Zahlenfolgen und Zahlenreihen

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Übungsaufgaben 3

Zahlenfolgen und Zahlenreihen

Aufgabe 1. Man zeige, daß die Reihe Pn kD1

Qm

`D0 1 kC`

reeller Zahlen für beliebig vorgegebenesm2N im Grenzprozeßn! 1gegen die Summe _m¹_mŠ konvergiert! ± Aufgabe 2. Man weise nach, daß die Reihe Pn

kD0akx^2k

bzw. Pn

kD0bkx^2k^C¹ mit den durchak D ^{. 1/}_.2k/Š^k bzw.bk D _.2k^{. 1/}_C_1/Š^k fürk2 N[ f0gdefinierten Koeffizienten für jedesx 2Kjeweils absolut gegen eine endliche Summe

(1) c.x/D

1

X

kD0

akx^2k 2K bzw. s.x/D

1

X

kD0

bkx^2k^C¹ 2K

konvergiert und schließe durch Multiplikation solcher Reihen darauf, daß die durch diese Grenzwerte definierten Funktionenc,s WK!Kden Additionstheoremen

c.x Cy/Dc.x/c.y/ s.x/s.y/ sowie s.xCy/Ds.x/c.y/Cc.x/s.y/

für allex,y 2Kgenügen! ³

Aufgabe 3. Seien reelle Zahlena1,b1 2Rmit0 < a1 b1 beliebig vorgegeben und die beiden Folgen.an/und.bn/reeller Zahlen durch

anC1 D 2anbn

anCbn

sowie bnC1 D anCbn

2 fürn2N definiert:

1. Man weise nach, daß die beiden Relationen

0 < an anC1 bnC1 bn und anbnDa1b1 für allen2N gelten!

2. Man schließe daraus, daß die beiden Folgen.an/und.bn/jeweils gegen densel- ben Grenzwertp

a1b1konvergieren! ±