Zahlenfolgen und Zahlenreihen

Übungsaufgaben 3

Zahlenfolgen und Zahlenreihen

Aufgabe 1. Man zeige, daß die Reihe Pn kD1

Qm

`D0 1 kC`

reeller Zahlen für beliebig vorgegebenesm2N im Grenzprozeßn! 1gegen die Summe _m¹_mŠ konvergiert! ± Lösung. 1. Seim 2 N beliebig vorgegeben. Quotienten- bzw. Wurzelkriterium versa- gen bei der Entscheidung, ob die Reihe konvergiert oder nicht. Jedoch ist die direk- te Berechnung der Teilsummen durch vorhergehende Zerlegung der Summanden in Teilbrüche möglich: Für jedesk 2N gilt zunächst

m

Y

`D0

1

kC` D kCm m

m

Y

`D0

1 kC`

k m

m

Y

`D0

1

kC` D 1 m

m 1

Y

`D0

1 kC`

1 m

m

Y

`D1

1 kC`: Eine Indexverschiebung im ersten Produkt auf der rechten Seite liefert somit

m

Y

`D0

1

kC` D 1 m

m

Y

`D1

1 kC` 1

1 m

m

Y

`D1

1

kC` für jedesk2 N:

2. Daraus folgt für jedesn 2 N durch Summation überk 2 f1; : : : ; ngund Index- verschiebung in der ersten Summe auf der rechten Seite

n

X

kD1 m

Y

`D0

1

kC` D 1 m

n

X

kD1 m

Y

`D1

1 k 1C`

1 m

n

X

kD1 m

Y

`D1

1 kC`

D 1 m

n 1

X

kD0 m

Y

`D1

1 kC`

1 m

n

X

kD1 m

Y

`D1

1

kC` D 1 m

m

Y

`D1

1

` 1 m

m

Y

`D1

1 nC`: Wegen der Grenzwertbeziehung

0 lim

n!1

1 m

m

Y

`D1

1

nC` lim

n!1

1

m.nC1/^m D0 ergibt sich demzufolge die Konvergenz der Reihe Pn

kD1

Qm

`D0 1 kC`

gegen die Summe

1

X

kD1 m

Y

`D0

1

kC` D 1 mmŠ

für jedes festgehaltenem2 N.

Aufgabe 2. Man weise nach, daß die Reihe Pn

kD0akx^2k

bzw. Pn

kD0bkx^2kC1 mit den durchak D ^{. 1/}_.2k/Š^k bzw.bk D _.2k^{. 1/}_C1/Š^k fürk2 N[ f0gdefinierten Koeffizienten für jedesx 2Kjeweils absolut gegen eine endliche Summe

(1) c.x/D

1

X

kD0

akx^2k 2K bzw. s.x/D

1

X

kD0

bkx^2kC1 2K

konvergiert und schließe durch Multiplikation solcher Reihen darauf, daß die durch diese Grenzwerte definierten Funktionenc,s WK!Kden Additionstheoremen

c.x Cy/Dc.x/c.y/ s.x/s.y/ sowie s.xCy/Ds.x/c.y/Cc.x/s.y/

für allex,y 2Kgenügen! ³

Lösung. 1. Die Reihe Pn

kD0akx^2k

bzw. Pn

kD0bkx^2kC1

konvergiert aufgrund des Quotientenkriteriums für jedesx 2Kabsolut, denn es gilt

klim!1

.2k/Šjxj^2kC2

.2kC2/Šjxj^2k D lim

k!1

jxj²

.2kC1/.2kC2/ D0 < 1 bzw.

klim!1

.2kC1/Šjxj^2kC3

.2kC3/Šjxj^2kC1 D lim

k!1

jxj²

.2kC2/.2kC3/ D0 < 1:

2. Die Reihe Pn kD0

Pk

mD0amx^2mak my^{2.k m/}

der Cauchy-Produkte konvergiert wegen Schritt 1 für allex,y 2Kabsolut gegen das Produkt

c.x/c.y/D

1

X

kD0 k

X

mD0

. 1/^m

.2m/Š x^2m . 1/^{k m}

.2k 2m/Šy^{2k 2m} D1C

1

X

kD1

. 1/^k .2k/Š

k

X

mD0

2k 2m

x^2my^{2k 2m} der durch (1) definierten Summen.

3. Die Reihe Pn kD0

Pk

mD0bmx^2mC1bk my^{2.k m/C1}

der Cauchy-Produkte konver- giert wegen Schritt 1 für allex,y 2Kabsolut gegen das Produkt

s.x/s.y/D

1

X

kD0 k

X

mD0

. 1/^m

.2mC1/Šx^2mC1 . 1/^{k m}

.2k 2mC1/Šy^{2k 2mC1} D

1

X

kD0

. 1/^kC1 .2kC2/Š

k

X

mD0

2kC2 2mC1

x^2mC1y^{2kC2 .2mC1/}

D

1

X

kD1

. 1/^k .2k/Š

k 1

X

mD0

2k 2mC1

x^2mC1y^{2k .2mC1/}

der durch (1) definierten Summen, wobei der Indexkverschoben wurde.

4. Aus Schritt 2 und 3 folgt durch Subtraktion c.x/c.y/ s.x/s.y/D1C

1

X

kD1

. 1/^k .2k/Š

2k

X

`D0

2k

`

x^{`</sup>y<sup>2k `}

D1C

1

X

kD1

. 1/^k

.2k/Š .xCy/^2k D

1

X

kD0

. 1/^k

.2k/Š .x Cy/^2k Dc.xCy/

aufgrund der binomischen Formel.

5. Die Reihe Pn kD0

Pk

mD0bmx^2mC1ak my^{2.k m/}

der Cauchy-Produkte konver- giert wegen Schritt 1 für allex,y 2Kabsolut gegen das Produkt

s.x/c.y/D

1

X

kD0 k

X

mD0

. 1/^m

.2mC1/Šx^2mC1 . 1/^{k m}

.2k 2m/Šy^{2k 2m} D

1

X

kD0

. 1/^k .2kC1/Š

k

X

mD0

2kC1 2mC1

x^2mC1y^{2kC1 .2mC1/}

der durch (1) definierten Summen.

6. Die Reihe Pn kD0

Pk

mD0amx^2mbk my^{2.k m/C1}

der Cauchy-Produkte konver- giert wegen Schritt 1 für allex,y 2Kabsolut gegen das Produkt

c.x/s.y/D

1

X

kD0 k

X

mD0

. 1/^m

.2m/Š x^2m . 1/^{k m}

.2k 2mC1/Šy^{2k 2mC1} D

1

X

kD0

. 1/^k .2kC1/Š

k

X

mD0

2kC1 2m

x^2my^{2kC1 2m} der durch (1) definierten Summen.

7. Aus Schritt 5 und 6 erhält man durch Addition s.x/c.y/Cc.x/s.y/D

1

X

kD0

. 1/^k .2kC1/Š

2kC1

X

`D0

2kC1

`

x^{`</sup>y<sup>2kC1 `}

D

1

X

kD0

. 1/^k

.2kC1/Š.x Cy/^2kC1 Ds.xCy/

mit Hilfe der binomischen Formel.

Aufgabe 3. Seien reelle Zahlena1,b1 2Rmit0 < a1 b1 beliebig vorgegeben und die beiden Folgen.an/und.bn/reeller Zahlen durch

anC1 D 2anbn

anCbn

sowie bnC1 D anCbn

2 fürn2N definiert:

1. Man weise nach, daß die beiden Relationen

0 < an anC1 bnC1 bn und anbnDa1b1 für allen2N gelten!

2. Man schließe daraus, daß die beiden Folgen.an/und.bn/jeweils gegen densel- ben Grenzwertp

a1b1konvergieren! ±

Lösung. 1.1. Die beiden Relationen 0 < an bn undanbn D a1b1 sollen induktiv übern2N bewiesen werden:

Induktionsanfang:Im FallenD1gilt0 < anbnundanbnDa1b1.

Induktionsschritt: Unter der Annahme, daß 0 < an bn sowie anbn D a1b1 für ein n 2 N gelten, sollen die Relationen 0 < anC1 bnC1 und anC1bnC1 D a1b1

hergeleitet werden: Wegen der Relation

.anCbn/² Da_n²C2anbnCb_n² D.an bn/²C4anbn4anbn

und der Induktionsvoraussetzung0 < anbnerhält man somit 0 < anC1D 2anbn

anCbn anCbn

2 DbnC1: Die Induktionsvoraussetzunganbn Da1b1liefert außerdem

anC1bnC1 D 2anbn

anCbn anCbn

2 DanbnDa1b1; womit beide Induktionsbehauptungen bewiesen sind.

1.2. Aus0 < anbnfolgen für jedesn2N die Beziehungen anC1 D 2anbn

anCbn 2anbn

bnCbn Dan und bnC1 D anCbn

2 bnCbn

2 Dbn: 2.1. Die Ergebnisse aus Schritt 1 zeigen, daß die Folge .an/monoton wächst und nach oben durchb1 > 0beschränkt ist und die Folge.bn/monoton fällt und nach unten durcha1 > 0beschränkt ist. Damit konvergiert einerseits die Folge.an/gegen einen Grenzwerta 2Rmita1 a b1 und andererseits die Folge.bn/gegen einen Grenzwertb 2 Rmita1 bb1. Durch den Grenzprozeßn! 1in

bnC1D anCbn

2 ergibt sich b D aCb

2 und demzufolge aDb:

2.2. Der Grenzprozeßn ! 1liefertab Dlimn!1anbn Da1b1und somit wegen aDb > 0schließlichaDbDp

a1b1als Grenzwert beider Folgen.an/und.bn/.

Aufgabe 4. Man weise nach, daß die Reihe Pn kD0

1 .3kC1/.3kC4/

reeller Zahlen kon- vergiert und berechne ihre Summe!

Lösung. Sowohl Quotienten- als auch Wurzelkriterium versagen bei der Entschei- dung, ob die Reihe konvergiert oder nicht. Jedoch ist die direkte Berechnung der Teilsummen durch vorhergehende Zerlegung der Summanden in Teilbrüche erfolg- reich: Im Teilbruchansatz

1

.3kC1/.3kC4/ D a

3kC1 C b

3kC4 fürk2 N[ f0g

sollen die unbekannten Koeffizienten a 2 R und b 2 R bestimmt werden: Es gilt dann.3kC4/aC.3kC1/bD1für allek 2N [ f0g, woraus sich durch Koeffizien- tenvergleich vor den Termen gleicher Ordnung inksofortaCbD0sowie4aCbD1 ergibt. Daraus folgtaD ¹₃ undb D ¹₃. Mit Hilfe einer Indexverschiebung folgt

n

X

kD0

1

.3kC1/.3kC4/ D 1 3

n

X

kD0

1 3kC1

1 3

n

X

kD0

1 3kC4

D 1 3

n

X

kD0

1 3kC1

1 3

nC1

X

kD1

1

3kC1 D 1 3

1 3.3nC4/

für allen2N. Wegen limn!1 1

3.3nC4/ D0konvergiert die Reihe Pn kD0

1 .3kC1/.3kC4/

gegen die SummeP1 kD0

1

.3kC1/.3kC4/ D ¹₃.

Aufgabe 5. Man zeige, daß die durch a`D

1C 1

` <sup>`</sup>

bzw. b` D

`

X

mD0

1

mŠ für`2N

definierten Folgen.a`/und.b`/reeller Zahlen konvergieren und den gleichen Grenz- wert besitzen!

Lösung. 1. Da für` 2N stets1 <sub>`</sub>¹2 0gilt, liefert die Bernoulli-Ungleichung

1C 1

` `

1 1

` `

D

1 1

`<sup>2</sup> `

1 1

` und a` D

1C 1

` `

1 1

` 1 `

:

Daraus folgt das monotone Wachstum der Folge.a`/vermöge a`

1 1

` <sup>1 `</sup>

D `

` 1 <sup>` 1</sup>

D

1C 1

` 1 <sup>` 1</sup>

Da` 1 für alle` 2N,`2:

Da für alle` 2 N offenbar auchb`C1 DP`C1 mD0

1

mŠ D b`C <sub>.`C</sub>¹_1/Š b`gilt, ist auch die Folge.b`/monoton wachsend.

2. Für alle`2 N folgt aufgrund der binomischen Formel a` D

1C 1

` <sup>`</sup>

D

`

X

mD0

` m

1

`^m D1C

`

X

mD1

1

`^m

m

Y

kD1

` kC1 k D1C

`

X

mD1

1 mŠ

m

Y

kD1

` kC1

` D1C

`

X

mD1

1 mŠ

m

Y

kD1

1 k 1

`

`

X

mD0

1

mŠ Db`:

3. Daraus ergibt sich wegenmŠ2^{m 1}und der geometrischen Summenformel a` b`D1C

`

X

mD1

1

mŠ 1C

`

X

mD1

1

2^{m 1} D1C

` 1

X

mD0

1

2^m D1C2

1 1

2^`

3 für alle`2N. Also konvergieren die monoton wachsenden und beschränkten Folgen .a`/und.b`/jeweils gegen einen Grenzwerta2Rbzw.b 2Rmitab 3.

4. Aus der Rechnung von Schritt 2 ist ersichtlich, daß 1C

n

X

mD1

1 mŠ

m

Y

kD1

1 k 1

`

1C

`

X

mD1

1 mŠ

m

Y

kD1

1 k 1

`

Da`

für allen,` 2N mitn`gilt. Hält mann2N fest, dann folgt daraus wegen

`lim!1 1C

n

X

mD1

1 mŠ

m

Y

kD1

1 k 1

` !

D1C

n

X

mD1

1 mŠ Dbn

und lim`!1a` D aim Grenzprozeß ` ! 1die Relation bn afür jedesn 2 N.

Somit liefert Schritt 3 schließlich b D limn!1bn a b, also a D b. Dieser

Grenzwert wird alsEuler-Zahle2 Rbezeichnet.

Aufgabe 6. Sei a1 2 R mit a1 0 vorgeben und eine Folge .ak/ reeller Zahlen durchakC1 Dp

ak C2fürk2 N definiert. Man zeige, daß die Folge.ak/monoton, beschränkt und damit konvergent ist und berechne ihren Grenzwert!

Lösung. 1. Man zeigt induktiv, daßak 0für jedesk2 Ngilt, denn nach Vorausset- zung gilta1 0. Giltak 0für eink 2N, dann folgt darausakC1 Dp

ak C20.

2. Außerdem ergibt sich aus der DefinitionakC1 Dp

akC2die Beziehung .akC1 2/.akC1C2/Da_k²_C1 4D.ak C2/ 4Dak 2 für allek 2N; was zu einer Unterscheidung der beiden Fällea1 2und0a1 2Anlaß gibt:

2.1. Im Falle a1 2 folgt aus der induktiven Annahme, daß ak 2 0 für ein k 2 N gilt, wegen Schritt 1 und 2 stetsakC1 2 D _ak^{ak 2}

C1C2 0, das heißt, es gilt im Fallea1 2auchak 2für jedesk2N. Daraus folgtakC1 2D _ak^{ak 2}

C1C2 ak 2, alsoakC1 ak für jedesk2 N.

2.2. Im Falle 0 a1 2 folgt aus der induktiven Annahme, daß ak 2 0 für eink 2 N gilt, wegen Schritt 1 und 2 stetsakC1 2D _akC1^ak _C²₂ 0, also im Falle 0a12auch0ak 2für jedesk 2N. Daraus folgtakC1 2D _akC1^ak _C²₂ ak 2 und somitakC1 ak für allek 2N.

3. Somit ist gezeigt, daß.ak/in jedem Falle eine monotone, beschränkte und somit konvergente Folge reeller Zahlen ist. Ist a D limk!1ak 0 ihr Grenzwert, dann liefert der Grenzprozeßk ! 1 ina²_kC1 D ak C2 die Beziehung a² D aC2, das heißt,.aC1/.a 2/D0, woraus wegena0schließlichaD2folgt.

Aufgabe 7. Man zeige, daß die Identität

n

X

kD1

k

2^k D2 nC2

2ⁿ für jedesn2N gilt;

schließe daraus auf die Konvergenz der Reihe Pn kD1

k 2^k

und berechne ihre Summe!

Lösung. 1. Zunächst soll durch vollständige Induktion über n 2 N gezeigt werden, daß die IdentitätPn

kD1 k

2^k D2 ⁿ₂^Cn² gilt:

Induktionsanfang:FürnD1gilt in der TatP1 kD1

k

2^k D ¹₂ D2 ³₂.

Induktionsschritt:Unter der Annahme der Induktionsvoraussetzung, daß die Iden- tität für einn2N gilt, soll deren Gültigkeit fürnC1gezeigt werden: Es gilt

nC1

X

kD1

k 2^k D

n

X

kD1

k

2^k C nC1

2^nC1 D2 nC2

2ⁿ C nC1

2^nC1 D2 nC3 2^nC1 ; womit der Induktionsbeweis erbracht ist.

2. Da die Folge ²_nⁿ`

für jedes ` 2 Zbestimmt divergent ist und limn!1 2<sup>n</sup> n<sup>`</sup> D 1 gilt, folgt daraus limn!1 n^`

2ⁿ D 0für alle` 2 Zund somit die Konvergenz der Reihe Pn

kD1 k 2^k

gegen die SummeP1 kD1

k

2^k Dlimn!1 2 ⁿ₂^Cn²

D2.

Aufgabe 8. 1. Man weise die Identität

n

X

kD1

kx^{k 1} D 1 .nC1/xⁿCnx^nC1

.1 x/² für jedesx 2K,x¤1undn2N nachŠ 2.1. Man zeige, daß die Reihe Pn

kD1kx^{k 1}

für allex2 Kmitjxj> 1divergiert!

2.2. Man beweise, daß die Reihe Pn

kD1kx^{k 1}

für jedesx 2 Kmitjxj < 1 kon- vergiert und berechne ihre Summe!

Lösung. 1. Seix 2Kbeliebig gegeben undn2 N. Dann erhält man durch Indexver- schiebungen in der ersten und dritten Summe auf der rechten Seite der Identität

.1 x/²

n

X

kD1

kx^{k 1} D

n

X

kD1

kx^{k 1}

n

X

kD1

2kx^k C

n

X

kD1

kx^kC1

D

n 1

X

kD0

.kC1/x^k

n

X

kD1

2kx^k C

nC1

X

kD2

.k 1/x^k

D

n

X

kD1

.kC1/ 2kC.k 1/

x^k C1 .nC1/xⁿCnx^nC1 und somit

.1 x/²

n

X

kD1

kx^{k 1} D1 .nC1/xⁿCnx^nC1:

Da im Falle x ¤ 1 stets .1 x/² ¤ 0gilt, folgt daraus durch Multiplikation mit .1 x/ ² 2Kdie Identität

n

X

kD1

kx^{k 1} D 1 .nC1/xⁿCnx^nC1

.1 x/² für allen2 N:

2.1. Im Fallejxj> 1gilt limn!1jxjⁿD 1und limn!1jn.x 1/ 1j D 1, also

nlim!1jnx^nC1 .nC1/xⁿj D lim

n!1jxjⁿjn.x 1/ 1j D 1;

und demnach limn!1

ˇ ˇ

Pn

kD1kx^{k 1}ˇ

ˇD 1aufgrund von Schritt 1, woraus die Diver- genz der Reihe Pn

kD1kx^{k 1} folgt.

2.2. Im Falle0 <jxj< 1gilt _j¹_xj > 1und somit

nlim!1

1

jxjⁿ D 1 sowie lim

n!1

1

njxjⁿ D 1 und damit auch lim

n!1

1

njxj^nC1 D 1;

woraus sich limn!1jxjⁿ Dlimn!1njxjⁿ Dlimn!1njxj^nC1 D0ergibt, was auch im Fallex D0stimmt. Daraus folgt mit Schritt 1, daß die Reihe Pn

kD1kx^{k 1} gegen

1

X

kD1

kx^{k 1} D 1 .1 x/²

konvergiert.

Alternative Lösung. 2. Für jedesx 2 K,x ¤ 0konvergiert der absolute Betrag auf- einanderfolgender Summanden der Reihe Pn

kD1kx^{k 1}

gegen den Grenzwert lim

k!1

.kC1/jxj^k

kjxj^{k 1} D lim

k!1

1C 1

k

jxj D jxj:

2.1. Im Falle x 2 K,jxj > 1 folgt daraus die Divergenz der Reihe Pn

kD1kx^{k 1} mit Hilfe des Quotientenkriteriums.

2.2. Im Fallex 2K,jxj< 1erhält man daraus aufgrund des Quotientenkriteriums die Konvergenz der Reihe Pn

kD1kx^{k 1}

. Da die geometrische Reihe Pn kD0x^k

für jxj < 1absolut gegen die Summe

1

X

kD0

x^k D 1 1 x konvergiert, muß die Reihe Pn

kD0

Pk

mD0x^mx^{k m}

der Cauchy-Produkte absolut ge- gen das Produkt

1

X

kD1

kx^{k 1} D

1

X

kD0

.kC1/x^k D

1

X

kD0 k

X

mD0

x^mx^{k m} D

1

X

mD0

x^m

1

X

kD0

x^k D 1 .1 x/²

der geometrischen Summen konvergieren.

Aufgabe 9. Man zeige, daß die Reihe Pn kD1

1 k.kC1/.kC2/

reeller Zahlen konvergiert und berechne ihre Summe!

Lösung. Eine direkte Berechnung der Teilsummen durch vorhergehende Zerlegung der Summanden in Teilbrüche beginnt mit dem Teilbruchansatz

1

k.kC1/.kC2/ D a

k C b

kC1 C c

kC2 fürk 2N;

wobei die unbekannten Koeffizientena,b,c 2Rbestimmt werden: Daraus folgt für allek2N die Beziehung.kC1/.kC2/aCk.k C2/bCk.kC1/c D1, also

.k²C3kC2/aC.k²C2k/bC.k²Ck/c D1;

woraus sich durch Koeffizientenvergleich vor den Termen gleicher Ordnung ink so- fort2a D1,3aC2bCc D0sowieaCbCc D0ergibt. WegenaD ¹₂ folgt daraus 2bCc D ³₂ sowiebCc D ¹₂ und somitb D 1sowiec D ¹₂. Indexverschiebungen in der ersten und dritten Summe auf der rechten Seite liefern für jedesn2N

n

X

kD1

1

k.k C1/.kC2/ D

n

X

kD1

1 2k

n

X

kD1

1 kC1 C

n

X

kD1

1 2.kC2/

D

n 1

X

kD0

1 2.kC1/

n

X

kD1

1 kC1 C

nC1

X

kD2

1 2.kC1/

D 1 2

1 2.nC1/

n

X

kD1

1

2 1C1 2

1

kC1 C 1 2.nC2/

1 4 D 1

4

1

2.nC1/C 1 2.nC2/: Die Reihe Pn

kD1 1 k.kC1/.kC2/

konvergiert somit gegenP₁

kD1 1

k.kC1/.kC2/ D ¹₄. Alternative Lösung. Für jedesk2N betrachtet man die alternative Zerlegung

1

k.k C1/.kC2/ D .kC2/ k

2k.k C1/.kC2/ D 1 2k.kC1/

1

2.kC1/.kC2/: Eine Indexverschiebung in der ersten Summe auf der rechten Seite liefert

n

X

kD1

1

k.k C1/.kC2/ D

n

X

kD1

1 2k.kC1/

n

X

kD1

1

2.kC1/.kC2/

D

n 1

X

kD0

1

2.kC1/.kC2/

n

X

kD1

1

2.kC1/.kC2/

D 1 4

1

2.nC1/.nC2/

für jedes n 2 N. Demzufolge konvergiert die Reihe Pn kD1

1 k.kC1/.kC2/

gegen die SummeP1

kD1 1

k.kC1/.kC2/ D ¹₄.

Aufgabe 10. Sei eine Folge.dk/rationaler Zahlen durch d1 D2; dkC1 D dk

2 C 1 dk

für jedesk2 N definiert:

1. Man zeige, daß0 < dkC1 < dk sowied_k² > 2für jedesk2N gilt!

2. Man weise nach, daß die Folge.dk/gegen den Grenzwertp

22Rkonvergiert!

3. Man beweise, daß eskeinerationale Zahl d 2 Q mitd² D 2 gibt, mit anderen Worten, daßd Dp

22 ReineirrationaleZahl ist!

Index k 1 2 3 4 5

Näherung dk 2 3=2 17=12 577=408 665 857=470 832 Abweichung d_k² 2 2 1=4 1=144 1=166 464 1=221 682 772 224 Lösung. 1.1. Induktiv wird gezeigt, daßdk > 0undd_k²> 2für jedesk2N gilt:

Induktionsanfang:Fürk D1gilt in der Tatd1 D2 > 0undd₁² D4 > 2.

Induktionsschritt:Unter der Annahme, daß die Induktionsvoraussetzungendk > 0 sowied_k² > 2für eink2 N erfüllt sind, erhält mandkC1 D ^d₂^k C_d¹_k > 0sowie

d_k²_C1 D dk

2 C 1 dk

2

D .d_k²C2/²

4d_k² D d_k⁴C4d_k²C4 4d_k² D d_k⁴ 4d_k²C4

4d_k² C 8d_k²

4d_k² D .d_k² 2/²

4d_k² C2 > 2:

1.2. Dadk > 0undd_k² > 2für jedesk 2N gilt, ergibt sich daraus die Monotonie dkC1 D dk

2 C 1 dk Ddk

d_k² 2 2dk

< dk für allek2 N:

2. Da die Folge .dk/ monoton fallend und nach unten durch p

2 beschränkt ist, konvergiert sie gegen einen Grenzwertd p

2. Der Grenzübergangk! 1in dkC1D dk

2 C 1 dk

liefert d D d 2 C 1

d und somitd²D2, also den Grenzwertd Dp

2.

2. Angenommen, es gäbe eine rationale Zahl d 2 Q mit d² D 2, etwa mit der Darstellungd D ^a_b, wobeia,b 2 N nicht gleichzeitig gerade Zahlen sein sollen, da man ansonsten kürzen könnte. Außerdem erhielte manb ¤ 1, da es kein a 2 N mit a² D 2gibt. Aus d² D 2würde somita² D 2b² folgen, das hieße, a 2 N wäre eine gerade Zahla D 2m mitm 2 N. Man erhielte darausa² D 4m² D 2b² und somit b² D 2m², das hieße, b 2 N wäre ebenfalls eine gerade Zahl im Widerspruch zur Wahl von a, b 2 N. Die obige Annahme war daher falsch: Es gibt keine rationale Zahld 2Qmitd² D2, also istd Dp

22ReineirrationaleZahl.

Aufgabe 11. Sei.ak/eine Zahlenfolge, die gegen den Grenzwerta2 Kkonvergiert.

Man zeige, daß die durchb` D <sup>1</sup><sub>`</sub> P`

kD1ak 2 Kfür ` 2 N definierte Folge .b`/ der arithmetischen Mittelwerte ebenfalls gegen den Grenzwerta2 Kkonvergiert!

Lösung. 1. Seiı 2 Rmitı > 0beliebig fixiert. Dann gibt es wegen der Konvergenz der Folge.ak/gegena2Keink0 2N , so daßjak aj ^ı₂ für allek 2Nmitk k0

gilt. Daraus ergibt sich zunächst für alle`2N mit`k0C1die Abschätzung jb` aj D

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 1

`

`

X

kD1

ak a ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

D ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 1

`

`

X

kD1

.ak a/

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

1

`

`

X

kD1

jak aj

1

`

k0

X

kD1

jak aj C 1

`

`

X

kDk0C1

jak aj 1

`

k0

X

kD1

jak aj C ` k0

` ı 2: 2. Wählt man anschließend`0 2N derart, daß`0 ²_ı Pk0

kD1jak ajgilt, so folgt 1

`

k0

X

kD1

jak aj ı

2 für alle`2N mit` `0:

Mit der Abschätzung aus Schritt 1 ergibt sichjb` aj <sup>ı</sup><sub>2</sub> C <sup>` k</sup>_`^{0 ı}₂ ı für alle

`2N mit` maxfk0C1; `0g, also die Konvergenz der Folge.b`/gegena2K.

Aufgabe 12. Man zeige, daß für jedesb 2 Rmitb > 0jede der beiden Folgen pⁿ b und pⁿ

n

reeller Zahlen jeweils gegen den Grenzwert1konvergiert!

Lösung. 1. Für allen2 N folgt ausn 1stets pⁿ

n 1, also pⁿ

n 10. Demnach liefert die binomische Formel für allen2N mitn2die Abschätzung

nD pⁿ n 1

C1ⁿ D

n

X

kD0

n k

pn

n 1^k

n 2

pn

n 1²

D n.n 1/

2

pn

n 1² und somit0 pⁿ

n 1

p2

pn 1, also1 pⁿ

n 1C

p2

pn 1 für allen2 N mitn 2.

Wegen limn!1p1

n D0folgt daraus die Konvergenzbeziehung limn!1 ⁿ

pnD1.

2. Im Falleb2 R,b1erhält man für jedesn2N mitn bstets1 pⁿ

b pⁿ n und somit wegen limn!1 pⁿ

nD1auch limn!1

pn

b D1.

3. Im Falle b 2 R,0 < b 1ergibt sich fürd D ¹_b 1zunächst limn!1

pn

d D1 und daraus schließlich limn!1

pn

b Dlimn!1 1

np

d D1.

Aufgabe 13. Eine echt gebrochene rationale Funktion _f^' W C n fz1; : : : ; z`g ! C sei als Quotient zweier teilerfremder ganzer rationaler Funktionen' W C ! C und f W C! Cgegeben. Dabei habef die Anzahl von` 2N verschiedenen Nullstellen z1; : : : ; z` 2 Cder Ordnungen˛1; : : : ; ˛` 2N, mit anderen Worten, die Gestalt

f .x/D

`

Y

kD1

.x zk/^˛k fürx2 C;

und' WC!Chabe die Ordnungm2 N[ f0gmitm <P` kD1˛k.

Man zeige, daß es eine Darstellung der Funktion _f^' alsTeilbruchzerlegung '.x/

f .x/ D

`

X

kD1

˛k

X

jD1

akj

.x zk/^j fürx 2Cn fz1; : : : ; z`g mit Koeffizientenak1; : : : ; ak˛k 2Cfürk 2 f1; : : : ; `ggibt!

Lösung. 1. Sei die ganze rationale Funktionf1 WC!Cdurch f1.x/D

`

Y

kD2

.x zk/^˛k fürx2 C

gegeben. Dann giltf .x/ D .x z1/^˛1f1.x/ für allex 2 Csowie f1.z1/ ¤ 0. Somit existiert eina1˛1 2 C, so daß '.z1/ a1˛1f1.z1/ D 0gilt. Daher gibt es eine ganze rationale Funktion'1˛₁ WC!C, deren Ordnung kleiner alsP`

kD1˛k 1ist, so daß '.x/ a1˛1f1.x/D.x z1/ '1˛1.x/ für allex 2Cgilt:

Für allex 2Cn fz1; : : : ; z`gfolgt daraus '.x/

f .x/

a1˛1

.x z1/^˛1 D .x z1/ '1˛1.x/

.x z1/^˛1f1.x/ D '1˛1.x/

.x z1/^{˛1 1}f1.x/:

Wegenf1.z1/¤0existiert eina1˛1 1 2C, so daß'1˛1.z1/ a1˛1 1f1.z1/D0gilt.

Daher gibt es eine ganze rationale Funktion'1˛1 1WC !C, deren Ordnung kleiner alsP`

kD1˛k 2ist, so daß

'1˛1.x/ a1˛1 1f1.x/D.x z1/ '1˛1 1.x/ für allex 2Cgilt:

Daraus folgt für allex 2Cn fz1; : : : ; z`g '1˛1.x/

.x z1/^{˛1 1}f1.x/

a1˛1 1

.x z1/^{˛1 1} D .x z1/ '1˛1 1.x/

.x z1/^{˛1 1}f1.x/ D '1˛1 1.x/

.x z1/^{˛1 2}f1.x/: Fährt man in dieser Weise fort, so existiert im˛1-ten Teilschritt wegenf1.z1/¤ 0 eina11 2 C, so daß '12.z1/ a11f1.z1/D 0gilt. Daher gibt es eine ganze rationale Funktion'1 WC!Cder Ordnungm1 2N [ f0gmitm1 <P`

kD2˛k, so daß '12.x/ a11f1.x/D.x z1/ '1.x/ für allex 2Cgilt:

Daraus folgt für allex 2Cn fz1; : : : ; z`g '12.x/

.x z1/f1.x/

a11

x z1 D .x z1/ '1.x/

.x z1/f1.x/ D '1.x/

f1.x/

sowie schließlich

'.x/

f .x/

˛₁

X

jD1

a1j

.x z1/^j D '1.x/

f1.x/

durch die Kombination aller˛1Teilschritte.

2. Wird die ganze rationale Funktionf2 WC!Cdurch f2.x/D

`

Y

kD3

.x zk/^˛k fürx2 C

definiert, dann gibt es aufgrund einer zu Schritt 1 analogen Argumentation eine ganze rationale Funktion'2 WC !C der Ordnungm2 2 N [ f0g,m2 <P`

kD2˛k, so daß sich die Funktion ^'_f¹

1 wie folgt mit Koeffizientena21; : : : ; a2˛₂ 2Cdarstellen läßt:

'1.x/

f1.x/ D

˛2

X

jD1

a2j

.x z2/^j C '2.x/

f2.x/ fürx 2Cn fz2; : : : ; z`g:

Fährt man auf diese Weise fort, dann gelangt man im .` 1/-ten Schritt zu einer ganzen rationalen Funktionf` 1 WC!C, die durch

f` 1.x/D.x z`/^˛` fürx 2C

definiert wird. Aufgrund einer zu Schritt 1 analogen Argumentation gibt es eine ganze rationale Funktion'` 1 WC!C, so daß sich die Funktion <sup>'</sup><sub>f</sub><sup>` 2</sup>

` 2 in der Form '` 2.x/

f` 2.x/ D

˛_{` 1}

X

jD1

a` 1;j

.x z` 1/<sup>j</sup> C '` 1.x/

f` 1.x/ fürx 2Cn fz` 1; z`g

mit Koeffizientena` 1;1; : : : ; a` 1;˛<sub>` 1</sub> 2 C darstellen läßt, wobei'` 1 W C ! C die Ordnungm` 12 N[ f0g,m` 1 < ˛` hat.

3. Im`-ten und letzten Schritt angelangt, wählt man im ersten Teilschritt zunächst a`˛<sub>`</sub> D '` 1.z`/. Dann gibt es eine ganze rationale Funktion '`˛<sub>`</sub> W C ! C, deren Ordnung kleiner ist als˛` 1ist, so daß

'` 1.x/ a`˛` D.x z`/ '`˛`.x/ für allex2Cgilt:

Daraus folgt '` 1.x/

f` 1.x/

a`˛<sub>`</sub>

.x z`/<sup>˛`</sup> D .x z`/ '`˛_`.x/

.x z`/<sup>˛`</sup> D '`˛<sub>`</sub>.x/

.x z`/<sup>˛` 1</sup> für allex 2Cn fz`g:

In dieser Weise fortfahrend, wählt man im .˛` 1/-ten Teilschritta`2 D '`3.z`/.

Demnach gibt es eine ganze rationale Funktion'`2 WC!C, deren Ordnung kleiner ist als1, das heißt, eine konstante Funktion mit

'`3.x/ a`2 D.x z`/ '`2.x/ für allex 2Cgilt:

Daraus folgt '`3.x/

.x z`/²

a`2

.x z`/<sup>2</sup> D .x z`/ '`2.x/

.x z`/<sup>2</sup> D '`2.x/

x z`

für allex 2Cn fz`g: Im˛`-ten und letzten Teilschritt wählt mana`1 D'`2.z`/. Offenbar kann man die konstante Funktion'`2 nicht weiter zerlegen und erhält

'`2.x/

x z` D a`1

x z`

und somit '` 1.x/

f` 1.x/ D

˛`

X

jD1

a`j

.x z`/<sup>j</sup> für allex2 Cn fz`g durch die Kombination aller˛`Teilschritte. Die Gesamtheit aller`Schritte liefert mit

'.x/

f .x/ D

`

X

kD1

˛_k

X

jD1

akj

.x zk/^j fürx 2Cn fz1; : : : ; z`g

schließlich die vollständige Teilbruchzerlegung.

Aufgabe 14. Seien n 2 N und Koeffizienten a0; : : : ; an 2 R mitan D 1 sowie die ganze rationale Funktionf WR! Rdurchf .x/ DPn

kD0akx^k fürx 2 Rgegeben.

Dabei sei vorausgesetzt, daß es Zahlen `, q 2 N [ f0g sowie ˛1; : : : ; ˛` 2 N und ˇ1; : : : ; ˇq 2 N mitP`

kD1˛k CPq

kD12ˇk Dnsowiex1; : : : ; x` 2 R,y1; : : : ; yq 2 R undd1; : : : ; dq 2Rn f0ggibt, so daßf die Darstellung

f .x/D

n

X

kD0

akx^k D

`

Y

kD1

.x xk/^˛k

q

Y

kD1

..x yk/²Cd_k²/^ˇk für allex 2R als Produkt teilerfremder Faktoren besitzt. Seienm2N[ f0gmitm < nund Koeffi- zientenb0; : : : ; bm2 Rmitbm ¤0gegeben, so daß die durch'.x/DPm

kD0bkx^k für x2 Rdefinierte ganze rationale Funktion' WR!Rteilerfremd zuf ist.

Man zeige, daß unter diesen Voraussetzungen die echt gebrochene rationale Funk- tion_f^' WRn fx1; : : : ; x`g !Reine Darstellung alsTeilbruchzerlegung

'.x/

f .x/ D

`

X

kD1

˛_k

X

jD1

Akj

.x xk/^j C

q

X

kD1 ˇ_k

X

jD1

Bkj.x yk/CCkj

..x yk/²Cd_k²/^j fürx2 Rn fx1; : : : ; x`g mit KoeffizientenAk1; : : : ; Ak˛<sub>k</sub> 2 Rfürk 2 f1; : : : ; `gsowieBk1; : : : ; Bkˇ_k 2 Rund Ck1; : : : ; Ckˇ_k 2Rfürk2 f1; : : : ; qghat!

Lösung. 1. Definiert man die ganzen rationalen Funktionen h, W C ! C durch h.z/D Pn

kD0akz^k und .z/ D Pm

kD0bkz^k fürz 2 C, dann besitzt hnach Voraus- setzung die Produktdarstellung

h.z/D

`

Y

kD1

.z zk/^˛k

q

Y

kD1

.z wk/^ˇk

q

Y

kD1

.z wk/^ˇk für allez 2C mit einer Anzahl von`C2q 2N verschiedenen Nullstellen

zk D.xk; 0/2 C fürk 2 f1; : : : ; `g sowie

wk D.yk; dk/2 C und wk D.yk; dk/2 C fürk 2 f1; : : : ; qg:

Somit existiert eine Darstellung der rationalen Funktion _h als Teilbruchzerlegung .z/

h.z/ D

`

X

kD1

˛_k

X

jD1

akj

.z zk/^j C

q

X

kD1 ˇk

X

jD1

bkj

.z wk/^j C

q

X

kD1 ˇk

X

jD1

ckj

.z wk/^j

fürz 2 Cn fz1; : : : ; z`; w1; : : : ; wq; w1; : : : ; wqg mit Koeffizientenak1; : : : ; ak˛k 2 C fürk2 f1; : : : ; `gsowiebk1; : : : ; bkˇ_k 2Cundck1; : : : ; ckˇ_k 2Cfürk2 f1; : : : ; qg.

2. Da der Imaginärteil des Funktionswerts ^.z/_h.z/ für allez D.x; 0/2Cnfz1; : : : ; z`g verschwindet, liefert die komplexe Konjugation der obigen Teilbruchzerlegung für jedesz D.x; 0/2Cn fz1; : : : ; z`gdie Gleichung

`

X

kD1

˛_k

X

jD1

akj

.z zk/^j C

q

X

kD1 ˇ_k

X

jD1

bkj

.z wk/^j C

q

X

kD1 ˇ_k

X

jD1

ckj

.z wk/^j D

`

X

kD1

˛_k

X

jD1

akj

.z zk/^j C

q

X

kD1 ˇ_k

X

jD1

bkj

.z wk/^j C

q

X

kD1 ˇ_k

X

jD1

ckj

.z wk/^j ; alsoakj D akj für alle k 2 f1; : : : ; `g undj 2 f1; : : : ; ˛kg sowie ckj D bkj für alle k 2 f1; : : : ; qg undj 2 f1; : : : ; ˇkg wegen der Eindeutigkeit der Teilbruchzerlegung, woraus sich für jedesz D.x; 0/2Cn fz1; : : : ; z`gdie Darstellung

.z/

h.z/ D

`

X

kD1

˛_k

X

jD1

akj

.z zk/^j C

q

X

kD1 ˇk

X

jD1

ckj.z wk/^j Cckj.z wk/^j .z wk/^j.z wk/^j

ergibt. Damit hat die rationale Funktion _f^' WRn fx1; : : : ; x`g !Reine Darstellung '.x/

f .x/ D

`

X

kD1

˛_k

X

jD1

Akj

.x xk/^j C

q

X

kD1 ˇ_k

X

jD1

Bkj.x yk/CCkj

..x yk/²Cd_k²/^j fürx2 Rn fx1; : : : ; x`g mit KoeffizientenAk1; : : : ; Ak˛<sub>k</sub> 2 Rfürk 2 f1; : : : ; `gsowieBk1; : : : ; Bkˇ_k 2 Rund Ck1; : : : ; Ckˇ_k 2Rfürk2 f1; : : : ; qg.