Wintersemester 1999/2000
Klaus Fredenhagen
II. Institut fur Theoretishe Physik
Universitat Hamburg
Bemerkung:Das vorliegendeSkriptb eruht ingroem Ausma auf
einemunveroentlihtenVorlesungsskript von Detlev Buhholz.
Kapitel I. Ursprunge der Quantentheorie 5
1. Quantenphanomene 5
2. HamiltonsheMehanikund BohrsheQuantenb edingung 7
3. Klassishes Wellenfeldbild 10
Kapitel I I. Grundlagen der Quantenmehanik 17
1. Shrodingergleihung 17
2. BornsheWahrsheinlihkeitsinterpretation 20
3. Mehrteilhensysteme 21
4. Observable und Op eratoren 23
5. Ehrenfestshes Theorem 28
6. Die Heisenb ergshen Unsharferelationen 31
7. Bindungs- und Streuzustande (Ausblik) 34
Kapitel I I I. SystememiteinemFreiheitsgrad 41
1. Teilhen imKasten 41
2. Teilhen vor einer Wand; der Zeitop erator 44
3. Stufenp otentiale 48
4. Harmonisher Oszillator 51
Kapitel IV. Der mathematisheRahmen der Quantenmehanik 57
1. Hilb ertraume 57
2. Lineare Op eratoren 62
3. Postulate der Quantenmehanik 67
Kapitel V. Teilhen imZentralkraftfeld 69
1. Drehimpuls 69
2. Die radiale Shrodingergleihung 72
3. Bindungszustande imCoulomb-Potential 74
4. Streuzustande 75
Kapitel VI. Teilhenim elektromagnetishenFeld 85
1. Shrodingergleihung mitMagnetfeld 85
2. Der Spin und diePauligleihung 88
Kapitel VI I. Der Zustandsraum der Quantenmehanik 95
1. ZumDira-Formalismus 95
2. Zustandsgemishe 96
3. EPR-Paradoxon und BellsheUngleihungen 98
Urspr
unge der Quantentheorie
Klassishe Mehanik und klassishe Elektro dynamik b eshreib en
einen groen Erfahrungsb ereih zutreend. Sie versagen ab er weitge-
hend b ei Anwendungen auf den atomaren Bereih.Ziel der Quanten-
theorieistes,eineumfassendeErklarungzunden,dieimatomarenBe-
reihdieexp erimentellenBefundeb eshreibtunddieklassishenTheo-
rienalsGrenzfallenthalt.DieQuantenmehanikisteinesolheTheorie
furdenBereihdernihtrelativistishenMehanik.Sieistgultig,solan-
ge die Geshwindigkeiten klein im Vergleih zur Lihtgeshwindigkeit
sind und die Teilhenzahl erhalten ist. Quanteneekte des elektroma-
gnetishenFeldes,Erzeugungs-und VernihtungsprozessevonTeilhen
unddieBeruksihtigungdersp eziellenRelativitatstheoriesindderGe-
genstand der Quantenfeldtheorie.Quanteneekteder Gravitation und
dieBeruksihtigungder AllgemeinenRelativitatstheoriesollten zuei-
ner
"
Quantengravitation\ fuhren;einesolheTheorieexistiertbisjetzt
hohstens in Ansatzen.
In dieser Vorlesung wollen wir uns mit der nihtrelativistishen
Quantenmehanikb eshaftigen. Zunahst sollan einige exp erimentelle
Sahverhalteerinnertwerden,die zeigen, da dieklassishePhysikim
atomaren Bereihnihtanwendbar ist.
1. Quantenphanomene
1.1. Atomspektren. DasSp ektrumderelektromagnetishenStrah-
lung einesgluhenden Korp ers zeigt
ub ereinemfuralleKorp ergleihen
KontinuumharakteristisheLinien,dievonderZusammensetzungdes
Korp ersabhangen(Sp ektralanalyse).Furdieb eobahtetenFrequenzen
gilt das Rydb erg-Ritzshe Kombinationsprinzip: sie lassen sih durh
zwei Indizesso b eshreib en, dass mit
ij
und
jk
auh
ik
=
ij +
jk
eine b eobahtete Frequenz ist. Daraus folgt, dass sih die Frequenzen
als Dierenzen shreib en lassen,
ij
=
i
j
. Bohr (1913) hat vor-
geshlagen, dieFrequenzen
i
den moglihen Energiestufen des Atoms
zuzuordnen,
E
i
=h
i
(I.1)
mit dem Plankshen Wirkungsquantum h = 6;626 10 34
Js. Exp e-
rimentell wurde eine solhe Quantelung der Energie von Frank und
Hertz1913 b eimDurhgang einesStroms durhQueksilb erdampfb e-
obahtet.
Auf Grund von Exp erimenten von Geigerund Marsden (1909) mit
-Strahlung hatte Rutherford (1911) geshlossen, dass Atome aus ei-
nem sehr kleinen,p ositiv geladenem Kern und aus sih darum herum
b ewegenden Elektronen b estehen. Nah den Gesetzen der klassishen
Elektro dynamikstrahlendieseElektronenkontinuierlihelektromagne-
tisheWellenab und verlieren so Energie. Dies steht im Widerspruh
zur b eobahteten Stabilitat der Atome. Auh die Gleihartigkeit der
Atomeistklassishnihtzuverstehen.
1.2. Korpuskulare Eekteder elektromagnetishenStrah-
lung. Die Wellennatur des Lihtsist seit den Beugungsexp erimenten
von Young(1803) b ekannt,und dieMaxwellsheElektro dynamikstellt
einetheoretisheGrundlage furdieb eobahtetenWellenersheinungen
dar. Es gibt jedo h einige exp erimentelleTatsahen, die eher fur eine
korpuskulare Natur der elektromagnetishenStrahlung sprehen.
Die erste derartige Beobahtung wurde von Plank gemaht. Sie
zeigt die korpuskularen Asp ekte nur sehr indirekt. Plank hatte ge-
funden, dass die b eobahtete Frequenzverteilung der Strahlung eines
shwarzen Korp ers b ei Temp eratur T dadurh erklart werden kann,
dass die mittlere Energie einer sih in einer festen Rihtung ausbrei-
tenden elektromagnetishenWellemitFrequenz
hEi= h
e h
k T
1
(I.2)
b etragt. Sind E
n
die moglihenEnergien, diejeweilsmit der relativen
Haugkeite E
n
k t
(Boltzmann-Faktor)b elegt sind, so gilt
hEi= P
n E
n e
En
k t
P
n e
En
k t
(I.3)
Sei = (kT) 1
und sei Z() = P
n e
E
n
die Zustandssumme. Dann
gilt hEi=
lnZ. Aus(I.2) folgt
Z =onst (e h
1) 1
=onst 1
X
n=1 e
hn
:
Es folgt, dass diemoglihenEnergien von der FormE
n
=nh sind.
Wahrend die PlanksheStrahlung den korpuskularen Asp ekt nur
indirekt zeigt, wird dieser Asp ekt sehr viel deutliher b eim Photo ef-
fekt. Lasst man Liht auf eine Metallob erahe fallen, so sendet das
Metall Elektronen aus. Man b eobahtet, dass dieser Eekt erst ab ei-
ner gewissenGrenzfrequenzeinsetzt,dassdieGeshwindigkeitderher-
ausgelosten Elektronen nur von der Frequenz abhangt und dass der
damit verbundeneStrom prop ortionalzur Intensitatder Strahlungist.
NahEinstein (1905) b esteht das Lihtaus Photonen der Energieh.
Treen diese auf die Metallob erahe auf, so konnen sie ihre Ener-
W
A
, so verlat das Elektron das Metall mit der kinetishen Energie
m
2 v
2
=h W
A .
Besonders drastishzeigt sihder korpuskulareEekt b eimComp-
toneekt. Bei der Streuung von Rontgenstrahlen an Elektronen n-
det man eine Frequenzvershiebung, deren Groe vom Streuwinkel
abhangt (Compton 1923). Furdie Wellenlangenanderung gilt
0
= h
m
(1 os ) : (I.4)
Dieses Phanomen lasst sih erklaren, wenn man annimmt, dass die
StrahlungausTeilhenmitImpulsp=~k,~= h
2
,kWellenzahlvektor,
und Energie E = jpj = h b esteht und dass der Streuprozess ein
elastisher Sto ist.
1.3. Wellenaspekte von Elektronen. Dass auhTeilhenWel-
leneigenshaften hab en konnen, ist zuerst von de Broglie (1923) ver-
mutet worden.
1.4. Radioaktivitat. Ein klassishes Mo dell, das das exp onen-
tielle Zerfallsgesetz und die extrem untershiedlihen Halbwertszeiten
(10 7
10 17
s)erklart, ist kaum vorstellbar.
2. Hamiltonshe Mehanik und Bohrshe Quantenbedingung
Bohr fuhrte 1913 Zusatzhyp othesenein, durh diedas Rutherford-
she Atommo dell mit den b eobahteten Phanomenen in Einklang ge-
brahtwerden sollte:
(i) Atomare Systeme b esitzen gewisse stationare Zustande mit b e-
stimmtendiskreten EnergieeigenwertenE
0
;E
1
;:::.
(ii) Ein atomares System kann seine Energie nur andern, indem es
von einematomaren Zustandineinenanderen ub ergeht.Die b ei
diesem
Ub ergang entstehende (bzw. absorbierte) elektromagne-
tisheStrahlung hat dieFrequenz
h =jE
a E
e
j ; (I.5)
wob eiE
a
dieEnergiedes Anfangs-und E
e
dieEnergiedes End-
zustands ist.
Diese Postulate gelten auh in der heutigen Quantenmehanik. Sie
ermoglihen ab er no h niht die Bestimmung der moglihen Energie-
werte.
Umdiesezub estimmen,fuhrteBohreineQuantisierungsb edingung
ein,diespatervon WilsonundSommerfeldverallgemeinertwordenist.
Zur Formulierung b etrahten wir ein konservatives mehanishes
Systemmitn Freiheitsgraden.Inder HamiltonshenFormulierungb e-
shreibtman das Systemdurhn Ko ordinaten q
1
;:::;q
n
,n kanonish
konjugierte Impulsep
1
;::: ;p
n
und eineHamiltonfunktion
H =H(q ;:::;q ;p ;::: ;p ); (I.6)
so dass die Zeitentwiklung durh die Hamiltonshen Gleihungen ge-
geb en ist,
_ q
i
= H
p
i
; p_
i
= H
q
i
;i=1;::: ;n : (I.7)
BeiderWahlderKo ordinatenhatmanb ekanntlihgroeFreiheit;jede
kanonishe Transformation (q;p) 7! (Q;P), d.h. jede Transformation,
die diekanonishen Poissonklammern
fQ
i
;Q
j
g=0=fP
i
;P
j
g ; fQ
i
;P
j g=Æ
ij
(I.8)
resp ektiert, mitder Poissonklammer
fF ;Gg= n
X
i=1
F
q
i G
p
i F
p
i G
q
i
; (I.9)
lasst dieFormder HamiltonshenGleihungenungeandert.
Man muss jetzt die wesentlihe Einshrankung mahen, dass das
System integrab el ist, das heit, dass es kanonishe Variable gibt, so-
dass die Bewegung in jedem Variablenpaar (q
i
;p
i
) p erio dish ist. Die
Bohr-SommerfeldsheQuantisierungsb edingung lautet dann
I
p
i dq
i
=n
i h ; n
i 2N
0
; i=1;::: ;n ; (I.10)
wob ei das Integral
ub er eine volle Perio de in q
i
zu nehmen ist und
mindestens einn
i
von 0 vershiedenist.
WirwollendieseBedingungaufdasWasserstoatomanwenden.Die
klassisheBewegung eines Massenpunkts in einemCoulomb-Potential
verlauftineiner Eb ene.In Polarko ordinaten r;'mitkanonishkonju-
gierten Impulsenp
r
und p
'
lautet dieHamiltonfunktion
H = 1
2m
p 2
r +
1
r 2
p 2
'
r
: (I.11)
Der Drehimpuls p
'
ist erhalten, da H niht von ' abhangt. Mit der
Quantisierungsb edingung (I.10) erhaltenwir
Z
2
0 p
'
d' =n
' h ; n
' 2N
0
; (I.12)
also p
'
=n
'
~.
Zur Auswertung der Quantisierungsb edingung in den Variablen r
und p
r
shreib en wir p
r
als Funktionvon r , p
'
und der Energie E. Es
gilt
jp
r j=
r
2mE+ 2m
r p
2
'
r 2
: (I.13)
Fur E < 0 sind die moglihen Werte von r auf das Intervall [r ;r
+
℄
b eshrankt mit
r
=
r
2
2 +
p 2
'
: (I.14)
Damit lautet dieBohrsheQuantisierungb edingung furp
r
I
p
r
dr=2 p
2mE Z
r+
r dr
r p
(r
+
r )(r r )=n
r
h (I.15)
mit n
r 2N
0
. Es giltfur0ab
Z
b
a dr
r p
b r p
r a=
2 (
p
b p
a) 2
: (I.16)
Damit erhalt man
n
r h=
p
2mE(r
+
+r 2 p
r
+ r )
= p
2mE(
E 2
p
'
p
2mE )
=
r
2m
E 2p
'
!
:
(I.17)
Setzt man jetzt p
'
=n
'
~ein,so ndet man dieFormel
E = m
2
2~
2
1
(n
' +n
r )
2
(I.18)
fur diemoglihen Bindungsenergien.Aus der 2.Bohrshen Hyp othese
ergibt sihfur das Wasserstosp ektrum dieFormel
h
nk
=R 1
n 2
1
k 2
;n;k 2N;n <k (I.19)
mit der Rydb ergkonstanten
R = m
2
2~
2
=13;53eV : (I.20)
Die Formel(I.19)warvonBalmerempirishgefundenworden.Deraus
Bohrs Bedingung b estimmte Wert von R stimmt ausgezeihnet mit
dem gemessenenub erein.
Zur Begrundung seiner Quantisierungsb edingung hatte Bohr das
sogenannte Korresp ondenzprinzip eingefuhrt. In einer mo dernen For-
mulierung lautet es: Wenn man die Quantenphysik auf Bereihe an-
wendet, in denen die klassishe Physik gultig ist, dann mussen ihre
Aussagen mit denen der klassishen Physik naherungsweise
ub erein-
stimmen.
BetrahtenwiralsBeispieldasWasserstoatom.Beigenugendgroem
Abstand des Elektrons vom Kern sollte die klassishe Beshreibung
rihtigsein.Danah b ewegt sihdas Elektron aufeiner Ellipsemitder
Umlaufzeit
T = m
2
2
2
1
2
( E) 3
2
: (I.21)
NahderklassishenElektro dynamikstrahlteinsolhes Elektronelek-
tromagnetisheStrahlung mitFrequenzen ab, dieVielfaheder klassi-
shen Frequenz
klass
= 1
sind. Der quantenmehanishen Energie E
n
entsprihtdieklassisheFrequenz
klass
= m
2
2
2
1
2 m
2
2~
2
3
2 1
n 3
= 1
n 3
m 2
2~
3
(I.22)
Dem
Ub ergang vom Energieniveau E
n+l
zum Energieniveau E
n ent-
sprihtdie quantenmehanisheFrequenz
n;n+l
= 1
h (E
n+l E
n )=
m 2
4~
3 1
n 2
1
(n+l ) 2
=
klass 2n
2
l+nl 2
2(n+l ) 2
(I.23)
ImLimes n! 1 ndet man
n;n+l
kl
!l in
Ub ereinstimmungmitdem
Korresp ondenzprinzip.
Trotz ihrer b eeindrukenden Erfolge bleibt die Bohrshe Theorie
unb efriedigend.IhreentsheidendeShwaheist dieBeshrankung auf
sp eziellemehanisheSysteme.Shonb eimHeliumatom(2Elektronen)
versagt dieMetho de.
3. Klassishes Wellenfeldbild
Die Tatsahe,dass TeilhenWelleneigenshaftenhab en, legt esna-
he, Teilhen mitHilfevon Wellenzub eshreib en. Dieseauf deBroglie
zurukgehende Ideeistzuerst von Shrodinger ausgearb eitet worden.
Wellen werden in der klassishen Physik durh Wellenfunktionen
'(t;x) b eshrieb en. Hierb ei b ezeihnet '(t;x) eine von der Art der
WelleabhangigeGroe amOrt xzur Zeitt,die sihwellenformigaus-
breitet, z.B. die Feldstarke b ei einer elektromagnetishen Welle o der
den Druk b ei einer Shallwelle.
Die zeitliheEntwiklungeinerWellewird durheinAusbreitungs-
gesetz b estimmt, das typisher Weise die Form einer Dierentialglei-
hung hat.ZumBeispielgiltfurShallwellenineinemisotrop enhomo-
genen Medium
1
v 2
2
t 2
= (I.24)
mit der Shallgeshwindigkeitv und demLaplaeop erator
= 3
X
i=1
2
x 2
i
: (I.25)
Viele wihtige Ausbreitungsgesetzesind linear in '.Furdiese gilt das
Sup erp ositionsgesetz: Sind '
1
und '
2
moglihe Wellenfunktionen, so
auhalleLinearkombinationen
1 '
1 +
2 '
2
mitKonstanten
1
;
2 .Wel-
len dieses Typs konnen sih ungestort durhdringen und zeigen die
b ekannten Interferenzeekte.
Sp ezielle Wellen sind die eb enen mono hromatishen Wellen. In
komplexerShreibweisesind sie gegeb endurh
i(kx ! t)
Hierb eiist!=2FrequenzdieKreisfrequenz,jkj=2=Wellenlange
die Wellenzahlund
!
jkj
=FrequenzWellenlangediePhasengeshwin-
digkeit. Der Einheitsvektor k=jkj gibt die Ausbreitungsrihtung der
Welle an. Der komplexeFaktor a = jaje iÆ
gibt die Amplitude jaj und
die Phase Æ b ei (t;x)=0 an. ZwishenKreisfrequenzund Wellenzahl-
vektorb esteht meisteineDisp ersionsb eziehung
!=!(k) ; (I.27)
z.B.giltfurdie ob en erwahnten Shallwellen! =vjkj.
Eb eneWellenb eshreib enSysteme,diedenganzenRaumausfullen.
Daher entsprehen sie niht dem Bild eines punktformigen Teilhens.
Man kann jedo h durh
Ub erlagerung eb ener Wellen gut lokalisierte
Wellenpaketeerzeugen.Sei
'(t;x)= Z
d 3
k'(k)e^
i(kx ! t)
(I.28)
mit !=!(k) und einer Amplitudenfunktion'(k).^
'(0;) und '^ hangen ub er die Fouriertransformation miteinander
zusammen. Wir formulieren den Satz fur die in der Quantenmehank
b esonders wihtigenquadratintegrablen Funktionen.
Definition I.1. Eine (messbare) Funktion ' auf dem R n
heit
quadratintegrab el,wenn
Z
d n
xj'(x)j 2
<1: (I.29)
Die Menge der quadratintegrablen Funktionen wird mit L 2
(R n
) b e-
zeihnet.
Bemerkung: L 2
(R n
) ist ein Vektorraum. Funktionen in L 2
(R n
) sind
niht notwendig stetig; auh gewisseunstetige Funktionen,die nur im
Sinne von Leb esgueintegrierbar sind,gehoren zuL 2
(R n
).Inder Regel
identiziert man Funktionen, die sih nur auf einer Menge vom Ma
Nulluntersheiden.DahermahtesfurunstetigeFunktioneninL 2
(R n
)
keinen Sinn, vomWertder Funktion an einemPunkt zusprehen.
Theorem 3.1. Sei' 2 L 2
(R n
). Dann gibt es ein '^ 2 L 2
(R n
) mit
den folgendenEigenshaften:
(i) '(x) =(2) n
2 R
d n
k'(k)e^ ik x
(ii) '(k)^ =(2) n
2 R
d n
x'(x)e ik x
(iii) R
d n
xj'(x)j 2
= R
d n
kj'(k)j^ 2
(ParsevalsheUngleihung)
Hierb ei b ezeihnet kx = P
n
i=1 k
i x
i
das Skalarpro dukt in R n
.
Bemerkung: Die uneigentlihenIntegrale imTheoremkonvergierenim
Beweis fur n = 1: Zunahst b etrahten wir als Beispiel die Gauss-
Funktion'(x)=e
2 x
2
,>0. Dann ist
^
'(k)=(2) 1
2 Z
dxe ik x
'(x) =(2) 1
2 Z
dxe
2 (x+i
k
)
2
e k
2
2
= 1
2
e k
2
2
:
(I.30)
(Hierb eiwurdederCauhysheIntegralsatzzusammenmitdemshnel-
len Abfall der analytishen Funktion e
2 jz j
2
fur jRezj ! 1 ausge-
nutzt.)Furdie Gauss-Funktion gilt das Theoremalso.
Mit Hilfedieser Formellat sihjetztauh der allgemeineFall b e-
weisen.Wirb eshrankenunsaufdenFall,dass'stetig,b eshranktund
integrab el( R
dxj'(x)j<1)ist(dannexistiert'^
ub erallundist stetig
undvershwindetb eiunendlih(Riemann-Leb esgue-Lemma))unddass
darub erhinausauh'^integrab elist.UnterdiesenVoraussetzungengilt
Z
dk'(k)e^ ik x
=lim
"#0 Z
dk'(k)e^ ik x
e
"
2 k
2
=lim
"#0 Z
dke ik x
e
"
2 k
2
(2) 1
2 Z
dy'(y)e ik y
=lim
"#0 (2)
1
2 Z
dy'(y) Z
dke
"
2 k
2
e
ik (y x)
=lim
"#0 Z
dy'(y)"
1
2
e (y x)
2
2"
=lim
"#0 Z
dy'(x+"
1
2
y)e y
2
2
='(x) Z
dye y
2
2
=(2) 1
2
'(x) :
(I.31)
Die ParsevalsheGleihung folgtunterdenselb en Voraussetzungen
an 'aus der Rehnung
Z
dxj'(x)j 2
= Z
dx'(x)(2) 1
2 Z
dke ik x
^ '(k)
= Z
dk'(k)(2)^ 1
2 Z
dx'(x)e ik x
= Z
dkj'(k)j^ 2
:
(I.32)
Mit Hilfeder Fouriertransformation erkennenwir
Zu einemZeitpunkt t
0
kann '(t
0
;x)b eliebig (in L 2
(R 3
)) vorge-
geb en werden. Die Amplitudenfunktionistdann
^
'(k)=(2) 3
2 Z
dxe ikx
'(t ;x)e i! t
0
: (I.33)
Zu allen anderen Zeiten ist'(t;x)dadurh eindeutigb estimmt,
'(t;x)=(2) 3
2 Z
d 3
ke
i(kx ! t)
^ '(k)
=(2) 3
Z
d 3
k Z
d 3
y e
i k(x y ) ! (t t
0 )
'(t
0
;x) :
(I.34)
Aufgrund der Parsevalshen Gleihunggilt
Z
d 3
xj'(t;x)j 2
= Z
d 3
kj'(k)e^ i! t
j 2
=onst : (I.35)
Die Groe R
d 3
xj'(t;x)j 2
ist also zeitunabhangig. Wenn ' ein
Teilhenb eshreib ensoll,dannkonntedieseGroez.B.alsMasse
o der Ladunginterpretiertwerden.FurdenIntegrandenj'(t;x)j 2
bietet siheineInterpretationals Dihtean.
Die zeitliheEntwiklung des durh 'b eshrieb enenWellenpakets
(und damit die Bewegung des zugehorigen Teilhens) wird durh die
Disp ersionsb eziehung! =!(k) b estimmt.Einige Aussagenlassen sih
allgemeinmahen,solange !(k)eineglatte(d.h.unendlihoftdieren-
zierbare) Funktionist.
Die Geshwindigkeit, mit der sih ein Wellenpaket ausbreitet, das
um den Wellenzahlvektork konzentriert ist, istb ekanntlihdie Grup-
p engeshwindigkeit
v=grad
k
!(k) : (I.36)
DenndiePhaseeinereb enenWellee i(k
0
x ! t)
amOrtx=v tistinerster
Ordnung in k 0
k unabhangig von k 0
, so dass sih die eb enen Wellen
mit k 0
k konstruktiv ub erlagern (Prinzip der stationaren Phase).
Genauer giltfolgendes.
Sei'^eineglatteAmplitudenfunktionmitkompaktemTragersupp'.^
Wir nennen
=fv=grad
k
!(k);k2supp'g (I.37)
den Geshwindigkeitstragervon '.^ Manndet den Satz:
Theorem 3.2. (i) FurGeshwindigkeitenvmitendlihemAb-
stand von gilt
lim
t!1 jtj
n
j'(t;tv )j=0 (I.38)
furallen 2N.
(ii) Fur v2 giltfurgroe t
j'(t;tv )j'C(v )jtj 3
2
: (I.39)
Einen Beweis dieses Satzes ndet man z.B. im Reed-Simon. Wir
wollen versuhen, das Ergebnis plausib el zumahen. Dazu b etrahten
wir
3
2 Z
3 it(kv ! )
x t
Abbildung 1. Der von den Weltlinien (t;tv );v 2
erzeugte Kegel
und entwikelndie Phase tÆ=t(kv !)um einenPunkt k
0
bis zur
zweitenOrdnung,
Æ =Æ
0
+(k k
0 )Æ
1 +
1
2
(k k
0
)M(k k
0
)+O (jk k
0 j
3
) (I.41)
mitÆ
0
=k
0
v !(k
0 ),Æ
1
=v grad!(k
0
)undM =(M
ij
),i;j =1;2;3,
M
ij
=
2
!
k
i k
j (k
0
): (I.42)
Ist Æ
1
6= 0, so oszilliert die Phase in einer Umgebung von k
0 stark
fur groe jtj, und die Beitrage der vershiedenen eb enen Wellen mit
Wellenzahlvektorkk
0
loshensihgegenseitig aus. Es tragendaher
zu groen Zeitennurdie Umgebungenvon Wellenzahlvektorenk
0 mit
Æ
1
= 0 b ei. Ist v 62 , so ergibt sih das shnelle Vershwinden von
'(t;tv ) furjtj!1.
Nun sei v 2 . Dann gibt es ein k
0
2 supp'^ mit grad!(k
0 ) =v .
Furgroe t ndet man (fallsdetM 6=0)
'(t;tv )(2) 3
2 Z
d 3
k'(k)e^ it Æ
0 +
1
2 (k k
0
)M(k k
0 )
=(2) 3
2
jtj 3
2
e itÆ
0 Z
d 3
k'(k^
0 +t
1
2
k)e i
2 kMk
!
t!1 (it)
3
2
e itÆ
0
^ '(k
0
)(detM) 1
2
:
(I.43)
Man kann sih das Verhalten der Wellenfunktion in einem raum-
zeitlihenBildveranshaulihen.Sei derGeshwindigkeitstragereiner
Wellenfunktion'.Dann bildendieWeltlinien(t;tv );t>0;v2 einen
Kegel in der Raumzeit RR 3
. Auerhalb des Kegels fallt die Dihte
2
einklassishesTeilhen,dassihmitkonstanterGeshwindigkeitv2
b ewegt.
Es gibt allerdings einen gravierenden Untershied. Integrieren wir
die Dihte zur Zeit t ub er eine Kugel mit Radius R um tv , so ergibt
sihfur groe t
Z
jx tv j<R d
3
xj'(t;tx)j 2
= Z
jx tv j<R d
3
xjC( x
t )j
2
jtj 3
= Z
jv 0
v j<
R
jtj d
3
v 0
jC(v 0
)j 2
:
(I.44)
Dieser Ausdruk strebt wiejtj 3
gegen Null. Die Ladung, bzw. Masse
des Teilhens breitet sih also im Laufe der Zeit immer mehr aus, in
krassemGegensatz zurErfahrung, dass Elementarteilhen,dieaus fer-
nenGalaxienkommen,sihnihtvondenhiererzeugtenuntersheiden.
Die Auosung dieses Widerspruhs gelang Born. Nah Born muss
j'(t;x)j 2
als die Wahrsheinlihkeitsdihte dafur angesehen werden,
dass man das Teilhen zur Zeit t am Ort x antrit. Bei dieser Inter-
pretation verzihtetman auf dieVorhersage von Einzelereignissen;die
Wellenfunktion reprasentiert ein Ensemble gleihartiger Systeme und
gestattet Aussagen
ub er dierelative Haugkeitvon Ereignissen.
Grundlagen der Quantenmehanik
1. Shrodingergleihung
Akzeptiertman dieBornsheWahrsheinlihkeitsinterpretation,so
gibt es keineprinzipiellenEinwande gegen die Beshreibung von Teil-
hen durh Wellenfunktionen. Man b enotigt jetzt eine
Ub ersetzungs-
vorshrift, die die mehanishen Groen mit Wellengroen verbindet.
Wir hatten b ereits gesehen, dass die Grupp engeshwindigkeit grad!
sinnvollerweiseals Geshwindigkeit des Teilhens interpretiertwerden
kann. Weiter konnen wir nah Plank, Einstein und Bohr davon aus-
gehen,dass zwishen derEnergieE desTeilhensund der Frequenz
!
2
der Welle der Zusammenhang
E =~! (I I.1)
b esteht. Was entsprihtnun demImpuls?Furkraftefreie Teilhen gilt
der folgendeZusammenhangzwishen Geshwindigkeitund Impuls,
v=grad
p
E ; (I I.2)
und zwar sowohl nihtrelativistish (E = jpj
2
2m
) v = p
m
) als auh
relativistish(E = p
m 2
4
+jpj 2
2
)v = p
2
E
). Dieslegt es nahe, die
de Broglie-Beziehung
p=~k (I I.3)
anzunehmen, dieja auh quantitativim Compton-Eekt und in Elek-
tronenb eugungsexp erimentenb estatigt wird.
Damitistab erdieDisp ersionsb eziehung!(k)b ereitseindeutigfest-
gelegt, namlih
!(k)= r
m 2
4
~ 2
+jkj 2
2
(I I.4)
im relativistishenund
!(k)=
~jkj 2
2m
(I I.5)
im nihtrelativistishenFall.ImletzterenFall kann dieDisp ersionsb e-
ziehung direkt in eine Dierentialgleihung fur die Wellenfunktion '
ub ersetzt werden. Denn esgilt
t
'(t;x)=(2) 3
2 Z
d 3
k'(k)(^ !)e
i(kx ! t)
;
'(t;x)=(2) 3
2 Z
d 3
k'(k)(^ jkj 2
)e
i(kx ! t)
;
(I I.6)
und damitdie Shrodingergleihungfur einfreies Teilhen
i~
t '=
~ 2
2m
' : (I I.7)
Im relativistishen Fall gelangt man stattdessen zur Klein-Gordon-
Gleihung
~ 2
2
t 2
'=m 2
4
' ~
2
2
' ; (I I.8)
die ab er auh Losungen mit negativenFrequenzen(und folglih nega-
tiven Energien) zulasst. Diese Losungen hangen mit der Moglihkeit
der Teilhenerzeugung und -vernihtung zusammen; eine konsistente
Interpretation isterst im Rahmender Quantenfeldtheorie moglih.
WirwollenunsindieserVorlesungaufdennihtrelativistishenFall
b eshranken.Die entsheidende Frage ist jetzt, wieder Einuss
aue-
rer Krafte auf das Teilhen b eshrieb en werden kann. Wir b etrahten
den Fall eines konservativen Kraftfeldes F(x) = gradU(x). In der
klassishenMehanik istdie Energie
E = jpj
2
2m
+U(x) : (I I.9)
Setzt man wie vorher E = ~! und p = ~k, so ndet man, dass b ei
vorgegeb ener Energie dieWellenlange
= 2
jkj
= h
jpj
=
h
p
2m(E U(x)
(I I.10)
ortsabhangig ist;dies mahtoenbar nurdann Sinn,wennU sihub er
den Bereih einer Wellenlange kaum
andert. Unter dieser Vorausset-
zung erhalten wir als DierentialgleihungdieShrodingergleihung
i~
t
(t;x)=H (t;x): (I I.11)
mit demHamiltonop erator
H =
~ 2
2m
+U(x) :
Shrodingerhat nunp ostuliert,dass diese Gleihung(dieShrodinger-
gleihung )allgemeingilt.
DieShrodingergleihunghatsihimVergleihvonExp erimentund
Theorie hervorragend b ewahrt. Sie lasst sih jedo h niht herleiten.
Wie dieNewtonsheBewegungsgleihung und dieMaxwellgleihungen
1. SCHRODINGERGLEICHUNG 19
EineallgemeineLosungder Shrodingergleihungfurb eliebigesPo-
tential U gibt es niht. Fur einige wenige, zum Gluk praktish rele-
vanteFallegibt es einegeshlossene Losung. Weitergibt eseineReihe
wihtigerAusagenub erdieLosungen derShrodingergleihung,dieun-
abhangig von der Wahl des Potentials sind:
Superpositionsprinzip: Da die Shrodingergleihung linear ist,
sind mit'
1
(t;x)und '
2
(t;x)auh dieWellenfunktionen
1 '
1
(t;x)+
2 '
2
(t;x),
1
;
2
2 C Losungen der Shrodingerglei-
hung.
Determiniertheit: DieShrodingergleihungisteineDierential-
gleihung,dieb ezuglihderZeitvonersterOrdnungist.Diesb e-
deutet,dassdieLosungendurheineAnfangsb edingung,namlih
die Vorgab e der Wellenfunktion zu einer festen Zeit, eindeutig
festgelegt sind.
Erhaltungssatz: Wie im Fall der kraftefreien Bewegung ist die
Groe
N = Z
dxj'(t;x)j 2
(I I.12)
unabhangig von t.Es giltnamlih
t
j'(t;x)j 2
=
t
'(t;x)'(t;x)+'(t;x)
t
'(t;x)
(hierb ei hab en wir ausgenutzt, dass Dierentiation nah einer
reellen Variablenund komplexeKonjugation vertaushen)
= i
~
H'(t;x)'(t;x) '(t;x)H'(t;x)
(Shrodingergleihung)
= i~
2m
'(t;x)'(t;x) '(t;x)'(t;x)
(da U(x) reellist,vershwindet der Beitragdes Potentials)
= i~
2m
div grad'(t;x)'(t;x) '(t;x)grad'(t;x)
(nah der Pro duktregel gilt div (gradf)g
= (f)g +gradf
gradg ;diegrad grad -Terme heb en sihheraus)
= divj(t;x);
mit
j(t;x)=
~
2mi
grad'(t;x)'(t;x) '(t;x)grad'(t;x)
(I I.13)
d.h.
j'(t;x)j 2
+divj(t;x)=0 (I I.14)
(Kontinuitatsgleihung). Ist nun G R ein b eliebiges Gebiet
mit Rand G,so erhaltenwir mittelsdes Gaussshen Satzes
d
dt Z
G
j'(t;x)j 2
d 3
x= Z
G
t
j'(t;x)j 2
d 3
x
= Z
G
divj(t;x)d 3
x= Z
G
j(t;x)d 2
x
d.h., die zeitlihe
Anderung des Integrals der Dihte ub er G
kommt durh einen Strom zustande, der durh den Rand von
Giet. Gehtj(t;x)furjxj! 1shnellgegenNull,so folgtdie
Zeitunabhangigkeit von R
d 3
xj'(t;x)j 2
.
2. Bornshe Wahrsheinlihkeitsinterpretation
Shrodinger hatte versuht, dieDihte j'(t;x)j 2
mit der Ladungs-
dihte zu identizieren; j(t;x) ware dann die Stromdihte. Wie b e-
reits b espro hen, ist ab er das zeitlihe Auseinanderlaufen der Dihte
im kraftefreien Fall niht mit dem Verhalten der exp erimentellb eob-
ahtetenLadungsverteilung zuvereinbaren.EineweitereShwierigkeit
tritt auf,wennmanSystemeausmehrerenTeilhenb etrahtet:dieLa-
dungsverteilung entwikeltsih dann in sehr komplizierterWeise;eine
Beshreibung durh eine Wellenfunktion '(t;x) sheint niht moglih
zu sein.
Eine konsistente Interpretation der Wellenfunktion ist von Born
(1926)gefundenworden.BetrahtenwireintypishesStreuexp eriment,
b estehend aus einer Quelle Q, einem Target T und einem Detektor
D . Die Quelle liefert im Idealfall Teilhen mit gleihen Eigenshaften
(Masse,Ladung,Energie,Impuls,::: )miteinergewissenRate,diewir
als so klein annehmen wollen, dass sih die Teilhen gegenseitig niht
b eeinussen. ZurZeitt,nahdemeinTeilhendieQuelleverlassenhat,
stellen wir den Detektor an; dieser spriht an, falls das Teilhen sih
zu diesemZeitpunktim Detektoraufhalt.Man wiederholtjetzt diesen
Vorgang mehrmals und b estimmt die relative Haugkeit, mit der ein
Teilhen vomDetektornahgewiesen wird.
Nah Born wird diese Situation in der folgenden Weise durh die
Wellenfunktionb eshrieb en.DieWellenfunktion'(t;x)harakterisiert
ein Ensemblevon Kopieneines Teilhens,diedurhgleihe
auereBe-
dingungen prapariert worden sind, in unserem Falldurh diefest vor-
gegeb eneQuelle,und diesihunterdemEinussdes Targetsb ewegen.
Die Wahrsheinlihkeit, ein solhes Teilhen zur Zeit t im Gebiet G
anzutreen, ist
W
t (G)=
Z
G
j'(t;x)j 2
d 3
x;
vorausgesetzt,dass R
j'(t;x)j 2
d 3
x=1(normierteWellenfunktion),an-
R
2 3
(Da N zeitunabhangig ist, ist eine Wellenfunktion, diezur Zeit t nor-
miert ist, zu allen Zeiten normiert.)Die Wahrsheinlihkeit, das Teil-
henirgendwoanzutreen,istoenbarW
t (R
3
)=1.Exp erimentellwer-
den die Wahrsheinlihkeiten durh die gemessenen relativen Haug-
keiten approximiert.
Die InterpretationBorns verzihtetgrundsatzlihauf dieVorhersa-
ge eines Einzelexp eriments.Es werden lediglih statistishe Aussagen
gemaht, die durh wiederholte Ausfuhrung gleihartiger Exp erimen-
te getestet werden konnen. Dieser Standpunkt war (und ist) vielen
Physikern unb ehaglih. So glaubte Einstein, dass die Physik letztlih
do hdeterministishist(
"
Gottwurfeltniht\),undhatzahlreiheGe-
dankenexp erimenteentworfen,diediesenStandpunkt erharten sollten.
Diese Ideenhab en vielfaltigetheoretisheund exp erimentelleUntersu-
hungenstimuliert.IhreErgebnisselassenkaumno heinenZweifeldar-
an, dass einedeterministisheTheorie der Mikrophysik niht moglih
ist. Wir werden auf diesen erkenntnistheoretish interessanten Punkt
spater no heinmal zuruk kommen.
3. Mehrteilhensysteme
Wir wollen nun diskutieren, wie Mehrteilhensystemeb eshrieb en
werden konnen. Bei einem System von n untersheidbaren Teilhen
1;::: ;n erwarten wir, dass Vorhersagen moglih sind, mit welher
Wahrsheinlihkeit Teilhen 1 im Gebiet G
1
, Teilhen 2 im Gebiet
G
2
u.s.w. gleihzeitig angetroen werden konnen (Koinzidenzexp eri-
mente). Betrahten wir zunahst zwei Teilhen, die niht miteinan-
der wehselwirken. Sind sie unabhangig voneinander prapariert wor-
den, so sollten die Aufenthaltswahrsheinlihkeiten unkorreliert sein.
Die Wahrsheinlihkeit,zur Zeit t Teilhen 1 in G
1
und Teilhen 2 in
G
2
anzutreen, ist dann
W
t (G
1
;G
2 )=W
(1)
t (G
1 )W
(2)
t (G
2
) : (I I.15)
Jedes der Teilhen wird durh eine Wellenfunktion '
j (t;x
j
) b eshrie-
b en, dieeiner geeigneten Shrodingergleihunggenugt,
i~'
j (t;x
j )=H
j '
j (t;x
j ) ;
und dieAufenthaltswahrsheinlihkeitensind gegeb en durh
W (j)
t (G
j )=
Z
G
j d
3
x
j j'
j (t;x
j )j
2
:
Also ist
W
t (G
1
;G
2 )=
Z
G d
3
x
1 j'
1 (t;x
1 )j
2 Z
G d
3
x
2 j'
2 (t;x
2 )j
2
;
diegemeinsameAufenthaltswahrsheinlihkeitdesZweiteilhensystems
kann also durh eine Wellenfunktion mit2 Ortsargumenten x
1
;x
2 b e-
shrieb en werden,
'(t;x
1
;x
2 )='
1 (t;x
1 )'
2 (t;x
2 ):
' erfulltdieGleihung
i~
t '(t;x
1
;x
2
)=(H
1 +H
2
)'(t;x
1
;x
2 )
=
~ 2
2m
1
x
1
~ 2
2m
2
x
2 +U
1 (x
1 )+U
2 (x
2 )
'(t;x
1
;x
2 ) :
Es liegtjetztnahe,Wehselwirkungenzwishen denTeilhendurhdie
Addition einesPotentials U
int (x
1
;x
2
)zub eruksihtigen.Damiterhalt
man die 2-Teilhen-Shrodingergleihung
i~
t '(t;x
1
;x
2
)=H'(t;x
1
;x
2
) (I I.16)
mit dem2-Teilhen-Hamilton-Op erator
H =
~ 2
2m
1
x
1
~ 2
2m
2
x
2
+U(x
1
;x
2 )
mitU(x
1
;x
2 )=U
1 (x
1 )+U
2 (x
2 )+U
int (x
1
;x
2
):Die2-Teilhen-Shrodin-
gergleihung hat dieFormeiner 1-Teilhen-Shrodingergleihungim6-
dimensionalenKongurationsraumR 3
R 3
.DahergeltenfurdieLosun-
genwiederdasSup erp ositionsprinzip,das PrinzipderDeterminiertheit
undderErhaltungssatzfurdieDihte(imR 3
R 3
)j'(t;x
1
;x
2 )j
2
:Nah
Born b eshreibteinenormierteLosung der2-Teilhen-Shrodingerglei-
hung einEnsemblevon Kopien zweieruntersheidbarer Teilhen, die
festen
aueren Bedingungen unterliegen(
"
Zustand\). DieWahrshein-
lihkeit,zur Zeit t Teilhen 1 im Gebiet G
1
und Teilhen 2 im Gebiet
G
2
anzutreen, ist
W
t (G
1 G
2 )=
Z
G
1 G
2 d
3
x
1 d
3
x
2 j'(t;x
1
;x
2 )j
2
: (I I.17)
Zu b eahten ist, dass ' niht notwendig ein Pro dukt von 1-Teilhen-
Wellenfunktionen ist. Z.B. ist fur wehselwirkende Teilhen eine Wel-
lenfunktion, diezu einemgegeb enen Zeitpunktein Pro dukt ist, inder
Regel zuanderenZeitennihtalsPro duktdarstellbar.DieWehselwir-
kung fuhrt also zuKorrelationen derAufenthaltswahrsheinlihkeiten.
Bisher hab en wir angenommen, dass die Teilhen untersheidbar
sind. Tatsahlih sind ab er Teilhen, die gleihe Masse, Spin und La-
dung hab en, ununtersheidbar.Will man zweiununtersheidbareTeil-
hen durh eine Wellenfunktion '(t;x
1
;x
2
) b eshreib en, so darf die
Wahrsheinlihkeitsdihte niht von der Nummerierung der Teilhen
abhangen,d.h. esmuss gelten
j'(t;x ;x )j 2
=j'(t;x ;x )j 2
:
Dies lat sih am einfahsten realisieren, indem man fordert, dass '
symmetrish
'(t;x
1
;x
2
)='(t;x
2
;x
1 )
o der antisymmetrishist,
'(t;x
1
;x
2
)= '(t;x
2
;x
1 ):
Im ersten Fall nennt man die Teilhen Bosonen; Beispiele sind Pho-
tonen, -Mesonen, W- und Z-Bosonen, Higgs-Teilhen, ab er auh H-
Atome und -Teilhen; im zweiten Fall spriht man von Fermionen;
BeispielesindElektronen,Protonen,Neutronen,ab er auhHe
3
-Kerne.
InderTeilhenphysiksindnurdieseb eidenMoglihkeitenrealisiert;
ein tieferes Verstandnis dafur liefert die relativistishe Quantenfeld-
theorie. Diese Aussage giltnurin mindestens 3 raumlihen Dimensio-
nen; inSystemender Festkorp erphysik,indenensih(Quasi-)Teilhen
nur in ein o der zweiDimensionen frei b ewegen konnen, sind auh an-
dere Moglihkeitendenkbar.SiesheineneineRolleb eimfraktionellen
Quanten-Hall-Eekt zuspielen.
DieVerallgemeinerungderobigen
Ub erlegungenliegenaufderHand.
Ensemblesvonn TeilhenwerdendurhWellenfunktionenmitnArgu-
mentenb eshrieb en.SindeinigederTeilhenununtersheidbar,somuss
die Wellenfunktion in den entsprehenden Argumenten symmetrish
bzw. antisymmetrish sein. Die Wellenfunktion genugt der Shrodin-
gergleihung
i~
t '(t;x
1
;::: ;x
n
)=H'(t;x
1
;::: ;x
n
) (I I.18)
mit demHamiltonop erator
H =
~ 2
2m
1
x
1
~ 2
2m
n
xn
+U(x
1
;::: ;x
n
); (I I.19)
wob eiU dieSummeder Potentialeder
aueren Krafte und der Weh-
selwirkungsp otentiale ist.Die Wellenfunktionistnormiert,
Z
d 3
x
1 d
3
x
n j'(t;x
1
;::: ;x
n )j
2
=1;
und dieGroe
W
t (G
1
G
n )=
Z
G
1 Gn
d 3
x
1 d
3
x
n j'(t;x
1
;::: ;x
n )j
2
wird als die Wahrsheinlihkeit interpretiert, zur Zeit t Teilhen 1 in
G
1
, Teilhen2 in G
2
usw. zunden.
4. Observable und Operatoren
Wir wollen indiesemAbshnitt untersuhen,wieandere physikali-
she Observable als der Ort in der Quantenmehanik dargestellt wer-
den. Es wird sih zeigen, dass diese Darstellung durh die Bornshe
Wirb etrahtenderEinfahheithalb ereinEinteilhensystem.Sei'
einenormierteLosung der Shrodingergleihung.Ausder Wahrshein-
lihkeitsdihte (t;x) = j'(t;x)j 2
zur Zeit t erhalt man den Erwar-
tungswert des Ortes
hxi = Z
d 3
xx(t;x)
und das Shwankungsquadrat (Varianz)
(x) 2
=h x hxi
2
i
= Z
d 3
x(t;x)(x hxi) 2
= Z
d 3
x(t;x)(jxj 2
jhxij 2
)
=hjxj 2
i jhxij 2
:
Allgemein ist fur jede (messbare) Funktion f des Ortes wie z.B. das
Potentialder Erwartungswert gegeb en durh
hf(x)i= Z
d 3
xf(x)(t;x):
Aus den Informationen
ub er die Wahrsheinlihkeitsverteilungen
des Orteszuallen Zeitenergeb ensihauhdieWahrsheinlihkeitsver-
teilungender Geshwindigkeiten.ImkraftefreienFallisteinklassishes
Teilhen, das sih zur Zeitt =0 in einer Kugel K
R
umden Ursprung
b endet und eine Geshwindigkeit v 2 b esitzt, zur Zeit t im Ge-
biet K
R
+t . Sei ' eine Losung der freien Shrodingergleihung mit
'(0;x)=0furjxj>R.Dann istdieAufenthaltswahrsheinlihkeitzur
Zeitt imGebiet K
R +t
W
t (K
R
+t )= Z
K
R +t
d 3
xj'(t;x)j 2
= Z
K
R
jtj +
d 3
v jtj 3
j'(t;tv )j 2
:
NahAufgab e 4 gilt
'(t;tv )= m
2i~t
3
2 Z
d 3
xe imjtv xj
2
2~t
'(t;x)
= m
2i~t
3
2
e imv
2
t
2~
Z
d 3
xe i
mv
~ x
e im
jxj 2
2~t
'(0;x):
DasIntegralinderletztenZeilekonvergiertfurjtj!1gegen(2) 3
2
^ '
mv
~
:
Damit folgtunabhangig von R
lim
jtj!1 W
t (K
R
+t )= Z
d 3
v m
3
~ 3
j'^ mv
~
j 2
;
d.h.
m 3
~ 3
j'(^ mv
~ )j
2
kann als die Wahrsheinlihkeitsdihte fur die Ge-
shwindigkeit angesehen werden. Wegen p = mv erhalt man fur die
ImpulsverteilungdieWahrsheinlihkeitsdihte
(p)=~ 3
j'(^ p
)j 2
;
in
Ub ereinstimmung mitder b eider Begrundung der Shrodingerglei-
hung verwendetendeBroglie-Beziehungp=~k:
ImFallderkraftefreienBewegungistdieImpulsverteilungunabhan-
gig von der Zeit.Es mahtab er Sinn, auhnahder momentanenIm-
pulsverteilung zu einem Zeitpunkt t zu fragen. Man kann diese mit
Hilfe der asymptotishen Aufenthaltswahrsheinlihkeitdenieren,die
sih ergibt, wenn zum Zeitpunkt t die Wehselwirkung ausgeshaltet
wird,
(t;p)=~ 3
j'(t;^ p
~ )j
2
;
mit der raumlihenFouriertransformiertenzur Zeitt,
^
'(t;k)=(2) 3
2 Z
d 3
x'(t;x)e ikx
:
Die zeitliheEntwiklung der Impulsverteilungkann mit Hilfeder Im-
pulsraumversionder Shrodingergleihungb eshrieb enwerden.Es gilt
i~
t
^
'(t;k)=
~ 2
jkj 2
2m
^
'(t;k)+(2) 3
2 Z
d 3
k 0
^
U(k k 0
)'(t;^ k 0
) :
(I I.20)
MitHilfederImpulsraumdihtekonnendieErwartungswerteb eliebiger
(messbarer) Funktionen des Impulsesb erehnet werden.
Auh fur andere Observable (z.B. Drehimpuls und Energie) lassen
sih Wahrsheinlihkeitsverteilungennden. Ihre expliziteAngab e ist
ab er oft niht o der nihtso einfahmoglih.
Man b eshreitet deshalb einen anderen Weg. Zunahst b emerkt
man,dasssihErwartungswertep olynomialerFunktionendesImpulses
direkt aus der WellenfunktionimOrtsraum b estimmenlassen. Es gilt
k'(t;^ k)=(2) 3
2 Z
d 3
x'(t;x)ire ikx
(partielleIntegration)=(2) 3
2 Z
d 3
x ir'(t;x)
e ikx
:
(I I.21)
Beidieser Rehnunghab en wir vorausgesetzt,dass ' glatt istund b ei
unendlihshnellgenugabfallt,so dassdieRandtermeb eiderpartiellen
Integration vershwinden.
Iteriertman diese Rehnung so erhaltman fureinb eliebiges Poly-
nom g(k) dieFormel
3
2 Z
3
ikx
Furden Erwartungswert von g(p) ndetman daher
hg(p)i = Z
d 3
kj'(t;^ k)j 2
g(~k)
= Z
d 3
k'(t;^ k)g(~k)'(t;^ k)
= Z
d 3
k'(t;^ k)(2) 3
2 Z
d 3
x g( ir)'(t;x)
e ikx
= Z
d 3
x(2) 3
2 Z
d 3
k'(t;^ k)e ikx
g( i~r)'(t;x)
= Z
d 3
x'(t;x)g( i~r)'(t;x):
(I I.23)
Die Observableg(p) wirdalsodurhdenDierentialop eratorg( i~r)
auf den Ortsraumwellenfunktionen dargestellt; ihre Erwartungswerte
sind durh dieobige Formelgegeb en. Die Formelfur den Erwartungs-
wert einer Funktion des Ortes f(x) lat sih in
ahnliher Weise in-
terpretieren: die Observable wird dargestellt durh den Op erator der
Multiplikation mitder Funktion f.
Wir hab en damit einen gemeinsamen Rahmen gefunden, in dem
sowohl Ort alsauh Impuls b eshrieb en werdenkonnen. Insb esondere
maht es jetzt auh Sinn, Summen von Orts- und Impulsobservablen
zu bilden. Prominentestes Beispiel ist die Energie. Klassishgilt E =
jpj 2
2m
+U(x) : In der Quantentheorie werden dieErwartungswerte
h jpj
2
2m
i+hUi=hHi
oenbar durhden Dierentialop erator
H =
~ 2
2m
+U(x)
geliefert.H ist der Hamiltonop erator,der uns shon b ei der Shrodin-
gergleihung b egegnet ist. H spielt oenbar eine dopp elte Rolle: als
GeneratorderZeitentwiklungundalsObservableEnergie(ahnlihder
klassishenHamiltonfunktion).
Wir fassen die gefundenen Beziehungenzu den folgenden Quanti-
sierungsregeln zusammen:
(i) Observablein derQuantenmehanikwerdendurhlineareDie-
rentialop eratoren(b ezuglihx)aufdenWellenfunktionendarge-
stellt.
(ii) ErwartungswerteeinerObservablenOindemdurhdienormier-
te Wellenfunktion '(t;x) b eshrieb enen Zustand sind gegeb en
durh
Z
3
(iii) Ortsobservable f(x) werden durh den Op erator der Multipli-
kation mitder Funktionf(x),Impulsobservable g(p) miteinem
Polynomg durhden Dierentialop erator g( i~r) dargestellt.
(iv) SummenvonObservablenentsprehenSummenderentsprehen-
den Dierentialop eratoren.
Um allgemeinenklassishen Observablen einen Op erator zuordnen
zu konnen,mussman auhObservable der Formf(x)g(p)b etrahten.
Naherungsweise b esitzt das Pro dukt der entsprehenden Dierential-
op eratorenf(x)g( i~r)b eiAnwendungaufgut(imOrts-undImpuls-
raum) lokalisierte Wellenfunktionen die rihtigen Eigenshaften. Man
kann ab er eb enso gut dieReihenfolge im Pro dukt umkehren und den
Op erator g( i~r)f(x)b etrahten.BeideOp eratorensindimallgemei-
nen vershieden. Wir denieren Pro dukte daher zunahst nur fur den
Fall,dass dieentsprehendenOp eratoren miteinandervertaushen:
(v) Pro dukte von ObservablenentsprehenPro dukten derzugehori-
gen Dierentialop eratoren,falls diese miteinandervertaushen.
Als Anwendungsb eispielb etrahten wir den Drehimpuls. Klassish ist
er deniertals
L=xp :
Der Groe x
k p
l
furk 6=l entsprihtnahunserenRegeln der Op erator
x
k ( i~)
x
l
;damit erhalten wir fur den Drehimpuls
L = i~xr:
Ungeklart geblieb en ist bisherdie Interpretation von Pro dukten niht
vertaushbarer Dierentialop eratoren.Betrahten wir das Beispielder
klassishenObservablenp
l x
k
. In der Quantenmehaniknden wir
i~
x
l x
k
'(t;x)= i~Æ
k l
'(t;x)+x
k ( i)~
x
l
'(t;x);
d.h. die b eiden Reihenfolgen der Op eratoren p
l
und x
k
untersheiden
sihumeine Konstante
[p
l
;x
k
℄=p
l x
k x
k p
l
= i~Æ
lk :
Diese Relationen zusammenmitden oensihtlihenRelationen
[x
k
;x
l
℄=0=[p
k
;p
l
℄ :
sind dieb eruhmtenHeisenb ergshenVertaushungsrelationen. Sieent-
sprehen den kanonishen Poissonklammerninder klassishen Meha-
nik.
In der klassishen Mehanik bilden die Observablen eine assozia-
tive, kommutative Algebra mit der Poissonklammer als zusatzlihem
Pro dukt (Poissonalgebra).Inder QuantenmehanikistdieAlgebrader
Observablenassoziativ,ab ernihtmehrkommutativ,undderKommu-
5. Ehrenfestshes Theorem
EineRehtfertigungderBeshreibungvonObservablendurhOp e-
ratoren liefertdasEhrenfestsheTheorem.Esb esagt,dassfurdiezeit-
lihe
Anderung der Erwartungswertevon Ort und Impulsgilt
m d
dt
hxi=hpi
d
dt
hpi=hF(x)i ;
(I I.24)
wob ei F = gradU die auf das Teilhen wirkende Kraft ist. Die Er-
setzung der klassishen Observablen durh Op eratoren fuhrt also zu
denselb en Bewegungsgleihungen wie in der klassishen Physik. Gilt
darub erhinaus
hF(x)i=F hxi
;
so b ewegt sih der Erwartungswert des Ortes wie einklassisher Mas-
senpunkt. Dies ist erfullt, wenn das Potential ein Polynom zweiten
Grades ist.Naherungsweisegiltes,wenn dasPotentialaufdemTrager
der Aufenthaltswahrsheinlihkeitsdihtedurh die Taylorentwiklung
bis zur zweiten Ordnung approximiertwerden kann.
ZumBeweisdesEhrenfestshenTheoremsb enotigenwireinigeRe-
henregeln fur Op eratoren. Entsheidend ist dab ei die Interpretation
von Erwartungswerten als Skalarpro dukten. Seien '; 2L 2
(R 3
).Das
Skalarpro dukt von ' mit wird deniertals
';
:=
Z
d 3
x'(x) (x):
Esb esitztdiegefordertenEigenshafteneinesSkalarpro duktsaufeinem
komplexen Vektorraum,
Linearitat im rehten Faktor:
';
1 1 +
2 2
=
1 ';
1
+
2 ';
2
Antilinearitatim linken Faktor:
1 1 +
2 2
;'
=
1 '
1
;
+
2 '
2
;
Hermitizitat:
';
= ;'
Positivitat:
k'k 2
:= ';'
0
k'k=0=) '=0 imSinne von L 2
(R 3
):
Ein (linearer) Op erator A in L 2
(R 3
) ist eine lineare Abbildung A :
D (A) ! L 2
(R 3
), wob ei D (A) (der Denitionsb ereihvon A) ein Teil-
raum von L 2
(R 3
) ist. Z.B.b esteht D (x) aus allen '2L 2
(R 3
),furdie
x
i
' quadratintegrab el ist, fur die Impulsop eratoren muss man Die-
renzierbarkeitund quadratishe Integrierbarkeitder Ableitungen vor-
aussetzen.
DerErwartungswertvonAindemdurh'2D (A);'6=0b eshrie-
b enen Zustand ist
hAi=
';A'
k'k 2
: (I I.25)
Ist A=f(x) miteiner reellwertigenFunktion f, so giltoenbar
';A'
= A';'
:
Einen Op erator A mit dieser Eigenshaft nennt man hermitesh.Aus
derHermitizitatdesSkalarpro duktesergibtsih,dasshermitesheOp e-
ratoren reelleErwartungswertehab en;dahersolltenklassishenreellen
Observablen in der Quantentheorie hermiteshe Op eratoren entspre-
hen.
Wir wollen dies am Beispiel des Impulsop erators
ub erprufen. Sei
'2D (p
j
),d.h.'iststetigdierenzierbarund '
x
j 2L
2
(R 3
).Dann gilt
p
j ';'
= Z
d 3
x
~
i '
x
j
(x)'(x)
=i~
Z
d 3
x '
x
j '(x)
=i~
Z
d 3
x
x
j j'j
2
'(x) '
x
j (x)
= ';p
j '
(I I.26)
da die Randterme b ei der partiellen Integration vershwinden (Be-
weis?).Also istauh der Impulsop erator hermitesh.
Die Hermitizitatkann aquivalentauh durh
';A
= A';
; '; 2D (A)
deniert werden. Diese sheinbar starkere Eigenshaft ergibt sih aus
der Polarisationsidentitat
';A
= 1
4
'+ ;A('+ )
' ;A(' )
i '+i ;A('+i )
+i ' i ;A(' i )
:
Seien jetzt A;B hermitesheOp eratoren mit dem invarianten De-
nitionsb ereih D , d.h. AD ;BD D . Dann ist A +B hermitesh
mit Denitionsb ereih D , und das Pro dukt AB, eb enfalls mit De-
nitionsb ereih D , ist genau dann hermitesh,wenn der Kommutator
[A;B℄:=AB BA vershwindet,
Insb esonderesindalsoderHamiltonop eratorunddieKomp onentendes
Drehimpulsop erators hermitesh(auf einemgeeigneten Denitionsb e-
reih).
Wir kommenjetzt zum Beweis des Ehrenfestshen Theorems. Sei
'
t
(x) ='(t;x)fur eineLosung der Shrodingergleihung ', mit '
t 2
D (H)8t;k'
t
k = 1. Der Erwartungswert einer Observablen A zur Zeit
t istdann
hAi(t)= '
t
;A'
t
:
Nahder Shrodingergleihunggilt
d
dt '
t
= 1
i~
H'
t
und daherfurdie zeitlihe
Anderung des Erwartungswertes
d
dt hAi=
d
dt '
t
;A'
t
+ '
t
;A d
dt '
t
= 1
i~
H'
t
;A'
t
+ '
t
;A 1
i~
H'
t
= i
~
H'
t
;A'
t
'
t
;AH'
t
= i
~ '
t
;[H ;A℄'
t
= i
~
h[H ;A℄i :
Zum Beweis des Ehrenfestshen Theorems genugt es also, die Kom-
mutatoren von H mit x und p zu b erehnen. Allgemein gelten die
folgenden Rehenregeln fur Kommutatoren:
Linearitat:
[
1 A
1 +
2 A
2
;B℄=
1 [A
1
;B℄+
2 [A
2
;B℄
Antisymmetrie:
[A;B℄= [B;A℄
Derivationseigenshaft:
[AB;C℄=A[B;C℄+[A;C℄B
Jaobi-Identitat:
[[A;B℄;C℄+[[B;C℄;A℄+[[C ;A℄;B℄=0
Diese Regeln entsprehen denen fur Poissonklammern. Man b eahte
6. DIE HEISENBERGSCHEN UNSCHARFERELATIONEN 31
Man b erehnet jetzt
[H ;x
j
℄= 1
2m 3
X
k =1 [p
2
k
;x
j
℄
= 1
2m 3
X
k =1 p
k [p
k
;x
j
℄+[p
k
;x
j
℄p
k
= 1
2m 3
X
k =1 p
k
( i~)2Æ
jk
=
~
im p
j
;
also m d
dt
hxi =hpiwieb ehauptet.ZurBerehnungvon [H ;p
k
℄=[U;p
k
℄
wendenwir den KommutatoraufeineWellenfunktion 'an. Es gilt
[U(x);p
k
℄'
(x)=U(x)( i~)
k
'(x) ( i~)
k
U(x)'(x)
=i~(
k
U)(x)'(x) ;
also [U(x);p
k
℄=i~(
k
U)(x)= i~F
k
(x) und damit
d
dt
hpi=hF(x)i :
6. Die Heisenbergshen Unsharferelationen
DieQuantentheorieuntersheidetsihdadurhgrundlegendvonder
klassishen Mehanik, dass die Observablen durh Op eratoren darge-
stellt werden, die niht notwendig miteinander vertaushen. Es war
Heisenb erg,derzuerstdiephysikalisheBedeutungderNihtvertaush-
barkeiterkannthat.
Seien A und B hermiteshe Op eratoren mit einem gemeinsamen
invariantenDenitionsb ereihD .Wegender Positivitatdes Skalarpro-
dukts giltfur alle2R;'2D
0k(A+iB)'k 2
= ';(A iB)(A+iB)'
= ';A 2
'
+i ';[A;B℄'
+ 2
';B 2
'
:
Ist ';B 2
'
=0;somussauh ';[A;B℄'
=0gelten.Ist ';B 2
'
6=
0;alsowegen ';B 2
'
= B';B'
>0;sonimmtderobigeAusdruk
fur = i
2
';[A;B℄'
';B 2
'
sein Minimum ein. Multiplikation mit ';B 2
'
ergibt
';A 2
'
';B 2
'
';
i
2
[A;B℄'
2
:
EineVersharfungdieserUngleihungerhaltman,indemvonA undB
Vielfahedes Einsop erators abzieht.Es gilt
und daherfurreellea;b
';(A a1) 2
'
';(B b1) 2
'
';
i
2
[A;B℄'
2
:
Das Minimumder linkenSeite wird erreihtfura= ';A'
k'k 2
=hAi;b=
hBi : Man deniertdie mittlerequadratishe Shwankung als Wurzel
der Varianz
(A) 2
=h(A hAi) 2
i=hA 2
i hAi 2
:
Dann erhalt man dieallgemeineUnsharferelation
(A)(B)jh i
2
[A;B℄ij: (I I.27)
Das wihtigste Beispiel fur diese Relation ist der Fall A =p
k
;B =x
j .
MitdenHeisenb ergshenVertaushungsrelationenfolgtdieHeisenb erg-
sheUnsharferelation
(p
k )x
j
~
2 Æ
jk
: (I I.28)
Es gibt also keinen Zustand, in dem sowohl p
k
als auh x
k
b eliebig
sharfeWerteannehmen.VersuhtmanetwadieImplsunsharfezuver-
ringern,so nimmtdab eizwangslaugdieOrtsunsharfezu.Betrahten
wir als Beispiel ein Gaushes Wellenpaket, der Einfahheit halb er in
einer Dimension,
'(x) =(2a) 1
4
e x
2
4a
:
Es giltk'k=1;hxi=0=hpi und
(x) 2
=hx 2
i= Z
dx(2a) 1
2
x 2
e x
2
2a
=a;
(p) 2
=hp 2
i=kp'k 2
= Z
dx(2a) 1
2
~ 2
j d'
dx (x)j
2
=
~ 2
4a 2
Z
dx(2a) 1
2
x 2
e x
2
2a
=
~ 2
4a :
Also giltpx=
~
2
unabhangig von a.
Insb esondere folgtaus den Unsharferelationen, dass es keinenor-
mierbarenWellenfunktionengibt,indenendieOrts-o derImpulsunsharfe
vershwinden.InnerhalbvonRehnungenb enutztmanallerdingsmanh-
malsogenannteuneigentliheZustande,indenenOrto derImpulsshar-
fe Werteannehmen.So ist
Æ
a
(x)=Æ(x a)
eine Wellenfunktion, dieein Teilhen am Ort a b eshreibt; wegen der
Nihtnormierbarkeitgibtesab erkeinphysikalishesSystem,dasdurh
6. DIE HEISENBERGSCHEN UNSCHARFERELATIONEN 33
erhaltmandurhkontinuierliheSup erp osition diesersharflokalisier-
ten Wellenfunktionen,
'(x)= Z
d 3
a'(a)Æ
a (x) :
UneigentliheZustande mitsharfemImpulssind
~
Æ
p
(x) =(2~) 3
2
e i
px
~
:
Hierb ei wird dieNormierungso gewahlt,dass gilt
Z
d 3
x
~
Æ
p (x)
~
Æ
q
(x)=Æ(p q) :
KontinuierliheSup erp osition ergibt wieder normierte Wellenfunktio-
nen,
'(x)= Z
d 3
p(p)
~
Æ
p (x)
mit
Z
d 3
pj(p)j 2
=1:
Die Aussage der Quantenmehanik,dass es unmoglihist, ein En-
semblevonTeilhenzupraparieren,so dass OrtundImpulsgleihzeitig
b eliebig sharfeWerteannehmen,hat zu einer grundsatzlihen Unter-
suhungdesMessprozessesgefuhrt.InderklassishenPhysikgehtman
davon aus, dass ein physikalishes System gewisse Eigenshaften b e-
sitzt, die man b ei einer Messung lediglihzur Kenntnis nimmt.Ware
dies wirklih der Fall, so musste es moglih sein, aus einem Ensem-
blediejenigenTeilhenherauszultern,derenOrt undImpulsineinem
vorgegeb enen Bereihliegen.
Betrahten wir eine Quelle, dieTeilhen mitnahezu sharfem Im-
puls p inx-Rihtungaussendet.Um den Teilhenstrahl zukollimieren,
shikenwirihndurheinenSpalt,der iny-Rihtungdie
Onungsbrei-
te y hat. Wegen des Wellenharakters der Teilhen zeigt sih nah
genugend langerZeit aufeinemhinterdemSpalt aufgestellten Shirm
ein Interferenzmuster,das angibt, mitwelher Haugkeit dieTeilhen
an einer b estimmten Stelle auftreen. Das erste Minmumtritt unter
dem Winkel
=arsin
y
=arsin h
py
auf. Ein Teilhen, das unterdem Winkel auftrit, hat einen Impuls
mity-Komp onentep
y
=psin.DerSpalt
ub ertragtalsooenbareinen
Impulsiny-Rihtung,der Wertebiszu h
y
annehmenkann. Mankonn-
te jetzt versuhen, den auf die Blende wirkenden Ruksto zu mes-
sen, um so die Teilhen mit sharfen Werten von p
y
herausltern zu
konnen. Hierzudenkenwir uns die Blende b eweglih angebraht. Wir
dieBlendegilt.DamitdergewunshteKollimationseekteintritt,muss
ihre OrtsunsharfeÆydeutlihkleinerals dieSpaltbreite sein,
Æyy :
Dann istab er dieImpulsunsharfeÆp
y
der Blendemindestensgleih h
Æ y
und damitdeutlihgroer alsder aufdas Teilhen
ub ertrageneImpuls
h
y .
Diese
Ub erlegungenlassen esfraglihersheinen,ob Teilheneinen
wohldenierten Ort und Impuls hab en, den man ab er niht gleihzei-
tig festlegen kann. Orts- und Impulsmessung sind inkompatib el. Die
Existenz inkompatiblerObservabler istder entsheidendeUntershied
zwishen Quantenphysikund klassisherPhysik.
Besonders deutlihwirdder Untershiedzu klassishenVorstellun-
gen b eimDopp elspaltversuh. Dab eitrit einTeilhenstrahlaufeinen
Dopp elspalt. Auf einem dahinter b endlihen Shirm entwikelt sih
ein Interferenzmuster. Es maht jetzt keinen Sinn, anzunehmen, das
Teilhen wurde durh einen der Spalte hindurhiegen. Denn wenn
man einen der Spalte shliet, so
andert sih das Interferenzmuster
vollstandig; keineswegs ergibt sih das Interferenzmuster des Dopp el-
spaltsalseine
Ub erlagerungdesInterferenzmustersb eiderSpalte.Man
kanndieMessanordnungsoabandern,dassmanfeststellenkann,durh
welhenSpaltdasTeilhengeogen ist;dannab ervershwindetdasIn-
terferenzmusterdes Dopp elspalts.
Die einzige plausible Erklarung sheint zu sein, dass physikalishe
SystemkeineobjektivenEigenshaftenhab en,diemanmitMessungen
feststellen kann, sondern dass sie auf Messungen reagieren, in einer
Weise,die durh statistisheGesetze b estimmtist.
Bei dieser Interpretation ergibt sih ab er das Problem, wie weit
dieQuantenmehanikunabhangig vomBeobahterist.Wirwerdenauf
diese Frage no hzurukkommen.
7. Bindungs- und Streuzustande (Ausblik)
Bevor wir imnahsten Kapitelmitder AnalysekonkreterSysteme
b eginnen,wollenwiruns
ub erlegen,welheLosungstyp enderShrodin-
gergleihung wirerwarten.Inder klassishen Mehanik einesTeilhens
im
aueren Potentialgibt es,abgesehenvon einigenSp ezialfallen,zwei
Bahntyp en: nite Bahnen, b ei denen das Teilhen zu allen Zeiten in
einem endlihen Raumgebiet bleibt, und Streubahnen, b ei denen das
Teilhen aus dem Unendlihen kommt und dorthin wieder vershwin-
det.Entsprehenderwartenwir inderQuantentheoriezweiTyp envon
Losungen.
7.1. Bindungszustande. Ein Bindungszustand istein Ensemble
von Teilhen, die zu allen Zeiten im Endlihen bleib en. Genauer ge-
7. BINDUNGS-UND STREUZUSTANDE (AUSBLICK) 35
ausgedehntes Gebiet G, so dass man das Teilhen zu allen Zeiten mit
der Wahrsheinlihkeit
W
t
(G) 1 "
in G antrit.
WihtigeBeispielefurBindungszustandesinddiestationarenZustande.
Man ndet ihre Wellenfunktionen als Losungen der Shrodingerglei-
hung mitdemPro duktansatz
'(t;x)=a(t) (x):
Die NormierungderWellenfunktionerfordert ja(t)j=onst . Einsetzen
in dieShrodingergleihungergibt fura die Dierentialgleihung
i~
d
dt
a=Ea
mit der Losung a(t) = a(0)e iEt=~
. Nur reelle Werte von E sind mit
der Bedingung ja(t)j=onst vertraglih.Fur ndet man diezeitun-
abhangigeShrodingergleihung
H =E :
Dies isteine Eigenwertgleihungim VektorraumD (H) L 2
(R 3
).Fur
jedeEigenfunktion erhaltmandanndieLosungder(zeitabhangigen)
Shrodingergleihung
'(t;x)=e i
E t
~
(x) :
(DerFaktora(0)wurdein absorbiert.)InstationarenZustandensind
die Erwartungswerte aller Observablen zeitlihkonstant,
hAi(t)= '
t
;A'
t
= e i
E t
~
;Ae i
E t
~
= ;A
:
Die Wahrsheinlihkeit,das Teilhen ineiner Kugel K
R
mitRadius R
um den Ursprung anzutreen, isteb enfallszeitlihkonstant,
W
t (K
R )=
Z
K
R d
3
xj'(t;x)j 2
= Z
K
R d
3
xj (x)j 2
=W
0 (K
R );
und konvergiert mit R ! 1 gegen 1 wegen der quadratishen Inte-
grierbarkeitvon .
AuhSup erp ositionenstationarerZustandesindBindungszustande.
Sei
i
Eigenfunktion von H zum EigenwertE
i
,i =1;2, und
'(t;x)=e i
E
1 t
~
1
(x)+e i
E
2 t
~
2 (x):
Dann oszilliertdie Ortsaufenthaltswahrsheinlihkeitsdihte
j'(t;x)j 2
=j
1 (x)j
2
+j
2 (x)j
2
+2Re
1 (x)
2 (x)e
it E
2 E
1
~
mit derFrequenz E
2 E
1
~
zwishen den Werten j
1
(x)j+j
2 (x)j
2
und
j (x)j j (x)j
2
.DamitlasstsihdieAufenthaltswahrsheinlihkeit
