H. Stichtenoth WS 2005/06
L¨osungsvorschlag f¨ur das 10. ¨Ubungsblatt Aufgabe 39:
limx→0
x3−2
5x2−3x+ 2 = 03−2
5·02−3·0 + 2 = −1;
x→−∞lim x4 5x3−4
[∞∞]
= lim
x→−∞
x 5− x43
= −∞;
limx→3
x2−9 x−3
[00]
= lim
x→3
(x−3)·(x+ 3)
x−3 = lim
x→3(x+ 3) = 6;
xlim→3+
1
x−3 = ∞ und lim
x→3−
1
x−3 = −∞.
Aufgabe 40: Das Polynomp:R→R mit x7→x2+x−12 = (x−3)·(x+ 4) ist in R stetig und p(x) = 0 ⇐⇒ x=−4 oder x= 3
p(x)>0 ⇐⇒ x∈(−∞,−4)∪(3,∞) p(x)<0 ⇐⇒ x∈(−4,3).
f1(x) = x2·ex2+x−12, Df1 =R,
f1(x) = 0 ⇐⇒ x= 0;
f2(x) = √
x2 +x−12, Df2 = (−∞,−4]∪[3,∞),
f2(x) = 0 ⇐⇒ x=−4 oder x= 3;
f3(x) = 2 (x2+x−12)3, Df3 =R,
f3(x) = 0 ⇐⇒ x=−4 oder x= 3;
f4(x) = x·ln (x2+x−12),
Df4 = (−∞,−4)∪(3,∞),
f4(x) = 0 ⇐⇒ x= 06∈Df4 oder ln (x2+x−12) = 0, x2+x−12 = 1, x2+x−13 = 0,
x= −1−2√53 oder x= −1+2√53;
f5(x) = x2−9
x2+x−12, Df5 =R\ {−4,3},
f5(x) = 0 ⇐⇒ x2−9 = (x+ 3)·(x−3) = 0, x=−3∈Df5 oder x= 3 6∈Df5, x=−3.
1
2
Nach dem Satz 11.31 (Stetigkeit und algebraische Rechenoperationen) sind alle Funktionenf1, f2,f3,f4 und f5 stetig in ihren Definitionsbereichen, weil die Polynome, die Wurzelfunktion, die Exponentialfunktion und der Logarithmus stetig sind.
Aufgabe 41:
a) f1(x) :=
1
2x+ 1 f¨ur x <2,
−x+ 5 f¨ur x≥2;
xlim→2−f1(x) = lim
x→2−
1 2x+ 1
= 2 und lim
x→2+f1(x) =f1(2) = 3 Da lim
x→2−f1(x)6= lim
x→2+f1(x), ist die Funktion f1 an der Stellex= 2 unstetig (Sprung).
b) f2(x) :=
( x2−9
x−3 f¨ur x6= 3, 1 f¨ur x= 3;
xlim→3 f2(x) = lim
x→3
x2−9 x−3
Auf. 39
= 6
Da lim
x→3f2(x) 6= f2(3) = 1, ist die Funktion f2 an der Stelle x = 3 unstetig (L¨ucke – ”hebbare Unstetigkeitsstelle”).
c) f3(x) :=
e−x−13 f¨ur x6= 3, 0 f¨ur x= 3;
xlim→3−f3(x) = lim
x→3− e−x−13 Auf. 39⇒[e
∞]
= ∞ und lim
x→3+f3(x) = lim
x→3+e−x−13 Auf. 39⇒[e−∞]
= 0
Da lim
x→3−f3(x)6= lim
x→3+f3(x), ist die Funktion f3 an der Stellex= 3 unstetig (einseitige Polstelle).
d) f4(x) :=
( e−
1
(x−3)2 f¨ur x6= 3, 0 f¨ur x= 3;
xlim→3−f4(x) = lim
x→3− e−(x−13)2 [e−∞]
= 0 und lim
x→3+f4(x) = lim
x→3+e−(x−13)2 [e−∞]
= 0
Da lim
x→3−f4(x) = lim
x→3+f4(x) = f4(3), ist die Funktion f4 an der Stellex= 3 stetig.
3
Aufgabe 42: Sei das Polynom p(x) =x5−2x4−2x2+ 2 gegeben.
p(−1) = (−1)5−2·(−1)4−2(−1)2 + 2 = −1−2−2 + 2 = −3 < 0, p(0) = 05−2·04−2·02+ 2 = 2 > 0,
p(1) = 15−2·14−2·12+ 2 = 1−2−2 + 2 = −1 < 0,
p(10) = (10)5−2·(10)4−2·(10)2+ 2 = 100 000−2·10 000−2·100 + 2 = 79 802 > 0.
Nach dem Nullstellensatz hat das Polynom mindestens eine Nullstelle im Intervall (−1,0), mindestens eine Nullstelle im Intervall (0,1) und mindestens eine Nullstelle im Intervall (1,10).
