Wenn der Kopf in einem Kühl- schrank steckt und die Füße stehen auf einer Herdplatte - dann ist die Durchschnitts temperatur okay.
Andrew Robertson
Das kannst du bald
– Tabellen und Diagramme erstellen
– Statistische Kenngrößen angeben und berechnen – Tabellen und Diagramme auswerten und vergleichen – Diagramme richtig deuten
I Daten
5 zu 1. Grundwissen, Seite 214 zu 2. Grundwissen, Seite 215 zu 3. Grundwissen, Seite 215
Lerntipps
Grundrechenaufgaben im Kopf lösen Berechne im Kopf.
a) 12 + 18 + 19 b) 2 + 4 + 5 + 4 + 6 c) 5 ⋅ 7 d) 150 ÷ 5 e) 8 ⋅ 9 f) 72 ÷ 6 g) 140 + 145 + 142 h) 873 – 699 Daten aus einer Tabelle entnehmen
Die Schülerinnen und Schüler der Klasse 5a führen eine Umfrage durch, wie sie zur Schule kommen. Sie haben je eine Stimme. Die Antworten sind in der Tabelle zusammengefasst.
Wie komme ich zur Schule? zu Fuß Fahrrad Auto Bus/Bahn
Anzahl der Schülerinnen und Schüler 5 3 10 7
a) Gib an, wie viele Schülerinnen und Schüler mit dem Auto zur Schule kommen.
b) Gib die Anzahl an Schülerinnen und Schülern an, die zu Fuß in die Schule kommen.
c) Gib an, wie viele Schülerinnen und Schüler nicht mit dem Auto zur Schule kommen.
d) Bestimme die Anzahl an Schülerinnen und Schülern in der Klasse 5a.
Daten aus einem Diagramm entnehmen
In der Klasse 5b wird eine Umfrage zu den Essgewohnheiten der Schülerinnen und Schü- ler am Morgen durchgeführt. Sie haben jeweils nur eine Stimme. Die Antworten sind in folgendem Diagramm dargestellt.
a) Gib die Anzahl an Schülerinnen und Schülern an, die am Morgen Joghurt mit Obst essen.
b) Gib an, welches Essen die meisten Schü- lerinnen und Schüler am Morgen essen.
c) Gib an, wie viele Schülerinnen und Schü- ler Brot oder Gemüse essen.
d) Bestimme die Anzahl an Schülerinnen und Schülern, die zum Frühstück etwas essen.
Teste dich!
1
2
3
l m n Schätze dich ein:
1. Ich kann Grundrechenaufgaben im Kopf lösen.
2. Ich kann Daten aus einer Tabelle entnehmen.
3. Ich kann Daten aus einem Diagramm entnehmen.
Lösungen, Seite 218
Erkundungen
Nun seid ihr an einer neuen Schule in einer neuen Klasse bei neuen Lehrerinnen und Lehrern – irgendwie ist alles neu. Neues ist ungewohnt, aber auch spannend.
Neues kann man erforschen und erkunden!
Lerneinheit 1 Seite 8
Um Antworten auf solche Fragen zu erhalten, könnt ihr einen Fragebogen verwenden:
Kennen wir uns schon alle?
Wer ist am größten, wer am kleinsten?
Wer ist am ältesten, wer am jüngsten?
Von welchen Grundschulen kommen wir?
Welche Hobbys haben wir?
Wer hat wann Geburtstag?
Was wissen wir voneinander?
Fragebogen entwerfen
Denkt euch Fragen für einen eigenen Frage bogen aus. Überlegt vorher, ob die Fragen, die ihr stellen wollt, von jedem Kind der Klasse auch beantwortet wer- den können.
Fragebogen auswerten
Fasst die Ergebnisse eurer Umfrage in einer Gesamtliste zusammen. Besprecht, wie die Ergebnisse zu den einzelnen Fragen ausgewertet werden sollen und verteilt Arbeitsaufträge. In einer Klein- gruppe zusammen mit einigen Mitschü- lerinnen oder Mitschülern macht das Auswerten am meisten Spaß.
Vorname Mä/Ju Geschwister Farbe Tier Sportart
Katrin Mä 0 rot Hund Turnen
Stefan Ju 2 blau Katze Fußball
Ines Mä 1 grün Hamster Fußball
Marco Ju 1 rot Hund Handball
Sarah Mä 0 gelb Pferd Reiten
Patrick Ju 0 blau Hase Fußball
FRAGEBOGEN
Name:
Vorname:
Junge Mädchen Wie viele Geschwister hast du?
keine eine Schwester oder einen Bruder zwei drei mehr als drei
Verrate deine Vorlieben.
Lieblingsfarbe:
Lieblingstier:
Lieblingssportart:
Wie lange brauchst du morgens für deinen Schulweg?
Minuten
gelb Hase Inlineskaten 15
Hansen Grete
Wir lernen uns kennen
77 Erkundungen
Auswertung
Tragt die Antworten aus eurer Befragung in einer Liste zusammen. Eine solche Zu- sammenstellung der Ergebnisse nennt man auch Urliste. Um die Auswertung der Liste schneller vornehmen zu können, nutzt man häufig auch den Computer.
Überlegt, wie ihr die Ergebnisse der Be- fragung auswerten könnt. Teilt die Arbeiten untereinander auf.
Darstellung
Die Ergebnisse sollen nun auch noch an- schaulich und übersichtlich dargestellt werden. Vorschlag: Fertigt ein Poster an, das die Auswertung zu einem Einzelergeb- nis eurer Befragung zeigt. Stellt euch eure Ergebnisse gegenseitig vor.
Nora aus der Klasse 5a hat die Wohnorte ihrer Mitschüler und die Entfernung zur neuen Schule dargestellt.
Unsere Lieblingsfarbe rot blau III grün III gelb II andere IIII
Checkliste Unser Poster hat:
– eine Überschrift – eine übersichtliche Anordnung – eine Grafik, die das Ergebnis darstellt – eine ordentliche Gestaltung – einen Satz am Ende, der die Informationen zusammenfasst – die Namen der Kinder, die das Poster erstellt haben
1 Zählen und darstellen
Lukas Die Stimmzettel zur Klassensprecherwahl
sind abgegeben.
Wem kann man zur Klassensprecherwahl gratulieren? Wer darf Stellvertreter sein?
Wenn man Umfragen durchführt, hilft es, die Ergebnisse zunächst in Strichlisten aus- zuzählen. Die Kinder der Klasse 5a stimmen darüber ab, welchen Ausflug sie auf ihrer Klassenfahrt unternehmen werden. Jedes Kind gibt eine Stimme ab. Die Stimmen werden in einer Strichliste (Fig. 1) ausgezählt und dann in einer Tabelle festgehalten (Fig. 2).
Fig. 1
Ziel Erlebnis-
park Zoo Wande- rung Kino Anzahl der
Stimmen 13 6 8 4
Ergebnisse von Umfragen lassen sich anschaulich in Diagrammen darstellen. Dabei können Balken oder Säulen verwendet werden.
Im Balkendiagramm werden die Balken
waagerecht übereinander angeordnet. Im Säulendiagramm werden die Balken aufrecht nebeneinander angeordnet.
0 2 4 6 8 10 12
14 Anzahl der Stimmen
Erlebnispark Zoo Wanderung Kino Ziel
Die Randlinien des Diagramms heißen waagerechte Achse und senkrechte Achse und werden beschriftet. Beim Balkendiagramm stehen Zahlen an der waagerechten Achse.
Beim Säulendiagramm stehen sie an der senkrechten Achse.
Beim Zeichnen eines Säulen- oder Balkendiagramms ist darauf zu achten, dass die Ach- seneinteilung immer bei 0 beginnt und so vorgenommen wird, dass sie gleichmäßig ist und alle Werte gezeichnet werden können.
Beim Auszählen von Ergebnissen helfen Strichlisten.
Tabellen und Diagramme helfen beim Darstellen und Vergleichen von Zählergebnissen.
ist übersichtlicher als
Fig. 2
9 1 Zählen und darstellen
Beispiel 1 Umfrageergebnisse darstellen Die Kinder der Klasse 5c haben eine Umfra- ge zu ihrem Lieblingsfach durchgeführt.
Stelle die Ergebnisse in einer Tabelle und in einem Säulendiagramm übersichtlich dar.
Lösung
Die Darstellungen sind übersichtlicher, wenn man sie nach der Stimmenanzahl ordnet. Im Diagramm wurde auf der senkrechten Achse 1 Kästchen für 1 Stimme gewählt.
Unterrichtsfach Anzahl der Stimmen
Sport 8
Englisch 6
Mathematik 5
Musik 5
Deutsch 4
Beispiel 2 Informationen aus Diagrammen entnehmen a) Formuliere in einem Satz, worüber das
Säulendiagramm Auskunft gibt.
b) Stelle die Daten in einer Tabelle dar.
c) Erkläre, welchen Vorteil das Diagramm gegenüber der Tabelle hat.
Lösung
a) Das Diagramm gibt Auskunft darüber, wie viele der 27 Kinder der Klasse 5d zu Fuß, mit dem Rad, mit dem Bus oder mit der Bahn zur Schule kommen.
b) Siehe Fig. 1.
c) Das Diagramm bietet einen besseren Überblick für den Vergleich der Anzahlen.
02 46 8 10
12 Anzahl der Kinder
Schulwege der Klasse 5 d (27 Kinder)
Schul- weg mit dem
Rad mit dem
Bus mit der zu Fuß Bahn
Schul-
weg zu
Fuß mit dem
Rad mit dem
Bus mit der Bahn
Anzahl 4 11 8 4
Aufgaben
In der Klasse 5a wurden zwei Umfragen durchgeführt. Stelle die Ergebnisse jeweils in einer Tabelle und in einem Säulendiagramm dar.
a) b)
Die Tabellen zeigen die Ergebnisse zweier Umfragen in der Klasse 5d. Formuliere, worüber die Tabellen Auskunft geben, und stelle die Daten in einem Säulendiagramm dar.
a) (1) Sportart Leichtathletik Turnen Ballsport Sonstiges
Anzahl 6 4 12 5
(2) Instrument Klavier Blasinstrument Streichinstrument Gitarre Schlagzeug kein Instrument
Anzahl 9 6 5 4 1 2
b) Führt die Umfragen aus Teilaufgabe a) auch in eurer Klasse durch und fertigt eine Strichliste an. Stellt dann die Ergebnisse in Tabellen und Diagrammen dar.
Fig. 1
1
0
2
0
a) Formuliere in einem Satz, worüber das nebenstehende Diagramm Auskunft gibt.
b) Lies die Angaben aus dem Diagramm ab und erstelle dazu eine Tabelle.
c) Charlie soll das Umfrageergebnis der Klasse vorstellen. Sollte sie eine Tabelle oder das Diagramm zeigen? Begründe deine Wahl.
109 87 65 43 21
Anzahl der Schüler
Klasse 5 e: Großes Einmaleins
gerechnete Aufgaben pro Minute
3 4 5 6 7 8 9 10
O
a) Formuliere in einem Satz, worüber das nebenstehende Diagramm Auskunft gibt.
b) Lies die Angaben aus dem Diagramm ab und erstelle dazu eine Tabelle.
Erstelle zu den Angaben in der Tabelle ein Säulendiagramm.
Haarfarben in der Klasse 5b
blond rot braun schwarz
Anzahl 14 2 7 4
a) Formuliere, worüber die Tabelle Auskunft gibt, und veranschauliche die Angaben in einem Säulendiagramm. Überlege dir erst die Einteilung der senkrechten Achse.
Schülerinnen und Schüler der fünften Klasse
Nichtschwimmer Seepferdchen Bronze Silber Gold
Anzahl 18 32 44 20 6
b) H Vergleicht eure Diagramme. Erläutert die Einteilung eurer senkrechten Achsen.
Finde den Fehler! Erkläre, was falsch gemacht wurde. Verwende hierzu geeignete Begriffe aus der Liste auf dem Rand.
H Führt in eurer Klasse eine Umfrage oder ein Experiment durch. Stellt das Ergebnis auf einem Blatt übersichtlich dar, um es der Klasse zu präsentieren.
Hier findet ihr Anregungen.
3
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Teste dich! Lösungen, Seite 220
4
0
5
0
6
$
7
$
8
$ Experiment: Wie viele Kniebeugen
schaffst du in einer Minute?
bis 10; bis 15; ....
Umfrage: Wie viele Buchstaben hat dein Vorname?
Umfrage: Wie viele Milchzähne hast du noch?
Wortliste
• der Abstand
• die senkrechte Achse
• die waagerechte Achse
• die Einteilung
• die Säule
• verwechseln
Interaktives Üben Tabellenblatt t7n9gq
11 1 Zählen und darstellen
In verschiedenen Ländern sind die Sommer ferien unterschiedlich lang.
a) Gib an, in welchem der Länder die Sommerferien am längsten, in welchem am kürzesten sind.
b) Lies die jeweilige Länge der Sommer- ferien ab und erstelle eine Tabelle.
c) Lotta sagt: „Wie ungerecht! Die Kinder in Deutschland und der Schweiz müssen viel mehr zur Schule gehen als die in den anderen Ländern.“ Was meinst du zu Lottas Aussage? Erkläre.
Länge der Sommerferien (in Tagen)
B
Land
DK D F GB NL A CH
Belgien Dänemark Deutschland Frankreich Großbritannien Niederlande Österreich Schweiz
Ermittle aus dem nebenstehenden Dia- gramm, wie viele Menschen in den auf- geführten Ländern leben. Erkläre, wie du dabei vorgegangen bist.
Stelle die Angaben aus der Tabelle übersichtlich in einem Säulendiagramm dar.
Mensanutzung der Schülerinnen und Schüler des Kästner-Gymnasiums
täglich nur an Langtagen unregelmäßig selten nie
Anzahl 70 260 210 90 120
In regelmäßigen Abständen werden bei der KIM-Studie Kinder im Alter von 6 bis 13 Jahren gefragt, womit sie sich am liebsten in ihrer Freizeit beschäftigen.
a) Formuliere drei Aussagen, die du dem Diagramm entnehmen kannst.
b) Führt selbst eine solche Befragung in eurer Klasse durch. Zur Auswertung könnt ihr das Tabellenblatt aus dem Code verwenden.
c) Beschreibt Gemeinsamkeiten und Unter- schiede zwischen den Ergebnissen eurer Umfrage und der KIM-Studie 2016.
Reihen fortsetzen
Setze die Zahlenreihen fort, indem du die nächsten 5 Zahlen angibst.
a) 1, 5, 4, 8, 7, 11, 10, … b) 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, … c) 1, 3, 4, 12, 13, 39, 40, … 9
$
10
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Teste dich! Lösungen, Seite 222
11
$
12
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KIM steht für „Kindheit,
Internet, Medien“.
Grundwissen, Seite 224 Lösungen, Seite 225
Teste dein Grundwissen!
13
G
2 Statistische Kenngrößen
Am Humboldt-Gymnasium finden Bundes- jugendspiele statt. In der Tabelle sind die Ergebnisse der fünften Klassen einge- tragen. Welche Informationen kann man der Tabelle entnehmen?
Zur Auswertung aufgenommener Daten eignen sich Tabellen oder Diagramme. Zusätzlich können statistische Kenngrößen angegeben oder ausgerechnet werden.
Resa hat einen Tag lang alle zwei Stunden die aktuelle Temperatur abgelesen und in folgender Tabelle festgehalten.
Uhrzeit 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 0:00 Tempe-
ratur 11 °C 9 °C 8 °C 12 °C 18 °C 22 °C 23 °C 23 °C 21 °C 17 °C 15 °C 13 °C
Um die statistischen Kenngrößen Minimum, Maximum und Spannweite abzulesen, werden die Daten der Größe nach in einer Rangliste geordnet.
Tempe-
ratur 8 °C 9 °C 11 °C 12 °C 13 °C 15 °C 17 °C 18 °C 21 °C 22 °C 23 °C 23 °C Spannweite
Maximum Minimum
Den häufigsten Wert der Urliste nennt man Modalwert. Hier ist der Modalwert 23 °C.
Das arithmetische Mittel (der Mittelwert) wird berechnet, indem zunächst alle Werte addiert werden und danach durch die Anzahl der Werte dividiert wird.
(1) 8 °C + 9 °C + 11 °C + 12 °C + 13 °C + 15 °C + 17 °C + 18 °C + 21 °C + 22 °C + 23 °C + 23 °C
= 192 °C
(2) 192 °C ÷ 12 = 16 °C
Das arithmetische Mittel der gemessenen Tagestemperaturen beträgt 16 °C. Man sagt auch: „Die durchschnittliche Temperatur betrug 16 °C“.
Um den Median zu ermitteln, nutzt man erneut die Rangliste. Dann streicht man im Wechsel links und rechts je einen Wert weg. Der Wert, der übrig bleibt, heißt Median.
8 °C ; 9 °C ; 11 °C ; 12 °C ; 13 °C ; 15 °C; 17 °C; 18 °C ; 21 °C ; 22 °C ; 23 °C ; 23 °C
Im Beispiel bleiben zwei Temperaturen übrig: 15 °C und 17 °C. In diesem Fall ist der Median das arithmetische Mittel aus beiden Werten: 15 °C + 17 °C = 32 °C; 32 °C ÷ 2 = 16 °C.
Der Median beträgt hier 16 °C.
Bei der Untersuchung von Daten verwendet man die folgenden Kenngrößen:
Der Modalwert ist der Wert, der am häufigsten vorkommt.
Das Minimum ist der kleinste Wert und das Maximum der größte Wert.
Die Spannweite ist die Differenz zwischen Minimum und Maximum.
Das arithmetische Mittel mehrerer Werte wird berechnet, indem man alle Werte addiert und die Summe durch die Anzahl der Werte dividiert.
Der Median ist der Wert, der in der Rangliste in der Mitte steht. Sind es zwei Werte, so bildet man deren arithmetisches Mittel.
Die erste Erfassung von Daten nennt man Urliste.
Median und arithmeti- sches Mittel stimmen nicht immer überein.
Klasse Anzahl Kinderder
Punkte
5a 25 41 250
5b 28 47 740
5c 30 51 120
5d 26 44 226
13 2 Statistische Kenngrößen
Beispiel Statistische Kenngrößen ermitteln
7 Freunde vergleichen ihre Schuhgrößen: 36, 38, 40, 38, 41, 37, 43.
a) Gib Minimum, Maximum, Spannweite und Modalwert an.
b) Ermittle den Median.
c) Berechne das arithmetische Mittel.
Lösung
Erstellung einer geordneten Liste: 36, 37, 38, 38, 40, 41, 43.
a) Minimum: 36 Maximum: 43 Spannweite: 43 – 36 = 7 Modalwert: 38 b) 36 , 37 , 38 , 38, 40 , 41 , 43 Der Median ist 38.
c) 36 + 37 + 38 + 38 + 40 + 41 + 43 = 273 273 ÷ 7 = 39.
Das arithmetische Mittel beträgt 39. Die durchschnittliche Schuhgröße der Freunde ist 39.
Aufgaben
Sieben Kinder wiegen sich: 38 kg, 39 kg, 35 kg, 44 kg, 41 kg, 37 kg und 46 kg.
a) Erstelle eine Rangliste und bestimme Minimum, Maximum und Spannweite.
b) Bestimme den Median und berechne das arithmetische Mittel.
c) Bestimme die veränderten Kenngrößen, wenn ein achter Wert mit 48 kg dazukommt.
Emil hat letzte Woche wie folgt am Klavier geübt.
Tag Mo. Di. Mi. Do. Fr. Sa. So.
Zeit 10 min 8 min 5 min 10 min 18 min 12 min 0 min
a) Bestimme das arithmetische Mittel und den Median der täglichen Übezeit.
b) Ermittle die veränderten Kenngrößen, wenn er am Sonntag 70 min übt.
Übertrage die Zahlengerade in dein Heft. Schätze den Mittelwert der markierten Zahlen.
Berechne ihn anschließend und trage ihn ein.
Cora möchte wissen, wie viele Gummibären im Durchschnitt in einer Packung sind. Sie nimmt 5 Packungen und zählt die Gummibären darin. Cora erhält die folgenden Anzahlen:
143, 145, 143, 142 und 142.
Berechne die durchschnittliche Anzahl an Gummibären pro Packung.
Zum Turnierabschluss gibt der Basketballtrainer eine Auswertung der Korbtreffer zu den Spielern seiner Mannschaft bekannt: Alex (34 Treffer), Christian (17), Niclas (41), Arto (15), Lars (5), Navid (35), Jan (19), Lennard (32), Matteo (7) und Lukas (15).
a) Stelle eine Rangliste auf und gib Minimum, Maximum, Spannweite und Modalwert an.
b) Ermittle den Median und berechne das arithmetische Mittel.
c) Gib die veränderten statistischen Kenngrößen an, wenn der Neueinsteiger Nils (0) mit- berücksichtigt wird.
1
0
2
0
3
0
4
0
Teste dich! Lösungen, Seite 230
5
0
Die Tabelle zeigt das Ergebnis eines Tests, bei dem man 10 Punkte erreichen konnte.
Punkte 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Anzahl 2 4 0 1 5 6 11 10 14 16 18
a) Berechne das arithmetische Mittel der erzielten Punktzahl.
b) Untersuche, wie viele Schüler überdurchschnittlich abgeschnitten haben.
c) Untersuche, ob der Median rechts oder links vom arithmetischen Mittel liegt.
Anton hat die Mittagstemperaturen einer Woche in einem Diagramm notiert.
a) Lies die Temperaturen aus dem Dia- gramm ab und berechne ihr arithmeti- sches Mittel.
b) Untersuche, an wie vielen Tagen die Temperatur über bzw. unter dem arith- metischen Mittel lag.
c) Man liest mitunter Meldungen wie „Der September war 2 Grad zu warm“. Erläutere, was diese Aussage bedeuten könnte.
Oskar kann den Mittelwert der Zahlen auf dem Kärtchen ohne Rechnung angeben.
Beschreibe, wie er vorgeht.
15, 15, 15, 17, 17, 17 B
19, 20, 21 A 47, 48, 49, 51, 52, 53 C 61, 55, 60, 65, 59 D
Untersuche, welche Zahl für ■■ eingesetzt werden kann, damit die Aussage stimmt.
Der Mittelwert von
a) 3, ■■ und 5 ist 4, b) 2 und ■■ ist 5, c) 5, 2, ■■ und 1 ist 3.
d) 2, 3, 4, ■■, 6, 7 und 8 ist 5. e) 13, 17, 12 und ■■ ist 15. f) 2, 7, 16, 1, ■■ und 4 ist 5.
ó Eine Mannschaft aus 8 Spielerinnen hat ihre Körpergrößen gemessen.
a) Bestimme mithilfe eines Taschenrechners den Mittelwert der Körpergrößen.
b) Zur nächsten Saison kommt eine Spielerin hinzu. Damit sinkt der Mittelwert der Körpergrößen auf 144 cm. Bestimme die Körpergröße der neuen Mitspielerin.
Das arithmetische Mittel der Körpergrößen von Sebi, Ben, Ciara und Finn beträgt 155 cm.
a) Gib drei Möglichkeiten an, wie groß die vier sein könnten.
b) Untersuche, bei welcher deiner Lösungen aus Teilaufgabe a) der Unterschied zwischen arithmetischem Mittel und Median am größten ist.
Gilt immer – gilt nie – es kommt darauf an
Entscheide, ob die folgenden Aussagen immer gelten, nie stimmen oder ob sie nur in be- stimmten Fällen richtig sind. Begründe.
a) Der Median liegt in der Mitte zwischen dem größten und dem kleinsten Wert.
b) Arithmetisches Mittel und Median sind gleich.
c) Um den Median zu bestimmen, braucht man nicht zu rechnen.
d) Die Hälfte der Daten liegt unter dem arithmetischen Mittel.
Das Einmaleins Notiere die Reihe.
a) 7-er Reihe bis 70 b) 9-er Reihe bis 180 c) 13-er Reihe bis 260 6
$
7
$
8
$
9
$
10
$
139 cm 140 cm 147 cm
142 cm 143 cm
149 cm 148 cm
152 cm
Teste dich! Lösungen, Seite 232
11
$
12
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Grundwissen, Seite 233 Lösungen, Seite 234
Teste dein Grundwissen!
13
G
15 3 Diagramme genauer betrachten
3 Diagramme genauer betrachten
Unterschiedliche Darstellungen – gleiche Aussage?
Eine genauere Betrachtung von Bildern und Diagrammen lohnt sich.
Welcher der roten Kreise ist größer?
In der fünften Klasse werden in allen vier Parallelklassen des Henfling-Gymnasiums Zwischentests geschrieben und ausgewertet. Die dabei von den Klassen erreichte durch- schnittliche Punktzahl wird in zwei unterschiedlichen Säulendiagrammen abgebildet.
Fig. 1 Fig. 2
Nach der Veröffentlichung der Diagramme diskutieren die Klassen miteinander. Die Klasse 5b sagt: „Wir waren mit Abstand die beste Klasse“. Die 5d erwidert: „Die Ergebnisse aller Klassen sind bis auf kleine Abweichungen gleich, keine Klasse ist viel besser“.
Die Klasse 5b wählt für ihre Aussage das Diagramm aus Fig. 1. In diesem Diagramm beginnt die Einteilung der senkrechten Achse erst bei 48 und endet bei 60. Kleine Unter- schiede wirken sich in dieser Darstellung sehr deutlich aus. Die 5d nutzt das Diagramm aus Fig. 2. Die Achseneinteilung reicht von 0 bis 100. Somit wirken die Säulen ungefähr gleich hoch. Die Unterschiede der einzelnen Klassen sind nicht so deutlich erkennbar. Die Klasse 5b fällt für ihre Einschätzung auf ein manipuliertes Diagramm herein. Um wahrheits- gemäße Aussagen treffen zu können, muss die senkrechte Achse bei 0 beginnen.
In der Vereinszeitschrift des Schwimmver- eins SV 03 wird über die Mitgliederzahlen berichtet.
In der Grafik werden die Mitgliederzahlen von 2012 und 2022 durch die Quadrate verdeut licht. Die Seite des oberen Quadrats ist 1 cm lang. Die Seite des unteren Qua- drats ist 2 cm lang, also doppelt so groß.
Damit passt das kleine Quadrat viermal in das große Quadrat. Die Quadratflächen spiegeln also nicht die Verdopplung der Mitgliederzahlen wider.
Größenangaben können mithilfe von Diagrammen dargestellt werden. Bei den Diagram- men muss u. a. auf die verwendeten Skalen, Längen und Flächen geachtet werden, damit die gewünschten Inhalte korrekt dargestellt werden.
Beispiel Diagramme genauer betrachten
Fig. 1 Fig. 2
Die Säulendiagramme geben die Zuschaueranzahlen pro Heimspiel einer Bundesliga- mannschaft von der Saison 2013/2014 bis zur Saison 2018/2019 an.
a) Begründe, in welchem Diagramm die Entwicklung richtig dargestellt wird.
b) Nimm zu folgender Aussage Stellung: „In der Saison 2018/2019 sind gut dreimal so viele Zuschauer pro Heimspiel gekommen wie in der Saison 2016/2017.“
Lösung
a) Die Entwicklung wird im Diagramm in Fig. 1 richtig dargestellt: Hier beginnt die Ein- teilung der senkrechten Achse bei 0.
b) Die Aussage ist falsch. Zu dieser trügerischen Einschätzung könnte man bei Betrach- tung des rechten Diagramms kommen. Hier täuscht jedoch die Achseneinteilung. Aus Fig. 1 geht hervor, dass die Zuschauerzahl nur leicht ansteigt.
Aufgaben
Meinungsforscher führen einmal pro Mo- nat eine Umfrage zur aktuellen politischen Stimmungslage durch. In der Tagesschau wurde im März 2017 das nebenstehende Säulendiagramm veröffentlicht.
a) Beschreibe, welcher Fehler bei der Dar- stellung gemacht wurde.
b) Zeichne ein Säulendiagramm, das das Meinungsbild korrekt abbildet.
Statistiken können auch mit anderen Diagrammtypen dargestellt werden. Die Abbildung auf dem Rand stellt den Preis einer Currywurst an drei Verkaufsorten dar.
a) Beschreibe, welchen Eindruck die Darstellung vermittelt.
b) Stelle die Preise in einem Säulendiagramm dar, sodass die Preisunterschiede realis- tisch zu erkennen sind.
In einer Stadt gibt es drei Autohändler. Sie melden ihre Anzahl an verkauften Autos im letzten Jahr.
a) Übertrage die Verkaufszahlen in eine Tabelle.
b) Zeichne ein weiteres Säulendiagramm mit korrekter Achseneinteilung.
c) Ein Autohaus wollte die gezeigte Darstellung in der Tageszeitung abdrucken lassen.
Erkläre, warum die Zeitungsredaktion der Veröffentlichung nicht zugestimmt hat.
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17 3 Diagramme genauer betrachten
In beiden Diagrammen ist die Entwicklung der Kosten für eine Pizza dargestellt.
a) Erläutere, warum sich die Diagramme so stark unterscheiden.
b) Wer könnte das linke Diagramm verwendet haben und wer das rechte? Erkläre.
Manipuliere selbst!
Die Sommerferien dauern in Deutschland 42 Tage, in Dänemark 45 Tage und in den Niederlanden 51 Tage.
Zeichne ein manipuliertes Säulendiagramm, mit dem du deine Lehrerin oder deinen Lehrer überzeugen kannst, dass dies eine große Ungerechtigkeit ist.
Die Firma Linke stellt ihre Gewinne für den Monat Juni grafisch dar.
a) Lies den wöchentlichen Gewinn ab und notiere die Werte in einer Tabelle.
b) Zeichne ein manipuliertes Säulendia- gramm, bei dem die senkrechte Achse bei 1900 beginnt und bei 2500 endet.
Beschreibe Unterschiede zum abgebil- deten Diagramm.
Die Grafik zeigt die Smartphone-Nutzer im Jahr 2015.
a) Erkläre, welcher fehlerhafte Eindruck bei der ersten Betrachtung der Grafik entstehen kann.
b) Beschreibe, welchen „Trick“ der Grafiker benutzt hat.
Das Einmaleins
a) Finde die Zahlen heraus, die „aus der Reihe tanzen“. Setze dann bis 280 richtig fort.
14 – 28 – 32 – 42 – 56 – 70 – 80 – 84 – 98 – 108 – 112 – 126 – 140 – 154 – 156 – 168 – 172 – 182 … b) Gib drei Zahlen an, die sowohl zur 8er-Reihe als auch zur 12er-Reihe gehören.
Berechne.
a) 7 ⋅ 4 b) 9 ⋅ 5 c) 8 ⋅ 9 d) 6 ⋅ 12 e) 7 ⋅ 15 f) 11 ⋅ 18 g) 8 ⋅ 7 h) 4 ⋅ 13 i) 12 ⋅ 13 j) 6 ⋅ 16 k) 8 ⋅ 12 l) 11 ⋅ 14 4
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Teste dein Grundwissen! Grundwissen, Seite 243
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Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen
Lösungen, Seite 247
Valerie liest gerne. Sie hat eine Woche lang Buch geführt.
Mo. Di. Mi. Do. Fr. Sa. So.
Lesezeit
(in min) 45 30 75 0 60 105 120
a) Notiere in einem Satz, worüber die Tabelle Auskunft gibt.
b) Veranschauliche die Daten der Tabelle in einem Säulendiagramm.
c) Formuliere drei Aussagen zu Valeries Lesegewohnheiten.
Bäume können sehr alt werden. Zeichne zu den Altersangaben für Bäume ein Diagramm.
Baumart Eiche Buche Ulme Kastanie
Alter (in Jahren) 1300 900 500 750
Zu einer Tagung kommen fünf Teilnehmer, die unterschiedlich weit fahren mussten: Frau Arndt 25 km, Herr Baker 38 km, Frau Diaz 267 km, Herr Eller 12 km und Frau Claus 158 km.
a) Erstelle eine Rangliste und gib Minimum, Maximum und Spannweite an.
b) Ermittle den Median und berechne den durchschnittlichen Anreiseweg.
c) Stelle die unterschiedlichen Entfernungen aufsteigend in einem Balkendiagramm dar.
In der Tabelle (Fig. 1) ist der Energieverbrauch pro Kopf von verschiedenen Ländern und Kontinenten für die Jahre 1990 und 2008 angegeben.
Im Säulendiagramm (Fig. 2) steht die blaue Säule jeweils für den Verbrauch im Jahr 1990 und die rote Säule für den Verbrauch im Jahr 2008. Ordne den Buchstaben die korrekten Länder bzw. Kontinente zu.
Kilowattstunden pro Kopf
1990 2008
USA 89 021 87 216
Europa 40 240 40 821
China 8839 18 608
Afrika 7094 7792
Indien 4419 6280
Südamerika 11281 14 421
Fig. 1 Fig. 2
An zwei Wintertagen hat Kai die Vögel an seinem Futterhäuschen im Garten beobachtet und gezählt.
a) Zähle die Strichliste aus und übertrage die Häufigkeiten in eine Tabelle.
b) Nenne die Vogelart, die Kai am häufigs- ten an seinem Vogelhäuschen beobach- ten konnte.
c) Stelle die Häufigkeiten der Vogelarten für beide Tage in einem gemeinsamen Säulendiagramm dar.
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19 Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen
Das Balkendiagramm stellt eine Kenngröße wichtiger Flüsse in Europa dar.
a) Beschreibe, worüber das Balkendia- gramm Auskunft gibt.
b) Lies die ungefähren Längen der Flüsse ab und stelle sie in einer Tabelle dar.
c) Diskutiere Vor- und Nachteile einer Tabelle gegenüber dem Diagramm.
Laut einer Zeitschrift fallen pro Person jährlich etwa 300 kg Hausmüll an. Die Zu- sammensetzung des Hausmülls wird in einem Bild diagramm veranschaulicht. Dabei beziehen sich die Prozent angaben auf die Masse.
a) Zeichne zu der Aufteilung ein Säulen- diagramm.
b) Vergleiche das Säulendiagramm mit der Zeitungsgrafik und beschreibe deinen Eindruck.
Eine Süßwarenfirma hat vor fünf Jahren ein neues Produkt auf den Markt gebracht.
Die Umsätze haben sich inzwischen ver- doppelt.
a) Beschreibe, wie sich die Seitenlänge der Dreiecke unterscheidet.
b) Erkläre, warum diese Dreiecke einen fal- schen Eindruck der Umsätze erwecken.
c) Ermittle, welche Umsatzsteigerung die Darstellung vortäuscht.
Die jeweils höchsten Berge der Kontinente bezeichnet man als „Seven Summits“.
Für einen Vergleich werden die Höhen in einem Säulendiagramm gegenübergestellt.
Lea: „Bei mir sind die Säulen fast gleich hoch, man erkennt kaum einen Unterschied.“
Ole: „Der Mount Everest ragt in meinem Diagramm deutlich hervor.“
a) Diskutiere die beiden Aussagen von Lea und Ole. Erkläre, wer beim Erstellen des Diagramms einen Fehler gemacht hat.
b) Runde die Angaben auf 100 m.
c) Zeichne das korrekte Diagramm mit den gerundeten Werten.
Kibo (Afrika) 5895 m
Mount Vinson (Antarktis) 4892 m Mount Everest (Asien) 8848 m Carstensz-Pyramide (Australien) 4884 m
Mont Blanc (Europa) 4810 m
Mount McKinley (Nordamerika) 6195 m Aconcagua (Südamerika) 6962 m
Leas Familie hat in den letzten Ferien eine große Wanderung gemacht. Der erste Ab- schnitt dauerte zwei Tage und sie sind durchschnittlich 12 km pro Tag gewandert. Ab- schnitt zwei dauerte doppelt so lang und sie haben täglich im Durchschnitt 9 km zurück- gelegt. Bestimme die durschnittliche Laufstrecke pro Tag.
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Rückblick
Urliste und Rangliste
Die erste Erfassung von Daten heißt Urliste. Beim Zählen helfen Strichlisten.
Die Auflistung aller Werte der Größe nach wird Rangliste genannt.
Umfrageergebnisse zu „Ich habe (k)ein Haustier“ in der Klasse 5.
Strichliste:
Tier kein
Haustier Hund Katze Vogel
Anzahl I III II I
Rangliste:
Tier Hund kein
Haustier Vogel Katze
Anzahl 3 6 6 7
Diagramme
Mit Säulendiagrammen und Balkendiagrammen können Daten dargestellt und miteinander verglichen werden.
Wichtig ist dabei die Beschriftung des Diagramms sowie die Be- schriftung und Einteilung der Achsen.
Säulendiagramm: Balkendiagramm:
Statistische Kenngrößen
Ist eine Anzahl von Werten gegeben, so ist die Spannweite die Differenz zwischen Minimum und Maximum aus der Urliste.
Der Modalwert ist der Zahlenwert, der am häufigsten in der Ur- liste vorkommt.
Anzahlen der Schülerinnen und Schüler in den Klassen 5a, 5b, 5c, 5d und 5e:
5a 5b 5c 5d 5e
26 23 24 24 28
Minimum: 23 Maximum: 28 Spannweite: 28 – 23 = 5
Modalwert: 24 Der Median steht in einer Rangliste genau in der Mitte. Liegt eine
gerade Anzahl von Werten vor, dann ist der Median der Mittelwert der letzten beiden übrigen Werte.
Rangliste: 23 , 24 , 24, 26 , 28 Median: 24
Das arithmetische Mittel (oder auch der Mittelwert) muss berech- net werden. Dafür wird zuerst die Summe aller Werte der Urliste gebildet und anschließend durch die Anzahl an Werten dividiert.
23 + 24 + 24 + 26 + 28 = 125 125 ÷ 5 = 25
Das arithmetische Mittel ist 25.
21 Runde 2
Bei der Bürgermeisterwahl wurden die Stimmen der Kandidatinnen ausgezählt und durch folgendes Bilddiagramm dargestellt.
a) Stelle die Ergebnisse der Bürgermeisterwahl in einem Säulendiagramm dar.
b) Berechne die Anzahl an abgegebenen Stimmen. Erkläre, warum diese Art der Ergebnis- darstellung für ein Wahlergebnis eher ungeeignet ist.
c) Begründe, dass die Berechnung des Mittelwertes inhaltlich keinen Sinn ergibt.
Jan fährt täglich mit dem Auto und notiert von Montag bis Samstag seinen Benzinver- brauch:
a) Berechne den durchschnittlichen Benzinverbrauch in den sechs Tagen.
b) Tom behauptet: „Es gibt einen bestimmten Verbrauch am Sonntag, sodass der Mittel- wert aller sieben Tage mit dem Median der notierten sechs Tage übereinstimmt“.
Überprüfe, ob Tom mit seiner Aussage recht hat.
In Dresden wird täglich der Pegelstand der Elbe gemessen. Im Juli 2021 wurden folgende Stände gemessen:
Tag 15.07. 16.07. 17.07. 18.07. 19.07. 20.07. 21.07. 22.07.
Pegelstand (in cm) 300 310 320 350 380 300 290 270
a) Stelle den Pegelstand der acht Tage in einem Säulendiagramm dar, wobei die senk- rechte Achse bei 0 cm beginnen soll.
b) ó Berechne den durchschnittlichen Pegelstand und zeichne ihn in das Diagramm ein.
Lösungen, Seite 251
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2 Tag Benzin-
verbrauch
Montag 5 l
Dienstag 7 l Mittwoch 1 l Donners-
tag 8 l
Freitag 2 l Samstag 7 l
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Runde 1
Stelle die gerundeten Längen der Flüsse in einem Balkendiagramm dar.
Elbe 1200 km, Rhein 1300 km, Donau 2900 km, Oder 900 km, Saale 400 km, Werra 300 km Bei der ersten Mathe-LK wurden folgende Punktzahlen erreicht: 26, 17, 21, 23, 15, 25, 28, 22, 27, 20, 23, 26, 20, 8, 12, 18, 23, 27, 25, 22, 24, 27, 17 und 20. Die Noten werden wie folgt vergeben:
Punkte 28 – 27 26 – 22 21 – 17 16 – 11 10 – 6 5 – 0
Note 1 2 3 4 5 6
a) Erstelle und vervollständige eine Notentabelle für diese Leistungskontrolle.
b) Gib Minimum, Maximum und Spannweite der Punktzahlen an.
c) Stelle die Anzahl der erteilten Noten in einem Säulendiagramm dar.
Die Verbraucherzentrale Thüringen vergleicht die Preise für eine Busfahrt in verschiede- nen Thüringer Städten und stellt sie in folgendem Diagramm dar.
a) Ermittle aus dem Diagramm für jede Stadt die Preise für eine Busfahrt und stelle sie in einer Tabelle dar.
b) Nenne die Stadt, in der das Busfahren am günstigsten/am teuersten ist.
c) ó Berechne mithilfe eines Taschenrech- ners den durchschnittlichen Preis für eine Busfahrt.
Lösungen, Seite 250
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Exkursion
Zählen und Darstellen mit dem Computer
Mit Tabellenkalkulationsprogrammen lassen sich Daten schnell auswerten und grafisch darstellen. Grundlegende Schritte werden hier am Beispiel Excel vorgestellt.
Andere Tabellenkalkulationsprogramme sind zum Bearbeiten der Exkursion genauso ge- eignet. Nach dem Öffnen eines Programms sind mit Buchstaben beschriftete Spalten A, B, C … und mit Zahlen beschriftete Zeilen 1, 2, 3 … zu erkennen. Durch Kombination von Spalte und Zeile gelangt man zu einer eindeutigen Zelle, z. B. A1 oder B2.
Arbeitet die folgenden Beispiele in kleinen Gruppen an einem Computer durch.
In der Klasse 6c wurde nach den Haarfarben der Schülerinnen und Schüler gefragt: zwei Kinder sind blond, neun hellbraun, zwölf dunkelbraun, ein Kind hat rötliche und vier Kin- der haben schwarze Haare. Stelle die Daten in einem Diagramm dar.
Man öffnet ein Tabellenkalkulationsblatt.
Die Spalten sind mit A, B, C … und die Zeilen mit 1, 2, 3 … bezeichnet. Man über- trägt die Haarfarben in die Spalte A und die zugehörigen Häufigkeiten in die Spalte B (Fig. 1).
Fig. 1
Man markiert die Eingaben. Hierzu klickt man mit der Maus die Zelle A1 mit „blond“
an. Dann drückt man die linke Maustaste und geht mit gedrückter Maustaste bis zur Zelle B5. Dann lässt man die Maustaste los und die Zellen A1 bis B5 sind markiert
(Fig. 2). Fig. 2
Nun kann man auch schon ein Säulendia- gramm erstellen.
Dazu wählt man auf der Registerkarte Ein- fügen ein passendes Diagramm aus, z. B.
ein 3D-Säulendiagramm (vgl. Fig. 3). Das Diagramm wird im Tabellenblatt eingefügt (Fig. 4) und kann dort verschoben werden.
Fig. 3
Man kann dem Diagramm einen passen- den Titel (also einen passenden Namen) geben und einige andere Einstellungen (z. B. die Farben) verändern. Hierzu klickt man das Diagramm mit der Maus an und ändert dann die gewünschten Einstellun- gen. Probiert es einfach aus!
Fig. 4
Natürlich lassen sich mit einer Tabellenkalkulation nicht nur Grafiken erstellen. Es können auch Rechnungen durchgeführt werden, um so Experimente auszuwerten. Das Beispiel auf der nächten Seite stellt dafür die Grundlagen vor. Ihr könnt das Spiel in der Klasse nachspielen und auch abändern.
Kalkulation kommt von calculare (lat.) = rechnen
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4.
23 Exkursion
Das Perlenspiel
Löffelstichproben: Ein Versuchsleiter hat einen Pott mit 1000 roten, 500 gelben, 500 grünen Perlen gefüllt und den Inhalt sorg- fältig gemischt.
Jeder von euch darf mit einem Löffel ein- mal in den Pott stechen (Statistiker sagen dazu „eine Stichprobe ziehen“). Jeder kippt seinen Löffel auf seinen Teller und zählt dann die drei Farben aus. Die Werte wer- den in einer Tabelle zusammengetragen.
Repräsentativität: Eine Stichprobe ist umso schöner (Statistiker sagen umso repräsentativer), je besser die Stichproben- ergebnisse die Verhältnisse in dem ganzen Pott widerspiegeln. Idealerweise wären also in der Stichprobe
– genauso viele gelbe Perlen wie grüne, – genauso viele rote Perlen wie gelbe und
grüne zusammen.
Wenn Ayse 22 rote, 11 gelbe und 11 grüne gezogen hätte, wäre das ideal gewesen.
Nun waren auf ihrem Löffel aber 19 rote, 9 gelbe und 7 grüne Perlen.
Gewinner: Tina findet, die Abweichung vom Ideal kann man gut messen, indem man alle Farben zusammenzählt: 19+9+7=35 (Zelle E2 mit dem Befehl =Summe(B2:D2)) und dann den Unterschied
– zum Doppelten der roten (Unterschied zwischen 35 und 38), also 3, – zum Vierfachen der gelben (Unterschied zwischen 35 und 36), also 1, zum Vierfachen der grünen (Unterschied zwischen 35 und 28), also 7 addiert.
Die Summe ergibt dann die „Idealabweichung“ 3+1+7=11 (Zelle I2 mit dem Befehl =Sum- me(F2:H2)).
Wer die kleinste Idealabweichung hat, hat dann die repräsentativste Stichprobe gezogen und ist der Gewinner. Das ist im Beispiel Gunnar.
Erläutere Tinas Idee am Beispiel der Zeilen 9 (Gunnar) und 13 (Botha).
Zum Weiterforschen (automatische Berechnung durchführen):
Anstatt die Unterschiede in den Spalten F bis H im Kopf zu berechnen, kann man z.B. in Zelle G2 den Befehl =Abs(4*C2-E2) verwenden.
– Probiere aus, ob der Befehl die gleichen Ergebnisse liefert wie die Berechnung im Kopf.
– Gib an, wie die Befehle für die Zellen F2 bzw. H2 dann lauten müssen.
– Die Befehle aus der 2.Zeile kann man kopieren und jeweils auf die ganze Spalte über- tragen. Probiere es aus.
– Untersuche, was passiert, wenn man in der Zelle G3 statt des Befehls =Abs(4*C3-E3) nur =4*C3-E3 eingibt. Beschreibe, was der Befehl =Abs(…) bewirkt.
Sortieren: Wer sich bei dem „Repräsentativitätswettstreit“ eine Platzierungstabelle erstel- len lassen möchte, markiert den Bereich A2:I16 und wählt in Excel: Daten-Sortieren und dann Ideal als Sortierspalte. Dann steht Gunnar mit seiner Zeile am Tabellenanfang – ge- folgt von Rene und Lore … und Botha steht am Tabellenende. Natürlich kann man auch nach der Spal te E sortieren. Dann gewinnt, wer die meisten Perlen auf seinem Löffel hatte.
Wenn etwas berechnet werden soll, muss der Eintrag in der Zelle mit einem Gleichheits- zeichen beginnen.
=A2+A3 berechnet z. B.
die Summe aus A2 und A3. =Summe(A2:A4) be- rechnet die Summe der Zellen A2 bis A4, führt also zum gleichen Er- gebnis wie =A2+A3+A4.
Die Unterschiede in den Spalten F, G und H be- rechnet ihr im Kopf und gebt sie per Hand ein.
Material Material - 1 Pott
- 1000 rote, 500 gelbe und 500 grüne Perlen - 1 Löffel
- 1 Teller für jedes Kind
