Caroline Collischon 11. Oktober 2020

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Caroline Collischon

11. Oktober 2020

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Hohmann-Transfer

Eine Sonde befindet sich in einer Umlaufbahn auf Höhe des Erdorbits (1 AU) und soll zum Mars (1,5 AU). Bis zu welcher Geschwindigkeit muss die Sonde beschleunigen, damit der höchste Punkt ihres Orbits auf Höhe der Marsumlaufbahn ist? Wie viel Geschwindigkeitsdifferenz besteht dann noch zu einer Kreisbahn auf der neuen Höhe?

Drehimpuls auf Höhe des Erdorbits (Index 1) und Marsorbits (Index 2):

λ1 =r1·v_ϕ,1 (1)

λ2 =r2·vϕ,2

=! λ1≡λ (2)

v_ϕ,2 = r1

r₂v_ϕ,1 (3)

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Hohmann-Transfer

Eine Sonde befindet sich in einer Umlaufbahn auf Höhe des Erdorbits (1 AU) und soll zum Mars (1,5 AU). Bis zu welcher Geschwindigkeit muss die Sonde beschleunigen, damit der höchste Punkt ihres Orbits auf Höhe der Marsumlaufbahn ist? Wie viel Geschwindigkeitsdifferenz besteht dann noch zu einer Kreisbahn auf der neuen Höhe?

Drehimpuls auf Höhe des Erdorbits (Index 1) und Marsorbits (Index 2):

λ₁ =r₁·v_ϕ,1 (1)

λ2 =r2·vϕ,2

=! λ1≡λ (2)

v_ϕ,2 = r1

r₂v_ϕ,1 (3)

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Hohmann-Transfer

Eine Sonde befindet sich in einer Umlaufbahn auf Höhe des Erdorbits (1 AU) und soll zum Mars (1,5 AU). Bis zu welcher Geschwindigkeit muss die Sonde beschleunigen, damit der höchste Punkt ihres Orbits auf Höhe der Marsumlaufbahn ist? Wie viel Geschwindigkeitsdifferenz besteht dann noch zu einer Kreisbahn auf der neuen Höhe?

Drehimpuls auf Höhe des Erdorbits (Index 1) und Marsorbits (Index 2):

λ₁ =r₁·v_ϕ,1 (1)

λ2 =r2·vϕ,2

=! λ1≡λ (2)

v_ϕ,2 = r1

r₂v_ϕ,1 (3)

+

Energie

Energieerhaltung auf Höhe des Erd- und Marsorbits:

E= 1

2v_ϕ,² ₁−GM r1

(4)

= 1

2v_ϕ,² ₂−GM r2

(5)

v_ϕ,² ₁−v_ϕ,² ₂=−2GM r2

+2GM r1

(6)

=−2GM 1

r₂ − 1 r₁

(7)

v_ϕ,² ₁

1−r₁² r₂²

=−2GM 1

r2

− 1 r1

(8)

+

Energie

Energieerhaltung auf Höhe des Erd- und Marsorbits:

E= 1

2v_ϕ,² ₁−GM r1

(4)

= 1

2v_ϕ,² ₂−GM r2

(5)

v_ϕ,² ₁−v_ϕ,² ₂=−2GM r2

+2GM r1

(6)

=−2GM 1

r₂ − 1 r₁

(7)

v_ϕ,² ₁

1−r₁² r₂²

=−2GM 1

r2

− 1 r1

(8)

+

Energie

Energieerhaltung auf Höhe des Erd- und Marsorbits:

E= 1

2v_ϕ,² ₁−GM r1

(4)

= 1

2v_ϕ,² ₂−GM r2

(5)

v_ϕ,² ₁−v_ϕ,² ₂=−2GM r2

+2GM r1

(6)

=−2GM 1

r₂ − 1 r₁

(7)

v_ϕ,² ₁

1−r₁² r₂²

=−2GM 1

r2

− 1 r1

(8)

+

Energie

v_ϕ,² ₁ =−2GM 1

r2

− 1 r1

·

1−r₁² r₂²

−1

(9)

= 2GM r₁²

1 r₁ − 1

r₂

· 1

r₁² − 1 r₂²

−1

(10)

v_ϕ,² ₁ = 2GM r₁² ·

1 r1

+ 1 r2

−1

(11) Einsetzen:

v_ϕ,1 '32,63km/s (12)

⇒vϕ,2 '21,75km/s (13)

+

Energie

v_ϕ,² ₁ =−2GM 1

r2

− 1 r1

·

1−r₁² r₂²

−1

(9)

= 2GM r₁²

1 r₁ − 1

r₂

· 1

r₁² − 1 r₂²

−1

(10)

v_ϕ,² ₁ = 2GM r₁² ·

1 r1

+ 1 r2

−1

(11)

Einsetzen:

v_ϕ,1 '32,63km/s (12)

⇒vϕ,2 '21,75km/s (13)

+

Energie

v_ϕ,² ₁ =−2GM 1

r2

− 1 r1

·

1−r₁² r₂²

−1

(9)

= 2GM r₁²

1 r₁ − 1

r₂

· 1

r₁² − 1 r₂²

−1

(10)

v_ϕ,² ₁ = 2GM r₁² ·

1 r1

+ 1 r2

−1

(11) Einsetzen:

v_ϕ,1 '32,63km/s (12)

⇒vϕ,2 '21,75km/s (13)

+

∆v

vϕ,1 '32,63km/s, vϕ,2 '21,75km/s Kreisbahn in Höhe 1 AU bzw. 1,5 AU:

v_K,1 = rGM

r₁ '29,78km/s (14)

v_K,2 = rGM

r₂ '24,32km/s (15)

(16)

Differenz:

∆v₁ '2.85km/s (17)

∆v₂ '2.57km/s (18)

+

∆v

vϕ,1 '32,63km/s, vϕ,2 '21,75km/s Kreisbahn in Höhe 1 AU bzw. 1,5 AU:

v_K,1 = rGM

r₁ '29,78km/s (14)

v_K,2 = rGM

r₂ '24,32km/s (15)

(16) Differenz:

∆v1 '2.85km/s (17)

∆v₂ '2.57km/s (18)

+

Swing-by

Eine Sonde fliegt radial von der Erde in Richtung Mond, wo sie mit Anfangsgeschwindigkeit im Erdsystemv ein Swing-by Manöver durchläuft, bei dem sie maximale Geschwindigkeit relativ zur Erde erlangt. Wie groß muss der Ablenkwinkel (im Erd-/Mondsystem) dafür sein? Unter welchen Bedingungen kann die Sonde von der Erde fliehen?

+

Swing-by

Eine Sonde fliegt radial von der Erde in Richtung Mond, wo sie mit Anfangsgeschwindigkeit im Erdsystemv ein Swing-by Manöver durchläuft, bei dem sie maximale Geschwindigkeit relativ zur Erde erlangt. Wie groß muss der Ablenkwinkel (im Erd-/Mondsystem) dafür sein? Unter welchen Bedingungen kann die Sonde von der Erde fliehen?

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Swing-by

Eine Sonde nähert sich einem Planeten, betrachte Bezugssysteme Sonne und Planet:

~

v0,p =~v0−w~ (19)

~

v_p⁰ =R(π−2α)~v0,p (20)

~

v⁰ =~v_p⁰ +w~ ⇒Betrag kann viel größer sein! (21)

Maximaler Betrag bei Weiterflug parallel zur Planetenbahn!

+

Swing-by

Eine Sonde nähert sich einem Planeten, betrachte Bezugssysteme Sonne und Planet:

~

v0,p =~v0−w~ (19)

~

v_p⁰ =R(π−2α)~v0,p (20)

~

v⁰ =~v_p⁰ +w~ ⇒Betrag kann viel größer sein! (21) Maximaler Betrag bei Weiterflug parallel zur Planetenbahn!

+

Ablenkwinkel

Ablenkwinkel im Erdsystem: 90^◦ (radial →tangential) Geschwindigkeit im Mondsystem:

~

v0,M =~v−w~ (22)

~

v_M⁰ =R(π−2α)~v0,M (23)

(24) Ablenkwinkel im Mondsystem:

α=atan |w|

|v|

(25) Rotation umα+90^◦ =ϕ

+

Ablenkwinkel

Ablenkwinkel im Erdsystem: 90^◦ (radial →tangential) Geschwindigkeit im Mondsystem:

~

v0,M =~v−w~ (22)

~

v_M⁰ =R(π−2α)~v0,M (23)

(24) Ablenkwinkel im Mondsystem:

α=atan |w|

|v|

(25) Rotation umα+90^◦ =ϕ

+

Endbetrag der Geschwindigkeit

|~v⁰|=|R(ϕ)~v0,M+w~| (26)

=|R(ϕ)~v_0,M|+|~w|(beide Summanden sind parallel) (27) (28)

=|~v0,M|+|~w|≥^! vF (29)

⇒|~v_0,M| ≥v_F − |w~| (30)

|~v0,M|=p

v²+w²≥w (31)

+

Endbetrag der Geschwindigkeit

|~v⁰|=|R(ϕ)~v0,M+w~| (26)

=|R(ϕ)~v_0,M|+|~w|(beide Summanden sind parallel) (27) (28)

=|~v0,M|+|~w|≥^! vF (29)

⇒|~v_0,M| ≥v_F − |~w| (30)

|~v0,M|=p

v²+w²≥w (31)

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Endbetrag der Geschwindigkeit

|~v⁰|=|R(ϕ)~v0,M+w~| (26)

=|R(ϕ)~v_0,M|+|~w|(beide Summanden sind parallel) (27) (28)

=|~v0,M|+|~w|≥^! vF (29)

⇒|~v_0,M| ≥v_F − |~w| (30)

|~v0,M|=p

v²+w²≥w (31)

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Endbetrag der Geschwindigkeit

Zahlen:

w '1,02 km/s,v_F = q2GM

r '1.44 km/s Mindestbedingung:

w ≥v_F −w '0.42 km/s (32)

Immer erfüllt! Wenn der Ablenkwinkelϕmöglich ist, flieht die Sonde immer von der Erde!

Probleme: Crash in Mondoberfläche, beiv →Parabelbahn nötig, aber nicht möglich.

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Endbetrag der Geschwindigkeit

Zahlen:

w '1,02 km/s,v_F = q2GM

r '1.44 km/s Mindestbedingung:

w ≥v_F −w '0.42 km/s (32)

Immer erfüllt! Wenn der Ablenkwinkelϕmöglich ist, flieht die Sonde immer von der Erde!

Probleme: Crash in Mondoberfläche, beiv →Parabelbahn nötig, aber nicht möglich.