10 −12

Skript zur Vorlesung

UNVOLLSTÄNDIGE ENTWURFSVERSION

13.Februar2008

Prof. Dr. HayeHinrihsen

Lehrstuhlfür Theoretishe Physik III

Fakultät für Physik undAstronomie

Universität Würzburg

Wintersemester06/07

Diesist dieaktuelle VersiondesSkriptszurVorlesung'Quantenmehanik I',dasihpar-

allelzurVorlesungshreibe.

ErgänzendeAbshnitte,dieüberdeneigentlihenVorlesungsstohinausgehen,sinddurh

drei Sternhen *** gekennzeihnet.

Skriptesindniefehlerfrei.Bitte helfenSiemitund benahrihtigen SiemihbeiFehlern

inden bereits vollständigenKapiteln perEmail.

(hinrihsen at physik uni-wuerzburg de).

VielenDank

H.Hinrihsen

Würzburg, Sommersemester 2007

HayeHinrihsenSkriptQuantentheorieI

1 Grundlagen 1

1.1 Vonderklassishen Physik zurQuantentheorie . . . 1

1.1.1 KlassishePhysik . . . 1

1.1.2 Prinzip derkleinstenWirkung. . . 2

1.1.3 Form desWirkungsfunktionals . . . 3

1.1.4 Quantentheorie: EineErklärung desPrinzips derkleinstenWirkung 4 1.1.5 DerMessprozess . . . 5

1.1.6 Kritikan derTheorie desMessprozesses . . . 6

1.1.7 Verträglihkeit mit anderenTheorien . . . 7

1.2 Wellenfunktionen . . . 8

1.2.1 Zeitentwiklung derAmplituden . . . 8

1.2.2 Punktförmiges Teilhen imPotential . . . 10

1.3 DieShrödingergleihung . . . 12

1.3.1 Allgemeine FormderShrödingergleihung . . . 12

1.3.2 Wahrsheinlihkeitsdihte, Kontinuitätsgleihung und Normierung derWellenfunktion . . . 12

1.3.3 Erwartungswerte . . . 14

1.3.4 EhrenfestshesTheorem . . . 16

1.4 Einfahe Quantensysteme . . . 16

1.4.1 Dasfreie Teilhen. . . 16

1.4.2 Derunendlihe hohe Potentialtopf . . . 20

1.5 Übungsaufgaben . . . 28

2 Formalismus 31 2.1 Zuständeund Operatorenim Hilbertraum . . . 31

2.1.1 Quantenmehanishe Zustände alsVektorenim Hilbertraum . . . . 31

2.1.2 Operatoren . . . 36

2.2 Messungen,ObservableundUnshärfe . . . 50

2.2.1 Observable . . . 50

2.2.2 Heisenberg-Algebra . . . 55

2.2.3 Darstellungen derHeisenberg-Algebra . . . 60

2.2.4 Dynamik . . . 66

3 Drehimpuls 73 3.1 Drehimpuls . . . 73

3.1.1 Räumlihe Drehungen:Die Gruppe SO(3) . . . 73

3.1.2 Räumlihe Drehungen inderQuantentheorie . . . 75

3.1.3 Drehimpulsalgebra . . . 77

3.1.4 Bahndrehimpuls . . . 82

3.2 Zentralfeldpotentiale . . . 84

3.2.1 AllgemeineFormulierung . . . 84

3.2.2 Dreidimensionalerharmonisher Oszillator . . . 87

3.2.3 Wasserstoatom . . . 90

3.2.4 Magnetfeld . . . 94

3.2.5 Eihinvariante Ankopplung . . . 94

3.2.6 HomogenesMagnetfeld. . . 95

4 Spin 97 4.1 Grundlagen . . . 97

4.1.1 Wasist Spin? . . . 97

4.1.2 Spin-

1 2

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100}

4.1.3 Addition vonDrehimpulsen . . . 105

5 Vielteilhensysteme 113 5.1 Symmetrien vonVielteilhenzuständen . . . 113

5.1.1 Konstruktiondes Hilbertraums . . . 113

5.1.2 Messungen . . . 114

5.1.3 Austaushentartung . . . 115

5.1.4 EigenshaftendesTranspositionsoperators . . . 116

5.1.5 Symmetrisierungspostulat . . . 116

5.1.6 (Anti-)Symmetrisierungsoperator . . . 117

5.1.7 Pauli-Prinzip . . . 118

5.1.8 PeriodensystemderElemente . . . 119

5.1.9 Helium-Atom . . . 120

5.1.10 Statistiken* . . . 121

6 Näherungsmethoden 123 6.1 Zeitunabhängige Störungstheorie . . . 123

6.1.1 Formulierung desProblems . . . 123

6.1.2 Stationäre Störungsrehnung ohneEntartung . . . 124

6.1.3 Stationäre Störungsrehnung mitEntartung . . . 126

6.2 Zeitabhängige Störungstheorie . . . 127

6.2.1 Formulierung desProblems imWehselwirkungsbild . . . 127

6.2.2 Potenzreihenansatz . . . 127

6.2.3 Übergangswahrsheinlihkeiten . . . 128

6.2.4 Konstante Störungauf Intervall

[0, T ]

^{. . . . . . . . . . . . . . . . 129}

7 Streutheorie 131 7.1 Grundlagen . . . 131

7.1.1 Wirkungsquershnitt . . . 131

7.1.2 Annahmen . . . 132

7.1.3 Streuamplitude . . . 133

A Anhänge 135 A.1 Dira

δ

^{-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135}

A.2 Levi-Civita-Symbole . . . 136

A.3 DirekteSumme undTensorproduktvon Vektorräumen . . . 137

Die Quantentheorie ist die wohl wihtigste Errungenshaft der modernen Naturwissen-

shaften.Sieistvon fundamentalerBedeutung, dasieaufradikaleWeise dasdeterminis-

tishe Konzeptderklassishen Physik ersetzt. Die Quantentheorie istniht auf spezielle

Systeme beshränkt,sondern universell auf alle Phänomene inder Naturanwendbar.

In den vergangenen 100 Jahren hat die Quantentheorie einen beispiellosen Siegeszug

erlebt. Sie ist mit einer relativen Genauigkeit von

10 ⁻¹²

^{veriziert worden, genauer}

als jede andere Theorie. Trotzdem ist die Interpretation der Quantentheorie bis heute

umstritten. Dereinfahzu verstehendepräziseFormalismus einerseitsund diekomplexe

Begriihkeit undInterpretationanderseitssindUrsahefür dieFaszination,welhedie

Quantentheorie ausstrahlt.

1.1 Von der klassishen Physik zur Quantentheorie

1.1.1 Klassishe Physik

Bevor wir uns der Quantentheorie zuwenden, wollen wir uns zunähst die Grundlagen

derklassishen Physik inErinnerung rufen.

DerBegri`klassish'wirdinderPhysikgleihbedeutendmit `nihtquantenmehanish'

verwendet.ZudenklassishenTheoriengehörendietheoretisheMehanikausderersten

unddieklassisheElektrodynamikausderzweitenKursvorlesung.Auhdiespezielleund

allgemeineRelativitätstheorie sindklassishe Theorien.

Klassishe Theorienberuhenauf folgenden grundlegendenAnnahmen:

•

^{Es gibteine objektive}beobahterunabhängige Realität.

•

^{Die`Bühne'dieserRealitätistdie}3+1-dimensionaleRaumzeit,indersihObjekte (Teilhen bzw. Felder)benden.

•

^{DieDynamikdieserObjektefolgt bestimmtenRegelnundist}deterministish,d.h.

beibekanntenAnfangsbedingungenistdieZeitentwiklung derBewegungvollstän-

digvorherbestimmt.

DieRegeln,welhe dieerlaubtenBewegungsabläufeharakterisieren,werdeninderklas-

sishenPhysikinFormvonBewegungsgleihungen formuliert.BeispielesinddieNewton-

shen Bewegungsgleihungen und dieMaxwell-Gleihungen. Siesind sobeshaen, dass

sie die Bewegung der Teilhen bzw. Felder im Prinzip bei bekanntenAnfangsbedingun-

gen für alle Zeiten eindeutig vorhersagen. Wenn mandieses Konzept in radikaler Weise

aufdiegesamteWeltanwendet,ersheintdasUniversumalseingigantishesUhrwerk,in

demalle Abläufevollständigdeterminiert sind sodass der`freieWille'desMenshen ei-

neIllusionist.DiesealsLaplae'sher Dämon bekanntgewordeneSihtweise wurdelange

Zeitim Grenzbereih zwishen Physik und Philosophie kontrovers diskutiert.

Im 19.Jahrhunderts kamalsneue Theorie dieThermodynamik hinzu, die sih dann im

20.JahrhundertzurklassishenstatistishenMehanikfortentwikelthat.Hierbetrahtet

komplexeVielteilhensysteme,derenZeitentwiklungzwarnohimPrinzip,jedohwegen

derhohenKomplexität inderPraxisnihtmehrvorhergesagtwerdenkann.DasVorher-

sagevermögen dieser Theorien beruht darauf, dass die Dynamik hinreihend komplexer

Systeme alseektivzufälliginterpretiertwerdenkann.Thermodynamikundstatistishe

Physik sind also nihtdeterministishe Theorien, deren probabilistishe Elemente aber

nur auf unserer unvollständigen Kenntnis des Systems beruhen, dem dennoh zumin-

destimPrinzipeinedeterministishe Dynamikzugrundeliegt. IndiesemSinnesindauh

Thermodynamik und statistishe Physik `klassishe'Theorien.

1.1.2 Prinzip der kleinsten Wirkung

x(t)

x

t t

x

t

2 1

1 2

A

B

realisierte Bahn

denkbare Bahnen

VonallendenkbarenBahnenvonAnah B

selektiertdasPrinzipderkleinstenWirkung

genaueine,diesogenannte klassisheBahn.

Klassishe Theorien folgen einem über-

greifendenKonstruktionsprinzip,demso

genannten Prinzip der kleinsten Wir-

kung. Als Beispiel betrahten wir einen

Massepunkt,dersihineinervorgegebe-

nen Zeitspanne von

A

^nah

B

^bewegen

soll(siehe Abbildung). Jeder denkbaren

Trajektorie

C

^von

A

^nah

B

^wirddabei

eine reelle Zahl

S[ C ] ∈ R

zugeordnet, die als Wirkung (engl. ation) bezeih-

net wird. Das Prinzip besagt, dass die-

jenigeTrajektorieinderNaturrealisiert

ist,derenWirkungimVergleihzuallen

anderendenkbaren Bahnen minimalist.

Eigentlih fordertdasPrinziplediglih,dassdieWirkungextremal ist,inderRegelhan-

delt es sih aber dabei um ein Minimum. Wie bei einer Kurve, in deren Minimum die

erste Ableitung vershwindet, darf sih demzufolgedieWirkung derrealisiertenTrajek-

torie bei einer innitesimalen Variation der Bahn

C → C + δ C

^{in erster Ordnung niht}

ändern, d.h.

δS = 0.

^(1.1)

DieWirkung

S[ C ]

^{isteinFunktional1,dadiekompletteTrajektorie}

C

^{aufeinereelleZahl}

abgebildet wird. AusderBedingung

δS = 0

^lassensih Bewegungsgleihungen ableiten, dieinderRegelalspartielleDierentialgleihungen formuliertwerdenkönnenundderen

LösungdierealisierteTrajektorie ist.DieseLösungist (von Spezialfällen abgesehen)bei

gegebenenAnfangsbedingungeneindeutig,sodassdasPrinzipderkleinstenWirkungdie

inderNaturrealisierte Bahnvollständigdeterminiert.

1

EineFunktion

f(x)

^{isteineAbbildung,dieeineZahlaufeineZahlabbildet.EinFunktional}

F [f ]

^ist

eineAbbildung,dieeineFunktion

f

^{aufeineZahlabbildet.DieArgumentevon}Funktionalenwerden inekigenKlammerngeshrieben.

Wie bereits erwähnt, ist dasPrinzip derkleinsten Wirkung niht auf die Mehanik von

Massepunkten beshränkt, sondern liegt allen klassishen Theorien als übergreifendes

Prinzip zugrunde. Dies gilt auh für Feldtheorien wie der Elektrodynamik.

C

^{ist dann}

natürlih keine Trajektorie mehr, sondern steht für einen bestimmten raumzeitlihen

Feldverlauf, d.h. für eine bestimmte Konguration der Vektorfelder

E(~r, t) ~

^und

B(~r, t) ~

mit gewissen Randbedingungen. Auh die spezielle und allgemeine Relativitätstheorie

lässtsihausdem Wirkungsprinzip ableiten.

Innihtrelativistishen Theorienwie derklassishenMehanik,indenen eseinenuniver-

selleZeit

t

^{gibt, wirddas}Wirkungsfunktional inderRegelals zeitlihesIntegral

S[ C ] = Z t _B

t A

L( C , t) dt

^(1.2)

geshrieben, wobei ist

L( C , t)

^{die so genannte} Lagrangefunktion entlang der Trajekto- rie

C

^ist.DieLagrangefunktionkannalsWirkungsverbrauh proZeiteinheitinterpretiert werden. DasPrinzip derkleinstenWirkung

δS = 0

^{führtdann aufdiebekannten Euler-}

Lagrange'shenDierentialgleihungen,derenLösungdiegesuhteklassisheTrajektorie

ist.

Zur Erinnerung: In der klassishen Mehanik haben Sie gelernt, wie man die Bewe-

gungsgleihungen von einem Wirkungsfunktional

S = R

dt L( ˙ q, q)

^{eines Teilhens in ei-}

ner Dimensionableitet. Dazu wird eine gegebene Bahn

q(t)

innitesimal durh

q(t) → q(t) + δq(t)

^{variiert,wobeidieEndpunkte}

q(t 0 )

^und

q(t 1 )

festgehaltenwerden.DieWirkung ändertsihdabeizuniedrigsterOrdnunggemäÿ

δS = Z

dt

„ ∂L

∂q δq(t) + ∂L

∂ q ˙ δ q(t) ˙

«

.

^(1.3)

Da

q(t) ˙

^und

q(t)

^{niht unabhängig}voneinander sindmöhtemandieÄnderungallein in

δq(t)

^{ausdrüken.Dieserreiht mandurhpartielle}IntegrationdeszweitenTerms, wobei dieRandtermewegendervershwindendenVariationandenEndpunktenwegfällt.Dader

verbleibendeAusdruk

δS = Z

dt

„ ∂L

∂q − d dt

∂L

∂ q ˙

«

δq(t)

^(1.4)

nahdemPrinzipder kleinstenWirkungvershwindensollunddieVariationen

δq(t)

^un-

abhängigsind, mussderIntegrandvershwinden.DarausfolgendieEuler-Lagrange'shen

Bewegungsgleihungen.

1.1.3 Form des Wirkungsfunktionals

Durh dasPrinzip derkleinstenWirkungwirddieProblemstellung aufeinehöhereEbe-

ne verlagert,dennstatt diephysikalishkorrekten Bewegungsgleihungen zu postulieren

gilt es nun, die korrekte Form des Wirkungsfunktionals anzugeben, aus dem diese Be-

wegungsgleihungen folgen. Dabei stellt sih heraus, dass die Natur möglihst einfahe

Wirkungsfunktionale bevorzugt. Dieses niht näher begründbare Streben der Natur ist

Inhalt des so genannten heuristishen Prinzips der Einfahheit, demzufolge das Wir-

kungsfunktional ausdeneinfahstennihttrivalenTermen(alsoinderRegelausTermen

niedrigster Ordnung) besteht,diemit denvorgegebenen Symmetrien desphysikalishen

Systemskompatibel sind.

DieLagrangefunktioneinesfreiennihtrelativistishenTeilhensistbeispielsweise

L( ˙ q) =

m

2 q ˙ ²

^{,wobeiderFaktor}

1/2

^{lediglihzumbequemeren}Dierenzierendient.Mitden Sym- metrien kompatibel wäre auh ein kompliziertes Polynom der Form

L = P ∞

j=1 a j q ˙ ^2j

^,

Symmetrie [Einheit℄ Erhaltungsgröÿe[Einheit℄

RäumliheTranslationsinvarianz[m℄ Impuls [kgm/s℄

ZeitliheTranslationsinvarianz[s℄ Energie[kgm

2

/s

2

℄

Rotation[dimensionslos℄ Drehimpuls [kgm

2

/s℄

Tabelle 1.1: DiewihtigstenSymmetrien undihrezugeordnetenErhaltungsgröÿen.

aberdie Natur ist soeingerihtet, dass nur derniedrigste Term quadratisher Ordnung

im Wirkungsfunktionalauftritt.

Wegen des heuristishen Prinzips der Einfahheit besitzen Wirkungsfunktionale häug

eine sehr kompakte Form. So ist z.B. ist die Wirkung eines elektromagnetishen Feldes

inderkovariantenFormulierungdurh

S = Z

d ⁴ x F ^µν F µν

^(1.5)

gegeben, wobei

F ^µν = ∂ ^µ A ^ν − ∂ ^ν A ^µ

^{der F}eldstärketensor ist, in dessen Komponenten dieFelder

E(~r, t) ~

^und

B(~r, t) ~

^{stehen.Ebensoistdas}Wirkungsfunktionalderallgemeinen Relativitätstheorie nihts weiter als ein vierdimensionales raumzeitlihes Integral über

den Rii-Krümmungsskalar

S ∝ R d ⁴ x √

− gR

^{2. In allen Fällen legt die Form des Wir-}

kungsfunktionalsdie realisierteBahnvollständigfest.

Die Wirkungist eine dimensionsbehaftete Gröÿe mit derSI-Einheit[kg m

2

/s℄.

1.1.4 Quantentheorie: Eine Erklärung des Prinzips der kleinsten Wirkung

WiebewerkstelligtesdieNatur,dieWirkungzuminimieren?DieQuantentheoriebeant-

wortet dieseFragedamit,dassdiesdurh Interferenzphänomenegeshieht.Dazuwerden

folgende Annahmen postuliert:

(a) InderNatur sindalle denkbaren Bewegungsabläufe simultanrealisiert.

(b) Jeder Bewegungsablauf

C

^{wirdmit einer komplexen Amplitude}

e ^{iS(C)/ ~}

^gewihtet,

wobei

S( C )

^diedemBewegungsablaufzugeordnete Wirkung ist.Dabeiist

~ = 1.054 571 6( ± 2) 10 ⁻³⁴

^kgm

² /

^s

eineneuefundamentaleKonstante,diealsPlank'shesWirkungsquantum bezeih-

netwird.

() Die komplexenAmplituden vershiedener Bewegungsabläufe überlagern sih addi-

tiv (Superpositionsprinzip).

(d) Bei einer Messung ist die Wahrsheinlihkeit eines Messergebnisses proportional

zum Betragsquadrat der Summe derAmplituden aller Bewegungsabläufe, die mit

dem Messergebnis kompatibel sind. Die Amplituden aller anderen Bewegungsab-

läufewerden aufNull gesetzt.

2

SelbstdasWirkungsfunktionaldesStandard-ModellsderElementarteilhenphysikmitseinerVielzahl

vonTeilhensortenundSymmetrienlässtsihnohbequemaufeinerSeiteabdruken.

Anshaulih lässt sih dieser Mehanismus am Beispiel einer Teilhenbewegung von

A

nah

B

folgendermaÿen vorstellen. DasimPunkt

A

^{startendeTeilhen verliert seineob-}

jektiveRealität,diedarinbesteht,zueinergegebenenZeitanirgendeinemkonkretenOrt

zu sein, vielmehr bewegt es sih in einer shwer zu begreifenden vielfahen Koexistenz

gleihzeitigaufallenBahnen.Esistdabeiwesentlih,dassdieseKoexistenzeinephysikali-

sheGegebenheitistundnihtetwawieinderstatistishenPhysikaufeinunvollständiges

Wissen des Beobahters zurükzuführen ist. Die Annahme, dass das Teilhen vielleiht

doh aufeiner bestimmtenBahnentlanglaufe, diesihlediglih unserer Kenntnis entzö-

ge,führtaufWidersprüheinderQuantentheorieundkannauhexperimentellwiderlegt

werden. Die Koexistenz aller Möglihkeiten auh Quantenparallelismus genannt ist

vielmehreinFaktumundkannsogartehnologishausgenutztwerden.Beispielsweisebe-

nutzen Quantenomputer denQuantenparallelismus zu einer hohgradig parallelisierten

Informationsverarbeitung.

Gemäÿ dem Postulat (b) ist wird die beshriebene Koexistenz aller denkbaren Bewe-

gungsabläufe durh einen Wellenmehanismus eingeshränkt. Dazu wird jedem Bewe-

gungsablaufeinequantenmehanisheAmplitudeinFormeinerkomplexenPhase

e ^{iS(C)/ ~}

zugeordnet, wobei

S( C )

^{nihtsanderes ist alsdie klassisheWirkung derBahn. Umdas}

Argument derExponentialfunktion dimensionsloszumahen,wirdeineneue fundamen-

tale Naturkonstante mit der Dimension einer Wirkung, das so genannte Plank'she

Wirkungsquantum

~

benötigt. Jedem der parallel existierenden Teilhen wird also ein komplexer Zeiger auf demEinheitskreis zugeordnet, dessen Stellung dem Wirkungsver-

brauh modulo

2π ~

entlang derjeweiligen Bahnentspriht.

Gemäÿ () sind diese komplexen Amplituden additiv und wie bei gewöhnlihen Wellen

linearsuperponierbar.Treen sihbeispielsweise zweiderparallel existierendenTrajek-

torien mit entgegengesetzter Zeigerstellung am gleihen Ort, so kommt es zu einer ge-

genseitigen Auslöshung.Eine Kernaussageder Quantentheorie besteht darin, dasssih

fast alle der parallel existierenden Teilhenbahnen gegenseitig durh negative Interfe-

renz auslöshen. Übrig bleiben lediglih Bahnen nahe der klassishen Bahnen mit einer

Standardabweihung von

S( C )

^{in der} Gröÿenordnung von

~

. Durh die Interferenz der Amplituden wird also der Quantenparallelismus erheblih eingeshränkt, jedoh niht

aufgehoben.

Da

~

extremkleinist,sindQuanteneektevorallembeiVorgängenmitkleiner Wirkung signikant,alsofürsehrkleineSystementypisherweiseunterhalbderNanometerskala.In

dermakroskopishenAlltagswelt sheintdagegendieklassishePhysikzugelten,dieauf

diesenSkalenalseinesehrguteNäherungzubetrahtenist.DieserEektistvergleihbar

mit demÜbergangvon derWellenoptik zurgeometrishen Optik.

1.1.5 Der Messprozess

Postulat (d) beshreibt den Vorgang eines Messprozesses und stellt damit einen Bezug

zwishen derQuantenweltundeinembeobahtendenmakroskopishen Subjekther.Aus-

gangspunktistdieempirisheTatsahe,dasseinmakroskopishesMessgerätrealexistie-

rendeMesswerte anzeigt.Ein Geigerzähler klikt oderer klikt niht, jedoh beobahtet

mannieeine KoexistenzbeiderMöglihkeiten. Ebensozeigt derZeiger einesMessgeräts

auf eine bestimmte Zahlund niht auf mehrereZahlenwerte gleihzeitig. Nohniemand

x(t)

x

t t

x

t

2 1

1 2

A

B ^x(t)

x

t t

x

t

2 1

1 2

A

B

t x

Abbildung 1.1: Links:VonallendenkbarenBahnenlöshensihdiemeistendurhdestruktiveInter-

ferenzaus,übrigbleibendieBahnennahederklassishenBahnenindemrotshraf-

ertenBereih.Dieser BereihhateineUnshärfeinderzugeordnetenWirkung von

der Gröÿenordnung

~

, ist aberanders als in der Zeihnung dargestellt niht sharf begrenzt.Rehts:BeieinerMessungzumZeitpunkt

t

^{kollabiertder}Quantenparalle- lismuskoexistierenderBahnenaufeinenPunkt

x

^,derdemMessergebnisentspriht.

hat den Zeiger eines Messgerätesinmehrerensimultan koexistierendenStellungen gese-

hen.MessgerätesindalsomakroskopisheObjekte,diedenRegelnderklassishenPhysik

gehorhen.

DasPostulatfürdenMessprozess(d)nimmtdeshalbeineTrennungzwishendemQuan-

tensystemeinerseitsunddemklassishen Messapparatandererseitsvor.AufdasBeispiel

einer Teilhenbewegung bezogen beshreibt das Postulat, was passiert, wenn man tat-

sählih durh Messung nahshaut, wo sih das Teilhen zum Zeitpunkt

t

^bendet.

Das Ergebnis ist zufällig und die Leistungsfähigkeit der Quantentheorie besteht darin,

dieWahrsheinlihkeiten für die Ergebnisse vorherzusagen. Mit demMessprozesserhält

dieQuantentheorie also eineprobabilistishe Komponente. DieWahrsheinlihkeit eines

Ergebnisses ist dabeiproportional zum Betragsquadrat deraufsummierten Amplituden

allerBewegungsabläufe, diezu diesem Ergebnisführenwürden.

In demMoment, zu dem dieMessung vorgenommen wird, werden dieAmplituden aller

Bewegungsabläufe, die niht zu dem festgestellten Messergebnis geführt hätten, gleih

Null gesetzt. Eine unmittelbare Wiederholung der Messung würde also wiederum zum

gleihen Ergebnis führen. Durh eine Messung kollabiert also derQuantenparallelismus

einer Vielzahl von möglihen Realisierungen in eine bestimmte, nämlih die gemesse-

ne Realisierung. Dieser sogenannte Kollaps derWellenfunktion vollzieht sih instantan

(sieheAbb.1.1).

Die Quantentheorie untersheidet sih von der klassishen Physik insofern, als dass ein

MessprozessevonSpezialfällenabgesehenimmerdaszuuntersuhende Systemdurhden

KollapsderAmplituden beeinusstbzw. stört.

1.1.6 Kritik an der Theorie des Messprozesses

Vor allem die Rolle des Messprozesses wird bis heute kontrovers diskutiert und es ist

anzunehmen, dass das Postulat (d) in der jetzigen Form keinen dauerhaften Bestand

haben wird. Problematish ist einerseits die Aufspaltung der Welt in Quantensysteme

undklassisheMessapparateundbeobahtendeSubjekte.Unklarbleibt,wodieseGrenze

Abbildung 1.2: ShrödingersKatze[Quelle:TUBerlin℄

genau anzusiedeln ist.

Johann von Neumann hat bereits frühzeitig gezeigt, dass eine solhe Grenze, wenn sie

denn existiert, vershiebbar ist. Dohauh die Vershiebbarkeit derGrenze löst die be-

griihen Shwierigkeiten niht auf.Diese wurden ineinem berühmten Gedankenexpe-

riment von Erwin Shrödinger auf den Punkt gebraht: Man betrahte eine Katze, die

zusammenmit einem Geigerzähler undeinem radioaktivenPräparat ineinergeshlosse-

nen Kiste eingesperrt ist. Der Geigerzähler triggert eine Vorrihtung, welhe die Katze

tötet. Die Kiste symbolisiert hier die besagte Grenze zwishen Quantenwelt und Be-

obahter. Gemäÿ den obigen Postulaten kommt es in der geshlossenen Kiste zu einer

Koexistenzder lebenden und der toten Katze, die Katze ist gewissermaÿen gleihzeitig

tot und lebendig. Erst wenn man den Dekel önet um nahzushauen, wenn man al-

soeineMessungvornimmt,kollabiertdiese quantenmehanishe Superpositionentweder

auf die tote oder auf die lebendige Katze mit Wahrsheinlihkeiten, die sih aus den

Betragsquadratenderentsprehenden Amplituden ergeben.

Kritisiert wurdeauh,dass sihdieserKollaps instantan vollzieht, alsomit Überlihtge-

shwindigkeit. Allerdings kannman zeigen, dassman aufdiese Weise keine Information

übertragen kann, sodass die Postulate der Relativitätstheorie inihrem Kern niht ver-

letztwerden.

1.1.7 Verträglihkeit mit anderen Theorien

VonihremAnsatz heristdieQuantentheorie universell anwendbaraufalle Systeme,die

einen Kongurationsraum (= Raumallermöglihen Bahnen) und eindarauf deniertes

Wirkungsfunktional besitzen. Im Prinzip kann also die Quantentheorie auf alle klassi-

shen physikalishen Theorienangewendetwerden. Oballerdingseinesolhe `Quantisie-

rung' gelingt, hängt davon ab,ob die dabeiauftretende Summe überalle Konguratio-

nenkonvergiertoderzumindestaufgeeigneteWeiserenormiertwerdenkann.ImFallder

Elektrodynamik ist dies möglih, und hat zur Entwiklung der Quantenelektrodynamik

geführt. WeitereBeispielesind dieQuantenhromodynamik und dasdarausentstandene

Standard-Modell der Elementarteilhenphysik. Dagegen ist eine Quantisierung der all-

gemeinen Relativitätstheorie bislang niht gelungen. Im Gegensatz zu den vorherigen

Beispielen, bei denen es zu einem Quantenparallelismus von Objekten (Teilhen, Fel-

der) ineiner ungekrümmten Raumzeit kommt, führt dieQuantisierung der Gravitation

zu einem Parallelismus vershiedener Raumzeitkrümmungen,d.h. einequantenmehani-

sheKoexistenzvershiedenerraumzeitliherRealisierungen.Esstelltsihjedohheraus,

dass die Summe übersolh eine uktuierende Raumzeit zu unphysikalishen Divergen-

zen führt. Eine Theorie der Quantengravitation zu entwikeln gilt heute als eines der

wihtigsten ungelösten Problemedertheoretishen Physik.

1.2 Wellenfunktionen

Da die Postulate (a)-() keine probabilistishen Elemente enthalten, ist es möglih, die

quantenmehanishen Amplituden mitHilfe desWirkungsfunktionalsexaktvorherzube-

rehnen,solange keineMessungstattndet. Wiemandiese Amplitudenberehnen kann,

sollnun amBeispiel einesMassepunktes ineiner Dimensiongezeigtwerden.

Eine wihtige Gröÿe ist die Summe der Amplituden aller Bahnen eines Teilhens von

einemgegebenen Startpunkt

(x ₁ , t ₁ )

^{biszueinem beliebigen}raumzeitlihen Punkt

(x, t)

^.

DieseGröÿe wirdalsWellenfunktion bezeihnetund übliherweise mit demgriehishen

Buhstaben

ψ

geshrieben. DieWellenfunktion ist bisauf Normierung gegeben durh

ψ(x, t) ∝ X

C (x 1 ,t 1) →(x,t)

exp i

~ S[ C (x 1 ,t 1 )→(x,t) ]

,

^(1.6)

wobei über alle möglihen Bahnen

C (x 1 ,t 1 )→(x,t)

^von

(x ₁ , t ₁ )

^nah

(x, t)

^{summiert wird.}

In dieser etwas vereinfahten Shreibweise bleibt es allerdings oen, wie diese Summe

über unendlih viele denkbare Bahnen konkret auszuführen ist und wie die einzelnen

Bahnendabeizugewihtensind.IneinerpräziserenFormulierung, dieüberdenRahmen

dieser Vorlesung hinausginge, handelt es sih bei dieser Summe um ein so genanntes

Pfadintegral,dasmit MethodenderFunktionalanalysiszubehandelnist.Dohauh mit

denim4.SemesterzurVerfügungstehendenMethodenistesmöglih,dieZeitentwiklung

derWellenfunktion abzuleiten,wie im folgendenAbshnitt gezeigtwird.

1.2.1 Zeitentwiklung der Amplituden

Um dieZeitentwiklung der Wellenfunktion zu berehnen, betrahten wirein innitesi-

malesZeitintervall

[t, t + τ ]

^{im Limes}

τ → 0

^{und stellen dieFrage, welher Veränderung}

die Wellenfunktion während dieser Zeitdauer unterworfen ist, wie sih also

ψ(x, t + τ )

von

ψ(x, t)

untersheidet.Dabeilässtsihausnutzen,dassdieWirkungeinerBahngleih derSummederWirkungen ihrerTeilstükeist,dassalso

S[ C A→C ] = S[ C A→B ] + S[ C B→C ]

ist.Im vorliegenden Fall lässtsihalso dieWirkung inzwei Anteile aufspalten:

S[ C (x 1 ,t 1 )→(x,t+τ ) ] = S[ C (x 1 ,t 1 )→(x ^′ ,t) ] + S[ C (x ^′ ,t)→(x,t+τ) ] .

^(1.7)

DaAmplituden exponentiell von derWirkung abhängen, multiplizieren sih demzufolge

dieentsprehendenAmplitudenderTeilstüke,d.h.dieAmplitudeeinergegebenenBahn

ist gleih

exp i

~ S[ C (x 1 ,t 1 )→(x ^′ ,t) ]

exp i

~ S[ C (x ^′ ,t)→(x,t+τ) ]

.

x(t)

x

t t

1 1

x(t)

x

t t

1 1

x

t

ψ ^(x,t)

x

t t+ τ

Abbildung 1.3: Links: Die Summe der quantenmehanishen Amplituden aller Bahnen, die vom

StartpunktbiszumPunkt

(x, t)

^{laufen,denierteineFunktion}

ψ(x, t)

^{,diealsWellen-}

funktionbezeihnet wird.Rehts: DieAbleitungeiner Dierentialgleihung für die

Wellenfunktionberuhtauf derAnnahme,dass dieBahnenaufeineminnitesimalen

Zeitintervall der Breite

τ

^{annähernd geradlinig}gleihförmigeBewegungen repräsen- tieren.

EbensolässtsihdieSummeüberalleBahneninGl.(1.6)inzweiEinzelsummenzerlegen:

ψ(x, t + τ ) ∝

Z +∞

−∞

dx ^′ X

C _{(x 1 ,t 1)→} (x′,t)

X

C (x′,t) → (x,t+τ)

exp i

~ S[ C (x 1 ,t 1 )→(x ^′ ,t) ]

× exp i

~ S[ C (x ^′ ,t)→(x,t+τ) ]

.

^(1.8)

Dabeiist

x ^′

^{diePosition zurZeit}

t

^{,an derdie beidenTeilstüke derjeweils}betrahteten Bahnverbundensind. Daüberalledenkbaren Bahnensummiertwerdensoll,mussauh

über dieAnshlussstelle

x ^′

^{integriert werden.}

Durh `Ausklammern' faktorisiertderIntegrand undmanerhält

ψ(x, t + τ ) ∝

Z +∞

−∞

dx ^′



 X

C _{(x 1 ,t 1)} →(x′,t)

exp i

~ S[ C (x 1 ,t 1 )→(x ^′ ,t) ]





| {z }

∝ ψ(x ^′ ,t)

×



 X

C _(x ′ ,t)→(x,t+τ)

exp i

~ S[ C (x ^′ ,t)→(x,t+τ) ]



 ,

^(1.9)

wobeiderAusdrukinderersten ekigen Klammer proportionalzurWellenfunktionzur

Zeit

t

^{ist, also bleibt nur die} Integration über

x ^′

^{sowie die Summe über alle Bahnen}

innerhalbderinnitesimalen Zeitspanne

τ

^übrig:

ψ(x, t + τ ) ∝ Z +∞

−∞

dx ^′ ψ(x ^′ , t) X

C (x′,t)→(x,t+τ)

exp i

~ S[ C (x ^′ ,t)→(x,t+τ) ]

.

^(1.10)

Dabeilässt sih dieWirkung

S[ C (x ^′ ,t)→(x,t+τ) ] = Z _t+τ

t

dt ^′ L x(t ˙ ^′ ), x(t ^′ )

(1.11)

alszeitlihes IntegralüberdieLagrangefunktion

L( ˙ x, x)

^{shreiben,von derwirderEin-}

fahheit halberannehmen,dasssie niht explizitvon derZeitabhängt.

Die wesentlihe Annahme, mit der wir nun eine Dierentialgleihung ableiten werden,

besteht darin, dass die Bahnen stetig dierenzierbar sind. Dies hat zur Folge, dass die

BewegunginnerhalbdesinnitesimalenZeitintervalls

[t, t + τ ]

^{alsgeradlinig}gleihförmig angesehen werden kann (siehe Abb. 1.3), dass sih also die Lagrangefunktion während

dieserkurzenZeitspannenihtwesentlihändert.WirkönnenalsoindemobigenIntegral

dieGeshwindigkeit

x(t ˙ ^′ )

^{unddie Position}

x(t ^′ )

^imLimes

τ → 0

^{durh ihre} Mittelwerte ersetzen:

˙

x(t ^′ ) ≈ x − x ^′

τ , x(t ^′ ) ≈ x + x ^′

2 t ^′ ∈ [t, t + τ ]

.

^(1.12)

Weil die Summanden in der Summe

P

C (x′,t)→(x,t+τ)

^{dann niht mehr von der jeweiligen}

Bahnabhängen,liefertdieSummenbildung ledigliheinenkonstantenFaktor,derinder

Normierung von

ψ

^{absorbiert werden kann.Damitvereinfaht sih dasIntegral zu}

ψ(x, t + τ ) = 1

N Z +∞

−∞

dx ^′ exp i

~ τ L x − x ^′

τ , x + x ^′ 2

ψ(x ^′ , t) ,

^(1.13)

wobei

N

^{einegeeignete}Normierungskonstanteist,dienohzuberehnenist.Wiemanse- henkann,habenwiraufdieseWeisealleauftretenden`SummenüberBahnen'eliminieren

können und erhalten eine Integralgleihung für die Zeitentwiklung derWellenfunktion

mit einem oszillierendenIntegralkern.

1.2.2 Punktförmiges Teilhen im Potential

DieGleihung(1.13)lässtsihimLimes

τ → 0

^{ineinepartielle}Dierentialgleihungüber- führen. Weil diese Rehnung involler Allgemeinheit für beliebige Lagrange-Funktionen

sehr aufwendig ist, wollen wir uns hier auf den Spezialfalleines Massepunktesineinem

eindimensionalen Potential

V (x)

beshränken. In diesem Fall hat die Lagrangefunktion dieForm

L( ˙ x, x) = m

2 x ˙ ² − V (x) .

^(1.14)

und dieIntegralgleihung lautet

ψ(x, t + τ ) = 1 N

Z +∞

−∞

dx ^′ exp i

~ τ m 2

(x − x ^′ ) ²

τ ² − V ( x + x ^′ 2 )

ψ(x ^′ , t) .

^(1.15)

Mit der Substitution

x ^′ = x + a

^{kann diese Gleihung etwas kompakter geshrieben}

werden als

ψ(x, t + τ ) = 1 N

Z _+∞

−∞

da exp ima ²

2 ~ τ

exp

− i τ

~ V (x + a/2)

ψ(x + a, t).

^(1.16)

Im Argument der ersten Exponentialfunktion sehen wir, dass

τ

^wie

a ²

^{skaliert. Wir}

entwikeln deshalb die linke Seite und die im Integranden auftretenden Terme bis zur

ersten Ordnung in

τ

^{undbis zurzweiten Ordnung in}

a

^:

ψ(x, t + τ ) = ψ(x, t) + τ ∂ _t ψ(x, t) + O (τ ² )

^(1.17)

exp h

− i τ

~ V (x + a/2) i

= 1 − i τ

~ V (x) + O (τ ² )

^(1.18)

ψ(x + a, t) = ψ + a∂ x ψ(x, t) + a ²

2 ∂ _x ² ψ(x, t) + O (a ³ ).

^(1.19)

Mitdiesen Näherungen erhaltenwir:

ψ(x, t) + τ ∂ _t ψ(x, t) = 1 N

Z +∞

−∞

da exp h ima ² 2 ~ τ

i 1 − i τ

~ V (x)

(1.20)

×

ψ(x, t) + a∂ _x ψ(x, t) + a ²

2 ∂ _x ² ψ(x, t)

+ O (τ ² , a ³ ).

Die hierinzulösenden Integralesind von derForm

Z

da e ^{iγa 2} , Z

da a e ^{iγa 2} , Z

da a ² e ^{iγa 2} ,

^(1.21)

wobei

γ = m/2 ~ τ

^ist.

Bemerkung: DieBerehnung solher shnell oszillierenden Integraleistnihttrivial, da

sie nihtkonvergieren.Ein ähnlihes Problem kennenSie bereits imZusammenhangmit

kontinuierlihenFourier-Transformationen.BeispielsweiseistdasoszillierendeIntegral

Z _∞

−∞

dk e ^ikx

nihtkonvergent,dennohbenutztman,dassesgleih

2πδ(x)

^{ist.UmzudiesemErgebnis}

zu gelangen, müssen oszillierende Integrale geeignet regularisiert werden. Dies kann bei-

spielsweise durh eine shwahe exponentielle Dämpfung geshehen, deren Koezienten

man anshlieÿendgegen Null gehenlässt. Imvorliegenden Fall bietet sihvor allem die

analytishe Fortsetzung an. Dazu setzen wir

γ = ik

^mit

k > 0

^{, berehnen das nunmehr}

Gauÿ'sheIntegralundmahenshlieÿlihdieSubstitutionrükgängig.Manerhält:

Z ∞

−∞

da e ^{iγa 2} = p iπ/γ ,

Z ∞

−∞

da a e ^{iγa 2} = 0 , Z ∞

−∞

da a ² e ^{iγa 2} = 1 2

p − iπ/γ ³ .

^(1.22)

Zunähst vergleiht man die Terme nullter Ordnung in Gleihung (1.20), indem man

a = τ = 0

^{setzt.Damanauf derrehtenSeite von}

ψ(x, t) = 1

N Z +∞

−∞

da exp h ima ² 2 ~ τ

i ψ(x, t)

^(1.23)

die Wellenfunktion vor das Integral ziehen kann, erhält man einen Ausdruk für die

Normierungskonstante:

N =

r 2πi ~ τ

m .

^(1.24)

SetztmandiesesErgebnisinGl.(1.20)undführtmitHilfevonGl.(1.22)dieauftretenden

Integrale aus,soerhält man:

ψ(x, t) + τ ∂ _t ψ(x, t) = 1 − i τ

~ V (x) ψ(x, t) + i ~ τ

2m ∂ _x ² ψ(x, t)

+ O (τ ² ).

^(1.25)

Ein Vergleih derTerme erster Ordnung führtauf diepartielleDierentialgleihung

i ~ ∂ _t ψ(x, t) = − ~ ²

2m ∂ _x ² ψ(x, t) + V (x)ψ(x, t).

^(1.26)

DiesistdieShrödingergleihung,diewirhieralleinausdenPostulatenderQuantentheo-

rieabgeleitethaben.DieShrödingergleihungisteinepartielleDierentialgleihung,wel-

hedieZeitentwiklungderWellenfunktioneinesTeilhensineinemPotentialbeshreibt.

Siewirdauh häug alszeitabhängige Shrödingergleihung bezeihnet.

1.3 Die Shrödingergleihung

1.3.1 Allgemeine Form der Shrödingergleihung

DieimvorherigenAbshnittabgeleiteteShrödingergleihunggiltfürdenSpezialfalleines

MassepunktsineinerDimension, dersih ineinem Potential

V (x)

^{bewegt.Auf ähnlihe}

Weise lieÿesih auh für kompliziertereSysteme inhöheren Dimensioneneine geeignete

Shrödingergleihung für die Zeitentwiklung einer Wellenfunktion

ψ(~x , t)

^{ableiten. Bei}

einersolhenRehnung,aufdieimRahmendieserVorlesungverzihtetwerdensoll,stellt

sih heraus, dass die rehte Seite der Shrödingergleihung stetseine ähnlihe Struktur

besitztwie dieHamiltonfunktion

H(~ p , ~x )

^desbetrahteten Systems.

ZurErinnerung:DieHamiltonfunktion

H (~ p , ~ x )

^gehtausderLagrangefunktion

L( ˙ ~x, ~ x )

durheineLegendretransformation hervor, wobei

~ p

^derdurh

p i = ∂L/∂x i

^gegebenege-

neralisierteImpulsist. ImRegelfallist

H = T + V

^gleihderGesamtenergiedesSystems.

Diesbedeutetkonkret, dasssih dieShrödingergleihung stetsin derForm

i ~ ∂ _t ψ(~x , t) = H − i ~ ∇ , ~x

ψ(~x , t)

^(1.27)

shreibenlässt, d.h. aufderrehtenSeite steht dieHamiltonfunktion inwelher derIm-

puls

~ p

^{formal durh den Gradienten}

− i ~ ∇

^{ersetzt worden ist. Diese}Hamiltonfunktion, die nunmehr Dierentialoperatoren enthält, wird dann auf die Wellenfunktion

ψ(~x , t)

angewandt.Oenbar wirddadurhderinGl.(1.26)behandelteSpezialfallkorrektrepro-

duziert.

Diesesformale`Kohrezept'istbereitsfrühzeitigvonNielsBohrformuliertwordenundist

heute als Bohrshes Korrespondenzprinzip bekannt. Diesem Rezept zufolge erhält man

die korrekte Wellengleihung, indem man in der klassishen Energie-Impuls-Beziehung

(hier

H = E

^{)die formale}Substitutionen

E → i ~ ∂ t , ~ p → − i ~ ∇

^(1.28)

vornimmt und beide Seiten auf eine Wellenfunktion anwendet. Ein klassishesProblem

kann also quantisiert werden, indem man die Erhaltungsgröÿen formal durh geeignete

Ableitungsoperatorenersetzt.

1.3.2 Wahrsheinlihkeitsdihte,Kontinuitätsgleihung und Normierung

der Wellenfunktion

GemäÿPostulat(d)istdieWahrsheinlihkeitpro Volumen,beieinerMessungdasTeil-

henzurZeit

t

^amOrt

~x

^zunden,proportionalzumBetragsquadrat deraufsummierten AmplitudenderBahnen,diezurZeit

t

^denPunkt

~x

^{erreihen.DajeneSummeabernihts}

anderes ist als die Wellenfunktion, ist dieWahrsheinlihkeitsdihte, die wirmit

ρ(~x , t)

bezeihnen wollen, durh

ρ(~x , t) = ψ ^∗ (~x , t)ψ(~x , t) ,

^(1.29)

gegeben,wobei`*' wie üblihfür diekomplexeKonjugation steht.

WeildasTeilhenzueinemgegebenenZeitpunktirgendwoimSystemzundenseinmuss,

istdasräumliheIntegralüberdieWahrsheinlihkeitsdihteimmergleih1,woraussih

unmittelbar eineNormierungsbedingung für dieWellenfunktion ergibt:

Z

d ³ x ρ(~x , t) = Z

d ³ x ψ ^∗ (~x , t)ψ(~x , t) = 1 .

^(1.30)

Man benutztfür diese Normauh dieNotation

|| ψ || = R

d ³ x ψ ^∗ (~x , t)ψ(~x , t) = 1

^.

OenbaristdieInterpretationvon

ρ(~x , t)

^alsWahrsheinlihkeitsdihtenurdannsinnvoll, wenn sihdieNormierung beifortshreitender Zeitniht ändert, wenn also

d dt

Z

d ³ x ρ(~x , t) = Z

d ³ x ∂ _t ρ(~x , t) = 0

^(1.31)

ist. Die Shrödingergleihung sollte also so beshaensein, dass sie dieNormierung der

Wellenfunktion erhält.

Umdies zu überprüfen,leiten wirzunähst eineDierentialgleihung für die lokale Än-

derungderWahrsheinlihkeitsdihte ab.Dazubetrahtetmandiezeitlihe Ableitung

∂ _t ρ(~x , t) = ∂ _t

ψ ^∗ (~x , t)ψ(~x , t)

=

∂ _t ψ(~x , t) ∗

ψ(~x , t) + ψ ^∗ (~x , t)

∂ _t ψ(~x , t)

(1.32)

oderkurz

ρ ˙ = ˙ ψ ^∗ ψ + ψ ^∗ ψ ˙

^{.Setzt manhier die}Shrödingergleihung (1.27) ein,soerhält man

∂ _t ρ(~x , t) = h 1

i ~ H − i ~ ∇ , ~x

ψ(~x , t) i ∗

ψ(~x , t) + ψ ^∗ (~x , t) h 1

i ~ H − i ~ ∇ , ~x

ψ(~x , t) i

= 1 i ~

− h

H − i ~ ∇ , ~x

ψ(~x , t) i ∗

ψ(~x , t) + ψ ^∗ (~x , t) h

H − i ~ ∇ , ~x

ψ(~x , t) i .

InvielenFällen setztsihdieHamiltonfunktion auskinetisherundpotentiellerEnergie

zusammen, d.h.

H − i ~ ∇ , ~x

ψ(~x , t) = − ~ ²

2m ∇ ² ψ(~x , t) + V (~x ) ψ(~x , t).

^(1.33)

DabeimEinsetzen dieTerme mit derpotentiellen Energie herausfallen, gelangt manzu

∂ _t ρ(~x , t) = ~ 2mi

h ∇ ² ψ(~x , t) i ∗

ψ(~x , t) − ψ ^∗ (~x , t) h

∇ ² ψ(~x , t) i

(1.34)

oderkurz

˙ ρ = ~

2mi (ψ ∇ ² ψ ^∗ − ψ ^∗ ∇ ² ψ) .

^(1.35)

Wegen

∇ ·

( ∇ ψ ^∗ )ψ − ψ ^∗ ∇ ψ

= ( ∇ ² ψ ^∗ )ψ + ∇ ψ ^∗ ∇ ψ − ∇ ψ ^∗ ∇ ψ − ψ ^∗ ( ∇ ² ψ)

= ψ ∇ ² ψ ^∗ − ψ ^∗ ∇ ² ψ

^(1.36)

kannman Gl.(1.35) shreiben als 3

˙ ρ = ~

2mi ∇ · h

( ∇ ψ ^∗ )ψ − ψ ^∗ ∇ ψ i

,

^(1.37)

3

ImFolgendenwollenwirdieKonventionverwenden,dasseinDierentialoperatorstetsaufalleFunk-

tionennahrehts wirkt.

∇ f (~ x )g(~ x )

^wirktbeispielsweise sowohl auf

f

^{als auhauf}

g

^{,so dass die}

Produktregel anzuwenden ist. Davon abweihend deuten runde Klammern an, dass der Operator

nuraufdieAnteileinnerhalbderKlammerwirkt,sowirktbeispielsweisederDierentialoperatorin

( ∇ f(~ x ))g(~ x)

^{nuraufdieFunktion}

f

^.

also alsGradient einer Funktion. MitderDenition derWahrsheinlihkeitsstromdihte

~j = ~ 2mi

ψ ^∗ ∇ ψ − ( ∇ ψ ^∗ )ψ

(1.38)

gelangt manzurKontinuitätsgleihung

∂

∂t ρ(~x , t) + ∇ · ~j (~x , t) = 0

^(1.39)

diesih auh kurzals

ρ ˙ + ∇ · ~j = 0

^{shreibenlässt. Die}Kontinuitätsgleihung drüktdie Erhaltung derNormierung derWahrsheinlihkeitsdihte indierentieller Form aus.

Bemerkung:AusderElektrodynamikwissenSie,dassmanErhaltungssätzesowohllokal

durhKontinuitätsgleihungenalsauhglobalmitHilfe vonIntegralenformulierenkann.

UmdieintegraleFormzugewinnen,integriertmandieWahrsheinlihkeitsdihteüberein

vorgegebenesVolumen

V

^{undwendetdenGauÿshen}Integralsatzan

d dt

Z

V

d ³ x ρ(~ x , t) = Z

V

d ³ x ∂

∂t ρ(~ x , t) = − Z

V

d ³ x ∇ · ~j (~ x , t) = − I

∂V

~j (~ x , t) d S. ~

^(1.40)

wobei

∂V

^{dieOberäheund}

d S ~

^einOberähenelementbezeihnet.DiezeitliheÄnderung der Aufenthaltwahrsheinlihkeit des Teilhens im Volumen

V

^{istalso gleih demWahr-}

sheinlihkeitsuÿ durhdieOberähe

∂V

^.Erstrektsih

V

^{überdenganzen zurVerfü-}

gungstehendenRaum,vershwindetdierehteSeiteundmanerhältdieBedingung(1.31).

Damitistnahgewiesen,dassdieShrödingergleihungdieNormierungerhält.

1.3.3 Erwartungswerte

Erwartungswert bei Ortsmessung

GemäÿdemPostulat(d)istdaskonkreteErgebniseinerMessungimAllgemeinenunvor-

hersagbar, jedoh kann dieWahrsheinlihkeitsverteilung für dieMessergebnissebereh-

net werden. Bei der Messung des Aufenthaltsortes

~x

^{ist diese Verteilung gerade durh}

dieWahrsheinlihkeitsdihte

ρ(~x , t)

^gegeben.

VonbesonderemInteresseistinvielenFällendaszuerwartendearithmetisheMittelder

Messwerte,dersogenannteErwartungswert einerMessung.Oenbarwirdmanbeieiner

Messung desAufenthaltsortesim MitteldasErgebnis

~x (t) =

R d ³ x ~x ρ(~x , t) R d ³ x ρ(~x , t) =

R d ³ x ψ ^∗ (~x , t) ~x ψ(~x , t)

R d ³ x ψ ^∗ (~x , t)ψ(~x , t)

^(1.41)

erhalten,wobeidieNennergleih 1sindsofern dieWellenfunktionbzw. dieWahrshein-

lihkeitsdihte bereitskorrektnormiertist,waswirindenfolgendenAbshnittenvoraus-

setzen wollen.

Erwartungswert bei Impulsmessung

Auf ähnlihe Weise können wir den Erwartungswert der Geshwindigkeit

~x ˙

^{bzw. des}

Impulses

p ~

^{eines Teilhens ermitteln. Oenbar ist}

~

p (t) = m ~x(t) = ˙ m Z

d ³ x ~x ∂

∂t ρ(~x , t) = − m Z

d ³ x ~x ∇ · ~j (~x , t) ,

^(1.42)

wobei im letzten Shritt die Kontinuitätsgleihung eingesetzt wurde. Durh komponen-

tenweise partielle Integration geht dieser Ausdrukin

~

p (t) = +m Z

d ³ x~j (~x , t) = ~ 2i

Z

d ³ x ψ ^∗ ∇ ψ − ψ ∇ ψ ^∗

(1.43)

über, alsoineinRaumintegralüberdieWahrsheinlihkeitsströme. Dabeiwurdevoraus-

gesetzt, dass die Wellenfunktionen im Unendlihen (oder an den Rändern des betrah-

teten Systems) gleih Null sind, so dass die Randterme bei der partiellen Integration

wegfallen. Eine weitere partielle Integration des zweiten Summanden in runden Klam-

mer führtshlieÿlih auf

~ p (t) =

Z

d ³ x ψ ^∗ (~x , t) [ − i ~ ∇ ] ψ(~x , t) .

^(1.44)

Erwartungswert der Energie

Analog lässtsih für einTeilhen ineinem Potential derErwartungswert für eine Ener-

giemessung ausrehnen. Dazu muss manzunähst den Erwartungswert des quadrierten

Impulses ausrehnen 4

.WegenGl. (1.44) istesplausibel, dass

~

p ² (t) = Z

d ³ x ψ ^∗ (~x , t) [ − i ~ ∇ ] · [ − i ~ ∇ ]

| {z }

− ~ 2 ∇ ²

ψ(~x , t)

^(1.45)

ist,waswirhier ohne Beweis akzeptieren wollen. Da

E = p ² /2m + V

^{ist,wird manauf}

den Ausdruk

E (t) = Z

d ³ x ψ ^∗ (~x , t) h

− ~ ²

2m ∇ ² + V (~x ) i

ψ(~x , t)

^(1.46)

geführt.DaindenekigenKlammerndierehteSeitederShrödingergleihungersheint,

können wirdiese einsetzen underhalten

E(t) = Z

d ³ x ψ ^∗ (~x , t) [i ~ ∂ _t ]ψ(~x , t) .

^(1.47)

Allgemeine Struktur von Erwartungswerten

AndieserStelleerkenntmanaufsehrshöneWeisedasBohrsheKorrespondenzprinzip.

FührtmannämlihfüreinenbeliebigenOperator

A

^(z.B.einDierentialoperator)formal dieNotation

h A i t :=

Z

d ³ x ψ ^∗ (~x , t) A ψ(~x , t)

^(1.48)

ein, soerhält manfür dieErwartungswerte von Ortund Impuls

~x (t) = h ~x i t , ~ p (t) = h− i ~ ∇i t , E(t) = h i ~ ∂ _t i t .

^(1.49)

Dieser Operatorformalismus wirdspäter noh eingehenderbehandelt.

4

Manbeahte, dassderErwartungswert desQuadratseinerGröÿe unddasQuadratdes Erwartungs-

wertsderselbenGröÿeimAllgemeinenvershiedensind.

Bemerkung: Sie könnenandieser Stelleshon erkennen,dass der Impuls, alsodieGe-

shwindigkeitdesTeilhens,umsogröÿerist,jeshnellersih

ψ(~ x , t)

^{alsFunktionvomOrt}

ändert,denn nurdann kann derAbleitungsoperator einenBeitrag liefern. Ebensoistdie

Energieum sogröÿer,je shnellersihdieWellenfunktionzeitlihändert.Wiewirspäter

nohgenauersehenwerden,wirdderImpulsinderTatdurhräumliheOszillationen,die

EnergiehingegendurhzeitliheOszillationeninderWellenfunktionodiert.

1.3.4 Ehrenfestshes Theorem

Das Theorem von Ehrenfest besagt, dass sih Erwartungswerte ähnlih verhalten wie

die entsprehenden klassishen Gröÿen. Dieser Sahverhalt soll hier am Beispiel eines

Teilhens ineinem Potential demonstriert werden. Dazu leitenwir den Erwartungswert

desImpulses nah derZeitab:

d

dt ~ p (t) = d

dt h− i ~ ∇i t = − i ~ Z

d ³ x

(∂ _t ψ ^∗ ) ∇ ψ + ψ ^∗ ∇ (∂ _t ψ)

(1.50)

Nah EinsetzenderShrödingergleihung (1.26) erhält man

d

dt ~ p (t) = − i ~ Z

d ³ x h i ~

2m ∇ ² ψ + 1 i ~ V ψ i ∗

∇ ψ + ψ ^∗ ∇ h i ~

2m ∇ ² ψ + 1 i ~ V ψ i

.

^(1.51)

WegenderKomplexkonjugationhebendiekinetishenTermemitdenLaplaeoperatoren

nah zweifaher partiellerIntegrationgegenseitig heraus,sodassnur diePotentialterme

übrigbleiben:

d

dt ~ p (t) = − i ~ Z

d ³ x

− 1

i ~ V ψ ^∗ ∇ ψ + 1

i ~ ψ ^∗ ∇ V ψ

= Z

d ³ x

V ψ ^∗ ∇ ψ − ψ ^∗ ( ∇ V )ψ − ψ ^∗ V ∇ ψ

(1.52)

= Z

d ³ x ψ ^∗ ( ∇ V )ψ = −∇ V .

Für die Mittelwerte erhält man also eine Relation, die der dazugehörigen klassishen

Relation, indiesemFall derNewtonshen Bewegungsgleihung

d

dt ~ p = −∇ V

^,formalent-

spriht.

1.4 Einfahe Quantensysteme

1.4.1 Das freie Teilhen

Ebene Wellen

Wir kommen nun zu konkreten physikalishen Beispielen einfaher Quantensysteme.

ShondaskräftefreiePunktteilhen, dassih inderklassishenPhysik geradliniggleih-

förmigbewegt, hat inderQuantenmehanik nihttriviale Eigenshaften.

Die Shrödingergleihung eines freien Teilhenslautet

i ~ ∂ _t ψ(~x , t) = − ~ ²

2m ∇ ² ψ(~x , t) .

^(1.53)

Eineoensihtlihe Lösung dieserDierentialgleihung istdie ebene Welle

ψ(~x , t) ∝ exp(i~k · ~x − iωt).

^(1.54)

Dabeiist

~k

^derWellenvektorund

ω

^die Kreisfrequenzder Welle. Einsetzenin dieobige Gleihung liefert dieDispersionsrelation

~ ω = ~ ² k ²

2m

^(1.55)

Eine ebene Welle hat jedoh die Eigenshaft, dass dasBetragsquadrat von

ψ(~x , t)

^kon-

stant ist so dassdiese Lösung niht normiert werdenkann.Physikalish entsprähe eine

solheLösungdemGrenzfalleinesTeilhens,dasanjedemPunktdesRaumskoexistiert.

Wellenpakete

Obwohl eineebene Welle niht normierbar ist,können Linearkombinationen vershiede-

nerWellen sehrwohlnormierbar sein weildieNorm niht linear, sondernquadratish in

den Amplituden ist.Die allgemeinsteForm einersolhen Linearkombination ist

ψ(~x , t) = 1 (2π) ^3/2

Z

d ³ k f (~k ) e ^{i~k ·~ x −iω(~k )t}

^(1.56)

wobei die(im allgemeinen komplexwertige) Funktion

f (~k )

^{die Rolle von} `Koezienten' spielt. Auÿerdem ist

ω(~k ) = ~ k ² /2m

^womit sihergestellt wird, dass einesolhe Linear- kombination tatsählih eine Lösungderfreien Shrödingergleihung (1.53) ist.

Bemerkung:DieNormdieserLinearkombinationkannleihtausgerehnetwerden:

Z

d ³ x ψ ^∗ ψ = 1 (2π) ³

Z d ³ x

Z d ³ k ^′

Z

d ³ kf ^∗ (~k ^′ )f (~k )e ^{i( ~ k − ~ k ′ )·~ x −i[ω( ~ k )−ω( ~ k ′ )]t}

^(1.57)

= 1

(2π) ³ Z

d ³ k ^′ Z

d ³ k (2π) ³ δ ³ (~k − ~k ^′ ) f ^∗ (~k ^′ )f (~k ) = Z

d ³ k f ^∗ (~k )f(~k ) .

WennalsodieFunktion

f(~k )

^{,dassdasIntegral aufder rehtenSeite endlihist, istauh}

dieentsprehendeWellenfunktionnormierbar.

Da die Funktion

f (~k )

^{die W}ellenfunktion

ψ(~x , t)

vollständig festlegt, besitzt sie auh dievollständige Informationübereine möglihe Anfangsbedingungz.B.bei

t = 0

^.Denn

wegen

ψ(~x , 0) = 1 (2π) ^3/2

Z

d ³ k f (~k ) e ^{i~k ·~ x}

^(1.58)

ist

f (~k )

^dieFourier-Transformierte von

ψ(~x , 0)

^,d.h.

f (~k ) = 1 (2π) ^3/2

Z

d ³ x ψ(~x , 0) e ^{−i~k ·~ x} .

^(1.59)

Damit wird es möglih, bei gegebener Anfangsbedingung

ψ(~x , 0)

^{eine formale Lösung}

derShrödingergleihung anzugeben:

ψ(~x , t) = 1 (2π) ³

Z d ³ k

Z

d ³ x ^′ ψ(~x ^′ , 0) e ^{i~k ·(~ x −~ x ′ )−iω(~k )t} .

^(1.60)

Ruhendes Gauÿshes Wellenpaketin einer Dimension

Angenommen die Wellenfunktion hätte anfangs die Form einer Gauÿ-Gloke, wie sähe

dann diezeitlihe Entwiklung derWellenfunktion aus?

Um diese Frage zu beantworten, setzt man die korrekt normierte Gauÿverteilung mit

Standardabweihung

σ ₀

ψ(~x , 0) = 1

(2π) ^3/4 σ ^3/2 ₀ exp

− x ² 4σ ₀ ²

(1.61)

indieformaleLösung (1.60) einund berehnetdieIntegrale.

Merke:DieFouriertransformierteeinerGauÿverteilungineinerDimension

√ 1 2π

Z

dk e ^ikx e ^{− x 2 /4σ 2 0} = √

2 σ 0 e ^{− k 2 σ 0 2}

^(1.62)

istwiederumeineGauÿverteilung,derenBreiteproportionalzumKehrwertderursprüng-

lihenBreiteist.

DasResultat lautet:

ψ(~x , t) = 1 (2π) ³

Z

d ³ k e ^{i~k ·~ x −iω(~k )t} Z

d ³ x ^′ e ^{−i~k ·~ x ′} 1

(2π) ^3/4 σ ₀ ^3/2 e ⁻

x ′2 4σ 2

0

(1.63)

= 1

(2π) ³ Z

d ³ k e ^{i~k ·~ x −iω(~k )t} (8πσ ² ₀ ) ^3/4 e ^{−σ 0 2 k 2}

= (8πσ ₀ ² ) ^3/4 (2π) ³

Z

d ³ k e ^{i~k ·~ x} e ^{−(σ 0 2 + i 2m ~ t )k 2}

= σ ^3/2 ₀

(2π) ^3/4 (σ ² ₀ + _2m ^{i ~ t} ) ^3/2 exp

− x ² 4(σ ₀ ² + _2m ^{i ~ t} )

Umzu berehnen, wie wahrsheinlih esist,dasTeilhenindiesemzeitabhängigen Wel-

lenpaketbeieiner Ortsmessung amOrt

~x

^{zunden,bestimmenwirdieW}ahrsheinlih- keitsdihte

ρ(~x , t) = ψ(~x , t) ^∗ ψ(~x , t)

^(1.64)

= σ ₀ ³

(2π) ^3/2 (σ ₀ ⁴ + ^~ _4m ^{2 t 2} ₂ ) ^3/2 exp

− x ²

4(σ ² ₀ + ⁱ _2m ^{~ t} ) − x ² 4(σ ² ₀ − _2m ^{i ~ t} )

= 1

(2π) ^3/2 (σ ₀ ² + _4m ^{~ 2} ₂ ^t _σ ² 2

0 ) ^3/2 exp

− x ²

2(σ ² ₀ + _4m ^{~ 2} ₂ ^t _σ ² 2 0 )

.

AndiesemErgebnisliestmanab,dassdieVerteilunggauÿförmigbleibt,jedohalsFunk-

tionderZeitbreiterwird.Die eektiveBreite

σ(t)

^{wähstdabeiquadratishinderZeit:}

σ(t) = σ ₀ s

1 + ~ ² t ²

4m ² σ ₀ ⁴ .

^(1.65)

DieserEekt wirdalsdasZerieÿen des Wellenpakets bezeihnet.

Beispiel:Auf makroskopisherSkala istdieserEektso gutwieniht sihtbar,während

eraufderNanometerskalaunddaruntereinesignikanteRollespielt.Nimmtmanan,dass

dieanfängliheUnshärfe

σ 0

^demRadius

R

^{desTeilhensentspriht,verdoppeltsihbei-}

spielsweisedieBreite

σ

^desWellenpaketsimZeitraum

T = √

12mσ ² 0 / ~

gemäÿderfolgenden Tabelle:

Objekt Radius Masse

T

Wasserstomolekül

10 ^{− 10}

^m

10 ^{− 26}

^kg

3 × 10 ^{− 12}

^s

typ.Nanoteilhen

10 ⁻⁸

^m

10 ⁻²⁰

^kg

3 × 10 ⁻³ s

Sandkorn

10 ⁻⁶

^m

10 ⁻¹⁵

^{kg a.1Jahr}

Bewegtes Gauÿshes Wellenpaket

DaszuvorbetrahteteWellenpaketverbreitertsihzwar,bleibtaberamUrsprung

~x = 0

zentriertundrepräsentiertdahereinruhendes Teilhen.Wie abermussmandieWellen-

funktionwählen, damit sih dasTeilhen bewegt?

NahdemBohrshen KorrespondenzprinzipwirdderImpuls

~ p

^{einesTeilhensdurhden}

Gradienten

− i ~ ∇

repräsentiert, der Impuls wird also durh eine räumlihe Änderung derWellenfunktionodiert.DieslegtdenAnsatznahe,demWellenpaketeinezusätzlihe

räumlihe Welligkeit aufzuprägen, es also mit einem räumlih oszillierenden Faktor zu

multiplizieren:

ψ(~x , 0) = 1

(2π) ^3/4 σ ^3/2 ₀ e ⁻

x 2 4σ 2

0 e ^{−i~ q ·~ x}

^(1.66)

wobei

~q

^{ein konstanter Vektorist.Eineanaloge Rehnung führtdann auf dasResultat}

ψ(~x , t) = 1

(2π) ³ Z

d ³ k e ^{iω(~k )t−i~k ·~ x} Z

d ³ x ^′ e ^{i~k ·~ x ′} 1

(2π) ^3/4 σ ^3/2 ₀ e ⁻

x ′2 4σ 2 0

−i~ q ·~ x

(1.67)

= σ ^3/2 ₀

(2π) ^3/4 (σ ₀ ² + ⁱ _2m ^{~ t} ) ^3/2 exp

− x ² + 4iσ ₀ ² ~ q · ~x + 2i ~ tσ ₀ ² q ² /m 4(σ ² ₀ + _2m ^{i ~ t} )

WiederumberehnenwirdasBetragsquadrat underhaltendieWahrsheinlihkeitsdihte

ρ(~x , t) = ψ(~x , t) ^∗ ψ(~x , t)

^(1.68)

= 1

(2π) ^3/2 (σ ₀ ² + _4m ^{~ 2} ₂ ^{t 2} _σ 2

0 ) ^3/2 exp

− (~x − ~ t~q /m) ² 2(σ ₀ ² + _4m ^{~ 2} ₂ ^t _σ ² 2

0 )

DasWellenpaketzerieÿtalsogenausowie imvorherigenBeispiel,jedohbewegtessih

dabeimit derkonstantenGeshwindigkeit

~v = ~ ~ q /m

^.

Warum zerieÿen Wellenpakete?

WennmaneinWellenpaketspektralnahebenenWellenzerlegt,alsoeineFouriertransfor-

mationdurhführt,sondetman,dassessihausunendlihvielenWellenuntershiedli-

herWellenzahladditivzusammensetzt.BeispielsweiseistdieFouriertransformierteeiner

Wellenfunktion inFormeiner Gauÿgloke wiederum eineGauÿgloke mit einergewissen

Breite.DieSituationistähnlihwiebeieinemPaukenshlag,dessenSpektrumunendlihe

viele Frequenzenaufweist,dieumso breiterverteilt sind, je kürzerderShlagist.