Universit¨at Konstanz Christoph Hanselka
Fachbereich Mathematik und Statistik Aaron Kunert
Sommersemester 2011 Markus Schweighofer
Ubungsblatt 2 zur Zahlentheorie ¨
SeiRein Ring.
Aufgabe 1.
Ein Diagramm vonR-Modulhomomorphismen
· · · −→Mi−1−→fi−1 Mi fi
−→Mi+1−→ · · ·
heißt exakt, wenn ker(fi) = im(fi−1) f¨ur allei gilt. Schreibt man kurz 0 f¨ur den Nullmodul ¨uber R, so nennt man ein exaktes Diagramm
0−→L−→f M −→g N −→0 kurze exakte Sequenz.
Sei das Diagramm
0−→L−→f M −→g N −→0 eine kurze exakte Sequenz. Zeigen Sie
(a) Die Abbildungf ist injektiv, die Abbildunggist surjektiv.
(b) Es istN ∼=M/f(L).
(c) Die beiden Aussagen
(i) Es existiert einR–Modulhomomorphismusi:M −→L miti◦f = idL. (ii) Es existiert ein R–Modulhomomorphismusj:N −→M mitg◦j= idN.
sind ¨aquivalent. Unter diesen Bedingungen sagt man, dass die kurze exakte Sequenzzerf¨allt.
(d) Zerf¨allt die kurze exakte Sequenz, so istM ∼=L⊕N alsR–Moduln.
Aufgabe 2.
SeienLeinR–Modul,N undM Untermoduln vonL. Beweisen Sie, dass M/(M∩N)∼= (M +N)/N
alsR–Moduln.
Hinweis: Verwenden Sie den Homomorphiesatz.
Aufgabe 3.
SeiL:={(x,y,z)∈Z3|x+ 2y+ 3z= 0, x+ 4y+ 9z= 0}. Zeigen Sie, dassLein freier Untermodul vonZ3 ist. Finden Sie alle Basen vonL.
Abgabe bis Mittwoch, den 27. April 2011, 10 Uhr in die Briefk¨asten neben F411.
