Aufgabe 10.3: Zeigen Sie, dass die Sprache L={ajbkcldm |j = 0∨k =l=m} a

HTWK Leipzig, Fakultät IMN

Prof. Dr. Sibylle Schwarz sibylle.schwarz@htwk-leipzig.de

10. Übung zu Theoretische Informatik: Automaten und formale Sprachen

Wintersemester 2020/21 zu lösen bis 3. Januar 2021

Aufgabe 10.1:

Zeigen Sie, dass die Sprache L={a^mbⁿc^k |m= 0∨n=k} nicht NFA-akzeptierbar ist.

Aufgabe 10.2:

Gegeben sind die Grammatiken

a. G₁ = ({S, A, B, C, D},{a, b, c}, S, P) mit

P ={S →AD|AB, A →a|b, B→a|c, C →AB|AD|c, D →CB}.

Bestimmen Sie mit dem CYK-Algorithmus, ob gilt (a) aabccca∈L(G₁)

(b) abacb∈L(G1)

b. G₂ = ({S, A, B, C},{a, b}, S, P)mit

P ={S →bSb|bb|C, A→baS, B →a, C →aC|B}

Bestimmen Sie mit dem CYK-Algorithmus, ob gilt (a) bbaaabb∈L(G2)

(b) bbbbba∈L(G₂)

Geben Sie für die Wörter, die durch die Grammatiken erzeugt werden, auch Ableitungsbäume in der entsprechenden Grammatik an.

Aufgabe 10.3:

Zeigen Sie, dass die Sprache L={a^jb^kc^ld^m |j = 0∨k =l=m}

a. den Chomsky-Typ 1 hat

(indem Sie eine Grammatik G vom Chomsky-Typ 1 mit L=L(G) angeben), b. nicht kontextfrei ist,

Sie können dazu verwenden, dass die Menge aller kontestfreien Sprachen unter Schnitt mit regulären Sprachen abgeschlossen ist,

d.h. für alle Sprachen L, L⁰ gilt: (L∈CF∧L⁰ ∈REG)→L∩L⁰ ∈CF (wird später in der Vorlesung gezeigt)

Erarbeiten Sie sich anhand der Folien und Fachliteratur die reguläre und die kontextfreie Pump-Eigenschaft sowie die Pumping-Lemmata für kontextfreie und für reguläre Sprachen.

Verstehen Sie jeweils den Unterschied zwischen beiden Varianten und finden Sie für wenigstens drei verschiedene Sprachen eine Pumping-Konstante und überprüfen Sie die Gültigkeit der Pump-Eigenschaft.

Selbsttest-Aufgabe 10.4:

Zeigen Sie, dass die Sprache L={a^jb^kc^ld^m |j = 0∨k =l=m}

die CF-Pump-Eigenschaft erfüllt.

Selbsttest-Aufgabe 10.5:

Zeigen Sie mit dem Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen, dass die folgenden Sprachen nicht kontextfrei sind:

L₁ = {aⁿb^maⁿb^m |m, n >0}

L₂ = {a⁽ⁱ²⁾ |i∈N}

L₃ = {aⁱb^j |i∈N∧j =i²}

Selbsttest-Aufgabe 10.6:

Zeigen Sie, dass die Sprache L = {a^mbⁿc^k | m = 0∨n = k} die REG-Pump-Eigenschaft erfüllt.

Selbsttest-Aufgabe 10.7:

Bestimmen Sie für alle folgenden Sprachen Li, ob Li regulär, kontextfrei oder nichts von beiden ist. Begründen Sie in allen Fällen Ihre Antwort kurz.

L₁ = {aⁿbⁿ|n > 0} ◦ {aⁿbⁿ |n >0}

L₂ = {aⁿb^maⁿ⁺¹ |m, n >0}

L₃ = {a^mbⁿa^m+n |m, n >0}

L₄ = {aⁿa^maⁿ|m, n > 0}

L5 = {a^mbⁿc^l|m =l}

L₆ = {wabⁿaw^R |w∈ {a, b}^∗∧n ∈N} L₇ = {aⁱb^ja^k |i, j, k >0}

L₈ = {aⁱb^ja^k |i=j∨i=k∨j =k}

L₉ = {w∈ {a, b, c}^∗ | |w|_a<|w|_c} ∩ {a, b}^∗ L₁₀ = {ucv ∈ {a, b, c}^∗ |u∈ {a, b}^∗∧v ∈ {a, b}^∗}

L₁₁ = {ucv ∈ {a, b, c}^∗ |u∈ {a, b, c}^∗∧v ∈ {a, b, c}^∗∧ |u|=|v|}

L12 = {ucv ∈ {a, b, c}^∗ |u∈ {a, b, c}^∗∧v ∈ {a, b, c}^∗∧ |u|=|v|} ∩ {a, b}^∗ L₁₃ = {w∈ {a, b, c}^∗ |3|w|_a=|w|_c} ∩ {a, b}^∗

Übungsaufgaben, Folien und weitere Hinweise zur Vorlesung finden Sie online unter https://informatik.htwk-leipzig.de/schwarz/lehre/ws20/tib