x 3 − 2y 2 = 25.

5 Übungsblatt Mathematik für Physiker III

5.1 Tangentengleichung

Wirhabendie Gleichung

x ³ − 2y ² = 25.

WiemanschnellsiehtliegtderPunkt

(3, 1)

^inderbeschriebenenKurve:

3 ³ − 2 (1) ² = 27 − 2 = 25.

ImPunkt

(3, 1)

^gilt

1

2 x ³ − 25

> 0

weshalbwirnach

y

^{auösenkönnen:}

y (x) = r 1

2 (x ³ − 25)

unddieAbleitungbilden:

dy dx = 3

4

x ² q 1

2 (x ³ − 25) .

AnderStelle

x = 3

^gilt

dy

dx | x=3 = 27 4 .

DarausergibtsichfüreineTangengleichungderForm

y = mx+n

^dieBedingung

1 = 27

4 · 3 + n n = − 77

4 .

Unddie Tangentengleichung:

t (x) = 1

4 (27x − 77) .

5.2 Gleichungssytem impliziter Funktionen

a)WirhabendasGleichungssystem:

I

xe ^u+v + 2uv − 1 = 0

II

ye ^{u − v} + 2uv − 2x = 0

Damit

u

^und

v

^{alsFunktionen von}

x

^und

y

^{ander Stelle (1,2)deniert sind,}

muss

det

∂ (F, G)

∂ (v, u)

=

∂ u F ∂ v F

∂ u G ∂ v G 6 = 0

gelten,wobeiIsei

F

^undIIsei

G.

∂ u F = xe ^u+v + 2v

∂ v F = xe ^u+v + 2u

∂ u G = ye ^{u − v} − 1 1 + v

∂ v G = − ye ^{u − v} + u (1 + v) ²

AusPlatzgründensetzenwirgleich

u = v = 0

^ein.

∂ u F ∂ v G − ∂ v F ∂ u G = x ( − y) − x (y − 1)

= − 3.

Da die Determinante nichtverschwindetexistiert eine oene Menge die

(1, 2)

enthält,sodass

u = u (x, y)

^und

v = v (x, y)

existieren.

b)Wir nutzendieobenberechneteDeterminante:

det

∂ (F, G)

∂ (v, u)

=

∂ u F ∂ v F

∂ u G ∂ v G

= det

xe ^u+v + 2v xe ^u+v + 2u ye ^{u − v} − _1+v ¹ − ye ^{u − v} + _(1+v) ^u ₂

,

Dieinversevon

∂(F,G)

∂(v,u)

ist:

∂ (F, G)

∂ (v, u) ⁻ 1

= 1

det _∂(F,G)

∂(v,u)

− ye ^{u − v} + _(1+v) ^u 2 − xe ^u+v − 2u

− ye ^{u − v} + _1+v ¹ xe ^u+v + 2v

! ,

setzenwirhierbeiwieder

u = v = 0

^und

x = 1, y = 2,

^folgt:

∂ (F, G)

∂ (v, u) ⁻ 1

= 1

− 3

− 2 − 1

− 1 1

Nungilt:

∂u

∂x

∂u

∂y

∂v

∂x

∂v

∂y

!

= −

∂ (F, G)

∂ (v, u)

⁻ 1 ∂F

∂x

∂F

∂y

∂G

∂x

∂G

∂y

! .

Wirkönnendieslösenunderhalten:

∂u

∂x

∂u

∂v ∂y

∂x

∂v

∂y

!

= 1 3

− 2 − 1

− 1 1

1 0

− 2 1

=

0 − ¹ 3

− 1 ¹ ₃

.

Wirhabenimplizite dieGleichung

x ² + y ² + z ² = 3xyz

fürwelchebei

(1, 1, 1)

^{die expliziten}Funktionen:

z = f (x, y) = 3xy 2 −

s 3xy

2 2

− x ² − y ²

y = g (x, z) = 3xz 2 −

s 3xz

2 2

− x ² − z ²

gleichbedeutendsind.FürdenspäterenGebrauchbildenwirdiepartiellenAb-

leitungen:

∂f

∂x = 3y

2 − x ^3y ₂ 2

− x q 3xy

2

²

− x ² − y ²

∂g

∂x = 3z

2 − z ^3x ₂ 2

− z q 3xz

2

2

− x ² − z ²

Auÿerdemist

h (x, y, z) = xy ² z ³ .

Jetztkönnenwirberechnen:

∂

∂x (h (x, y, f (x, y))) = ∂h (x, y, f (x, y))

∂x + ∂h (x, y, f (x, y))

∂f (x, y)

∂f (x, y)

∂x

= y ²



 3xy

2 − s

3xy 2

2

− x ² − y ²





3

+xy ² 3



 3xy

2 − s

3xy 2

2

− x ² − y ²





2 

 3y

2 − x ^3y ₂ ²

− x q 3xy

2

2

− x ² − y ²





= 3

2 − 1 2

3

+ 3 3

2 − 1 2

2 3 2 − 5/4

1/2

= 1 − 3 = − 2

∂

∂x (h (x, g (x, z) , x)) = ∂h (x, g (x, z) , x)

∂x + ∂h (x, g (x, z) , x)

∂g (x, z)

∂g (x, z)

∂x

=



 3xz

2 − s

3xz 2

2

− x ² − z ²





2

z ³

+x2



 3xz

2 − s

3xz 2

2

− x ² − z ²







 3z

2 − z ^3x ₂ 2

− z q 3xz

2

2

− x ² − z ²



 z ³

= 3

2 − 1 2

2

1 + 2 3

2 − 1 2

1 ³

3 2 − 5/4

1/2

= 1 + 2 ( − 1) = − 1

JetztsindzwardiepartiellenAbleitung,jenachSubstitution eineandere,aber

dieFunktion

h (x, y, z)

^{istaucheineganzeandere,alsdie}Substitutionsgleichung.

5.4 Lemniskate

Wirhabendie impliziteGleichung:

x ² + y ² 2

= 2 x ² − y ²

(1)

undsuchenein minimalesbegrenzendesRechteck.An den Extremalstellen für

y

^istderGraphhorizontal,oder

∂ x y = 0

^{.Daherfassenwir}

y

^{alsFunktion von}

x

^auf

(y = y (x))

^{undleitendieGleichung}

x

^ab

2 x ² + y ² 2

(2x + 2yy ⁰ ) = 2 (2x − 2yy ⁰ )

undsetzen

y ⁰ = 0.

^Darausfolgt:

x ² + y ² x = x.

LösungenfürdieseGleichungsind

1.

x = 0

2.

y ² = 1 − x ² .

Anhandder Skizze kann man sehen, dass nur die 2.Lösung in Frage kommt.

Diesesetzenwirin

(1)

^ein.

x ² + 1 − x ²

= 2 x ² − 1 + x ²

⇔ x ² = 3 4

Diessetzenwirwiederumin

(1)

^ein.

3 4 + y ²

2

= 2 3

4 − y ²

9 16 + 3

2 y ² + y ⁴ = 3 2 − 2y ²

Dieskannman umstellen undmitHilfederSubstitution

u = y ² (y = ± √ u)

ⁱⁿ

einequadratischeGleichungverwandeln.

2 7 15

u ± = − 7 4 ±

r 49 16 + 15

16

= − 7 ± 8 4

DaseinzigerelleErgebnisist

y = ± 1 2 .

An den Extremalstellen für

x

^{ist derGraph vertikal,oder}

∂ y x = 0

^{. Daher}

fassenwirxalsFunktionvon

y

^auf

(x = x (y))

^{undleitendieGleichungnach}

y

ab.

2 x ² + y ²

(2xx ⁰ + 2y) = 2 (2xx ⁰ − 2y)

undsetzen

x ⁰ = 0.

^Darausfolgt:

2 x ² + y ²

y = − y.

DieseGleichunghatdieLösungen

1.

y = 0

2.

2y ² + 2x ² + 1 = 0

^{,wasaberkeineLösungenfür}

x

^,

y

^reellhat.

Dahersetzenwir

y = 0

ⁱⁿ

(1)

^{einunderhalten}

0 + x ² 2

= 2 x ² − 0

DieseGleichunghatdieLösungen

1.

x = 0

^{,wasabernichtrelevantist,wiemananderSkizzeablesenkann}

2.

x = ± √ 2

^.

DarausfolgtalskleinstesRechteck

(x, y) : x ∈ h

− √ 2, √

2 i , y ∈

− 1 2 , 1

2

.

SkizzesieheimAnhang(mathematicaprintout).