Universit¨at Konstanz Christoph Hanselka
Fachbereich Mathematik und Statistik Aaron Kunert
Sommersemester 2011 Markus Schweighofer
Ubungsblatt 11 zur Zahlentheorie ¨
Aufgabe 1.
SeiKein algebraischer Zahlk¨orper vom Gradn. Sei weiterGein freierZ–Untermodul vonKmit Basisx1, . . . ,xn.
(a) Zeige, dass es eins∈Ngibt derart, dasssG⊆ OK undsOK⊆G.
(b) Zeige, dass dieDiskriminante vonG
d(G) := dK|Q(x1, . . . ,xn)
wohldefiniert ist, das heißt nicht von der Wahl der Basisx1, . . . ,xn vonGabh¨angt.
(c) SeiH ein freierZ–Untermodul vonGvom Rangn. Zeige [G:H]<∞und [G:H]2d(G) =d(H).
Aufgabe 2.
Sei K ein algebraischer Zahlk¨orper vom Grad n und R ein Unterring des Zahlrings OK mit qf(R) =K. Zeige:
(a) Rist ein freierZ-Modul vom Rangn.
(b) Gibt es keinp∈Pmit p2|d(R), so ist R=OK.
Aufgabe 3.
Seiz∈Cmitz3−z+ 3 = 0.
(a) Bestimme den Grad des Zahlk¨orpers K:=Q(z).
(b) Bestimme den ZahlringOK von K.
Abgabe bis Montag, den 4. Juli 2011, 10 Uhr in die Briefk¨asten neben F411.
