„„Inside CAS“ Inside CAS“

(1)

„ „ Inside CAS“ Inside CAS“

Teil I: Polynome faktorisieren Teil I: Polynome faktorisieren Teil II: Automatisches Beweisen Teil II: Automatisches Beweisen

Heinz Klemenz, KZO Wetzikon, 13.6.2005

(2)

„ „ Inside CAS“ Inside CAS“

Teil I: Polynome faktorisieren Teil I: Polynome faktorisieren

EinleitungEinleitung

 Kronecker-Algorithmus im Ring Z[x]Kronecker-Algorithmus im Ring Z[x]

 Berlekamp-Algorithmus in ZBerlekamp-Algorithmus in Z_p_p[x][x]

 „„Lifting“ nach Z[x]Lifting“ nach Z[x]

 Cantor und Zassenhaus (1980) prohabilistischCantor und Zassenhaus (1980) prohabilistisch

 Multivariate Polynome (Kronecker)Multivariate Polynome (Kronecker)

(3)

Einleitung 1 Einleitung 1

Von „Hand“:

Von „Hand“: ^x⁴



^x³ ^ ²



^ ^x³ ^ ² ^



^x³ ^ ²

  

^x⁴ ^¹

(4)

Einleitung 2 Einleitung 2

 Weshalb sollte man Polynome faktorisieren Weshalb sollte man Polynome faktorisieren können?

können?

 BeispieleBeispiele

• Terme vereinfachen (Kürzen!)Terme vereinfachen (Kürzen!)

• Polynomiale Gleichungen exakt lösenPolynomiale Gleichungen exakt lösen

• CodierungstheorieCodierungstheorie

• KryptographieKryptographie

• Symbolische IntegrationSymbolische Integration

• Gröbner-Basen vereinfachen (autom. Beweisen)Gröbner-Basen vereinfachen (autom. Beweisen)

(5)

Einleitung 3 Einleitung 3

 Wie kann ein Polynom Wie kann ein Polynom algorithmischalgorithmisch faktorisiert werden?

faktorisiert werden?

 Erste VersucheErste Versuche

• Isaac Newton, 1707: Isaac Newton, 1707:

„Arithmetica universalis“

• Friedrich von Schubert, 1793: Friedrich von Schubert, 1793:

Lineare und quadratische Faktoren finden Lineare und quadratische Faktoren finden

• Leopold Kronecker, 1823-1891:Leopold Kronecker, 1823-1891:

Ausarbeitung der Ideen von Newton und Schubert Ausarbeitung der Ideen von Newton und Schubert

 NeuzeitNeuzeit

• 1967 Elwin Berlekamp: Faktorisieren in Z1967 Elwin Berlekamp: Faktorisieren in Z_p_p[x][x]

(6)

„ „ Inside CAS“ Inside CAS“

Teil I: Polynome faktorisieren Teil I: Polynome faktorisieren

 EinleitungEinleitung

Kronecker-Algorithmus im Ring Z[x]Kronecker-Algorithmus im Ring Z[x]

 Berlekamp-Algorithmus in ZBerlekamp-Algorithmus in Z_p_p[x][x]

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Der Kronecker-Algorithmus 1 Der Kronecker-Algorithmus 1

Leopold Kronecker 1823-1891 Leopold Kronecker 1823-1891

 Schüler von KummerSchüler von Kummer

 Student von Dirichlet Student von Dirichlet und Jakob Steiner

und Jakob Steiner

 Professor in Berlin 1883 Professor in Berlin 1883 mit 60 J. (!)

mit 60 J. (!)

 Streit mit Cantor und Streit mit Cantor und Weierstrass

Weierstrass

 Vorläufer des Brower-Vorläufer des Brower- schen Intuitionismus schen Intuitionismus

(8)

Der Kronecker-Algorithmus 2 Der Kronecker-Algorithmus 2

 Wir betrachten ein Polynom Wir betrachten ein Polynom f f ( ( x x ) aus ) aus Z[ Z[ x x ] vom Grad ] vom Grad n n . .

• Wir suchen Wir suchen gg((xx) und ) und hh((xx), so dass gilt:), so dass gilt:

ff((xx) = ) = gg((xx)·)·hh((xx), wobei der Grad von g(x) ), wobei der Grad von g(x) höchstens

höchstens mm=[=[nn/2] beträgt./2] beträgt.

• Beispiel: Beispiel: ff((xx) = ) = xx⁷⁷+2+2xx⁴⁴++xx³³+2 = +2 = gg((xx)·)·hh((xx) ) mit mit gg((xx) höchstens vom Grad 3...) höchstens vom Grad 3...

(9)

Der Kronecker-Algorithmus 3 Der Kronecker-Algorithmus 3

 Beobachtung: Der TI-89 schafft i. a. nur Beobachtung: Der TI-89 schafft i. a. nur quadratische Faktoren (wie Newton).

quadratische Faktoren (wie Newton).

 Wie finden wir kubische Faktoren nach Wie finden wir kubische Faktoren nach Kronecker?

Kronecker?

 Idee: Da Idee: Da gg((xx) Teiler von ) Teiler von ff((xx), sind auch die ), sind auch die (ganzen) Zahlen

(ganzen) Zahlen gg((xx_i_i) Teiler von ) Teiler von ff((xx_i_i) für die ) für die ganzzahligen Stützstellen

ganzzahligen Stützstellen xx_i_i..

(10)

Der Kronecker-Algorithmus 4 Der Kronecker-Algorithmus 4

 Beispiel: Beispiel: ff((xx) = ) = xx⁷⁷+2+2xx⁴⁴++xx³³+2 +2

 Ansatz:Ansatz: gg((xx) = ) = xx³³+a+axx²²+b+bxx+c +c

 xx-Werte:-Werte: -1-1 00 11

 ff((xx_i_i)) 22 22 66

 g(g(xx_i_i)) ±1,±2±1,±2±1,±2±1,±2±1,±2±1,±2

±3,±6

 Damit sind 4·4·8 = 128 bzw. 64 Fälle möglich Damit sind 4·4·8 = 128 bzw. 64 Fälle möglich (je zwei bis auf das Vorzeichen gleich)

(je zwei bis auf das Vorzeichen gleich)

(11)

Der Kronecker-Algorithmus 5 Der Kronecker-Algorithmus 5

 GleichungssystemGleichungssystem g g((xx_i_i) = ) = xx_i_i³³+a+axx_i_i²²+b+bxx_i_i+c+c für die Stützstellen

für die Stützstellen xx_i_i lösen. lösen.

 liefert die Koeffizienten a, b und c. liefert die Koeffizienten a, b und c.

 Schauen, ob dann Schauen, ob dann gg((xx) Teiler von ) Teiler von ff((xx) ist.) ist.

a b c

















1 0 1















 1 2

1 2 1

1 0 1

0 2 0

















1, 2

1,2,3,6

















(12)

Der Kronecker-Algorithmus 6 Der Kronecker-Algorithmus 6

 Realisierung mit TI-Basic (ca. 12 Sekunden):Realisierung mit TI-Basic (ca. 12 Sekunden):

(13)

Der Kronecker-Algorithmus 7 Der Kronecker-Algorithmus 7

 Fazit: Der Kronecker-Algorithmus ist für die Fazit: Der Kronecker-Algorithmus ist für die Computer-Praxis untauglich.

Computer-Praxis untauglich.

 Schuld sind die vielen möglichen Teiler.Schuld sind die vielen möglichen Teiler.

 Eine Verbesserung ergibt sich, wenn man Eine Verbesserung ergibt sich, wenn man nicht über Z, sondern über Z

nicht über Z, sondern über Z_p_p ( (pp prim) prim) faktorisiert, muss nachher aber „liften“.

faktorisiert, muss nachher aber „liften“.

 ff₂₂((xx) = ) = xx⁷⁷++xx³³= = xx³³((xx⁴⁴+1) +1)  ( (xx³³+2+2)()(xx⁴⁴+1) +1)

(14)

„ „ Inside CAS“ Inside CAS“

Teil I: Polynome faktorisieren Teil I: Polynome faktorisieren

 Kronecker-Algorithmus im Ring Z[x]Kronecker-Algorithmus im Ring Z[x]

Berlekamp-Algorithmus in ZBerlekamp-Algorithmus in Z_p_p[x][x]

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Der Berlekamp-Algorithmus 1 Der Berlekamp-Algorithmus 1

 Elwyn Berlekamp Elwyn Berlekamp (geb. 1940)

(geb. 1940)

 Studium der Studium der Elektrotechnik Elektrotechnik

 Professor der Professor der Mathematik in Mathematik in

Berkeley Berkeley

 1967: Berlekamp-1967: Berlekamp- Algorithmus

Algorithmus

(16)

Der Berlekamp-Algorithmus 2 Der Berlekamp-Algorithmus 2

 Voraussetzungen für den Algorithmus:Voraussetzungen für den Algorithmus:

 Koeffizienten der Polynome werden Koeffizienten der Polynome werden modulomodulo einer Primzahl gerechnet.

einer Primzahl gerechnet.

 Polynome sind Polynome sind normiertnormiert, d.h. der Koeffizient , d.h. der Koeffizient der höchsten Potenz ist 1.

der höchsten Potenz ist 1.

 Polynome sind Polynome sind quadratfreiquadratfrei, d.h. keine Fakto-, d.h. keine Fakto- ren kommen mehrfach vor. {ggT(

ren kommen mehrfach vor. {ggT(ff((x),x),ff‘(‘(xx))=1}))=1}

 Beispiel: Beispiel: ff((xx) = x) = x⁷⁷+2x+2x⁴⁴++xx³³+2+2 ist quadratfreies, ist quadratfreies, normiertes, univariates Polynom über Z

normiertes, univariates Polynom über Z

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Der Berlekamp-Algorithmus 3 Der Berlekamp-Algorithmus 3

 Grundidee des Berlekamp-Algorithmus:Grundidee des Berlekamp-Algorithmus:

Um Teilerpolynome

Um Teilerpolynome ff_i_i((xx) von ) von ff((xx) zu ) zu finden, bestimmen wir Polynome

finden, bestimmen wir Polynome gg((xx), so ), so dass ggT(

dass ggT(ff((xx), ), gg((xx))= ))= ff_i_i((xx) gilt.) gilt.

 Aber: Wie findet man die Polynome Aber: Wie findet man die Polynome gg((xx)?)?

Ohne Herleitung: Man muss zuerst die Ohne Herleitung: Man muss zuerst die

Berlekamp-Matrix

Berlekamp-Matrix aufstellen... aufstellen...

(18)

Der Berlekamp-Algorithmus 4 Der Berlekamp-Algorithmus 4

 ... und die Berlekamp-Matrix sieht ... und die Berlekamp-Matrix sieht

folgendermassen aus (TI89: in ca.10 s) folgendermassen aus (TI89: in ca.10 s)

 Beispiel: Beispiel: ff₇₇((xx) = ) = xx⁷⁷+2+2xx⁴⁴++xx³³+2 in Z+2 in Z₇₇[x][x]

(19)

Der Berlekamp-Algorithmus 5 Der Berlekamp-Algorithmus 5

 Die Berlekamp-Matrix Die Berlekamp-Matrix BB ist so definiert: ist so definiert:

x⁰ mod f₇(x)

x⁷ mod f₇(x) x¹⁴ mod f₇(x) x²¹ mod f₇(x) x²⁸ mod f₇(x) x³⁵ mod f7(x) x⁴² mod f₇(x)

(20)

Der Berlekamp-Algorithmus 6 Der Berlekamp-Algorithmus 6

 Im nächsten Schritt wird der Kern von B-E Im nächsten Schritt wird der Kern von B-E mit dem sog. „Nullraumalgorithmus“

mit dem sog. „Nullraumalgorithmus“

bestimmt. (z.B. mit Maple) bestimmt. (z.B. mit Maple)

 Mit den Komponenten der Basisvektoren Mit den Komponenten der Basisvektoren werden Polynome

werden Polynome hhi_i((xx) gebildet:) gebildet:

 hh₁₁((xx) = ) = xx⁴⁴ + 6 + 6

hh₂₂((xx) = ) = xx⁵⁵ + + xx³³ + 6 + 6xx hh₃₃((xx) = ) = xx⁶⁶ +3 +3xx³³ + 2 + 2

(21)

Der Berlekamp-Algorithmus 7 Der Berlekamp-Algorithmus 7

 Die Dimension Die Dimension dd der Basis liefert dabei gerade die der Basis liefert dabei gerade die Anzahl

Anzahl irreduziblerirreduzibler Faktoren. Faktoren.

 Diese möglichen Faktoren Diese möglichen Faktoren ff_ii(x) erhalten wir durch (x) erhalten wir durch Berechnung der ggT(

Berechnung der ggT(ff((xx), ), hhi_i((xx)-c) = g)-c) = gi_i(x(x))

 Sobald wird Sobald wird d d Faktoren gefunden haben, Faktoren gefunden haben, terminiert der Algorithmus.

terminiert der Algorithmus.

 gg1₁((xx) = ) = xx²²+4x+4x+1+1, gg2₂((xx) = ) = xx³+2+2, g, g3₃((xx) = x) = ⁴+1, wobei aber

wobei aber xx⁴⁴+1=(+1=(xx²²+4+4xx+1)(+1)(xx²²+3+3xx+1) mod 7 noch +1) mod 7 noch zerlegt werden kann

zerlegt werden kann

(22)

Der Berlekamp-Algorithmus 8 Der Berlekamp-Algorithmus 8

 Die Faktorisierung über ZDie Faktorisierung über Z₇₇ lautet: lautet:

ff7₇((xx) = () = (xx³+2)+2)(x(x²²+4x+1)(x+4x+1)(x²²+3x+1) +3x+1)

 Weitere Beispiele:Weitere Beispiele:

ff₅₅((xx) = () = (xx²+2)+2)(x(x²²+2+2xx+4)(x+4)(x²²+3)(x+3) +3)(x+3) ff13₁₃((xx) = () = (xx³+2)+2)(x(x²²+8)(x+8)(x²²+5)+5)

ff29₂₉((xx) = () = (xx²²+17)(+17)(xx²²+12)(+12)(xx²²+3+3xx+9)(+9)(xx+26)+26) ff₉₉₁₉₉₁((xx) = () = (xx³+2)+2)((xx²²+571+571xx+1)(+1)(xx²²+420+420xx+1)+1)

(23)

„ „ Inside CAS“ Inside CAS“

Teil I: Polynome faktorisieren Teil I: Polynome faktorisieren

 Berlekamp-Algorithmus in ZBerlekamp-Algorithmus in Z_p_p[x][x]

„„Lifting“ nach Z[x]Lifting“ nach Z[x]

(24)

„ „ Lifting“ nach Z[ Lifting“ nach Z[ x x ] ]

 Wie erhalten wir aus Faktorisierungen in ZWie erhalten wir aus Faktorisierungen in Zp_p[[xx] die ] die Faktorsierung in Z[

Faktorsierung in Z[xx]?]?

 1. Idee1. Idee: Modulo eine : Modulo eine grossegrosse Primzahl Primzahl pp faktorisieren faktorisieren

 2. Idee2. Idee: Modulo eine : Modulo eine kleinekleine Primzahl Primzahl qq faktorisieren faktorisieren und dann Faktorisierung modulo

und dann Faktorisierung modulo pp==qq^t^t daraus daraus ermitteln (Hensel-Lifting)

ermitteln (Hensel-Lifting)

 In beiden Fällen: Schranke (Mignotte) für den Modul In beiden Fällen: Schranke (Mignotte) für den Modul pp finden, so dass Faktoren in Z finden, so dass Faktoren in Z_p_p[[xx] erscheinen, die ] erscheinen, die

auch in Z[x] vorkommen und dann Probedivisionen auch in Z[x] vorkommen und dann Probedivisionen

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„ „ Inside CAS“ Inside CAS“

Teil I: Polynome faktorisieren Teil I: Polynome faktorisieren

 Berlekamp-Algorithmus in ZBerlekamp-Algorithmus in Z_p_p[x][x]

 „„Lifting“ nach Z[x]Lifting“ nach Z[x]

Cantor und Zassenhaus (1980) prohabilistischCantor und Zassenhaus (1980) prohabilistisch

Multivariate Polynome (Kronecker)Multivariate Polynome (Kronecker)

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„ „ Inside CAS“ Inside CAS“

Literatur Literatur

 M. Kaplan: Computeralgebra, Springer, 2005M. Kaplan: Computeralgebra, Springer, 2005

 D. E. Knuth: Arithmetik, Springer, 2001D. E. Knuth: Arithmetik, Springer, 2001

 F. Winkler: Polynomial Algorithms in F. Winkler: Polynomial Algorithms in Computer Algebra, Springer, 1996

Computer Algebra, Springer, 1996

 Geddes, Czapor, Labahn: Algorithms for Geddes, Czapor, Labahn: Algorithms for Computer Algebra, Kluwer 1992

Computer Algebra, Kluwer 1992

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„ „ Inside CAS“ Inside CAS“

Schlussbemerkungen Schlussbemerkungen

 Hinter dem Faktorisieren steckt interessante Hinter dem Faktorisieren steckt interessante Mathematik.

Mathematik.

 Algorithmisches Faktorisieren ist nicht streng Algorithmisches Faktorisieren ist nicht streng deterministisch.

deterministisch.

 Ein Algorithmus zum Faktorisieren braucht Ein Algorithmus zum Faktorisieren braucht viel Rechenaufwand.

viel Rechenaufwand.