1 a)
Die Lagrangefunktionwar:
L(q
1
;q_
1
;q
2
;q_
2 )=
1
2 m
1 _ q 2
1 +
1
2 m
2 _ q 2
2
D(q 2
1 +q
2
2 q
1 q
2 )
Konjugierte Impulse:
p
1
= L
q_
1
=m
1 _ q
1
; p
2
= L
q_
2
=m
2 _ q
2
Damit ergibt sih die Hamiltonfunktion:
H=p
1 _ q
1 +p
2 _ q
2
L = p
2
1
2m
1 +
p 2
2
2m
2
+D(q 2
1 +q
2
2 q
1 q
2 )
Sind die Impulse erhalten? Kanonishe Gleihungen:
_ p
1
=
H
q
1
= D(2q
1 q
2 )6=0
_ p
2
=
H
q
2
= D(2q
2 q
1 )6=0
Also sind p
1
;p
2
keine Erhaltungsgroen.
b)
Die Lagrangefunktion war:
L(;
_
;')_ = 1
2 ml
2
[ _
2
+sin 2
()'_ 2
℄+mglos()
Konjugierte Impulse:
p
= L
_
=ml 2
_
; p
'
= L
'_
=ml 2
sin 2
()'_
Damit ergibt sih die Hamiltonfunktion:
H=p
_
+p
' _
' L= p
2
2ml 2
+
p 2
'
2ml 2
sin 2
()
mglos ()
Sind die Impulse erhalten? Kanonishe Gleihungen:
_ p
=
H
=mglsin () p
2
' os ()
ml 2
sin 2
() 6=0
_ p
'
=
H
'
=0
Also ist p
'
eine Erhaltungsgroe, denn ' ist eine zyklishe Koordinate. p
' L
z
ist gerade der
Drehimpuls, siehe auhBlatt 2,Aufg. 1 a).
2
Poissonklammer: ff;gg= X
i f
p
i g
q
i f
q
i g
p
i
!
.
Damit: ff;gg= fg;fg sofortklar. Anwendung der Produktregel:
ff;ghg = X
i f
p
i gh
x
i f
x
i gh
p
i
!
= X
i f
p
i g
x
i h
f
x
i g
p
i h
!
+ X
i f
p
i h
x
i g
f
x
i h
p
i g
!
= ff;ggh+gff;hg
Genauso folgt
ffg;hg=ff;hgg+ffg;hg
3 a)
fL
i
;x
k g=
X
l =x;y;z L
i
p
l x
k
x
l L
i
x
l x
k
p
l
!
Die x
i
und p
i
sind die unabhangigen Variablen,
x
k
p
l
=0 ; x
k
x
l
=Æ
k;l
8
<
:
1 fur k =l
0 fur k 6=l
Damit folgt fL
i
;x
k g=
L
i
p
k
, im einzelnen:
fL
x
;yg = L
x
p
y
= z
fL
y
;zg = L
y
p
z
= x
fL
z
;xg = L
z
p
x
= y
und fL
y
;xg = L
y
p
x
= z
fL
z
;yg = L
z
p
y
= x
fL
x
;zg = L
x
p
z
= y
Auerdem gilt naturlih fL
x
;xg = fL
y
;yg = fL
z
;zg = 0, und zusammengefat lautet das
Ergebnis
fL
i
;x
k
g = x
l
mit (i;k;l)=(1;2;3) und zyklish
fL
i
;x
i
g = 0
fL
k
;x
i
g = fL
i
;x
k g
((Dies lat sih wieder mit dem "-Tensor zusammenfassen, fL
i
;x
k g=
X
l
"
ikl x
l .))
Ganz analog wird der \Kommutator" mit p berehnet:
fL
i
;p
k g=
X
l =x;y;z L
i
p
l p
k
x
l L
i
x
l p
k
p
l
!
= L
i
x
k
mit dem Ergebnis:
fL
i
;p
k
g = p
l
mit (i;k;l)=(1;2;3) und zyklish
fL
i
;p
i
g = 0
fL
k
;p
i
g = fL
i
;p
k g
((In Kurzform: fL
i
;p
k g=
X
l
"
ikl p
l .))
Nun zur Berehnung vonfL
i
;L
k
g. Trivialerweise gilt fL
i
;L
i
g=0. Vonden nihttrivialenKom-
binationen betrahte mal
fL
x
;L
y g=
X
l
L
x
p
l L
y
x
l
| {z }
l 6=3 ! 0
L
x
x
l L
y
p
l
| {z }
l 6=3 ! 0
=yp
x p
y
x= L
z
Fur die Kombinationen (y;z);(z;x) geht das genauso, und mit Hilfe von fA;Bg = fB;Ag
ergibt sih insgesamt
fL
i
;L
k
g = L
l
mit (i;k;l)=(1;2;3) und zyklish
fL
i
;L
i
g = 0
fL
k
;L
i
g = fL
i
;L
k g
((In Kurzform: fL
i
;L
k g=
X
l
"
ikl L
l .))
b)
Teilhen im Zentralpotential:
H (r;p)= p
2
2m
+U(r) ; U(r)=U(jrj)
LassenwirzunahstU(r)allgemein,danngibtdieersteKlammerderAufgabedieZeitentwiklung
des Drehimpulses wieder,
d
dt L
i
=fH ;L
i g=
1
2m f(p)
2
;L
i
g+fU(r);L
i g
DieersteKlammer(kinetishe Energie)wirdmitden Regelnvonoben ausgewertet,z.B.furi=1:
f(p) 2
;L
1 g =
X
k f(p
k )
2
;L
1
g= 2 X
k p
k fL
1
;p
k g
= 2[p
1 fL
1
;p
1 g
| {z }
=0 +p
2 fL
1
;p
2 g
| {z }
= p +p
3 fL
1
;p
3 g
| {z }
=+p
℄= 2[p
3 p
2 p
2 p
3
℄=0
undgenausofurL
2
;L
3
.DiekinetisheEnergieerhaltalsoden(kanonishen)Drehimpuls, fT;L
i g=
0, und die zeitlihe Veranderung wird allein durh das Potential bestimmt. Die entsprehende
Poisson-Klammer lautet
fU(r);L
1
g= fL
1
;Ug= X
k (
L
1
p
k U
x
k L
1
x
k U
p
k
|{z}
=0 )
Mit der KraftkomponenteF
k ,
U(r)
x
k
=(gradV)
k
= F
k
ergibt sih
fU(r);L
1 g=
X
k L
1
p
k F
k
=yF
3 zF
2
und analog fU;L
2
g=zF
1 xF
3
; fU;L
3
g=xF
2 yF
1 .
Also
fU(r);L
i g=x
k F
l x
l F
k
mit (i;k;l)=(1;2;3) und zyklish , fU(r);Lg=rF
In einem Zentralpotential ist das Drehmoment rF=0:
F= gradU(jrj)=
dU(r)
dr
gradr =
dU(r)
dr r
r
mit r=jrj= q
x 2
+y 2
+z 2
Hier istalso Fjjr (Zentralkraft), und damit vershwindet die Poisson-Klammer,
fH ;Lg =fU(jrj);Lg=
dU(r)
dr
(rr)=0
Die restlihen Poisson-Klammern der Aufgabesind jetzt einfah:
fH ;jLj 2
g = X
k
fH ;(L
k )
2
g=2 X
k L
k fH ;L
k g
| {z }
=0
=0
Und:
fjLj 2
;L
1
g=2L
1 fL
1
;L
1 g
| {z }
=0
+2L
2 fL
2
;L
1 g
| {z }
=L
3
+2L
3 fL
3
;L
1 g
| {z }
= L
2
=0 et.
Die physikalishe Bedeutung ist shliht die Erhaltung der Drehimpulskomponenten und des
-betrages. Die Poissonklammer fjLj 2
;L
i
g =0 hat in der klassishen Mehanik keine direkte Be-
deutung, kann aber rehentehnish hilfreih sein.
)
Die Hamiltonfunktion istalso H= p
2
2m
+U(r),
und die angeblihe Erhaltungsgroe ist der Lenz-Vektor A=(pL)+mU(r)r.
Zeitlihe Veranderung:
d
dt
A=fH ;Ag=fH ;(pL)g+mfH ;U(r)rg.
Im Einzelnen:
fH ;(pL)
i g =
X
k;l
"
ikl fH ;p
k L
l g=
X
k;l
"
ikl [fH ;p
k gL
l +p
k fH ;L
l g
| {z }
=0
℄
fH ;p
k g =
H
x
k
=
U(r)
x
k
=F
k
(Kraftkomponente)
) fH ;(pL)
i g =
X
k;l
"
ikl F
k L
l
=(FL)
i
und:
fH ;(U(r)r)
i
g = fH ;U(r)gx
i
+U(r)fH ;x
i g
fH ;x
i g =
H
p
i
= 1
m p
i
fH ;U(r)g = 1
2m fp
2
;U(r)g= 1
m X
k p
k
fU(r);p
k g=
1
m X
k p
k F
k
= 1
m (pF)
mit fU(r);p
k g=
U(r)
x
k
=F
k
) fH ;(U(r)r)
i g =
1
m (pF)x
i +
1
m U(r)p
i
Zusammen:
fH ;Ag=(FL) (pF)r+U(r)p
Einsetzen von
FL=F(rp)=(Fp)r p(Fr)
und der Kraftfur ein Zentralpotential, s.o.,
F=
dU(r)
dr r
r
liefert
fH ;Ag = p[U(r) (Fr)℄
= p[U(r)+
dU(r)
dr r℄
= p[
r
r 2
r℄=0
Im letzten Shritt kommt auf die genaue Form des Zentralpotentials an: der Lenzvektor ist nur
furdas Keplerpotential =r eine Erhaltungsgroe.
