Musterlosung
Ubungsblatt 14 09.02.05
1
Die Æ-\Funktion" istdeniert
uber ihre Wirkung in einemIntegral:
Z
1
1
dxf(x)Æ(x x 0
)=f(x 0
)
MankanndieÆ-Funktionallerdings
uberdenGrenzwerteinerstetigenFunktion\darstellen",siehe
z.B. Blatt 1.
Die 3dimensionale Æ-Funktion ist
Æ(r r 0
)Æ(x x 0
)Æ(y y 0
)Æ(z z 0
)
2
Kartesishe Koordinaten: d 3
r=dxdydz
Zylinderkoordinaten: d 3
r=dddz
Kugelkoordinaten: d 3
r=r 2
dr sin()dd'
3
(1)Gaushes Gesetz Z
V
Eda= 1
"
0
q , q= Z
V d
3
r(r) anwenden;das istam einfahsten!
(2)Poisson-Gleihung (r)= 1
"
0
(r) losen(erfordertLaplae-OperatorinKugelkoordinaten)
und dannableiten, E= r.
(3) Die allgemeine Losung der Poisson-Gleihung (siehe z.B. Blatt 2, Aufg. 4) einsetzen und
ableiten.
(4)DieMaxwell-Gleihungen rE= 1
"
0
, rE= B
t
=0 direktlosen.(
UberdenGaushen
Satz istdies aquivalent zu (1); steng genommen mu man aber rE =0 trotzdem nahprufen
oder imAnsatz beruksihtigen.)
(5)Die Greenshe Funktion G(r;r 0
)= 1
4 1
jr r 0
j
verwenden; das fuhrt aberdirekt auf (3).
Potential und Feldeiner kugelsymmetrishen Ladungsverteilung entsprehen dem einer Punktla-
dung: Mittelpunkt der Ladungsverteilung imUrsprung: (r) = q
4"
1
jrj
; E(r)= q
4"
r
jrj 3
.
4
Das Potentialfolgt aus der Poisson-Gleihung.
Die Greenshe Funktion ist durh G(r;r 0
) = Æ(r r 0
) bestimmt. Die allgemeine Losung
lautet G(r;r 0
)= 1
4 1
jr r 0
j
+F(r;r 0
).Furbeliebiges(r)istdasPotentialdanngegeben durh
(r) = 1
"
0 Z
V d
3
r 0
G(r;r 0
)(r 0
).Das E-Felddann durh ableiten.
Dahinter stekt das Superpositionsprinzip: Das Potential von wird durh das einzelner Punkt-
ladungen zusammengesetzt, die Greenshe Funktion ist ja nix anderes als das Potential einer
Punktladung.
5
Das Potential einer Punktladung imInneren des Hohlraumes
uber dieMethode der Spiegel-
ladung. Damitist dann auh dieGreenshe Funktion imInnenraum bekannt.
Das Potential einer ausgedehnten Ladungsverteilungdurh Superposition, siehe oben.
6
Denition der Multipolmomente: siehe Blatt4, Aufg. 1.
Die Multipolentwiklung (siehe z.B. Musterlosung 4, Aufg. 1b) ist eine Entwiklung in 1=r und
setzt voraus,da der Abstand vonder Ladung groistgegen dieAusdehnung der Ladungsvertei-
lung.
7
BestimmungdesMagnetfeldes:inderPraxiseigentlihnuruber dasAmperesheGesetz(siehe
Blatt 4, Aufg.3).
Furdas generishe Beispieleines unendlih langenDrahtes ergibt sih B =e
'
0 I
2r .
8
AllgemeineDenition des magnetishen Dipolmomentes: siehe Blatt5, Aufg. 2.
FureinebeliebiggeformteLeitershleifeinderx-y-EbenewurdeinderVorlesung(undfurBeispiele
in Blatt5, Aufg. 2)hergeleitet: m=e
z
IF mit der vomStrom I umshlossenen Flahe F .
9
Eine Spannung wird durh Veranderung des Flusses induziert: U =
t
; also entweder
durh Verandern des B-Feldes oder der vom Leiter imB-Feldumshlossenen Flahe.
Fur die Rihtung von U am Voltmetermu man das Induktionsgesetzt (Blatt 5, Aufg. 3) genau
angukenund
uberlegen,wiemandenNormalenvektorderumlaufenenFlaheunddenUmlaufsinn
des Wegintegrals gemader rehte-Hand-Regel festlegt.
Siehe Blatt6, Aufg. 1.
11
E= r
A
t
; B=rA
Eihtransformation:
A!A 0
=A r
Dies verandert E und B niht.
12
Die Maxwell-Gleihungenfuhrenauf E?B ?k.
Ebene Welle:
E(r;t)=E
0 (k)e
i(kr !t)
; B(r;t)=B
0 (k)e
i(kr !t)
Dies ist allerdingsniht dieallgemeine Losung.
E und B sind hier komplex, der physikalishe Anteil wird durh Bildendes Realteils gewonnen.
13
Siehe Blatt7, Aufg. 2.
14
ZunahstmumandaszeitabhangigeelektrisheDipolmomentbestimmenundindieFormeln
aufBlatt8,Aufg.1einsetzen.AusdenPotentialen(zeitabhangig!)danndurhAbleitendieFelder.
DieRehnungistaufwandig(sieheBlatt8).MansolltesihdasqualitativeErgebnismerken(wird
gerne im Vordiplomgefragt, falls man eines mahen mu):
Die Abstrahlung, d.h., AmplitudevonE und B istanden Polen (aufder z-Ahse, Shwingungs-
rihtung der oszillierenden Ladung) null, am
Aquator (in der x-y-Ebene) maximal (Strahlungs-
harakteristikder Antenne).
Die Amplitude der Felder falltmit 1=rab, das istwihtig fur den Energiesatz.
Es ist E?B.
Die ganze Theorie giltnur, wenn der Abstand Ausdehnung der Antenne und die Wellenlange
Ausdehnung der Antenne.
15
Bezugssystem= Koordinatensystem, in/aufdem einBeobahter sitzt/steht/liegt.
Inertialsystem= Bezugssystem, das sih kraftefrei bewegt; die physikalishen Gesetze haben in
allen Inertialsystemen die gleihe Form (sind kovariant).
Galileitransformation:
Ubergang zwishen Inertialsystemen in der Newtonshen Mehanik;
Lorentztransformation:...inder Relativitatstheorie;diese beruksihtigt, da dieLihtgeshw. in
16
Zeitdilatation:bewegte Uhren gehenlangsamer;
Langenkontraktion: bewegte Stabesind kurzer.
17
Siehe Blatt12, Aufg. 1.
18
Energieerhaltung: 2(m
0
2
)=2(p),Impulserhaltung: p
1
= p
2
= p, also p =511keV.
Soll ein einzelnes Photon zerfallen, so mu sein Impuls p in den Shwerpunktimpuls des e +
-e -
Paares ubergehen. Im Shwerpunktsystem hat das Photon also keinen Impuls und damit auh
keine Energie, und dieendlihe Ruheenergie 2(m
0
2
) kann nihtaufgebraht werden.
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4er Vektoren genugen einer Transformation, die der Lorentztransformationder Koordinaten
ganz analog ist, wenn man von einem Inertialsystem in ein anderes wehselt (Beispiel: Blatt
13, Aufg. 1). Jedes Skalarprodukt aus zwei 4er Vektoren ist damit automatish invariant unter
Bezugssystemwehsel (Lorentztransf.).
20
In der QM wird ein Teilhen niht durh Ort und Impuls beshrieben (und die Newtonshe
Bewegungsgleihung), sonderndurhdieWellenfunktion(Zustand)und dieShrodingergleihung.
Das Betragsquadrat der Wellenfunktion,j (x)j 2
lat sih als Wahrsheinlihkeitsdihte interpre-
