1 a)
N
2
(") = 1
4 2
Z
d 2
kÆ("
h 2
k 2
2m
) ; d 2
k =kdkd'
= 1
2 Z
1
0
kdkÆ("
h 2
k 2
2m )
Substitution: u= h 2
k 2
2m
; du= h 2
m kdk
) N
2 (")=
m
2h 2
Z
1
0
duÆ(" u) ) N
2 (")=
f
N(") ; f
N = m
2h 2
2 Punkte
b) Bose-Kondensation bei T =T
0
:Das hemishe Potential wird beiT
0 null,
(T =T
0
)=0 . 1 Punkt
T =T
0 :
N
V
= hnij
T=T
0
;=0
= Z
1
1 d"
N
2 (")
e
"=kT0
1
= f
N Z
1
0 d"
1
e
"=kT0
1
Wie
ublih: Integral dimensionslosmahen: x=
"
kT
0
; d"=kT
0 dx,
) N
V
= f
NkT
0 Z
1
0
dx
e x
1
) kT
0
= N
V 1
f
N 1
C
= N
V 2h
2
m 1
C
mitder numerishen Konstanten C = Z
1
0
dx
e x
1
. 2 Punkte
T
0
=0?!
DieKonstanteCmuwohl1sein.Der Integranddivergierttatsahlihanderunteren
Grenze:
1
e x
1 '
1
x
, alsogeht C!1 und damit T
0
!0. 1 Punkt
2
6
6
6
6
6
6
6
4
Anmerkung: Genauer geht das so:
Z
1
0
dx
e x
1
= lim
Æ!0 Z
1
Æ dx
e x
1 +
Z
1
1
dx
e x
1
=lim
Æ!0 Z
1
Æ dx
x +
Z
1
1
dx
e x
1
= lim
Æ!0
ln(Æ)+regulare Terme!1
In zwei Dimensionengibt eskeine Bose-Kondensation bei endliher Temperatur.
2 a) T =0 : (T =0)=E
F
; f(" )! f(" E
F )j
T=0
=(E
F
")
das einsetzen und ausrehnen:
N
V
= Z
1
1 d"N
2
(")(E
F
")= f
N Z
E
F
0
d" = f
NE
F
) E
F
= N
V 1
f
N
= N
V 2h
2
m
2 Punkte
b) Klassisher Grenzfall kT E
F
: Annahme
kT 1
e
=kT
!1 ) f(" )=[e
"=kT
e
=kT
+1℄ 1
'e
=kT
e
"=kT
1 Punkt
) N
V
=e
=kT Z
1
1 d"N
2 (")e
"=kT
= f
Ne
=kT Z
1
0 d"e
"=kT
x=
"
kT )
N
V
= f
Ne
=kT
kT Z
1
0 dxe
x
| {z }
=1
) e
=kT
= N
V 1
f
N 1
kT
= E
F
kT
2 Punkte
) (T)=kT ln(E
F
=kT)
) Klassisher Grenzfall $ klassishes ideales Gas mit f = 2 Freiheitsgraden (2 Dimen-
sionen),also U = f
2
NkT =NkT 1 Punkt
Rehnung:
f(" )'e
=kT
e
"=kT
) U
V
= f
Ne
=kT Z
1
0
d""e
"=kT
= f
N e
=kT
(kT) 2
Z
1
0
dxxe x
Z
1
0
dxxe x
= [ e x
x℄
1
0 Z
1
0
dx( e x
)= Z
1
0 dxe
x
=1
Einsetzen von e
=kT
vonoben liefert
U
V
= N
V
kT ) U =NkT
2 Punkte
3 a) Ansatz einsetzen und Terme bisÆm mitnehmen:
F[T;m℄ = Z
1
0 dx[
t
2
(m~ +Æm) 2
+
2 (m~
0
+(Æm) 0
) 2
℄
= F[T;m℄~ + Z
1
0
dx[tm (Æm)~ +m~ 0
(Æm) 0
℄+(Æm) 2
;
Z
1
0
dxm~ 0
(Æm) 0
= Æmm~ 0
j 1
0
| {z }
=0 Z
1
0
dx(Æm)m~ 00
) F[T;m℄ = F[t;m℄~ +ÆF ; ÆF = Z
1
0
dx[tm~ m~ 00
℄Æm
Nullsetzender Variation:
ÆF =0 )
2
x
~ m(x)
t
~
m (x)=0
3 Punkte
Alternativ: Euler{Lagrange-Gl.rihtiganwenden:
Mehanik:
d
dt L
q_ L
q
=0 hier:
d
dx L
m~ 0
L
m~
=0
mit L(m;~ m~ 0
)= t
2
~ m
2
+
2 (m~
0
) 2
das Resultat istnaturlihdasselbe wie oben.
b) Ansatz:
~
m (x)=e x
; 2
t
=0 ; = q
t=
allgemeine Losung: m(x)~ =Aexp(
s
t
x)+Bexp ( s
t
x).
Randbedingungen:
~
m (0)=m
0
; m(1)~ =0 ) A=0 ; B =m
0
) m(x)~ =m
0 exp (
q
t=x)
2 Punkte
4 a) Reiner Zustand:
W istein Projektor:
W 2
=
W.
Also:
W 2
= 1
4 0
1 1
1 1 1
A 0
1 1
1 1 1
A
= 1
4 0
2 2
2 2 1
A
=
W
also: reiner Zustand. 2 Punkte
b) AlsBasisnehmen wirnaturlihdieEigenbasis von
W,sonstwirdesshwierigmitdem
ln(): Angenommen, wir kennen dieEigenbasis
Wjni=w
n
jni ,dann ist
S = k X
n hnj
W ln(
W)jni= k X
n w
n ln(w
n
)hnjni= k X
n w
n ln(w
n )
1 Punkt
Alsobrauhen wir nur dieEigenwerte berehnen:
det (
W
b
1)=det 0
1
2
1
2
1
2 1
2
1
A
= 2
=0
Alsoist =0; 1. (Dies giltfur jeden Projektor.)
Damitfolgt S = k[0 ln(0)+1 ln(1)℄=0 1 Punkt
Erwartung:reiner Zustand hat immerS =0 1 Punkt
(Dennein reinerZustand enthalt keine Unwissenheit
uber den Zustand des Systems.)
= 5 Punkte
5 a) Die Zustandssumme faktorisiert,
Z =(Z
1 )
N
; Z
1
= 1
X
n=1 e
(E
0
=kT)n
Z
1
= 1
X
n=1 x
n
= 1
X
n=0 x
n
1= 1
1 x
1= x
1 x
; x=exp ( E
0
kT )
2 Punkte
b) hN
i = Np
, p
=Wahrsheinlihkeit, einen Dot im Zustand n = vorzunden;
also:
p
= 1
Z
1 e
E()=kT
; hN
i=N
x
Z
1
=Nx 1
(1 x)
2 Punkte
T !1 : x!1 ) hN
i!0
T !0 : x!0 ) hN
i! Nx 1
x!0
=NÆ
;1
2 Punkte
Interpretation:
T !1: AlleZustandesind gleihwahrsheinlih;daesunendlihvieleZustandegibt, geht
die(normierte) Wahrsheinlihkeit fur einen einzelnen Zustand gegen 0.
T !0: Nur noh der Grundzustand n = 1 des Dots ist wahrsheinlih, also mit Wahr-
sheinlihkeit1.
= 6 Punkte
