Kondensierten Materie
Ubungen zur Theoretishen Physik A WS 02/03
Prof. P. Wolfle Musterlosung
Dr. M. Greiter Blatt 13
1. Fluhtbahnen
Mit
x=ros und y=rsin
lasst sih
r()= p
1+os
umformen in
r+x=p:
Mitr 2
=x 2
+y 2
folgt
x 2
+y 2
=(p x) 2
=p 2
2px+ 2
x 2
;
oder mit quadratisher Erganzung
( 2
1)
x
p
2
1
2
y 2
= p
2
2
1 :
Fur >1 lasst sih dies umformen auf
x
p
2
1
2
p
2
1
2
y 2
p
p
2
1
2
=1;
also
(x x
0 )
2
a 2
y 2
b 2
=1
mit
x
0
= p
2
1
; a= p
2
1
; b = p
p
2
1 :
Fur 1lautet die Bahnkurve naherungsweise
r()= p
os
Wegen x=ros bedeutet das
x= p
=onst.
(a) Fur eine Parabelist die Exzentrizitat =1, also die Gesamtenergie
E = k
2p (1
2
)=0
Das bedeutet
0=
2 v
2
0 k
r
0
also
v
0
= s
2k
r
0 :
(b) Fur eine Kreisbahn ist=0und p=r
0 , also
E = k
2r
0
;
also
k
2r
0
=
2 v
2
E k
r
0
d.h.
v
E
= s
k
r
0 :
Bemerkung:Da
k =Gm
1 m
2
=GM wobei= m
1 m
2
m
1 +m
2
; M =m
1 +m
2
geht nur die Gesamtmasse M, niht aber die reduzierte Masse in die Formelen
furdieGeshwindigkeit aufdenvershiedenen Bahnen ein.DieGesamtmasseM ist
inguter Naherung durh die Sonnenmasse gegeben und somit unabhangig vonder
0
v
0
=v
E
= p
2.Die Geshwindigkeit der Erde auf ihrer Bahn ist
v
E
= 2r
0
T
=
215010 6
km
10 7
s
=30km/s :
Die minimale Relativgeshwindigkeit wird erreiht, wenn die Rihtungen beider
Geshwindigkeiten gleih sind. (Dann bendet sih der Komet im Perihel seiner
Bahn.) Es gilt daher
v
min
=( p
2 1)v
E
=12:4km/s :
Bemerkung:
Wurden wir das Gravitationsfeldder Erde beruksihtigen, ware die Geshwindig-
keit des Kometen gegeben durh
v
Komet
= q
v 2
0 +v
2
Fluht
wobei
v
Fluht
= p
2R g =11:2km/s
mit Erdradius R = 6:3710 6
m und g = 9:81m/s 2
die Fluhtgeshwindigkeit der
Erde ist. Es ergibt sih v =43:9km/s und somit v =13:9km/s.
Lenzsher Vektor fur F(r)= k=r 2
, ausgedrukt durh r(t) und (t):
= 1
k _ rL
1
r r
=
k 0
_
ros r _
sin
_
rsin+r _
os
0
1
A
0
0
0
r 2
_
1
A 0
os
sin
0 1
A
=
k 0
r
2
_ r _
sin+r 3
_
2
os
r 2
_ r _
os+r 3
_
2
sin
0
1
A 0
os
sin
0 1
A
Diesistkonstantgleih(;0;0).Zusammenmitder Drehimpulserhaltung ergibtdasdie
drei Gleihungen:
L=r 2
_
=
k r
2
_ r _
sin+
k r
3
_
2
1
os
0=
k r
2
_ r _
os+
k r
3
_
2
1
sin
Einsetzen der ersten in die beiden anderen Gleihungen liefert mit p= L
2
k :
= L
k _
rsin+
p
r 1
os
0= L
k _
ros+
p
r 1
sin
Multipliziert man die erste Gleihung mit os und die zweite mit sin und addiert
man beide Zeilen, soerhaltman
os= p
r 1;
also
r= p
: