Universit¨at Konstanz Christoph Hanselka
Fachbereich Mathematik und Statistik Aaron Kunert
Sommersemester 2011 Markus Schweighofer
Ubungsblatt 6 zur Zahlentheorie ¨
Aufgabe 1.
SeiRein kommutativer Ring mit 06= 1 undM einR–Modul. Dann vermitteln die Zuordnungen f 7−→
R[X]×M −→M
(p,x) 7−→p(f)(x)
und
M −→M x 7→X·x
7− → ·
eine Bijektion zwischen End(M) und allenR[X]–Skalarmultiplikationen, die die Skalarmultiplika- tion vonRfortsetzen und M zu einemR[X]–Modul machen.
Aufgabe 2.
Zeige, dass der RingZ[√
5] kein Hauptidealring ist.
Aufgabe 3.
SeiR ein kommutativer Ring und M ein endlich erzeugter R–Modul. Ist f ∈End(M) surjektiv, so istf ein Isomorphismus. (Hinweis: Aufgabe 1 und Cayley-Hamilton helfen weiter)
Aufgabe 4.
SeiA⊆Beine ganze Erweiterung von Integrit¨atsringen. Zeige, dassAgenau dann ein K¨orper ist, wennB ein K¨orper ist.
Abgabe bis Montag, den 30. Mai 2011, 10 Uhr in die Briefk¨asten neben F411.
