B - 6 Matrizen und ihre Algebra

Mathematik f¨ur Informatiker I Matrizen und ihre Algebra

B - 6 Matrizen und ihre Algebra

Definition B.48 (Matrix)

Ein Zahlenschema

A = (αij)^j=1...n_i=1...m =







α1 1 α1 2 · · · α1n

α2 1 α2 2 · · · α2n

. . . . αm1 αm2 · · · αm n







heißt einereelle(m×n)Matrix, die ausmZeilen undnSpalten besteht. Man sagt auchAist vom Typ oder Format (m,n) und schreibt A∈R^m×n(siehe Definition B.55).

Die Elemente in der i-ten Zeile vonAbilden den sogenannten

Zeilenvektor (α_{i j})j=1...n∈Rⁿ und die Elemente in der j-ten Spalte den Spaltenvektor (α_{i j})_i=1...m∈R^m.

Der Zusammenhang zwischen Matrizen und linearen Abbildungen ergibt sich nun wie folgt.

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Sind (v_j)j=1...n und (w_i)i=1...m Basen vonV undW, so gibt es genau eine lineare AbbildungF :V 7→ W mit der Eigenschaft

F(v_j) = Xm

i=1

α_{i j}w_i.

Dann gilt f¨ur beliebige Vektorenv=Pν_jv_j

F(v) = Xn

j=1

ν_jF(v_j)

= Xn

j=1

νj

Xm

i=1

αi jw_i

!

= Xm

i=1

w_i Xn

j=1

αi jνj

| {z } ωi

.

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Definition B.49 (Matrix-Vektor-Produkt)

Die durch die letzte Gleichung implizierte Rechenvorschrift nennt man ein Matrix–Vektor–Produktund schreibt einfach





 ω1

ω2

... ωm







=







α1 1 α1 2 · · · α1n

α2 1 α2 2 · · · α2n

. . . . αm1 αm2 · · · αm n











 ν1

ν2

... νn







oder kurz

w=Av.

Diese Matrix-Vektor-Gleichung ist eine Abk¨urzung f¨ur die komponentenweise Identit¨at

ωi = Xn

j=1

αi jνj f¨ur i = 1, . . . ,m (1)

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Beispiel B.50

Bez¨uglich der monomialen Basis hat die schon im Beispiel B.46 erw¨ahnte Abbildung durchDifferentiationinPⁿ f¨urn= 5 die Matrix-Darstellung

A =









0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0







 .

Diese Matrix ergibt sich f¨uri = 1, . . . ,5 aus der Grundbeziehung F(vi) =v⁰_i = (i−1)v_i−1 da v_i=xⁱ⁻¹, wobei hierW =V und deshalbw_i =v_i.

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Definition B.51 (Hintereinanderausf¨uhrung linearer Abbildungen)

Betrachtet man zwei lineare Abbildungen

G:U 7→ V und F:V 7→ W, so ist derenKompositionoderHintereinanderausf¨uhrung

F◦G :U 7→ W mit (F◦G)(u) = F(G(u)) eine lineare Abbildung vonU nachW.

Bez¨uglich geeigneter Basen{u_k}k=1...p vonU,{v_j}j=1...n vonV und {w_i}i=1...mvonW entsprechen den AbbildungenF undG Matrizen

A= (αi j)^j=1...n_i=1...m und B= (βj k)^k=1...p_j=1...n .

Hierbei entspricht die Spaltenzahl vonAder Zeilenzahl vonB, da diese beide gleich der Dimensionndes ZwischenbereichesVsind.

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Definition B.52 (Matrixmultiplikation)

Unter diesen Bedingungen kann man nun durch wiederholte Anwendung von (1) die Koeffizientenω_i eines Bildesw=F(G(u)) direkt aus den Koeffizientenµ_k vonuberechnen. Und zwar gilt f¨ur jedesi= 1. . .m

ω_i = Xn

j=1

α_{i j}ν_j = Xn

j=1

α_{i j} Xp

k=1

β_{j k}µ_k

!

= Xp

k=1

µ_k Xn

j=1

α_{i j}β_{j k}

| {z } γ_{i k}

.

Mittels der (m×p) Matrix (γ_{i k})^k=1,...p_i=1,...merh¨alt man also das neue Matrix–Vektor–Produkt





 ω1

ω2

... ω_m







=







γ1 1 γ1 2 · · · γ1p

γ2 1 γ2 2 · · · γ2p

. . . . γ_m1 γ_m2 · · · γ_{m p}











 µ1

µ2

... µ_p





 .

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Definition B.53 (Matrix-Matrix Schreibweise)

Den Zusammenhang zwischen denαi j,βj k und den resultierendenγi k

nennt man einMatrix–Matrix–Produkt(kurzMatrix-Produkt) und schreibt





γ1 1 · · · γ1p

. . . . γ_m1 · · · γ_{m p}



 =





α1 1 · · · α1n

. . . . α_m1 · · · α_{m n}









β1 1 · · · β1p

. . . . β_n1 · · · β_{n p}





oder ganz kurz

C = (γ_{i k})^k=1...p_i=1...m = A B mitA∈R^m×n,B∈R^n×p und deshalbC∈R^m×p.

Dabei ist das Elementγik in deri-ten Zeile undk-ten Spalte des ProduktesC gerade das innere Produkt deri-ten Zeile des linken Faktors Aund derk-ten Spalte des rechten FaktorsB.

Faustregel Matrix-Multiplikation

Zeile·Spalte

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Beispiel B.54

Man betrachte die beiden (3×3) Matrizen

A=



 1 0 0 0 0 1 0 1 0



, B=





σ σ 0

−σ σ 0 0 0 1



,

wobeiσ= 1/√ 2 ist.

Bez¨uglich der kartesischen Basis des dreidimensionalen Anschauungs- raumes

beschreibtAdieSpiegelungaller Vektorenv=xe1+ye2+ze3 an der diagonalen Fl¨ache y=z.

Bbeschreibt bez¨uglich der kartesischen Basis eineAchtel-Drehung entgegen dem Uhrzeigersinnum diez-Achse e₃(Achtung:

Rechtssystem!!).

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Fortsetzung Beispiel

Wird nunzuerst rotiert und dann reflektiert, so ergibt sich die Matrix





σ σ 0 0 0 1

−σ σ 1



 =



 1 0 0 0 0 1 0 1 0









σ σ 0

−σ σ 1 0 0 1





Hier ergab sich zum Beispiel das Element in der dritten Zeile und zweiten Spalte des Produktes als (0,1,0)·(σ, σ,0)^T = 0·σ+ 1·σ+ 0·0 = σ.

Tauscht man jedoch die Reihenfolge der Faktoren aus, so erh¨alt man die Matrix





σ 0 σ

−σ 1 σ 0 1 0



 =





σ σ 0

−σ σ 1 0 0 1







 1 0 0 0 0 1 0 1 0



.

Diese Matrix beschreibt dieHintereinanderausf¨uhrung der Spiegelung und dann der Drehung, was zu unterschiedlichen Ergebnissen f¨uhrt.

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Bemerkung:

Wie das Beispiel zeigt, ist die Matrixmultiplikationnicht kommutativ.

Sie ist allerdings assoziativ in dem Sinne, daß (A B)C = A(B C)

f¨ur beliebige MatrizenA,B undC ist, vorausgesetzt die Spaltenzahl von Agleicht der Zeilenzahl vonB und die Spaltenzahl vonB gleicht der Zeilenzahl vonC, da die Produkte sonst gar nicht definiert w¨aren.

Diese Identit¨at kann man durch Ausmultiplizieren ¨uberpr¨ufen oder aus der Tatsache ableiten, daß die Hintereinander ausf¨uhrung von

Abbildungen auch assoziativ ist, d.h. es gilt (F◦G)◦H = F◦(G◦H), vorausgesetzt der Bildbereich vonH geh¨ort zum Definitionsbereich der AbbildungG und der Bildbereich vonG geh¨ort zum Definitionsbereich vonF. In jedem Falle wird hier ein gegebenes Elementu∈Dom(H) nach F(G(H(u)) abgebildet.

Diese Eindeutigkeit der Komposition von Abbildungen ¨ubertr¨agt sich auch auf die Multiplikation von Matrizen.

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Definition B.55 (Vektorraum R

)

Allereellen Matrizen eines gegebenen Typs(m,n) bilden eine Menge, die man mitR^m×n bezeichnet. Diese Menge ist sogar ein reeller

Vektorraumbez¨uglich komponentenweiser Addition und Multiplikation, d.h.

A+B= (α_{i j}+β_{i j})^j=1...n_i=1...m und λA= (λ α_{i j})^j=1...n_i=1...m f¨ur beliebige Matrizen

A= (α_{i j})∈R^m×n,B= (β_{i j})∈R^m×n undλ∈R.

Vorausgesetzt die Typen vonA,BundCsind kompatibel, so daß die folgenden Ausdr¨ucke ¨uberhaupt definiert sind, gelten die

Distributivgesetze:

A(B+C) = A B+A C (A+B)C = A C+B C.

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Definition B.56 (Identit¨atsmatrix)

Bez¨uglich der Multiplikation von Matrizen gibt es ein neutrales Element, n¨amlich dieEinheits-oderIdentit¨atsmatrix

I = In =







1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 ... ... . .. ...

0 0 · · · 1





 .

Der die Gr¨oße der Matrix angebende Indexnkann wegfallen, wenn er sich aus dem Zusammenhang ergibt. Es gilt nun insbesondere

ImA = A = A In f¨ur A∈R^m×n.