

1 m 𝑠𝑠⁻¹ = 1,94384494 𝑘𝑘𝑘𝑘 (2.15)

1 m 𝑠𝑠⁻² = 3,280839895 𝑓𝑓𝑘𝑘 𝑠𝑠⁻² (2.16)

Tabelle 2.1 Allgemeine Konstanten

Bezeichnung

d. physikalischen Größe Symbol Wert SI-Einheit Wert Non-SI Einheit

Isentropenexponent (Luft) κ ^1,4 ^1,4

Spez. Gaskonstante (Luft) RL 287,053 K⁻¹ m² 𝑠𝑠⁻² 3089,813 K⁻¹ ft² 𝑠𝑠⁻² Gravitationskonstante g⁰ 9,80665 m 𝑠𝑠⁻² 32,174 ft 𝑠𝑠⁻²

Erdradius rearth 6371∙10³ m 20,9∙10⁶ ft

(25)

T a b ell e 2. 2 K o n st a nt e P ar a m et er d er Tr o p o s p h är e n a c h I S A

B e zei c h n u n g d. p h ysi k alis c h e n G r ö ß e

S y m b ol W e rt SI - Ei n h eit

W e rt N o n -SI Ei n h eit

( R ef er e n z-) T e m p er at ur (M S L ) T0 2 8 8, 1 5 K −

( R ef er e n z-) T e m p er at ur ( M S L) T0 1 5 C° −

T e m p er at ur gr a di e nt L 6 ,5 ∙ 1 0^{− 3} K m ^{− 1} 1 ,9 8 1 2 ∙ 1 0^{− 3} K ft^{− 1} S c h all g es c h wi n di g k eit ( M S L) a0 3 4 0, 2 9 4 m � ^{− 1} 6 6 1 ,4 8 kt

T a b ell e 2. 3 K o n st a nt e P ar a m et er d er Str at o s p h är e n a c h I S A

B e zei c h n u n g d. p h ysi k alis c h e n G r ö ß e

S y m b ol W e rt SI - Ei n h eit

W e rt N o n -SI Ei n h eit ( R ef er e n z-) T e m p er at ur ( Tr o p o p a us e ) TS 2 1 6, 6 5 K −

( R ef er e n z-) T e m p er at ur ( Tr o p o p a us e ) TS -5 6, 5 C° −

T e m p er at ur gr a di e nt ( bis c a. 2 0 k m) LS 0 K m ^{− 1} 0 K ft^{− 1}

Tr o p o p a us e n h ö h e H T 1 1 0 0 0 m 3 6 0 8 9 , 2 4 ft

(26)

3 Comressibility Correction Chart

3.1 Einführung in das Chart

Ziel dieser Arbeit ist es, die Faustformel zur Umrechnung von CAS in TAS zu verifizieren, bzw. einen Gültigkeitsbereich zu definieren. Hierzu muss jedoch zunächst eine Methode ge- wählt werden, um die zu prüfenden Werte der Faustformel zu bestätigen, respektive um die Abweichung quantitativ zu benennen. Eine solche Vergleichsmöglichkeit bietet das „compressibility correction chart“ aus Bild 3.1. Bei Geschwindigkeiten ab ca. Mach 0,3 darf die Luft nichtmehr wie für Gl. (3.2) als inkompressibel angenommen werden. Für inkompressible Fluide ist stattdessen Gl. (3.3) für den dynamische Druck zu verwenden. Im Chart wird für einen CAS-Wert die Differenz zu dem jeweiligen EAS-Wert in Abhängigkeit von der Höhe als ΔV in kt abgelesen. Bei den Höhenkurven handelt es sich um die Drukchöhe hp, wobei unter ISA-Bedingung nach Gl. (3.1) für 𝛥𝛥𝑇𝑇= 0 gilt, dass ℎ𝑝𝑝 = 𝐻𝐻.

ℎ_𝑝𝑝

𝐻𝐻 = 𝑇𝑇₀

𝑇𝑇₀ +Δ𝑇𝑇 (3.1)

Bild 3.1 Compressibility Correction Chart (Dole 2017)

(27)

3.2 Compressibility Correction Chart in Excel

Um exemplarisch einige Beispiele zu visualisieren wird zunächst das Diagramm in Excel übertragen. Hierzu werden die Zusammenhänge aus Gl. (3.2) bis Gl. (3.9) genutzt, um die Höhenkurven mit einem Intervall von 5000 ft zwischen 5000 ft und 65000 ft und Machzahl- kurven im Intervall von 0,1 Mach im Bereich 0,4 Mach bis 1 Mach darzustellen. Das Chart ist interaktiv und zeigt inkl. Hilfslinien über den gewählten CAS-Wert sowie der gewählten Hö- he den gesuchten ΔV-Wert an. Das Originalchart stellt negative ΔV-Werte in Abhängigkeit von CAS dar. In dem interaktiven Chart in Excel hingegen werden zwecks einfacherer Hand- habung die Werte positiv abgelesen, wodurch sich dadurch Gl. (3.8) ergibt. Würde hingegen mit dem Originalchart aus Bild 3.1 gearbeitet, so würde der abgelesene ΔV–Wert addiert, statt subtrahiert.

𝑞𝑞= 𝜌𝜌

2∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑆𝑆² (3.2)

𝑞𝑞_𝑐𝑐 =𝑝𝑝 ∙ ��(𝜅𝜅 −1) 2∙ 𝜅𝜅 ∙

𝜌𝜌(𝐻𝐻)

𝑝𝑝(𝐻𝐻)∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑆𝑆²+ 1�

𝜅𝜅−1𝜅𝜅

−1� (3.3)

𝑇𝑇𝑇𝑇𝑆𝑆=�2∙ 𝜅𝜅

𝜅𝜅 −1∙𝑝𝑝(𝐻𝐻)

𝜌𝜌(𝐻𝐻)∙ �� 𝑞𝑞_𝑐𝑐

𝑝𝑝(𝐻𝐻) + 1�

𝜅𝜅−1𝜅𝜅

−1� (3.4)

Δ𝑉𝑉=∣ 𝐸𝐸𝑇𝑇𝑆𝑆- CAS ∣ (3.5)

ΔV = ∣ M∙a∙ √𝜎𝜎 − 𝐶𝐶𝑇𝑇𝑆𝑆 ∣ (3.6)

(28)

𝑀𝑀 = �5

⎩⎪

⎨

⎪⎧

�1

𝛿𝛿 ��1 +𝛾𝛾 −1 2 �𝑣𝑣_𝑐𝑐

𝛼𝛼0�²�

𝛾𝛾−1𝛾𝛾

−1�+ 1�

−1

⎭⎪

⎬

⎪⎫

(3.7)

𝐸𝐸𝑇𝑇𝑆𝑆= 𝐶𝐶𝑇𝑇𝑆𝑆 − Δ𝑉𝑉 (3.8)

𝑇𝑇𝑇𝑇𝑆𝑆=𝐸𝐸𝑇𝑇𝑆𝑆

√𝜎𝜎 (3.9)

3.3 Anwendungsbeispiele aus dem Chart

Es werden folgend exemplarisch 3 Beispiele unter Anwendung des “Compressibility Correc- tion Chart“ aufgezeigt. Als Input Parameter dienen der CAS-Wert sowie die Druckhöhe, die unter der Annahme, dass ISA-Bedingungen herrschen der geopotenziellen Höhe entspricht.

Eine kurze Beschreibung zum Aufbau des Charts befindet sich im Anhang auf die bei Nut- zung der Originaldatei zurückgegriffen werden kann. Zu sehen sind in Blau die Höhenkurven und in Rot die Machzahlkurven. Auf der vertikalen Achse können jeweils die ΔV-Werte abgelesen werden.

(29)

Bild 3.2 Compressibility Correction Chart, Beispiel 1

Es wird mit einem CAS-Wert von 280 kt und einer Höhe von 40000 ft aus Bild 3.2 ein ΔV- Wert von 15,82 angezeigt. Dieser wird auf 16 gerundet. Zunächst wird mittels Gl. (3.8) EAS berechnet. Darauffolgend wird der entsprechende 𝜎𝜎 -Wert aus der ISA-Tabelle für 40000 ft mit 0,24617 abgelesen (Tabelle 3.1) und schlussendlich aus Gl. (3.9) der TAS-Wert ermittelt.

Bei den Beispielen 2 und 3 aus Bild 3.3 sowie Bild 3.4 wird analog verfahren.

Tabelle 3.1 Auszug ISA-Tabelle, 40000 ft

Beispiel 1:

𝐶𝐶𝑇𝑇𝑆𝑆= 250 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝐻𝐻 = 40000 𝑓𝑓𝑘𝑘

𝜎𝜎40000= 0,24617 (Tabelle 3.1) 𝛥𝛥𝑉𝑉 ≈ 16 𝑘𝑘𝑘𝑘

𝐸𝐸𝑇𝑇𝑆𝑆 = (250−16) 𝑘𝑘𝑘𝑘= 234 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑆𝑆= 234

√0,24617 𝑘𝑘𝑘𝑘 ≈472 𝑘𝑘𝑘𝑘

(30)

Bild 3.3 Compressibility Correction Chart, Beispiel 2 Tabelle 3.2 Auszug ISA-Tabelle, 35000 ft

Beispiel 2:

𝜎𝜎₃₅₀₀₀= 0,30988 (Tabelle 3.2) 𝛥𝛥𝑉𝑉 ≈ 20 𝑘𝑘𝑘𝑘

𝐸𝐸𝑇𝑇𝑆𝑆 = (300−20) 𝑘𝑘𝑘𝑘= 280 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑆𝑆= 280

√0,30988 𝑘𝑘𝑘𝑘 ≈503 𝑘𝑘𝑘𝑘

(31)

Bild 3.4 Compressibility Correction Chart, Beispiel 3

Beispiel 3:

𝜎𝜎₃₅₀₀₀= 0,30988 (Tabelle 3.2) 𝛥𝛥𝑉𝑉 ≈ 16,5 𝑘𝑘𝑘𝑘

𝐸𝐸𝑇𝑇𝑆𝑆 = (280−16,5) 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 263,5 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑆𝑆= 263,5

√0,30988 𝑘𝑘𝑘𝑘 ≈473 𝑘𝑘𝑘𝑘

Um die Faustformel mithilfe des Charts zu verifizieren, müssten jeweils eine Vielzahl an Werten nach vorangegangenem Schema mittels Charts mit den Ergebnissen aus der Faustfor- mel abgeglichen werden. Um einen gesamten Gültigkeitsbereich zu definieren und die Ergeb- nisse später besser visualisieren zu können, wird in den folgenden Kapiteln eine weitere Her- angehensweise erarbeitet.

(32)

4 Herleitung des relativen Fehlers

Zunächst wird ein direkter mathematischer Zusammenhang zwischen der Faustformel und den bewährten Gleichungen der Flugmechanik hergestellt. Hierbei ist es notwendig, die Faustformel und die flugmechanisch relevanten Gleichungen in Abhängigkeit derselben variablen Parameter auszudrücken.

Es wird davon ausgegangen, dass die Geschwindigkeit in Form der kalibrierten Geschwindig- keit bereits bekannt ist. Nachfolgend aufgeführte Gleichungen, sofern nicht explizit anderwei- tig genannt, entstammen Young 2001.

Die Machzahl berechnet sich wie in Gl. (3.7) angegeben:

𝑀𝑀 = �5

⎩⎪

⎨

⎪⎧

�1

𝛿𝛿 ��1 +𝛾𝛾 −1 2 �𝑣𝑣_𝑐𝑐

𝛼𝛼₀�²�

−1�+ 1�

−1

⎭⎪

⎬

⎪⎫

(3.7)

a0 Schallgeschwindigkeit auf Meereshöhe M Machzahl

vC kalibrierte Geschwindigkeit (calibrated airspeed, CAS) 𝛾𝛾 Wärmekapazitätsverhältnis

Das Druckverhältnis lässt sich in Abhängigkeit der Temperatur folgend darstellen:

𝛿𝛿 =�1− 𝐿𝐿 ∙ 𝐻𝐻 𝑇𝑇0 +𝛥𝛥𝑇𝑇�

�𝑔𝑔�(𝑅𝑅∙𝐿𝐿)�

(4.1)

Anmerkung: Es wird im weiteren Verlauf ausschließlich mit der geopotenziellen Höhe H ge- rechnet. Diese hat den Vorteil, dass g als konstant angenommen werden darf. Der Zusam- menhang der geometrischen Höhe h und der geopotenziellen Höhe H wird in Gl (4.2) aufge- führt:

ℎ= 𝑟𝑟_{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑟𝑟𝑒𝑒ℎ}∙ 𝐻𝐻

𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒𝑟𝑟𝑒𝑒ℎ− 𝐻𝐻 (4.2)

𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒𝑟𝑟𝑒𝑒ℎ Erdradius

ℎ Geometrische Höhe

(33)

Die wahre Geschwindigkeit ergibt sich aus der Machzahl und der Schallgeschwindigkeit:

𝑣𝑣 =𝑎𝑎 ∙ 𝑀𝑀 (4.3)

v wahre Geschwindigkeit (true airspeed, TAS) a Schallgeschwindigkeit

Sowohl die Schallgeschwindigkeit als auch die Machzahl sind Funktionen in Abhängigkeit von der Höhe, respektive von der Temperatur und des Drucks in der jeweiligen (Flug-) Höhe.

Allgemein gilt für die Schallgeschwindigkeit:

𝑎𝑎(𝐻𝐻) =�𝑇𝑇(𝐻𝐻)∙ 𝑅𝑅_𝐿𝐿 ∙ ϒ (4.4)

T(H) Temperatur in Höhe H

a(H) Schallgeschwindigkeit in Höhe H

Stellt man das Verhältnis zu der Schallgeschwindigkeit auf Meereshöhe dar, so ergibt sich:

𝑎𝑎(𝐻𝐻)

𝑎𝑎0 =�𝑇𝑇(𝐻𝐻)∙ 𝑅𝑅_𝐿𝐿∙ ϒ

�𝑇𝑇0∙ 𝑅𝑅_𝐿𝐿∙ ϒ (4.5)

𝑎𝑎₀ Schallgeschwindigkeit auf Meereshöhe Daraus folgt durch Kürzen:

𝑎𝑎(𝐻𝐻) =𝑎𝑎₀��𝑇𝑇(𝐻𝐻)

𝑇𝑇₀ � (4.6)

Die Temperatur ergibt sich aus:

𝑇𝑇(𝐻𝐻) =𝑇𝑇0+∆𝑇𝑇 − 𝐿𝐿 ∙ 𝐻𝐻 (4.7)

Werden Gl. (4.6) und Gl. (4.7) zusammengefasst, so resultiert:

𝑎𝑎(𝐻𝐻) =𝑎𝑎₀�1 +�∆𝑇𝑇 − 𝐿𝐿 ∙ 𝐻𝐻

𝑇𝑇₀ � (4.8)

(34)

Werden nunmehr Gl. (3.7) und Gl. (4.8) in Gl. (4.3) überführt, so erhält man die gesuchte wahre Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Höhe H, der Temperaturdifferenz ΔT und der kalibrierten Geschwindigkeit vc:

𝑣𝑣= 𝑎𝑎0�1 +�∆𝑇𝑇 − 𝐿𝐿 ∙ 𝐻𝐻 𝑇𝑇0 �

∙ �5

⎩⎪

⎨

⎪⎧

�1

𝛿𝛿 ��1 +𝛾𝛾 −1 2 �𝑣𝑣𝑐𝑐

𝛼𝛼₀�²�

−1�+ 1�

−1

⎭⎪

⎬

⎪⎫ (4.9)

Das Druckverhältnis δ berechnet sich nach Gl. (4.1).

Nun gilt es die Faustformel über die gleichen variablen Parameter darzustellen.

𝑣𝑣 =𝐹𝐹𝐿𝐿∙ 6

10 +𝑣𝑣𝑐𝑐+𝑇𝑇𝑇𝑇 (1.6)

Damit die Ergebnisse später direkt in den Tabellen und Diagrammen vergleichbar werden und entsprechend über die gleichen Parameter, bzw. (Diagramm-) Achsen dargestellt werden kön- nen, müssen die Flugfläche und die wahre Temperatur ebenfalls über die Höhe H, der Tempe- raturdifferenz und der kalibrierten Geschwindigkeit ausgedrückt werden.

Die Flugfläche ergibt sich abgeleitet aus Gl. (3.1) und Gl. (4.11) wie folgt:

𝐹𝐹𝐿𝐿= ℎ𝑝𝑝

100 (4.10)

𝐹𝐹𝐿𝐿= 𝐻𝐻 ∙ 𝑇𝑇0

100 (𝑇𝑇₀ +Δ𝑇𝑇) (4.11)

Die absolute Temperatur berechnet sich aus:

𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇= (𝑇𝑇₀ − 𝐿𝐿 ∙ 𝐻𝐻+∆𝑇𝑇 ) (1 +𝑘𝑘_𝑟𝑟𝛾𝛾 −1

2 𝑀𝑀²) (4.12

2) k^r Recovery Faktor

(35)

Werden Gl. (1.6), Gl. (4.11) und Gl. (4.12) zu einer Gleichung zusammengefasst, so resultiert die gesuchte Gleichung Gl. (4.13) in Abhängigkeit der variablen Parameter H, ΔT und vc .

𝑇𝑇𝑇𝑇𝑆𝑆_{𝑅𝑅𝑅𝑅𝑇𝑇} = 𝐻𝐻 ∙ 𝑇𝑇₀

100∙(𝑇𝑇₀+Δ𝑇𝑇)∙ 6

10 +𝑣𝑣_𝑐𝑐 + (𝑇𝑇₀− 𝐿𝐿 ∙ 𝐻𝐻+∆𝑇𝑇 )

∙

⎝

⎜⎛

1 +𝛾𝛾 −1 2 5

⎩⎪

⎨

⎪⎧

�1

𝛿𝛿 ��1 +𝛾𝛾 −1 2 �𝑣𝑣_𝑐𝑐

𝛼𝛼₀�²�

−1�+ 1�

−1

⎭⎪

⎬

⎪⎫

⎠

⎟⎞ (4.13)

Das Druckverhältnis δ berechnet sich nach Gl. (4.1). Es wird für Gl. (4.12) vorausgesetzt, dass kr = 1.

Verwendete Konstanten für Luft in der Troposphäre:

𝛾𝛾 = 1,4

𝑔𝑔0 = 9,80665 m s⁻¹

𝐿𝐿= 6,5 K/km = 0,0019812 K/ft 𝑇𝑇₀ = 288,15 K

𝑅𝑅𝐿𝐿 = 287,053 J/(kg K) 𝑎𝑎₀ = 661,48 kt

Des Weiteren können einige Therme zusammengefasst werden:

𝛾𝛾 −1

2 = 0,2 (4.14)

𝛾𝛾

𝛾𝛾 −1 = 3,5 (4.15)

𝛾𝛾 −1

2 ∙5 = 1 (4.16)

𝛾𝛾 −1

𝛾𝛾 = 1

3,5 (4.17)

𝑔𝑔

(𝑅𝑅_𝐿𝐿 ∙ 𝐿𝐿) = 5,25588 (4.18)

(36)

Werden Gl. (4.9) sowie Gl. (4.13) nun unter Beachtung der Konstanten Werte und Gl. (4.14) bis Gl. (4.18) dargestellt, so resultieren daraus

𝑣𝑣 = 661,48�1 +�∆𝑇𝑇 −0,0019812 𝐻𝐻 288,15 �

∙ �5��1

𝛿𝛿 ��1 + 0,2� 𝑣𝑣𝑐𝑐

661,48�²�

3,5

−1�+ 1�

3,51

−1�

(4.19)

und

𝑣𝑣𝑅𝑅𝑅𝑅𝑇𝑇 = 288,15 𝐻𝐻

100 (288,15 +Δ𝑇𝑇)∙ 6

10 +𝑣𝑣𝑐𝑐+ (288,15−1,9812∙10⁻³ H +∆𝑇𝑇 ) ∙ �1 +��1

𝛿𝛿 ��1 + 0,2� 𝑣𝑣_𝑐𝑐 661,48�²�

3,5

−1�+ 1�

3,51

−1��

(4.19)

mit jeweils dem Druckverhältnis aus Gl. (4.1)

𝛿𝛿=�1−0,0019812 𝐻𝐻 288,15 +𝛥𝛥𝑇𝑇 �

5,2558

. (4.20)

Nun stehen durch Gl. (4.19) und Gl. (4.20) zwei Gleichungen in Abhängigkeit derselben Pa- rameter zur Verfügung. Diese ermöglichen es über die Werte der ermittelten wahren Ge- schwindigkeit aus der Faustformel und den errechneten wahren Geschwindigkeiten aus den Gleichungen der Flugmechanik einen relativen Fehler in Prozent zu bestimmen.

𝜖𝜖 =� 𝑣𝑣 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑆𝑆𝑅𝑅𝑅𝑅𝑇𝑇

𝑣𝑣 � ∙100 (4.21)

ε relativer Fehler in [%]

Zu beachten ist sowohl bei der Zusammenfassung der Konstanten als auch beim Verwenden der daraus resultierenden Gleichungen, dass nicht durchgängig SI-Einheiten verwendet werden und alle Werte einheitenkonform einzusetzen sind. Entfernungen, bzw. Höhen erfolgen in ft, Geschwindigkeitsangaben in kt und Temperaturen werden in Kelvin (K) angegeben.

(37)

5 Relativer Fehler in Excel

5.1 Integrieren der ISA-Tabellen in Excel

Wenngleich es fertige Auszüge mit den für diese Projektarbeit relevanten Parameter der ISA- Tabellen gibt, wie z.B. in Tabelle 5.1 exemplarisch dargestellt, so wäre es äußerst mühsam, diese manuell zu übertragen. Über die vorangegangenen Gleichungen und definierten Kon- stanten aus Kapitel 2 bis 4 kann durch übertragen der Gleichungen unter Beachtung der definierten Konstanten auch ein Auszug in Excel generiert werden, der alle für die weiteren Be- rechnung relevanten Parameter der ISA–Tabelle enthält. Das Ergebnis wird in Tabelle 5.2 gezeigt.

(38)

Tabelle 5.1 Auszug einer ISA-Tabelle (Scheiderer 2008, S. 101)

(39)

Tabelle 5.2 ISA-Tabelle in Excel generiert

(40)

5.2 Ermittlung des relativen Fehlers in Prozent

Mittels Verweises auf Tabelle 5.2 und Gl. (3.7) können nun die Machzahlen in Abhängigkeit der Höhe von oben nach unten zunehmend mit einem Intervall von 1000 ft und der kalibrierten Geschwindigkeit von links nach rechts im Intervall von 10 kt wie in Tabelle 5.3 angegeben ermittelt werden:

Tabelle 5.3 Machzahlen in Abhängigkeit von H und CAS

Aus den Werten der Tabelle 5.3 sowie Gl. (4.12) wird wiederum jeweils die „True Airtempe- rature“ berechnet (Tabelle 5.4).

Tabelle 5.4 TAT in Kelvin in Abhängigkeit von H und CAS

(41)

Abgeleitet aus der Tabelle 5.4 und Gl. (4.19) können die gesuchten TAS-Werte berechnet werden (Tabelle 5.5).

Tabelle 5.5 TAS in kt in Abhängigkeit von H und CAS

Folgend wird mit Tabelle 5.6 die wahre Geschwindigkeit erneut über die zu prüfende Faust- formel aus Gl. (4.20) berechnet, wobei die Ergebnisse der Faustformel den Index ROT tragen:

Tabelle 5.6 TAS^ROT in kt über Faustformel in Abhängigkeit von H und CAS

(42)

Werden die Abweichungen der Ergebnisse aus Tabelle 5.5 und Tabelle 5.6 in einer weiteren Tabelle über Gl. (4.22) in Prozent dargestellt, so ergibt sich der relative Fehler in Abhängig- keit von Höhe und kalibrierter Geschwindigkeit in Prozent (Tabelle 5.7).

Tabelle 5.7 Relativer Fehler der Faustformel in Abhängigkeit von H und CAS

Um die Ergebnisse aus Tabelle 5.7 besser auswerten zu können, wird die gesamte Tabelle mit einer bedingten Formatierung versehen, wodurch die Abweichungen farblich akzentuiert werden. Hierbei werden Abweichungen, die kleiner als 5 % sind in Grün dargestellt. Größere Abweichungen nehmen von Gelb zu Rot zu (Tabelle 5.8).

Tabelle 5.8 Gültigkeitsbereich der Faustformel (grün) aus Gl. (1.6)

(43)

5.3 Faustformel für geringe Geschwindigkeiten und Höhen

Die Faustformel aus Gl. (1.6) darf bei hohen Geschwindigkeiten und Höhen unter Reiseflug- bedingungen angewendet werden. Der vollständigkeitshalber wird an dieser Stelle eine weitere Faustformel mit Gl. (5.1) vorgestellt, die für niedrige Geschwindigkeiten und Höhen verwendet werden kann und somit für kleinmotorige Luftfahrzeuge angedacht ist (z.B. Cessna, Piper).

Der Fahrtmesser berücksichtigt Dichte- bzw. Temperaturänderungen mit steigender Höhe nicht. Daher gilt bei steigender Höhe über Meereshöhe, das IAS kleiner als TAS wird (siehe Kapitel 2). Ferner gilt im Hochgeschwindigkeitsbereich (Reiseflug, Klappen eingefahren), dass IAS ungefähr CAS entspricht. Der Fahrmesser zeigt pro 1000 ft ca. 2 % zu wenig an.

(Kühr 1987)

Beispiel nach Kühr 1987:

IAS: 100 kt Flughöhe: 5000 ft TAS: ? Lösung:

2 % ∙ 5 = 10 % (0,1) 100 ∙ 0,1 = 10

100 +10 = 110

→ TAS = 110 kt

Die Faustformel nach Kühr 1987 lässt sich somit wie in Gl. (5.1) darstellen.

𝑣𝑣ROT_II =𝑣𝑣𝑐𝑐+ 2 %∙ 𝑣𝑣𝑐𝑐 ∙ 𝐻𝐻

1000𝑓𝑓𝑘𝑘 (5.1)

𝑣𝑣ROT_II TAS aus Faustformel für geringe Geschwindigkeiten und Höhen

Nun wird in Excel der relative Fehler der Faustformel in Prozent aus Gl. (5.1) nach gleichem Schema wie bereits bei der vorangegangenen Faustformel aus Gl. (1.6) ermittelt und an- schließend wieder mittels bedingter Formatierung farblich der Gültigkeitsbereich hervorgeho- ben, wobei Abweichungen kleiner gleich 5 % Grün dargestellt werden und die Abweichungen von Grün über Gelb nach Rot kontinuierlich zunehmen (Tabelle 5.9).

(44)

Tabelle 5.9 Relativer Fehler für Gl. (5.1) für geringe Höhen und Geschwindigkeiten

(45)

6 Matlab Live Skript

6.1 3D-Diagramm

Bislang wurde davon ausgegangen, dass ΔT=0, also folglich ISA-Bedingungen vorzufinden sind. Nun soll darüber hinaus geprüft werden, ob die Faustformel auch gültig bleibt, wenn die Referenztemperatur von den ISA-Bedingungen abweicht. Dies führt dazu, dass der relative Fehler von den 3 Parametern CAS, H und ΔT abhängig wird. Somit können die Ergebnisse nicht mehr 2-dimensional dargestellt werden. Daher wird über die vorangegangenen Glei- chungen ein Matlab-Live-Skript geschrieben, um die Abweichungen nun als relativen Fehler in Prozent mit vorgegebenen Anfangs- und Endwerten in festgelegten Intervallen zu errech- nen.

6.2 Aufbau des Live Skripts

Zuerst werden relevante Konstanten definiert (Bild 6.1).

Bild 6.1 Definierte Konstanten im Matlab-Code

Um bei den Anfangs- und Endwerten sowie Intervallen flexibel zu bleiben, werden diese als Dropdown Menüs integriert (Bild 6.2).

(46)

Bild 6.2 Start- und Endwerte sowie Intervalle als Dropdownmenü

Da zunächst noch nicht klar ist, wie die Ergebnisse graphisch aussehen werden, werden die Bezugswerte für die Farben und Punktgrößen auch via Dropdownmenüs eingepflegt, um diese gegebenenfalls anpassen zu können. Zudem werden Lösungsmengen definiert, auf die im spä- teren Code verwiesen wird, um im Diagramm später selektieren zu können, welcher Teil der Lösungsmenge angezeigt werden, respektive ausgeblendet soll und um die einzelnen Bereiche dann zur visuellen Unterscheidung die Farben zuzuweisen. Die finalen Lösungsmengen wurden mit den berechneten TAS-Werten aus der Faustformel in Abhängigkeit der Parameter CAS, H und ΔT bezüglich der Abweichungen wie folgt definiert (Bild 6.3):

Abweichungen

bis 2 % - Dunkelgrün 2 % ... 5 % - Grün 5 % ... 10 % - Gelb 10 % ... 15 % - Orange

>15 % - Rot.

(47)

Bild 6.3 Punktgrößen, Farben, Lösungsbereiche als Dropdownmenü

Über den Matlab-Code (grauer Hintergrund) werden die verwendeten Formeln jeweils via Formeleditor dargestellt (weißer Hintergrund), um entsprechende Rechenschritte besser und schneller nachvollziehen zu können. Zudem werden rechts jeweils in entsprechender Zeile kurze Erklärungen (grüner Text) zu dem Abschnitt angegeben (Bild 6.4).

Da es üblich ist den Code selbst und Definitionen in englischer Sprache zu formulieren, wird dies für das gesamte Matlab-Skript jeweils konsequent beibehalten, obgleich diese Projektar- beit selbst in deutscher Sprache verfasst wurde.

Somit kann der Code bei Interesse/Bedarf im originalen Matlab-File leicht nachvollzogen werden und es werden im Rahmen dieser schriftlichen Ausarbeitung nur die entsprechenden Ergebnisse verarbeitet, ohne im Detail auf den Code einzugehen.

Es werden insgesamt 2 Matlab-Files geschrieben. Im ersten File werden die Lösungsmengen rein farblich wie zuvor beschrieben unterschieden. Das Ergebnis ist somit ein dreidimensiona- les Diagramm in Abhängigkeit von den 3 Parametern CAS, H und ΔT. Im zweiten File werden die Abweichungen über die 3. Achse als relativer Fehler auch als Zahlenwert in Prozent entsprechend angezeigt. Die Lösungsmenge(n) ist daher eine Fläche in Abhängigkeit von den 2 Parametern CAS und H. Die farblichen Akzente bleiben identisch.

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Bild 6.4 Auszug aus dem Matlab-Code

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7 Auswertung der Ergebnisse

7.1 ISA-Tabellen

Zunächst wird die Ergebnisstabelle (Tabelle 7.1) weiterverarbeitet. Von links nach rechts mit steigenden CAS-Werten und von oben nach unten mit steigender Höhe H wird jeweils die relative Abweichung in Prozent angegeben, die sich aus der Faustformel zu den Ergebnissen aus der Berechnung mit den Gleichungen aus der genutzten Literatur aus Kapitel 2 bis 4 ergeben. Abweichungen bis 5 % sind in Grün zu sehen, während größere Abweichungen von Gelb zu Rot kontinuierlich zunehmen.

Tabelle 7.1 Gültigkeitsbereich der Faustformel (grün)

Da die zu prüfende Faustformel aus Gl. (1.6) für Luftfahrzeuge unter Reisebedingungen mit hohen Geschwindigkeiten und Höhen angedacht ist, wird in einer weiteren Tabelle der Reise- flugbereich von gängigen zivilen Flugzeugen in Abhängigkeit von der Machzahl dargestellt (Tabelle 7.2). Hierbei wird davon ausgegangen, dass je nach Antriebsleistung und Variante (Propeller, Jet, Turboprob, Turbofan, etc.) die Reisfluggeschwindigkeit zwischen 0,70 Mach und 0,85 Mach liegt. Der entsprechende Bereich ist Schwarz hinterlegt. Größere Machzahlen als 0,85 Mach sind mit rotem Hintergrund und kleinere Machzahlen als 0,7 Mach mit gelbem Hintergrund dargestellt. Wie bereits in Tabelle 7.1 werden die Machzahlen analog in Abhän- gigkeit von den Parametern CAS und H angegeben.

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Tabelle 7.2 Reiseflugbedingungen (schwarz)

Legt man nun beide vorangegangenen Tabellen übereinander (Tabelle 7.3), so ist deutlich zu sehen, dass der Machzahlenbereich unter Reiseflugbedingungen (schwarz-transparent) genau in den Bereich fällt, bei dem die Abweichungen der Faustformel unter 5 % liegen (Grün).

Tabelle 7.3 Überlagerung „cruise speed“ und relativer Fehler

Wird nun der Reiseflugbereich eines zivilen Flugzeugs weiter eingegrenzt und in Bezug auf die Abweichungen der Faustformel hin betrachtet (Tabelle 7.4), so ist noch deutlicher zu er- kennen, dass die Faustformel im gesamten Bereich unter Reisflugbedingungen bedenkenlos angewendet werden darf, ohne dass Abweichungen größer als 5 % resultieren.

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Tabelle 7.4 Anwendungsbereich der Faustformel aus Gl. (1.6)

Relevanter Bereich (Reiseflughöhe) H = 30000 – 45000 ft

CAS = 200 – 320 kt M= 0,7 – 0,85

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7.2 3D-Diagramm in Matlab

Das Matlab-Skript ergibt im Abhängikeit der Parameters ΔT, CAS und H nun ein dreidimen- sionales Diagramm, dass wie in Kapitel 6.2 beschrieben aufgebaut ist. Wenngleich das Re- sultat annähernd einem Volumen gleicht, so werden eine Vielzahl einzelner Ergebnis-Punkte dargestellt, bei denen die Intervalle und Anfangs- und Endwerte so lange angepasst wurden, bis sich die visuell ansprechendsten Ergebnisse ergaben.

Die Abgrenzungen, die auch in der Legende jeweils angeben werden, sind an dieser Stelle noch einmal aufgeführt:

Abweichungen:

bis 2 % - Dunkelgrün 2 % ... 5 % - Grün 5 % ... 10 % - Gelb 10 % ... 15 % - Orange

>15 % - Rot.

Nachfolgend werden mit Bild 7.1 bis Bild 7.5 das Ergebnis aus verschieden Perspektive dargestellt.

Bild 7.1 Abweichung der Faustformel aus Gl. (1.6), Perspektive 1