Aufgabe H3.1: De Broglie relativistisch (7 Punkte)

Grundlagen der Quantenmechanik und Statsitik

Ubungen: Dr. Bj¨¨ orn Eichmann

Hausaufgaben¨ ubung H3

Organisatorisches:

Die Hausaufgaben werden jeden Dienstag in der Vorlesung und auf der Homepage

www.pat.rub.de/lectures/ss19 qm stat herausgegeben. Die Abgabe erfolgt bis 12:00 und ist auch zu Zweit m¨oglich. Die L¨osungen m¨ussen mit dem Namen, Matrikelnummer und der zugeh¨origen Ubungsgruppe identifiziert werden. Jeder Aufgabenteil soll separat und jeweils in gebundener Form¨ abgegeben werden.

Aufgabe H3.1: De Broglie relativistisch (7 Punkte)

Louis de Broglie (1892 – 1987) hat sich auch um die Vermittlung mod- erner Physik an den Laien verdient gemacht.

In der Vorlesung haben wir die de Broglie-Wellenl¨ange λ = h/p eines Materi- eteilchens nicht-relativistisch hergeleitet.

(a) Leiten Sie diese Beziehung ganz analog relativistisch her.

(b) Zeigen Sie, dass die Phasengeschwindigkeit v_ph = λν und die Grup- pengeschwindigkeit v_gr = v eines Materieteilchens die Beziehung v_phv_gr=c² erf¨ullen, wobei cdie Lichtgeschwindigkeit bedeutet.

Aufgabe H3.2: Relativistische Materiewellen (13 Punkte)

Mittels der Relation p = ~k von de Broglie l¨asst sich f¨ur Materiewellen die nicht-relativistische Dispersionsrelation aus v= dω/dkzu

ω= ~

2mk²+ω0 mitω0 = konst (1) herleiten.

(a) Bestimmen Sie auf analoge Weise f¨ur relativistische Materiewellen mitp=γ mvdie resultierende Dispersionsrelation. Hinweis: Ber¨ucksichtigen Sie dabei eventuell auftauchende Integrationskon- stanten.

(b) Zeigen Sie, dass f¨ur massereiche Materiewellen, d.h. m c ~k, sich n¨aherungsweise (in 2. Ord- nung) die um den Term mc²/~ erweiterte, nicht-relativistische Dispersionsrelation ergibt.

(c) Ein Wellenpaket l¨asst sich beschreiben durch Ψ(r, t) = 1

(2π)^3/2 Z

a(k) exp (i(k·r−ω t)) d³k . (2) F¨uhren Sie damit die allgemeine Klein-Gordon Gleichung

(

−1 c²

i∂

∂t−V(r) 2

−∆+mc

~ 2)

Ψ(r, t) = 0 (3)

aus und setzen sie diese mit der relativistischen Dispersionsrelation aus Aufgabenteil (a) in Bezug.

Was erhalten sie f¨ur das skalare Potential V(r)?

(d) Zeigen Sie, dass die allgemeine Klein-Gordon Gleichung f¨ur verschwindende Potentiale und Ruhe- massen die Wellengleichung einer elektromagnetischen Welle liefert.

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