(1)Kontrahierende Abbildung Eine Abbildung g : D →D, D ⊆Rn, ist kontrahierend, wenn in einer geeigneten Norm kg(x)−g(y)k ≤ckx−yk, x,y ∈D, mit c <1 gilt

Kontrahierende Abbildung Eine Abbildung

g : D →D, D ⊆Rⁿ, ist kontrahierend, wenn in einer geeigneten Norm

kg(x)−g(y)k ≤ckx−yk, x,y ∈D, mit c <1 gilt.

Die Konstante c wird als Kontraktionskonstante vong bezeichnet. Sie kann f¨ur eine konvexe MengeD mit Hilfe der Jacobi-Matrix durch

c ≤sup

x∈D

kg⁰(x)k

abgesch¨atzt werden mit der Matrixnorm kJk= max_kxk=1kJxk.

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Beispiel

Richardson-Iteration zur L¨osung eines linearen GleichungssystemsAx =b f¨ur eine symmetrische positiv definite Matrix: A

x 7→g(x) =x−ω(Ax−b)

kontrahierend, falls ω gen¨ugend klein gew¨ahlt wird Begr¨undung:

g(x)−g(y) =Q(x−y), Q=E−ωA Eigenwerte von Q:

%_k = 1−ωλ_k mit λ_k >0 den Eigenwerten vonA

ω = 1/maxkλk =⇒ %k ≥0 und c =kQk= max

k %k = 1−(min

k λk)/(max

k λk)<1

bei Verwendung der der euklidischen Norm zugeordneten Matrixnormk k

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