Humboldt-Universit¨at zu Berlin, Institut f¨ur Mathematik Mathematik f¨ur NaturwissenschaftlerInnen 2
Dr. Caroline L¨obhard
Sommersemester 2016, Blatt 5: Skalarprodukt und Orthogonalit¨at
V 5.1. Berechnen Sie jeweils das Skalarprodukt hv, wi der beiden angegebenen Vektoren v und w, deren L¨angen kvk und kwk und den Abstand zwischen v und w. Benutzen Sie, falls nichts anderes angegeben ist, das Standardskalarprodukt und die vom Skalarprodukt induzierte Norm.
a) v= (1,2,−1), w= (1,−1,2) inV =R3,
b) v= (1,2,−1), w= (1,−1,2) inV =R3 mit dem Skalarprodukt
h(v1, v2, v3),(w1, w2, w3)i= 2v1w1+v1w2+v2w1+ 2v2w2+v3w3,
c) v=f(x) = 1 +x,w=g(x) =x2−1 in V =P2(R) mit dem Skalarprodukt
hf(x), g(x)i= Z 1
−1
f(x)g(x)dx.
V 5.2. Zeigen Sie, dass durch h(v1, v2),(w1, w2)i = v1w1 +v2w2 aus Beispiel 3.2 (i) ein Skalarpro- dukt aufV =R2 definiert wird, d.h., dass neben den in der Vorlesung bereits gezeigten Bedingungen SP1 und SP2 auch SP3 und SP4 aus Satz 3.1 gelten. Weisen Sie außerdem nach, dass die Abbildung k(v1, v2)k=p
v12+v22 eine Norm ist.
V 5.3.Es sei V ein Vektorraum mit einem Skalarprodukth·,·i.
a) Zeigen Sie, dass aus v ⊥ w folgt, dass kv−wk2 = kvk2+kwk2. Machen Sie sich anhand einer Graphik klar, dass diese Aussage im FallV =R2 der bekannte Satz von Pythagoras ist.
b) Es seiU ={0} ⊂V. Bestimmen Sie U⊥. c) Es seiW =V ⊂V. Bestimmen Sie W⊥.
V 5.4.Bestimmen Sie jeweils das orthogonale Komplement der angegebenen MengeM. Stellen SieM undM⊥ an a), b), c)und d) graphisch dar.
a) M ={(1,2)}inV =R2,
b) M ={λ(1,2)|λ∈R}inV =R2,
c) M ={(1,2)}inV =R2mit dem Skalarprodukth(v1, v2),(w1, w2)i= 2v1w1+v1w2+v2w1+32v2w2, d) M ={(1,2),(1,0)} inV =R2,
e) M ={x+ 1}in V =P1(R) mit hf(x), g(x)i=R1
0 f(x)g(x)dx.
S 5.5.Berechnen Sie jeweils die Winkel zwischen den angegebenen Vektoren. Sie k¨onnen elektronische Hilfsmittel benutzen, um die Umkehrfunktion arccos des Kosinus zu berechnen.
a) v= (1,0,1), w= (1,1,−1) inV =R3,
b) v= (1,0,1), w= (1,1,−1) inV =R3 mit dem Skalarprodukt aus 5.1b), c) v= (1,1,1), w= (1,1,−1) inV =R3,
d) f(x) = sin(πx), g(x) =x+ 1 inV =C([0,1]) mit hf(x), g(x)i=R1
0 f(x)g(x)dx.
S 5.6.Weisen Sie nach, dass die in Aufgabe 5.1 b) definierte Abbildung ein Skalarprodukt ist.
Informationen zur Vorlesung finden Sie unter www.math.hu-berlin.de/˜loebhard/mathematik 2 Abgabe der S-Aufgaben am 30.5.2016, V-Aufgaben vorzubereiten zur Woche ab 30.5.2016
