S S S S 2 R S S S S 1 R x = z 0 , 1 , 2 , 3 , 4 R h ,h ,h ,h ,h ∈ Z R

Dipl.-Math. D. Andres

12. Übung

zur Informations- und Kodierungstheorie

Diese Übung wird niht korrigiert. Eine der Aufgaben wird aberin der Klausur

vorkommen.

Aufgabe 47: (Inversionvon Shieberegistern)

BetrahtenSiedas untenabgebildeteShieberegister

R 1

^{.GebenSiedazuein}gleihgetakte- tesShieberegister

R 2

^an(d.h.Werte

h 0 , h 1 , h 2 , h 3 , h 4 ∈ Z ²

^{),sodassbeider}Serienshaltung derbeidenShieberegister (wieinderZeihnung)fürdieEingabewertexundentsprehen-

den Ausgabewerte z inden Zeittakten

0 , 1 , 2 , 3 , 4

^gilt:

x = z

Nehmen Sie dazu an, dass im Zeittakt 0 die Speiherelemente beider Register auf den

Wert 0gesetzt sind.

6 6

6 6

6 6

6 6

- -

- -

- -

- -

6

-

w

S 1 S 2 S 3 S 4

1 0 1 1 0

6 6

6 6

6 6

6 6

- -

- -

- -

- -

6

-

w

S 1 ^′ S 2 ^′ S 3 ^′ S 4 ^′

h ₀ h ₁ h ₂ h ₃ h ₄

x

y

z

R ₁

R ₂

Bestimmen Sie im Ring

Z ² [x]

^{einen gröÿten} gemeinsamen Teiler

r(x) = ggT(a(x), b(x))

der Polynome

a(x) = x ⁶ + x ² + 1

^und

b(x) = x ⁵ + x ⁴ + 1

^{und eine} Darstellung der Form

r(x) = s(x)a(x) + t(x)b(x).

Aufgabe 49: (Dekodieren von Reed-Solomon-Codes I)

Sei

C

der Reed-Solomon-Code

RS (6, 2)

^{(d.h. der RS-Code über dem Körper}

Z ⁷

^{, der mit}

der Primitivwurzel

ζ = 3

^{gebildet wird und dessen} Kontrollmatrix

r = 4

^{Zeilen hat, siehe}

unten). Übereinen Kanal wird das Wort

y = (3, 2, − 1, − 1, 1, 1)

^{, oder anders} geshrieben, das Polynom

y( x ) = 3 + 2 x − x ² − x ³ + x ⁴ + x ⁵

empfangen. Wie muss dieses als Codewort

c ∈ C

dekodiert werden?

Gehen Siewie folgt vor:

(a) Berehnen Sie das Syndrom bzw. das Syndrompolynom zu y! Sie dürfen dabei von

der folgenden Darstellungder Kontrollmatrixzu

RS (6, 2)

^ausgehen:

H =













1 3 2 − 1 − 3 − 2 1 2 − 3 1 2 − 3 1 − 1 1 − 1 1 − 1 1 − 3 2 1 − 3 2













(b) Berehnen Sie das Lokatorpolynom durh Lösung der Shlüsselgleihung mit Hilfe

des erweitertenDivisionsalgorithmus!

() Bestimmen Sie die Nullstellen des Lokatorpolynoms und daraus die Stellen von y,

diefehlerhaft sind!

(d) Korrigieren Siediese Stellen, sodass einWort aus

C

entsteht!

Sei

C

derReed-Solomon-Code

RS (4, 2)

^{(d.h.derRS-CodeüberdemKörper}

Z ⁵

^,dermitder

Primitivwurzel

ζ = 2

^{gebildetwirdund dessen}Kontrollmatrix

r = 2t = 2

^{Zeilenhat,siehe}

unten).ÜbereinenKanalwirddas Wort

y = (2, − 1, − 2, − 1)

^,oderandersgeshrieben, das Polynom

y(x) = 2 − x − 2x ² − x ³

empfangen. Wie muss dieses als Codewort

c ∈ C

dekodiert werden?

Gehen Siewie folgt vor:

(a) Berehnen Sie das Syndrom bzw. das Syndrompolynom zu y! Sie dürfen dabei von

der folgenden Darstellungder Kontrollmatrixzu

RS (4, 2)

^ausgehen:

H =

"

1 2 − 1 − 2 1 − 1 1 − 1

#

(b) Berehnen Sie das Lokatorpolynom durh Lösung der Shlüsselgleihung mit Hilfe

des erweitertenDivisionsalgorithmus!

() Bestimmen Sie die Nullstellen des Lokatorpolynoms und daraus die Stellen von y,

diefehlerhaft sind!

(d) Korrigieren Siediese Stellen, sodass einWort aus

C

entsteht!

∗ ∗ ∗

Hinweise zur Klausur: DieKlausurndet amDienstag, den 10.7.2007von9.45 Uhrbis

11.45 Uhrim Hörsaal des mathematishen Instituts statt.

•

Zur Klausur sind allediejenigen Teilnehmerinnen und Teilnehmer der Übung zuge- lassen, die in den Übungen insgesamt mindestens die Hälfte der Punkte, also 275

Punkte, erreihthaben.

•

Bitte bringenSieShreibzeug mit.

•

Benutzung des Skripts istbei der Klausur niht erlaubt, dagegen ist genau ein von Ihnen vorbereitetes DIN-A4-BlattmitNotizen beider Klausur erlaubt.

•

EinTashenrehner istniht notwendig, kann aber benutzt werden.

•

Bitteseien Sie pünktlih!Es wäre gut, wenn SieamKlausurtagbereitsum 9.40 Uhr amHörsaal sind, damit dieKlausur pünktlih um 9.45 Uhrbeginnenkann.

∗ ∗ ∗

Viel Erfolg bei der Klausur!!!