1 a) Niht wehselwirkende Spins:
(T)= C
T
(Curie-Gesetz) 1 Punkt
V
(T)=0 0 Punkte
b) Freie Elektronen, d.h., idealeFermionen mitSpin 1=2:
(T)=onst: (Pauli-Suszeptibiliotat) 1/2Punkt
V
(T)=T 1/2 Punkt
= 2 Punkte
2 a) Methode 1:
N(")= 4
(2) 3
1
Z
0 k
2
dkÆ(" Dk 2
)
Neue Integrationsvariable:
E =Dk 2
) k = s
E
D
; dE =2Dkdk ) k 2
dk = p
E
2D 3=2
dE
damit folgt
N(")= 4
(2) 3
1
2D 3=2
1
Z
0 dE
p
EÆ(" E)= p
"
4 2
D 3=2
3 Punkte
[GenaugenommentragtdieÆ-Funktionnurfur">0bei,esmutealsokorrektkonkret
heien: N(")= p
"
4 2
D 3=2
(").℄
Methode 2: Fallsman sih erinnert, da
Æ(f(x))=
Æ(x x
0 )
jf 0
(x
0 )j
; f(x
0 )=0
dann gilt
Æ(" Dk 2
)=
Æ(k k
0 )
j2Dk
0 j
; "=Dk 2
0
) k
0
= r
"
D
und damit
N(")= 4
(2) 3
1
2Dk
0 1
Z
0 k
2
dkÆ(k k
0 )=
1
4 2
k
0
D
= p
"
4 2
D 3=2
b) g
k
sollnaturlih dieBose-Funktion sein, also, mit=0,
n(T)=2 Z
d 3
k
(2) 3
1
e h!(k)=kT
1
1 Punkt
Mitder Zustandsdihte vonoben:
n(T)=2 Z
d"
N(")
e
"=kT
1
= 1
2 2
D 3=2
1
Z
0 d"
p
"
e
"=kT
1
Standard-Trik: Dimensionslose Integrationsvariable einfuhren:
x=
"
kT
) " =kT x ; d"=kT dx 1 Punkt
damit lat sihdie Abhangigkeit von T ablesen:
n(T)= 1
2 2
D 3=2
(kT) 3=2
1
Z
0 dx
p
x
e x
1
| {z }
=onst:
) n(T)=onst:
0
T 3=2
1 Punkt
N
V
=2 Z
d 3
k
(2) 3
(k
F
jkj) 1 Punkt =2 4
(2) 3
k
F
Z
0 k
2
dk =2 4
3 k
F
2
!
3
) k
F
2
=
3N
8V
1=3
1Punkt
b) Innere Energie:
U(N;V)=2V Z
d 3
k
(2) 3
"(k)f
k
1 Punkt
Ultrarelativistish:
"(k)=hk ) U =2V 4
(2) 3
h
k
F
Z
0 k
2
dkk=4 2
Vh k
F
2
!
4
=onst:(k
F )
4
V 1 Punkt
Einsetzen von k
F ,
U(N;V)=onst:
0
V
N
V
4=3
=onst:
0 N
4=3
V 1=3
=onst:
0
N
N
V
1=3
Druk:
p(N;V)=
U
V
!
N
=onst:
00
N
V
4=3
1 Punkt
[Manbeahte: U istextensiv, U V oder U N, pist intensiv.℄
) Nihtrelativistish:
"(k)=m 2
+ h 2
k 2
2m
) U =m 2
2V Z
d 3
k
(2) 3
f
k
!
| {z }
=N
+ Vh
2
m Z
d 3
k
(2) 3
k 2
f
k
1 Punkt
U(N;V)=Nm 2
+ Vh
2
m 4
(2) 3
k
F
Z
0 k
2
dkk 2
=Nm 2
+V 16
3
h 2
5m k
F
2
!
5
1 Punkt
k
F
einsetzen und Druk mahen:
U(N;V)=Nm 2
+onst:
N 5=3
V 2=3
) p(N;V)=onst:
0
N
V
5=3
1 Punkt
4 a) h=0 : 1
N
F(T;m)= 1
2 tm
2
+ 1
4 bm
4
kTln(2S+1) ; t =
T T
T
Gleihgewihtswert der Magnetisierung:
F
m
=0=tm+bm 3
=(t+bm 2
)m )
m=0 oder m=m
0
; m
0
= q
t=b 1 Punkt
Jetzt mu man furt >0 bzw. t<0 diephysikalishe Losung identizieren:
(i) T T
; t0 ) m
0
=imaginar ) m=0
(ii) T <T
; t<0 ) m=0 und m=m
0
sind moglih
) vergleihe freie Energie:
m =0 : F(T) = NkT ln(2S +1)
m =m
0
: F(T) = NkT ln(2S +1)+ N
2 tm
2
0 +
N
4 bm
4
0
= NkT ln(2S +1) N t
2
4b
Fur T < T
, d.h. t < 0;t 2
6= 0, fuhrt die Losung m = m
0
oenbar auf die kleinere
freie Energie,istalso imGleihgewiht realisiert. 2 Punkte
[Fur T T
sheinbar auh, aber da ist ja m
0
unphysikalish, und man mu m = 0
annehmen; siehe oben.℄
Die freieEnergie kann man z.B. so shreiben:
F(T)= Nt
2
4b (T
T) NkTln(2S+1) 1 Punkt
Zusammengefatlautet der Ordnungsparameter:
m(T)=m
0 (T
T) ; m
0
= s
t
b
= s
T
T
bT
b) Entropie und spez. Warme:
T T
: S(T)= F
T
=Nkln(2S +1) )
V
(T)=T S
T
=0 1 Punkt
[Die Entropie ist oenbar die Entropie von N freien Spins S, nah Boltzmann: S =
kln().℄
T <T
: S(T) = Nkln(2S+1)+ N
4b 2t
t
T
= Nkln(2S +1)+ N
2bT 2
(T T
)
)
V
(T)=T N
2bT 2
1 Punkt
) h6=0 :
N
F(T;m;h)=
2 tm +
4
bm hm kT ln(2S+1)
Gleihgewihtswert der Magnetisierungmit Magnetfeld:
F
m
=0=tm+bm 3
h
Auosen nahm(t;h)ungunstig,aberman kannja ohneweiteres die0 nah hableiten
(siehe Hinweis):
0=
h
(tm+bm 3
h)=t m
h
+3bm 2
m
h 1
Jetzt kann man den lim
h!0
ausfuhrenund (T) identizieren,
lim
h!0
) 0=(t+3bm 2
)(T) 1 ) (T)=
1
t+3bm(T) 2
1Punkt
Einsetzen von m(T) liefert(jetzt istja h=0!)
T T
: m(T)=0 ) (T) =
1
t
= T
T T
Curie{Weiss-Gesetz
T <T
: m(T) 2
=m 2
0
= t
b
) (T) = 1
2t
= 1
2 T
T
T
1 Punkt
= 8 Punkte
5 2 Fermionen: antisymmetrisher Zustand:
j
1
;
2 i=
1
p
2 (j
1 i
1
j
2 i
2
j
2 i
1
j
1 i
2
) ;
^
Hj
1
;
2
i=(
1 +
2 )j
1
;
2
i 1 Punkt
Normierung!
Im 2-Niveau-System bleiben nurzwei Zustande 6=0
ubrig:
j+1; 1i ; j 1;+1i= j+1; 1i
In der Zustandssumme
Z
K
= 1
2!
X
1
;
2
=1 h
1
;
2 je
^
H=kT
j
1
;
2
i=h+1; 1je
^
H=kT
j+1; 1i=e 0
h+1; 1j+1; 1i=1
liefern beide den gleihen Beitrag. Der Vorfaktor 1=N! 1=2! dient dazu, alle physikalish
aquivalenten Zustande nur einmal zu zahlen, so da letztlih ein einziger Zustand in Z
K
ubrig bleibt. Damitfolgt sofort
F = kT ln(Z
K
)=0 ) S(T)=0 2 Punkte
Die Entropie ist 0, weil sih das System in einem reinen Zustand bendet: ein Teilhen in
+1, das anderein 1, weitere Zustande lat das Pauli-Prinzipniht zu.
= 3 Punkte
sein:
Mikrozustande: fj ig = fjn
1 i
1
jn
2 i
2
jn
M i
M
g ; n
i
=0;1
Energie: E
= (n
1 +n
2
+:::+n
M )u
\Teilhenzahl": N ad
= (n
1 +n
2
+:::+n
M )
Zustandssumme: Z
K
= X
exp ( E
=kT)
Die Zustandssumme faktorisiert,
Z
K
= X
n1:::n
M exp (
u
kT (n
1 +n
2
+:::+n
M
))=(Z
1 )
M
;
Z
1
= X
n=0;1 exp (
u
kT
n)=1+e u=kT
1 Punkt
Die \Teilhenzahl" ist alsthermisher Mittelwert deniert,
N
ad
= hN ad
i=
1
Z X
N
ad
exp ( E
=kT)
= 1
(Z
1 )
M X
n1;:::;n
M (n
1
+:::+n
M )exp(
u
kT (n
1
+:::+n
M ))
= M
1
Z
1 X
n=0;1 ne
un=kT
= M
e u=kT
+1
1.5 Punkte
Man kann sih alternativ auh
uberlegen,da
E
=uN ad
) N
ad
= 1
Z kT
Z
K
u
!
T
= kT
u ln(Z
K
)= MkT 1
Z
1 Z
1
u
!
T
Das Ergebnis istdasselbe.
Dies ist oenbar eine Fermi-Funktion, und bei T !0 gibts
n
ad
= N
ad
M
= 1
e u=kT
+1
) lim
T!0 n
ad
=( u) 1/2 Punkt
