A TECHNISCHE UNIVERSIT¨ DARMSTADT7. Juni 2006AT

Fachbereich Mathematik Prof. Dr. K.-H. Neeb PD Dr. Helge Gl¨ockner

PD dr. Ralf Gramlich

A ^{TECHNISCHE UNIVERSIT¨ DARMSTADT}

^AT

Analysis I f¨ ur M, LaG und Ph, SS 2006, ¨ Ubung 8

Gruppen¨ubung

G 23 (H¨aufungspunkte, Limes superior und Limes inferior). Bestimmen Sie al- le H¨aufungspunkte der gegebenen reellen Zahlenfolge (x_n)n∈N sowie ihren Limes superior und Limes interior.

(a) x_n = (−1)ⁿ_n¹; (b) x_n = (−1)ⁿ;

(c) x_n :=

0 fallsn ungerade

1 + 2·(−1)ⁿ² fallsn gerade.

G 24 (H¨aufungspunkte und Teilfolgen).

(a) Finden Sie eine Folge (xn)n∈Nreeller Zahlen, welche{1,2,3,4,5}als H¨aufungs- punkte hat. Geben Sie eine Teilfolge (x_nk)k∈Nan, die gegen 5 konvergiert (d.h.

geben Sie n₁ < n₂ <· · · explizit an).

(b) Finden Sie eine Folge (x_n)n∈N reeller Zahlen, welche alle nat¨urlichen Zahlen als H¨aufungspunkte hat.

(c) Finden Sie eine Folge (x_n)_n∈N reeller Zahlen, die (mindestens) alle rationalen Zahlen als H¨aufungspunkte hat.

G 25 (Cauchy-Folgen).

Es sei (X, d) ein metrischer Raum und (xn)n∈N eine Folge inX derart, dass (∀n ∈N) d(x_n, x_n+1) < 2⁻ⁿ.

Zeigen Sie, dass (x_n)n∈N eine Cauchy-Folge ist.

Hinweis: F¨ur alle nat¨urlichen Zahlen m ≥ n erhalten wir mit der Summenformel aus Aufgabe G9:

m

X

k=n

(¹₂)^k = (¹₂)ⁿ

m−n

X

k=0

(¹₂)^k = (¹₂)ⁿ1−(¹₂)^m−n+1

1− ¹₂ < (¹₂)ⁿ⁻¹. G 26 (Grenzwert arithmetischer Mittel).

Es sei (x_n)_n∈N eine konvergente Folge reeller Zahlen, mit Grenzwert x := lim

n→∞x_n. Zeigen Sie, dass dann auch lim

n→∞

1 n

Pn

k=1x_k = x.

Hinweis: es ist 1 n

n

X

k=1

x_k−x =

1 n

n

X

k=1

x_k− 1 n

n

X

k=1

x =

1 n

n

X

k=1

(x_k−x) . Gegebenε >0, spalten Sie die Summe rechts geschickt in zwei Anteile auf.

Haus¨ubung

H 26 (Satz von Bolzano-Weierstraß im Komplexen).

Zeigen Sie, dass jede beschr¨ankte Folge (z_n)n∈N komplexer Zahlen eine konvergente Teilfolge besitzt.

H 27 (Nullfolgen).

Es sei (b_n)n∈N eine beschr¨ankte Folge komplexer Zahlen und (z_n)n∈N eine Nullfolge, d.h. z_n→0. Zeigen Sie, dass dann auch (b_nz_n)n∈N eine Nullfolge ist.

H 28 (Limes superior und Limes inferior).

(a) Es sei (x_n)n∈N eine beschr¨ankte Folge reeller Zahlen. Zeigen Sie, dass lim inf x_n ≤ lim sup x_n

(wobei lim inf = lim den Limes inferior meint, lim sup = lim den Limes superior).

(b) Gilt f¨ur beliebige beschr¨ankte Folgen (xn)n∈N und (yn)n∈N inR stets lim sup (x_n+y_n) = lim sup x_n + lim sup y_n?

H 29 (Limes superior und Limes inferior).

Es sei (x_n)n∈N eine beschr¨ankte Folge reeller Zahlen und s := inf

n∈N

sup{x_m: m≥n}. (a) Zeigen Sie, dass s= lim sup x_n.

(b) Seis_n:= sup{x_m: m≥n}. Zeigen Sie, dass die Folge (s_n)n∈Nmonoton fallend und nach unten beschr¨ankt ist. Folgern Sie, dass

lim sup x_n = lim

n→∞ s_n. Es gilt also lim sup x_n = lim

n→∞ sup{x_m:m ≥n}.

Am Montag, den 12. Juni 2006, 18:00-20:00 Uhr findet in S2 06/030 eine freiwillige

Probeklausur zur Analysis I

statt. Wir empfehlen allen die Teilnahme zur ¨Ubung und Selbstkontrolle !