Institut f¨ur Theoretische Physik der Prof. Dr. Joachim Krug Universit¨at zu K¨oln, Sommersemester 2018 Benjamin Schmiegelt
Theoretische Physik II (Lehramt)
6. ¨ Ubung
http://www.thp.uni-koeln.de/~schmiegb/sose18/
Abgabe: Dienstag, 29. Mai 2018 bis 12:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik
19. Levi-Civita-Symbol
3+4=7 PunkteWir wiederholen hier die Definition des Kronecker-Deltas und des Levi-Civita-Symbols, das wir bereits im ersten Teil der Vorlesungsreihe benutzt haben. Die beiden Objekte sind wie folgt definiert:
δij =
(1 i=j
0 i6=j εijk=
+1 falls (i,j,k) zyklische Permutation von (x,y,z)
−1 falls (i,j,k) antizyklische Permutation von (x,y,z)
0 sonst
Eine Permutation ist zyklisch, wenn man sie durch eine gerade Anzahl von paarweisen Ver- tauschungen erhalten kann. Sie ist antizyklisch, wenn man sie durch eine ungerade Anzahl von paarweisen Vertauschungen erhalten kann.
Die Einsteinsche Summenkonvention besagt, dass falls eine Indexvariable zweimal in einem Pro- dukt auftritt, eine Summation ¨uber die Variable impliziert ist. Also soll z.B. laut Summenkonven- tion der Ausdruckδijδjk eine Abk¨urzung f¨urP
j=x,y,zδijδjk sein. F¨ur den Rest des ¨Ubungsblatts und auch dar¨uber hinaus werden wir ab jetzt diese Konvention verwenden.
a) Machen Sie sich bewusst, dass
~a×~b=εijkaibj~ek
b) Zeigen Sie, dass
εijkδklδil = 0
20. Drehimpulsoperator
3+8+5=16 PunkteDer Drehimpulsoperator ist definiert als
L~op=~rop×~pop =
ˆ x ˆ y ˆ z
×
ˆ px
ˆ py
ˆ pz
.
a) Wie lauten die drei Komponenten ˆLx, ˆLy und ˆLz in Ortsdarstellung?
b) Berechnen Sie den Kommutator [ ˆLi,Lˆj] f¨ur alle i, j ∈ {x, y, z}.
Hinweis: Zusammengefasst kann man das Ergebnis schreiben als [ ˆLi,Lˆj] = i~εijkLk, wobei εijk das Levi-Civita-Symbol ist.
c) Zeigen Sie, dass das Quadrat des Drehimpulsoperators ( ˆL2 = ˆL2x + ˆL2y + ˆL2z) mit allen Komponenten vertauscht, also [ ˆL2,Lˆi] = 0.
Hinweis: Verwenden Sie die Identit¨at [ ˆAB,ˆ C] = ˆˆ A[ ˆB,C] + [ ˆˆ A,C] ˆˆ B aus Aufgabe 16a).
21. Spin
8+3+3+3=17 Punkte Der vektorielle Spin-Operator ist gegeben durch S~op= ~2~σ, dabei sind die Komponentenσi von~σ=
σx σy σz
die Pauli-Matrizen,
σx= 0 1
1 0
, σy =
0 −i i 0
, σz =
1 0 0 −1
.
Diese Pauli-Matrizen wirken auf Vektoren aus demC2, welcher den Hilbertraum des Spins bildet.
a) Zeigen Sie, dass die Komponenten ˆSx,y,z die vom Drehimpuls (aus Aufgabe 20b) bekannten Vertauschungsrelationen
[ ˆSi,Sˆj] =i~εijkSˆk erf¨ullen.
b) Zeigen Sie, dass f¨urS~op2 = ˆSx2+ ˆSy2+ ˆSz2 die Relation [S~op2 ,Sˆi] = 0 gilt.
c) Bestimmen Sie die Eigenwerte und normierten Eigenvektoren von σz. Diese werden oft als Spinzust¨ande|↑i bzw.|↓i bezeichnet.
d) Zeigen Sie, dass die Anwendung von σx auf die Spinzust¨ande den Spin “flippt”.
22. Ehrenfest-Theorem II
Pr¨asenzaufgabe a) Sei ˆH der Hamiltonoperator eines quantenmechanischen Systems, das sich im Zustand |ψi befindet, und ˆA ein zeitunabh¨angiger Operator. Zeigen Sie, dass der Erwartungswert hAiˆ sich zeitlich gem¨aßd
dthAiˆ = i
~
h[ ˆH,A]iˆ (1)
entwickelt.
Hinweis: Verwenden Sie die Schr¨odingergleichung in der Form i~dψdt = ˆHψ.
b) Zeigen Sie, dass Gleichung (1) f¨ur den Impulsoperator (d.h. ˆA= ˆp) auf die Bewegungsglei- chung
d
dthpi=−h∇Vi (2)
f¨uhrt.
c) Verwenden Sie die Ergebnisse aus Teil b) und Aufgabe 10 um eine Differentialgleichung f¨ur den Ortsmittelwert hxi im Falle des eindimensionalen harmonischen Oszillators (d.h.
V(x) = m2ω2x2) herzuleiten. Geben Sie die allgemeine L¨osung an.
